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第七章 相交线与平行线
01 思维导图
02 知识速记
【知识点1】对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
2
1 ∠1的两边与∠2
对顶角相等
对顶角 有公共顶点 的两边互为反向
即∠1=∠2
延长线
∠1与∠2
∠3与∠4有一条
邻补角互补即
邻补角 有公共顶点 边公共，另一边
∠3+∠4=180°
互为反向延长线.
【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
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学科网（北京）股份有限公司当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫
做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
特别提醒：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，
是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图 2：PO⊥AB，点P到直线AB的距
离是垂线段PO的长.
特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
【知识点3】同位角、内错角与同旁内角
角的名称 位置特征 图形结构特征
形如字母“F”（或倒置、反转、旋
同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧
转）
既位于被截两直线之间，又位于截线两侧， 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋
内错角
即被截线“错开” 转）
既位于接线的同侧，又位于被截两直线之 形如字母“U”（或倒置、反转、旋
同旁内角
间. 转）
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学科网（北京）股份有限公司【知识点4】平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.
【知识点5】平行线的画法
一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.
【知识点6】平行公理
1．平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行．
2．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【知识点7】平行线的判定
判定方法1 判定方法2 判定方法3
两条直线被第三条直线 两条直线被第三条直
两条直线被第三条直线所
两条直 所截，如果同位角相 线所截，如果同旁内
截，如果同位内角相等，
线平行 等，那么这两条直线平 角互补，那么这两条
那么这两条直线平行，即
的判定 行，即同位角相等，两 直线平行，即同旁内
内错角相等，两直线平行
直线平行 角互补，两直线平行
那么
那么∠1=∠2 那么∠1=∠2
符号语 ∠1+∠2=180°
言
那么AB//CD 那么AB//CD
那么AB//CD
【知识点8】平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.
【知识点9】命题、定理、证明
1．命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
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学科网（北京）股份有限公司要点提醒：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知
事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2．定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定
理也可以作为继续推理的依据.
3．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
要点提醒：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基
本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
【知识点10】平移
1． 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点提醒：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
2． 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体
来说：
（1）平移后，对应线段平行且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
要点提醒：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到
的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
3． 作图：
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．
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学科网（北京）股份有限公司(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点．
03 题型归纳
题型一 对顶角、领补角的定义理解
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个图形中， 与 互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下面四个图形中， 与 是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中， 与 互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·天津河北·期中）如图，直线 ， ， 相交于点O．则 的邻补角是
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 和 B． 和
C． 和 D．
题型二 对顶角、领补角性质的应用
例题：（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 相交于点 平分 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
巩固训练
1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 相交于点 ．
(1)若 ，则 的余角有__________．
(2)若 ，求 和 的度数．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，O是直线 上一点，过点O作 、 、 三条射线，
平分 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，则 的度数为___________；
(2)若 ，求 的度数；
(3)在（2）的条件下，若过点O作射线 使得 ，求 的度数．
题型三 垂线的定义的理解与应用
例题：（2024七年级上·全国·专题练习） 为直线 上的一点， 为 外一点，下列说法不正确的是
（ ）
A．过 可画直线垂直于 B．过 可画直线 的垂线
C．连结 使 D．过 只能画1条直线与 垂直
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ，所以 与 在同一条直线上的理
由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ， 垂足为D，则下面说法中不正确
的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．点B到 的垂线段是线段CA B．CD与AB互相垂直
C． 与 互相垂直 D．线段 的长度是点A到 的距离
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为 米，
米， 米，则黎明的跳远成绩应该为 米．
题型四 利用垂线的定义求角的度数
例题：（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线 与 相交于点O， 平分 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的度数．
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 ， 相交于点 ， ．
(1)若 ，判断 与 的位置关系；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 的度数．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 、 相交于点 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
题型五 点到直线的距离与垂线段最短
例题：（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点 作 所在直线的垂线，如图三角板的位置摆
放正确的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中， ，已知 ， ， ，
则点B到直线 的距离是 ．
2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为 ， 、 、
都在格点上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)利用网格作图：过点 画直线 的垂线 ，垂足为点 ；
(2)线段 的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小： ______ （填＞、＜或＝），理由：______．
3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶
点称为格点，点 、 、 、 均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)作线段 ，作射线 ；
(2)点 到直线 的距离为线段________的长度；
(3)在线段 上找一点 ，使它到 、 、 、 四个点的距离之和最小，作图的理由为________．
题型六 同位角、内错角、同旁内角的辨别
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若 ，则 的同位角的大小是
， 的内错角的大小是 ， 的同旁内角的大小是 ．
巩固训练
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线 上有一点 和 是直线 被直线
所截形成的 角； 和 是直线 和 被直线 所截形成的 角； 和
是直线 和 被直线 所截形成的 角．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截．
(1) 与 、 与 ， 与 各有什么特殊的位置关系？
(2) 与 是内错角吗？为什么？
(3)如果 ，那么 等于 吗？ 和 互补吗？为什么？
题型七 添加一条件使两条直线平行
例题：（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上，
点 为 内一点，连接 ， ，不添加辅助线，请添加一个条件使得 ，则可添加为
．（写出一个即可）
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段 的延长线上一点，添加一个条件，使 ，
则可添加的条件为 （写出一种情况即可）．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·结论开放性试题 如图，已知 ，请
你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断 ，你添加的条件是
．
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学科网（北京）股份有限公司题型八 平行线的判定
例题：（24-25八年级上·吉林·开学考试）把下面的证明过程补充完整：
如图，已知直线AB，CD被直线 所截， 为CD与 的交点， 于点 ， ，
，求证： ．
证明：∵ （已知），
∴ （ ）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （ ）（____________）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （____________）．
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在 上，已知 ， 平分 ，
平分 ，请说明 的理由．
解： （已知），
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学科网（北京）股份有限公司（_______）
（_______）．
∵ 平分 ，
_______（_______）．
平分 ，
_______，
得 （_______），
（_______）．
2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）完成下面的证明：
如图， 平分 ， 平分 ，且 ，求证 ．
证明：∵ 平分 （已知），
∴ （ ）
∵ 平分 （已知），
∴ _________（ ）
∴ （ ）
∵ （已知），
∴ _________（ ）
∴ （ ）
3．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图， ， ，垂足分别是 ， ， ．
(1)判断 与 的位置关系；（不需要证明）
(2)求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形 中，点E在 的延长线上，点F在 的延
长线上，连接 相交于点O， ， 平分 ， ．
(1)试说明 ；
(2) 与 的位置关系如何？为什么？
题型九 根据平行线的性质与判定综合问题
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知： ， ， ，求
的度数.
解： ，
________（________）
又 ，
________
________（________）
________ ，（________）
，
________.
巩固训练
1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段 上，连接
交于点H，连接 并延长到点M， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图， ， ， 的平分线 交 的延长
线于点 ， 的平分线 交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
题型十 平行线的性质在生活中的应用
例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中
射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，
，则 的度数为 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时
，若此时 平行地面 ，则 度．
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图， 的一边 为平面镜， ，一束与水平
线 平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在 上的点E处（反
射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则 的度数是 ， 的度数
为 ．
题型十一 平行线间的距离问题
例题：（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线 ，点 到直线 的距离是 ，到直线 的距
离是 ，那么直线 和直线 之间的距离为 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， AD ， 的面积等于 ， ， ，则
的面积是 .
2．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图， ，点 ， 在直线 上，点 在直线 上，
， ， ， ，则图中 与 之间的距离为 ．
3．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图 ， ， 平分 ， 平分 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)问： 与 平行吗？试说明理由．
(2)过点 作 于点 ，如图 若 ， ， ，求 ， 所在的直线之间
的距离．
题型十二 命题的判定与逆命题
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或
“假”）命题．
巩固训练
1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么
它们的平方相等．
2．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果 ， ，那么 ；②如果 ， ，那么 ；③如果 ， ，那么 ；
④如果 ， ，那么 ．其中假命题的是 ．（填写序号）
题型十三 生活中的平移及图形的平移
例题：（23-24七年级下·全国·期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千
C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动
巩固训练
1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）下列运动属于平移的是（ ）
A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动
C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我校近几年在体育项目上不断取得佳绩，足球队标志如左图所
示，以下选项中能通过左图平移得到的标志是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
题型十四 利用平移的性质求解
例题：（2024七年级上·上海·专题练习）如图， 是由 平移得到的，则点 、 、 的对
应点分别是 ，如果 ， ， ，那么 ，
， ．
巩固训练
1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形 ，已
知 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形 中， ，将 沿直线 向
右平移 得到 ，连接 ，给出以下结论：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．其中正确的结论有 （填序号）．
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学科网（北京）股份有限公司题型十五 平移作图
例题：（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在网格上，平移 ，并将 的一个顶点A平
移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．
(1)请你作出平移后的图形 ；
(2)线段 与 的关系是：______
巩固训练
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中） 在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为
1个单位长度，请根据下列提示作图
(1)将 向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到 ， 画出 ．
(2)点A到 的距离为 个单位长度．
2．（21-22七年级下·安徽六安·期末）如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点
如图所示，现将三角形 平移，使点A平移至点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)在网格图中画出平移后的三角形 ；（点 分别是 的对应点），
(2)连接 ，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹）
题型十六 平移与平行线的综合问题
例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图， 沿 方向平移到 的位置．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求平移的距离．
巩固训练
1．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知 ，点E在直线 之间，连接
．
【感知】如图1，若 ，则 ；
【探究】如图2，猜想 和 之间的数量关系，并说明理由：
【应用】如图3，若 平分 ，将线段 沿 方向平移至 ，若 ， 平分
，求 的度数．
2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点 在射线 上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图 ， ，若 ， ，求 的度数；
(2)在 中，将射线 沿射线 平移得 （如图 ）若 ，探究 与 的关系
（用含 的代数式表示）；
(3)在 中，过点 作 的垂线，与 的平分线交于点 ，（如图 ）若 ，探究
与 的关系．
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