文档内容
第七章 相交线与平行线
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 对同位角、内错角、同旁内角辨别不清............................................................................................1
易错题型二 平行线的判定和性质多结论题............................................................................................................3
易错题型三 旋转使两直线平行的多解题................................................................................................................8
易错题型四 角的边平行的多解问题......................................................................................................................15
【压轴题型】...............................................................................................................................................................17
压轴题型一 平行线的判定和性质综合问题..........................................................................................................17
压轴题型二 根据平行线的判定与性质探究角的关系..........................................................................................23
压轴题型三 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题..............................................................................29
压轴题型四 根据平行线的判定与性质接解决光线问题......................................................................................37
压轴题型五 根据平行线的判定与性质探解决平移问题......................................................................................43
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 对同位角、内错角、同旁内角辨别不清
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（ ）
A． 与 互为内错角 B． 与 互为内错角
C． 与 互为同旁内角 D． 与 互为同位角
【答案】D
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角，根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角
的概念判断即可．
【详解】解：A、 和 是同位角，故A不符合题意；
B、 与 不是内错角，故B不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、 与 不是同旁内角，故C不符合题意；
D、 与 互为同位角，故D符合题意；
故选：D．
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A． 和 是同旁内角 B． 和 是内错角
C． 和 是同位角 D． 和 是同旁内角
【答案】D
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的
定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. 和 是同旁内角，说法正确，选项不符合题意；
B. 和 是内错角，说法正确，选项不符合题意；
C. 和 是同位角，说法正确，选项不符合题意；
D. 和 互为补角，说法错误，选项符合题意；
故选：D．
2．（23-24七年级下·吉林通化·阶段练习）如图， 的同位角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并
且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
本题考查了同位角的定义，正确理解定义是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】根据题意，得
A. ，对顶角，不符合题意；
B. ，是同旁内角，不符合题意；
C. 是同位角，符合题意；
D. 是内错角，不符合题意，
故选C．
3．（23-24七年级下·广东·期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A． 与 是同旁内角 B． 与 是同位角
C． 与 是内错角 D． 与 是对顶角
【答案】D
【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义
【分析】本题考查的知识点是同旁内角、同位角、内错角、对顶角的定义，解题关键是熟练掌握同旁
内角、同位角、内错角、对顶角的定义．根据同旁内角、同位角、内错角、对顶角的定义对选项进行
逐一判断即可求解．
【详解】解： ． 与 是同旁内角，说法正确，不符合题意， 选项错误；
． 与 是同位角，说法正确，不符合题意， 选项错误；
． 与 是内错角，说法正确，不符合题意， 选项错误；
． 与 不是对顶角，是邻补角，说法错误，符合题意， 选项正确．
故选： ．
易错题型二 平行线的判定和性质多结论题
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ，垂足为 ， 、 分别
是 和 的平分线，则下列五种说法：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中一定正确的个数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，平行线的判定及性质，熟练掌握各个性质是关键．
根据已知条件及角平分线性质、平行线的判定及性质逐项判断即可．
【详解】 ，
，故①正确；
平分 ， ，
．
又 ，
∴ ，
，故②正确；
，
，故④正确；
、 分别平分 、 ， ，
，
∴ ，即 ，故③正确；
无法证明 ，故 无法证明，故⑤错误
故正确的个数为4个．
故选C．
巩固训练
1．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图， ，F为 上一点， ，且 平分 ，
过点F作 于点G，且 ，则下列结论：① ；② ；③
平分 ；④ 平分 ．其中正确结论的个数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，
对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长 ，交 于I，构造出直角三角
形，利用直角三角形两锐角互余解答．
【详解】解： ，交 于I．
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴① 正确；②2 正确，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
可见， 的值未必为 ， 未必为 ，只要和为 即可，
∴③ 平分 ，④ 平分 不一定正确．
故选：B．
2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，在三角形 中，已知 ， ，
．对于下列五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 与 互
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学科网（北京）股份有限公司补．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】与余角、补角有关的计算、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互余的概念，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与
性质，并熟练运用．根据平行线的判定与性质即可进行逐一判断．
【详解】解：① ，
；
故①正确；
② ，
，
，
，
；
故②正确；
③ ，
；
故③正确；
④ ，
，
，
；
故④正确；
⑤ ．
，
与 互余．
故⑤错误．
其中正确的有①②③④4个．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图， ， 平分 ，下
列结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤若
，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，
内错角相等．
由 ，可得 ，根据 ，可得 ，再根据平行线的性质以
及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∴ ， ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，故②正确；
∵ 与 不一定相等，
∴ 不一定成立，故③错误：
∵ ， ， ， ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ °，即 ，故④正确；
∵
，
∴ 为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
易错题型三 旋转使两直线平行的多解题
例题：（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含 角
的三角尺 固定不动，将含 角的三角尺 绕顶点 顺时针转动(转动角度小于 )，当 与
三角尺 的其中一条边所在的直线互相平行时， 的度数是（ ）
A． 或 或 B． 或 或
C． 或 或 D． 或 或
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，分三种情况：当 时；当 时；
当 时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵ 是含有 角的三角板，
∴ ， ， ，
∵ 是含有 的三角板，
∴ ， ，
∵在旋转的过程中(转动角度小于 )， 与 的一边平行，
∴有以下三种情况：
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学科网（北京）股份有限公司如图，当 时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为 的平分线，即 ，
∴ ；
如图，当 时，
∵ ，
∴ ，
如图，当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
巩固训练
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，
， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）若将三角形 绕点 转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则 的度数为 ．
【答案】 或 / 或
【知识点】三角板中角度计算问题、垂线的定义理解、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质
求角度
【分析】（ ）设 交 于点 ，由 ，则 ，证明 ，然后根据平行线
的性质即可求解；
（ ）根据题意，分两种情况： 当三角形 在线段 左侧时， 当三角形 在线段 右侧
时进行分析即可；
本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（ ）如图，设 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（ ）根据题意，分两种情况： 当三角形 在线段 左侧时，如图①，过点 作 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当三角形 在线段 右侧时，如图②，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
综上所述， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图， ，点 ， 分别是 ， 上的一点，射线 绕点
顺时针旋转，速度为每秒 度，射线 绕点 顺时针旋转，速度为每秒 度，旋转至与 重合便立
即回转，当射线 旋转至与 重合时， 与 都停止转动．若射线 先转动 秒，射线 才开
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学科网（北京）股份有限公司始转动，则射线 转动 秒后， 与 平行．
【答案】30或110
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用．设射线 转动t秒，两射线互相平行，分
两种情况进行讨论：分两种情况讨论，当 和 时，根据平行线的性质得出方程，解
方程即可求解．
【详解】解：设 转动后与 交于点M， 转动后与 交于点N，
当 时，如图1，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
②当 时，如图2，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述，射线 转动30或110秒，两射线互相平行；
故答案为：30或110．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中
），固定三角尺 ，将三角尺 以每秒 的速度绕点B按逆时针方向旋
转 停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺 的一边与三角尺 的某一
边平行（不共线）．
【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5
【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，分5种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：①当 时，如图，
则： ，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，此时 ，
∴ ，
∴ ；
③当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
④当 时，则： ，
∴ ；
⑤当 时，则： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
综上： 0.5或1.5或3.5或4.5或5；
故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5．
易错题型四 角的边平行的多解问题
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角α比另一个角
的4倍少30度，则角α的度数为 ．
【答案】10度或138度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等
或互补，注意分类讨论思想的应用．
由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设另一个角的度数为 ，由其中一个角α比
另一个角的4倍少30度，分别从这两个角相等或互补去分析，即可列方程，解方程即可求得这两个角
的度数．
【详解】解：∵两个角的两边分别平行，如图1，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
如图2，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴这两个角相等或互补，设另一个角的度数为
∵其中一个角α比另一个角的4倍少30度，
∴
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学科网（北京）股份有限公司①若这两个角相等，则 ， 解得： ，
∴ ；
②若这两个角互补，则 ， 解得： ，
∴
综上，角α的度数为10度或138度．
故答案为：10度或138度．
巩固训练
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）画一画：在图①中，以P为顶点画 （ 为锐角），使
的两边分别与 的两边平行；再在图②中，以P为顶点画 （ 为钝角），使 的两边分
别与 的两边平行．
（2）量一量：量出 与 的度数，它们之间的数量关系是_______．
（3）猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这个两个角的数量关系是_______．
（4）做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为 ，求另一个角的大小．
【答案】（1）见解析 （2） 或 （3）相等或互补 （4） 或
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定．
（1）根据题意，画出符合条件的 即可；
（2）动手量一量即可得到结论；
（3）根据角的两边同方向平行和反方向平行两种情况，根据平行线的性质即可才想出数量关系；
（4）利用（3）的结论即可求出另一个角的度数．
【详解】解：（1）根据题意画图，如图所示．（答案不唯一）
（2）由测量得到结论： 或
（3）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这个两个角相等或互补
（4）应用（3）的结论得另一个角的大小为 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 平行线的判定和性质综合问题
例题：（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图， 于点D， 于点F，
， ．
(1)求 的度数．
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）首先得到 ，根据平行线的性质得到 ，再根据角的和差关系可求
的度数；
（2）等量代换得到 ，根据平行线的判定定理得到 ，证得 ，进而求解
即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
由（1）问知 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，在 中， ， 、 是 、 上的两点，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定
及性质．
（1）首先由 得 ，再根据 ，由此得 ，据此可得出结论；
（2）先由 ， 求得 的度数，再由 平分 ，得 ，最后再根
据 可得 的度数．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
．
（2）解： ， ，
，
平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
．
2．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，直线 ， 交于点 ，点 在 的左侧，且满足
， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ， 于点 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度
【分析】此题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关
键．
（1）根据平行线的性质与判定求解即可；
（2）根据垂直的定义及角的和差求出 ，结合（1）得出 ，再根据角平分
线定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
19 / 49
学科网（北京）股份有限公司∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
3．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在三角形 中，D、E、F分别是 、 、 上的点，
且 ．
(1)若 ，试判断 与 是否垂直，并说明理由；
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质：
（1）根据 ，可得 ，再由 ，即可求解；
（2）根据 ，可得 ，从而得到 ，再根据角平分线的定义，
可得 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)感知与探究：
如图1，已知 请求出 的度数；
(2)问题迁移：
如图2， 、 分别是 的角平分线， 的反向延长线与 相交于点F，猜想
与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)联想拓展：
在（2）的条件下，若 ，则 的度数是_____________．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键
（1）过点C作 ，根据平行线的性质易得 ，以此即
可求解．
（2）过点F作 ，过点C作 ，由平行线的性质得
，由角平分线的性质得 ， ，
于是 ，再由角平分线的性质得 ，以
此可得 ，结合①②即可得 ．
（3）利用（2）中的结论求解即可．
【详解】（1）如图，过点C作 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ．理由如下：
如图，过点F作 ，过点C作 ，
则 ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由①②可得 ，即 ．
（3）由（2）知， ，
∵ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
压轴题型二 根据平行线的判定与性质探究角的关系
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ．点 是射线 上一动点
（与点 不重合），CE，CF分别平分 和 交射线 于点E，F．
(1)求 的度数，若 ，请直接用含 的式子表示 ；
(2)随着点 的运动，设 ， ， 与 之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出
此数量关系；若改变，请说明理由；
(3)当 时，请直接写出 的度数．
【答案】(1) ，
(2)不改变，恒为 ，理由见解析
(3)
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角
相等是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得出 ，再根据 分别平分 和 ，即可得出
的度数；同理：当 ，用含 的式子表示 即可；
（2）根据平行线的性质得出 ，再根据 平分 ，即可
得到 进而得出 ，进而完成解答；
（3）根据 ，得出 ，进而得 ，根据
，进而求得 的度数．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别平分 和 ，
23 / 49
学科网（北京）股份有限公司∴
∴ ；
若 ，
∵ ， ．
∴ ，
∴ ，
∵ 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：不变．恒为 ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ， ，
当 时，则有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
巩固训练
1．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图， ，点E为两直线之间的一点．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，若 ， ，则 _______；
(2)如图2，试说明， ；
(3)如图3，若 的平分线与 的平分线相交于点F，判断 与 的数量关系，并说
明理由．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3) ，理由见解析．
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度、
根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角
之间的关系．
（1）过点E作直线 ，利用平行线的性质证明 ， ，即可得到
；
（2）过点E作 ，利用平行线的性质证明 ， ，即可证明
，即 ；
（3）由（1）可得 ，再证明 ，由（2）可知，
，即可证明 ．
【详解】（1）解：过点E作直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：如图所示，过点E作 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
， ，
，
即 ．
（3）解：① ，理由如下：
由（1）可得 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
由（2）可知， ，
．
2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图1，已知直线 与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，
平分 交直线 于点 ， ．
(1)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)点 是射线 上的一个动点（不与点 ， 重合）， 平分 交直线 于点 ，过点 作
交直线 于点 ．设 ， ．
①如图2，当点 在点 的左侧，且 时，求 的值；
②当点 在运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)① ；②当点 在点 的左侧时， ；当点 在点 的右侧时，
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
（1）由角平分线的定义结合题意得出 ，即可得出结论；
（2）①由角平分线的定义得出 ， ，由平行线的性质得出
，从而求出 ，再由平行线的性质即可得出答案；②分
两种情况：当点 在点 的左侧时；当点 在点 的右侧时；分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
②如图，当点 在点 的左侧时，
，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
27 / 49
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
如图，当点 在点 的右侧时，
，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
综上所述，当点 在点 的左侧时， ；当点 在点 的右侧时， ．
压轴题型三 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图1， 为直线 上一点，过点 在直线 的上方作射
线 ，使 ．将一块直角三角板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边
在直线 的下方，其中 ， ．
28 / 49
学科网（北京）股份有限公司(1)将图1中的三角板绕点 顺时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，求
的度数；
(2)将图1中的三角板绕点 按每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，
边 恰好与射线 平行；第______ 时，直线 恰好平分锐角 ；
(3)将图1中的三角板绕点 顺时针旋转至图3，使 在 的内部，请探究 与 之间
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)9或27，12或30；
(3) ，见解析．
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，
（1）根据邻补角的定义求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后根据
解答即可；
（2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解；
（3）用 和 表示出 ，然后列出方程整理即可得解；
读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
又 ，
，
；
（2）解： ，
， ，
当 在直线AB上时， ，此时旋转角为 或 ，
每秒顺时针旋转 ，
29 / 49
学科网（北京）股份有限公司时间为 或 ，
当直线 恰好平分锐角 时，旋转角为 或 ，
∵每秒顺时针旋转 ，
∴时间为 或 ，
故答案为：9或27； 或 ；
（3）解： ，理由如下：
∵ 在 的内部，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，图2，直线 ，将一副三角板中的两块直角三角尺
和三角尺 的一条直角边重合，另一条直角边（不重合）放在同一条直线上，如图1，
， ， ， ．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图1，点H在 内部， ．若 ，求n的值；
(3)如图2，固定三角尺 的位置不变，转动三角尺 的位置，始终保持两个三角尺的直角顶点
C，D重合，且点E在直线 的右侧，当三角尺 与三角尺 有一组边平行（不包括共线的情
况）时，直接写出 的度数的最大值与最小值的差．
【答案】(1)
(2)
(3) 的度数的最大值与最小值的差为 ．
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差等性质，解决问题的关键是分类讨论和数形结合思想的
30 / 49
学科网（北京）股份有限公司运用．
（1）根据平行线的性质及角的和差即可求出；
（2）过点H作 ．得 ， ， ，
， ， ，即可得解；
（3）当 时， 最大，此时 ，当 时， 最小，
此时 ，即可求出 的度数的最大值与最小值的差为 ．
【详解】（1）解： ，
．
，
；
（2）解：如图1，过点H作 ．
，
，
， ，
．
， ， ， ，
， ，
，
；
（3）解： 的度数的最大值与最小值的差为 ．
如图2，当 时， 最大，
，
31 / 49
学科网（北京）股份有限公司，
∴此时 ；
如图3，当 时， 最小，
，
，
∴此时 ，
的度数的最大值与最小值的差为 ．
2．（23-24七年级下·广西百色·期末）【问题背景】
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
【实践操作】
(1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在 上，且 ，求 的度数；
(2)如图2，小红将一个三角板 放在一组直线 与 之间，并使顶点A在直线 上，顶点C在
直线 上，现测得 ， ，请判断直线 ， 是否平行，并说明理由；
(3)现将三角板 按图3方式摆放，使顶点C在直线 上，顶点A在直线 上，若 ，请
求出 与 之间的关系式．
【答案】(1)
32 / 49
学科网（北京）股份有限公司(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质探究角的
关系
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点B作 ，根据平行线的性质及角的和差求出 ，即可判定 ，根
据平行公理推论即可推出 ；
（3）根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）解∶ ，
，
，
，
，
；
（2）解∶ ，理由如下：
如图2，过点B作 ，
则 ，
，
，
，
，
又 ，
33 / 49
学科网（北京）股份有限公司；
（3）解∶ ，理由如下：
，
，
， ，
，
．
3．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为
《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板 （ ，
），三角板 （ ， ）．
(1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点 落在 上，点 与点 重合，且 ，
________．
(2)如图2，小亮将一个三角板 放在一组直线 与 之间，并使顶点 在直线 上，顶点 在
直线 上，现测得 ， ，请判断直线 ， 是否平行，并说明理由；
(3)现将三角板 和三角板 按图3的方式摆放，使顶点 在直线 上，顶点 在直线 上，
，直角顶点 与 重合．
①若点 、 、 在同一直线上，则 与 之间的关系式为________；
34 / 49
学科网（北京）股份有限公司②若点 、 、 不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则 、 与 之间的关系式
为________．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)① ；②
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，构造平行线是解题的关键．
（1）由 ，得 ，由 即可求解；
（2） ；过A作 ，则得 ，从而得 ，则可判定
；
（3）①过A作 ，过D作 ，则 ， ；
则 ， ；再由平行的传递性质得 ，
有 ，从而得 与 之间的关系；
②过A作 ，过C作 ，则 ， ；
则 ， ；再由平行的传递性质得 ，
有 ， ，从而得 、 与 之间的关系；
【详解】（1）解： ，
，
；
故答案为： ；
（2）解： ；理由如下：
如图，过A作 ，
35 / 49
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
；
，
；
（3）解：①如图，过A作 ，过D作 ，
， ；
，
；
，
；
，
，
，
；
故答案为： ；
②如图，过A作 ，过C作 ，
， ；
， ；
，
36 / 49
学科网（北京）股份有限公司；
，
；
， ，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
压轴题型四 根据平行线的判定与性质接解决光线问题
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜 放置在水平桌面
上，激光笔 与水平天花板 的夹角 为 ，激光笔发出的入射光线 射到 上后，
反射光线 与 形成 ．由光的反射定律可知， 、 与 的垂线 所形成的夹角始终
相等，即 ．
(1) 的度数为_____．
(2)如图2，点 固定不动，调节支架平面镜 ，调节角为 ．
37 / 49
学科网（北京）股份有限公司①若 ，求 的度数；
②若反射光线 恰好与 平行，求 的度数．
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，余角的性质等；
（1）由垂直的定义得 ， ，由余角的性质即可求解；
（2）①过点 作 ，由平行线的性质得 ，由平行线的判定方法得
，由平行线的性质得 ，求出 后，即可求解；②由平行线的
性质得 ，由平行线的判定方法得 ，由平行线的性质，即可求解；
掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助平行线是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
，
故答案： ；
（2）解：①过点 作 ，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
38 / 49
学科网（北京）股份有限公司故答案： ；
②如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案： ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践
台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境
适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3
是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架 、 为固定支撑杆，支架 可绕点 旋转，从
而调节灯光照射方向．已知灯体顶角 ， 的平分线 始终与 垂直．
(1)求 的度数：
(2)如图2，当支架 旋转至水平位置时， 恰好与 平行，求支架 与水平方向夹角 的度数；
(3)若（2）中支架 与水平方向的夹角 的度数保持不变，将 绕点 旋转到如图3的位置，旋转
39 / 49
学科网（北京）股份有限公司后 ，求此时 与水平方向 的夹角 的度数．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、垂线的定义
理解
【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键．
（1）由角平分线定义求得 ，再根据垂直定义可得 ，即可由
求解；
（2）根据平行线的性质可求解；
（3）过点 、 作 ， ，根据平行线的性质可求解．
【详解】（1）解：∵ 平分 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由题可知 ，
∴
∴
由题可知 ，
．
（3）解：如图所示，分别过点 、 作 ，
， ， ，
，
，
40 / 49
学科网（北京）股份有限公司，
，
由（1）可知 ，
，
．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射
镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直， ， 代表两块平面
镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线． 是进入潜望镜的光线，它与
入射镜筒壁平行，与直管壁垂直， 是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于
反射角的原理，如： ， ．设 ， ．
(1)如图1，当 时，
①求证： ；
②若光线 与直管壁平行，则 的度数为________；
(2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁 处时，若在 处放置一块平面镜，使光线经
平面镜上的点C处反射到平面镜 上的点D处，并调整平面镜 的位置，使 ．则此时
与 满足怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2) ，理由见解析
41 / 49
学科网（北京）股份有限公司【知识点】根据平行线的性质求角的度数、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）①根据平行线的性质得出 ，进而得出 ，则
，即可求证 ；②根据光线 与直管壁平行， 是与入射镜筒壁平行，得出
，即可解答；
（2）根据题意推出 ，过点C作 ，则 ，推出
，易得 ，则 ，根据直角三
角形连锐角互补即可解答．
【详解】（1）①证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
②∵光线 与直管壁平行， 是与入射镜筒壁平行，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为∶ ．
（2）解：∵ 是与入射镜筒壁平行， ，
∴ ，
∴ ，
过点C作 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
42 / 49
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ．
压轴题型五 根据平行线的判定与性质探解决平移问题
例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1， ， ， ．
(1) __________度；
(2) 与 平行吗？ 与 平行吗？请直接写出判断的结果．
(3)将图1中的 平移到 ，交射线 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，如图2所示．若
，求 的度数．
【答案】(1)180
(2) ， 不一定平行于
(3)
【知识点】垂线的定义理解、利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解
答本题的关键．
43 / 49
学科网（北京）股份有限公司（1）由垂直的定义得 ，进而可求出 ；
（2）由 可证 ；无法判断 与 是否平行．
（3）由平移的性质得 ，然后证明 可得 ．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：180；
（2） ， 不一定平行于 ．
∵ ，
∴ ．
无法判断 与 是否平行．
（3） ，
．
又 平移，
．
，
，
．
，
．
巩固训练
1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形 的边 在数轴上，O为原点，长方形
的面积为30， 边长为5．
(1)数轴上点A表示的数为__________；
(2)将长方形 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为 ，移动后的长方形 与原长方
44 / 49
学科网（北京）股份有限公司形 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形 面积的一半时，数轴上点 表示的数为__________；
②设移动距离 ．
ⅰ）当 时， __________；
ⅱ）D为线段 的中点，点E在线段 上，且 ，当点D表示的数是点E表示的数的2
倍时，求x的值．
【答案】(1)6
(2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ）
【知识点】数轴上两点之间的距离、图形的平移、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起
来是解题的关键．
（1）由矩形的面积即可表示 点；
（2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求出 ，即可求解；
②ⅰ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求解即可；
ⅱ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，分别表示出D、E表示的数，然后列方程求解即可．
【详解】（1）解：长方形 的面积为30， 边长为5．
，
点表示6；
故答案为：6；
（2）解：当向左移动时，如图，
，
，
移动后的 表示3；
当向右移动时，如图，
45 / 49
学科网（北京）股份有限公司，
又
，
移动后 表示9，
故答案为：3或9；
②ⅰ）当向左移动时，如图，
，
，
当向右移动时，如图，
，
，
综上， ，
故答案为：20；
ⅱ）由题意知：
为线段 的中点，点E在线段 上，且 ，
， ，
当向左移动时，如图，
46 / 49
学科网（北京）股份有限公司，
表示的数为 ，E表示的数为 ，
根据题意，得 ，
解得 （不符合题意，舍去）；
当向右移动时，如图，
，
表示的数为 ，E表示的数为 ，
根据题意，得 ，
解得 ；
综上， ．
2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形 中， 于点 ．
(1)如图 ，延长 交 的延长线于点 ，延长 至点 ，连接 ，使得 ，求
47 / 49
学科网（北京）股份有限公司的度数；
(2)如图 ，连接 ， ，延长 至点 ，使得 平分 ．将三角形 沿射线 方向平
移，使点 的对应点 在 的延长线上，点 ，点 的对应点分别为点 ，点 ，作 于点
．
若 ，请在图中找出一条线段的长度与 相等，并说明理由；
当 ， ， 时，判断 和 的大小关系，
并说明理由．
【答案】(1)
(2) 见解析； ，理由见解析．
【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质证明
【分析】（ ）根据 ，得 ，又 故有 ，从而求解；
（ ） 由平移的性质可得 ，又 ，则有 ，最后由线段和差即可求解；
由 平分 ，则 ，设 ，从而有
， ，根据 ，则 ， 通过平移
的性质可得 ，由平行线的性质得 ， ，故有
， 得 ，即 ，则点 与点 重合，
又 ，根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短即可判断．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
∵三角形 沿 平移得三角形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
48 / 49
学科网（北京）股份有限公司，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵三角形 沿 平移得三角形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 与点 重合，
∵ ，
根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，垂直的定义，平行线的性质，垂线段最短，
熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
49 / 49
学科网（北京）股份有限公司
