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第九章 平面直角坐标系
01 思维导图
02 知识速记
知识点一、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：
特别说明：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第
四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这
样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
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学科网（北京）股份有限公司③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x，0)、B(x，0)的距离为AB=|x - x|；
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y轴上两点C(0，y)、D(0，y)的距离为CD=|y - y|．
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③ 平行于x轴的直线上两点A(x，y)、B(x，y)的距离为AB=|x - x|；
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平行于y轴的直线上两点C(x，y)、D(x，y)的距离为CD=|y - y|．
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（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.
知识点二、坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
特别说明：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
（1）点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到
对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或
(x，y-b))．
特别说明：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
（2）图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原
图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形
就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
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学科网（北京）股份有限公司特别说明：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过
来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不
变；上加下减，横不变”．
03 题型归纳
题型一 定位法的应用
例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．电影城 号厅 排 B．贵州省遵义市
C．北纬 ，东经 D．南偏西
巩固训练
1.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规
定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为 ，按照此方法在表示目标A，B，D，E
的位置时，其中表示不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2.（23-24七年级下·吉林·期末）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如果用有序数对 表示跳跳床的位置，填写下列游乐设施的位置：跷跷板______，摩天轮____，碰碰
车_____；
(2)秋千的位置是 ，请在图中标出来；
(3)旋转木马在大门以东 ，再往北 处，请在图中标出来．
题型二 点所在的象限
例题：（24-25八年级上·全国·期末）点 在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
巩固训练
1.（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点 所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2.（23-24七年级下·陕西延安·期末）若点 在第四象限，则a的取值范围是 ．
3.（23-24七年级下·吉林白城·期末）点 在第二、四象限的角平分线上，则
．
4.（23-24八年级下·河北承德·期末）在平面直角坐标系中，若点 在第一象限，则m的取值范围
是 ；若点P在y轴上，则m值为 ．
题型三 点到坐标轴的距离
例题：（23-24八年级上·浙江温州·期末）若 ，则点P到y轴的距离为 ．
巩固训练
1.（23-24七年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点 到x轴的距离是 ．
2.（23-24七年级下·全国·期末）已知点 的横坐标x．纵坐标y满足等式： ，则点
P到y轴的距离是 ．
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学科网（北京）股份有限公司3.（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）已知平面直角坐标系第四象限内的点 到两坐标轴的
距离相等，则点P的坐标为 ．
4.（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知平面直角坐标系中，点 在第二象限，且它到x轴的
距离是它到y轴距离的2倍，则a的值为 ．
题型四 点在平面直角坐标系中的特征
例题：（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点 ．
(1)若点M在y轴上，求m的值；
(2)若点M到x轴的距离为8，求点M的坐标．
巩固训练
1．（24-25八年级上·全国·期末）已知点 ，解答下列各题．
(1)点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)点Q的坐标为 ，直线 轴，求点P的坐标．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ．
(1)若M在x轴上，求M点的坐标；
(2)若点N到y轴的距离等于5，求N的坐标；
(3)若 轴，且 ，则n的值为 ．
3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ．根据下列条件回答
问题：
(1)当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标；
(2)当点M在第四象限的角平分线上，求a的值；
(3)若经过点M， 的直线与x轴平行，且 ，求点M，N的坐标．
题型五 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图
例题：（23-24七年级下·四川广安·期末）如图是广安市部分市、区（县）所在地的示意图，图中每个小正
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学科网（北京）股份有限公司方形的边长代表1个单位长度．若岳池县的坐标为 ，华蓥市的坐标为 ．
(1)请建立平面直角坐标系，并写出广安区和邻水县的坐标；
(2)顺次连接武胜县、岳池县、广安区所对应的点，将所得的三角形先向下平移5个单位长度，再向右平移
3个单位长度，画出平移后的三角形．
巩固训练
1.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图是一所学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度
的正方形，每个主要位置恰好落在整格点．若实验楼的坐标为 ，图书馆的坐标为 ．
(1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出校门的坐标：
(2)若食堂的坐标为 ，请在坐标系中标出食堂的位置．
2.（23-24七年级下·浙江台州·期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示
的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）．
小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．”
小军说：“玖珑花海的坐标是 ．”
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学科网（北京）股份有限公司(1)小华是用________和________描述玖珑花海的位置；
(2)小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系；
(3)在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地________，音乐喷泉广场________．
3.（23-24七年级下·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之
一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分
景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广
场”和“考拉园”的坐标分别是 和 ．
(1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系．
(2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______．
(3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向
上走______个单位长度，再向______走______个单位长度．
题型六 点在平面直角坐标系中的平移
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学科网（北京）股份有限公司例题：（23-24七年级下·天津河东·期末）点 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点
的坐标为 ．
【变式训练】
1.（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点 的坐标分别为 ，若将线段 平移至 ，
则 的值为 ．
2.（23-24七年级下·全国·期末）已知线段AB两个端点的坐标分别为 ， ，将线段AB的一个
端点平移到坐标原点处，则另一个端点的坐标是 ．
3.（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，已知线段 的两个端点分别是 ，
将线段 平移后得到线段 ，其中，点A的对应点为点C，若 ，则 的值为 ．
4．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图， 的顶点坐标分别为 ，B(−2,1)， ，将
平移后，点 的对应点 的坐标是 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
题型七 平面直角坐标系中的平移作图
例题：（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上且坐标可表示为
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学科网（北京）股份有限公司，点B的坐标为 ．
(1) ．
(2)将点A向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点 ，求点 的坐标．
(3)请在图中画出 ，并求出 的面积．
【变式训练】
1.（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，已知 ， ， 把 向上平移4个单位
长度，再向右平移2个单位得到 ，解答下列各题：
(1)在图上画出 ；
(2)写出点 ， 的坐标；
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学科网（北京）股份有限公司(3)求出 的面积．
2.（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分别是
，三角形 中任意一点P(x ,y )，经平移后对应点为 ，将三角
0 0
形 作同样的平移得到三角形 ，点A，B，C的对应点分别为 ．
(1)点 的坐标为 ；点 的坐标为 ．
(2)①画出三角形 ；
②求出三角形 的面积．
题型八 在平面直角坐标系中求图形的面积
例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组
成，点 的坐标分别为 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)请写出点 的坐标；
(2)求图中阴影部分的面积．
【变式训练】
1.（22-23七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为
，过点 作直线 轴，垂足为C，交线段 于点D，过点A作 ，垂足为E，连接
．
(1)求 的面积；
(2)点P为直线 上一动点，当 时，求点P的坐标．
2.（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，平面直角坐标系 中，点 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)点C到y轴的距离为______；
(2)求 的面积；
(3)若点P的坐标为 ，
①直接写出线段 的长为______；（用含m的式子表示）
②当 时，求点P的坐标．
题型九 平面直角坐标系中的平移及几何变换问题
例题：（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标 ，点B的坐标是
(0,4)，将线段 向右平移得到线段 ，点D的坐标为 ，过点D作 轴，垂足为E，动点P以
每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段 上运动时，是否存在点P使得三角形 的面积是四边形 面积的 ，若存在，
求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
1．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为
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学科网（北京）股份有限公司．
(1)如图1所示，平移线段 到线段 ，使点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，若点 的坐标为
，则点 的坐标为______；
(2)平移线段 到线段 ，使点 在 轴的正半轴上，点 在第二象限内，连接 ，如图2所示，
若 的面积为 ，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，在 轴上是否存在一点 ，使 与 的面积之比为 ？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 ，将线段
平移至 ，点 在 轴的正半轴上移动（不与点 重合），连接 ，且
．
(1)直接写出点 的坐标；
(2)点 在运动过程中，是否存在点 ，满足 ，如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，
请说明理由；
(3)点 在运动过程中，请直接写出 三者之间存在的数量关系．
3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ．
将线段 向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段 ，连接 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
(2)M，N分别是线段 ， 上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从
点D出发向点C运动，速度为每秒 个单位长度，若两点同时出发，求几秒后 轴？
(3)若 ，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问 与 存在怎样的数量关系？请
直接写出结论．
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