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第九章 平面直角坐标系
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 已知点所在的象限求参数....................................................................................................................1
易错题型二 已知点到坐标轴的距离求点坐标的多解题........................................................................................2
易错题型三 平面直角坐标系中点的特征................................................................................................................5
【压轴题型】...............................................................................................................................................................10
压轴题型一 平面直角坐标系中的新定义型问题..................................................................................................10
压轴题型二 平面直角坐标系中的动点面积问题..................................................................................................13
压轴题型三 平面直角坐标系中点的规律探究问题..............................................................................................20
压轴题型四 平面直角坐标系中与平移的综合问题..............................................................................................22
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 已知点所在的象限求参数
例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知点 在坐标轴上，则 的值为 ．
【答案】 /
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了在坐标轴上点的特点，熟知在坐标轴上的点横纵坐标中至少有一个为0是解题的
关键．根据在坐标轴上的点横纵坐标中至少有一个为0进行求解即可．
【详解】解：点 在坐标轴上，
则 ，
∴ ，
故答案为： ．
巩固训练
1
学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，点 在y轴上，则m的值为
．
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了 轴上点坐标的特征熟练掌握 轴上点坐标的横坐标为是解题的关键．
由点 在 轴上，可得 , 计算求解，进而可得点 的坐标
【详解】 点 在 轴上，
解得 ．
2．（24-25八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点 在x轴上，则m的值为
．
【答案】1
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0列
方程求解即可．
【详解】解：∵点 在x轴上，
∴ ，
解得 ．
故答案为：1．
3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）若点 在第二、四象限的角平分线上，则m的值为 ．
【答案】1
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于 的
方程，解出 的值．本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的夹角角平分线
上的点的横纵坐标互为相反数．
【详解】解： 点 在第二、四象限的角平分线上，
，
2
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
故答案为：1．
易错题型二 已知点到坐标轴的距离求点坐标的多解题
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知点 与点 在同一条平行于y轴的直线上，且点N
到x轴的距离等于4，则点N的坐标是 ．
【答案】 或
【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形
【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于轴的直线上的点的横坐标相同的性质，难点在于
要分情况讨论．
根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，再分情况讨论求出点 的横坐标，然后求解即可．
【详解】解：∵点 与点 在同一条平行于y轴的直线上，
，
∵点 到x轴的距离为4，
或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果点 到横坐标和纵坐标的距离相等，则
【答案】 或
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查点到坐标轴的距离．熟练掌握点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值是解题的关键．
根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可．
【详解】解：∵点 到横坐标和纵坐标的距离相等，
∴
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
3
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点 在 轴的上方，且到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，
则点 的坐标是 ．
【答案】 或 / 或
【知识点】判断点所在的象限、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是先判断出点 在第一或第二象限，再根据点到 轴的距离等于
纵坐标的绝对值，到 轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：∵点 在 轴的上方，
∴点 在第一或第二象限，即点 的纵坐标为正数，
∵点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，
∴点 的横坐标为 或 ，纵坐标为 ，
∴点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）若点 的坐标满足等式 ，则称该点A为“和谐
点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则该点的坐标为
【答案】 或
【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】根据到 轴的距离为3，求出 的值，然后分别代入等式，计算求解，进而可表示出该点的坐标．
本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键．
【详解】解： 到 轴的距离为3，
或 ，
当 时， ，
解得 ，
该点的坐标为
当 时， ，
解得 ，
4
学科网（北京）股份有限公司该点的坐标为
故答案为： 或
4．（23-24七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点B到y轴的距离为3，若
线段 与x轴平行，则线段 的长为 ．
【答案】8或
【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．
先根据线段 与x轴平行得出点B的纵坐标为2，再由点B到y轴的距离为3可得出其横坐标，进而得出
结论．
【详解】解： 线段 与x轴平行，且点 ，
点B的纵坐标为2，
点B到y轴的距离为3，
点B的横坐标为3或 ，
或 ，
或 ．
故答案为：8或
易错题型三 平面直角坐标系中点的特征
例题：（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ．
(1)当 时， ；
(2)若点P在第一象限，且 ，求出点 的坐标．
【答案】(1)5
(2)
【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标
5
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系中的点到x轴的距离是纵坐标的绝
对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键；
（1）由 可求P点坐标，从而可得 ， ，代入计算即可求解；
（2）由平面直角坐标系的性质可得， ，根据点P在第一象限，进而计算求解即可；
【详解】（1）当 时， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：5．
（2）∵点 到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，
， ，
∵ ，
∴ ．
∵点P在第一象限，
∴
当 时， ，解得 ，
∴ ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ．
(1)若点 在 轴上，求 的值及点 的坐标；
(2)若点 到 轴的距离是 ，直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) 或
6
学科网（北京）股份有限公司【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题主要考查了平面坐标系内的点，掌握平面坐标系内点的特点是解题的关键．
（1）根据点 在 轴上，可得 ，求出 值，即可求解；
（2）根据点 到 轴的距离是 ，可得 ，求出 值，即可求解．
【详解】（1）解： 点 在 轴上，
，
解得： ，
，
点 的坐标是 ；
（2） 点 到 轴的距离是 ，
，即 或 ，
解得： 或 ，
或 ，
点 的坐标是 或 ．
2．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知点 ，
(1)若点 在第一象限的角平分线上时，求 的值；
(2)若点 到 轴的距离是 到 轴的距离的3倍，求 点坐标；
(3)若线段 轴，求点 ， 的坐标及线段 的长．
【答案】(1)
(2) 或
(3) ， ；4
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键在于理解点到坐标轴的距离与点坐标之间的关系．
（1）根据第一象限的角平分线上点的横纵坐标相等得出关于a的方程，解之可得；
7
学科网（北京）股份有限公司（2）根据点 到 轴的距离是 到 轴的距离的3倍得出关于a的方程，解之可得a再写出坐标即可；
（3）由 轴知横坐标相等求出a的值，再得出点 的坐标，从而求得 的长度．
【详解】（1）已知点 ，
∵点A在第一象限的角平分线上，
∴ ，
解得： ．
（2）∵点 到 轴的距离是 到 轴的距离的3倍，
且 到 轴的距离为1，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴ 点坐标为 或 ．
（3）∵线段 轴，
∴ ，
解得 ，
∴点 ， ，
∴线段 的长为 ．
3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点 ，
(1)当点 在 轴上时，求 的值．
(2)当点 在第二象限时，求 的取值范围．
(3)当点 在第二、四象限的角平分线上时，求 的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)2
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、求点到坐标轴的距离、已
知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了坐标轴上及各象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离等知识点，熟练掌握平面
直角坐标系的特征是解题的关键．
8
学科网（北京）股份有限公司（1）根据在x轴上的点的纵坐标是0，可得 ，解方程即可求出 的值；
（2）根据第二象限的点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）根据第二、四象限的角平分线上的点的横坐标、纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】（1）解：∵点 在 轴上，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵点 在第二象限，
∴ ，
解得： ；
（3）解：∵点 在第二、四象限的角平分线上，
∴ ，
解得： ．
4．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ．
(1)试根据下列条件分别求出点 的坐标：
①点 在 轴上；
②点 到 轴的距离为3．
(2)点 的横坐标不大于纵坐标，求出满足条件的正整数 ．
【答案】(1)① ；② 或
(2)1，2，3，4
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查点的坐标、解一元一次方程、坐标与图形，熟练掌握相关点的坐标特征是解题的关键，
（1）①根据x轴上点的纵坐标为 列方程求出的值，再求解即可；
②根据到y轴的距离等于 ，列方程求出的值，再求解即可；
（2）根据横坐标比纵坐标大，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：① 点 在 轴上， ，
9
学科网（北京）股份有限公司，
解得： ．
，
点 的坐标为： ．
② 点 到 轴的距离为3， ，
，
解得： 或 ．
当 时， ， ，
当 时， ，
点 的坐标为： 或(−3,2)．
（2）由题意可得：
解得， ．
取正整数
可取1，2，3，4．
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 平面直角坐标系中的新定义型问题
例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）点 是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为
（其中k为常数且 ），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点 的“2拓
点”Q为 ，即点Q为 ．
(1)求点 的“3拓点”Q的坐标；
10
学科网（北京）股份有限公司(2)若点 的“4拓点”Q的坐标是 ，求 的值．
【答案】(1)点Q的坐标为
(2)
【知识点】新定义下的实数运算、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题主要考查点的坐标，根据题目中的新定义正确列出式子是解题的关键．
（1）根据题目中的新定义，求出横坐标和纵坐标即可；
（2）根据新定义列出式子，求出 的值，即可求出．
【详解】（1）解：由定义可知：
∴点Q的坐标为
（2）
解得
∴
巩固训练
1．（22-23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我
解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系 中，点
中x，y的值若满足 ，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题：
(1)判断点 是否为“直线点”，并说明理由；
(2)若点 是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？
【答案】(1)是，理由见解析
(2)点M在第一象限
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、新定义下的实数运算
【分析】（1）由 ，可得 ， ，解得， ， ，由 ，满足
11
学科网（北京）股份有限公司，进而可知点 是“直线点”；
（2）由 是“直线点”，可知 ， ，解得， ， ，由
，可得 ，解得， ，即 ，然后判断点M所在的象限即可．
【详解】（1）解：点 是“直线点”，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
解得， ， ，
∵ ，
∴点 是“直线点”；
（2）解：∵ 是“直线点”，
∴ ， ，
解得， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，即点M在第一象限．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，点坐标，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意．
2．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较
大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．
(1)点 的“长距”为______；
(2)若点 是“角平分线点”，求a的值；
(3)若点 的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为 ，请判断点D是否为“角
平分线点”，并说明理由．
12
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)5
(2) 或
(3)点 是“角平分线点”，理由见解析
【知识点】求点到坐标轴的距离、绝对值方程
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“角平分线点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出 的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得点 到 轴的距离为5，到 轴的距离为3，
∴点 的“长距”为5．
故答案为：5；
（2）解：∵点 是“角平分线点”，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ；
（3）解：∵点 的长距为4，且点 在第二象限内，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∴点 到 轴、 轴的距离都是5，
∴点 是“角平分线点”．
3．（23-24七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 到 轴、 轴的距离的较
大值称为点 的“长距”，点 到 轴、 轴的距离相等时，称点 为“龙沙点”．
(1)点 的“长距”为________；
(2)若点 （ ， ）是“龙沙点”，求a的值；
(3)若点 的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点 是“龙沙点”．
13
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)5
(2) 或
(3)见解析
【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义．
（1）根据“长距“的定义解答即可；
（2）根据“龙沙点”的定义解答即可；
（3）由“长距“的定义求出 的值，然后根据“龙沙点”的定义求解即可．
【详解】（1）根据题意，得点 到 轴的距离为5，到 轴的距离为1，
点 的“长距“为5．
故答案为：5；
（2）点 是“龙沙点”，
，
或 ，
解得 或 ；
（3）点 的长距为4，且点C在第二象限内，
，
解得 ，
，
点 的坐标为 ，
点 到 轴、 轴的距离都是5，
是“龙沙点”．
压轴题型二 平面直角坐标系中的动点面积问题
例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与两坐标轴分别交于
两点，若点 ， ，满足 ．
14
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的值；
(2)若点 的坐标为 ，连接 ， ．则 的面积为 ；
(3)点 在直线 上，且 ．数学活动小组的同学发现：当点 在线段 上时，可连接 ，
的面积是 面积的 ，根据两者间的面积关系，即可求出点 坐标．请你根据活动小组的思路，
直接写出满足条件点 的坐标．
【答案】(1)
(2)9
(3) 或
【知识点】坐标与图形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意
熟练应用上述知识．
（1）依据题意，由 ，可得 ，进而计算可以得解；
（2）作 轴于点 ，由 三点的坐标可知 ，再根据
代入计算即可；
（3）依据题意，可分为当点 在线段 上时、点 在 的延长线上和点 在 的反向延长线上三种
情况，分别进行讨论即可得解．
【详解】（1）解： ，
，
15
学科网（北京）股份有限公司解得 ．
（2）如图，作 轴于点 ，
由（1）可得， ， ，
，
，
．
（3）由题意，①如图，当点 在线段 上时，
，
，
，
边 上的高是 边 上的高的3倍，
，
的纵坐标为2，
16
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
边 上的高是 边 上的高的 ，
，
的横坐标为2，
；
②如图，当点 在 的延长线上时，
，
是线段 的中点，
设 ，
， ，
， ，
， ，
；
③当点 在 的反向延长线上时，
不成立，不合题意；
17
学科网（北京）股份有限公司综上所述， 或 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与两坐标轴分别交于A，
B两点，若线段 与 的长满足等式 ．
(1)求线段 ， 的长；
(2)若点C的坐标为 ，连接 ，则 的面积为______；
(3)若点D在线段 上，且 ，点Q在x轴上且 ，请直接写出点D的坐标______，点Q
的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接 ， 的面积是 面积的 ， 的面
积是 面积的 ，利用其面积即可求出点D坐标．
【答案】(1)
(2)9
(3) ； 或
【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题
【分析】（1）根据非负数的性质得 ，据此可得出 ， 的长；
（2）过点C作 轴于E，则 ，进而得 ，然后根据
可得出答案；
18
学科网（北京）股份有限公司（3）连接 ，过点D作 于M， 于N，根据点D在线段AB上，且 ，可得
，从而可求出 ，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且
，可分为两种情况讨论，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：过点C作 轴于E，如图1所示：
∵点C的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：9．
（3）解：连接 ，过点D作 于M， 于N，如图2所示：
19
学科网（北京）股份有限公司∵点D在线段 上，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由（2）可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ；
∵点Q在x轴上且 ，
∴有以下两种情况：
设 ，
①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作 轴于P，如图3所示：
20
学科网（北京）股份有限公司∵点D的坐标为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
∴点Q的坐标为 ；
①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作 轴于P，如图4所示：
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ，
综上所述：点Q的坐标为 或 ．
21
学科网（北京）股份有限公司压轴题型三 平面直角坐标系中点的规律探究问题
例题：（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点 出发，沿着
循环爬行，其中点 坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A．(0,3) B．(1,0) C． D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解
题的关键．先求出 的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置.
【详解】解： 点 坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
，
则 ，余数为8，
故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了 点，
故选：C．
巩固训练
1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点 ，点 ，点 ，点 ，…，按照这样的
规律下去，点 的坐标是 ．
22
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解
题的关键．根据题意得： ， ， ， ，……，由此发现：脚标为偶数的点的
坐标的规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ， ， ， ，……，
由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为 ，
∵ ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向
下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标： （______，______）， （______，______）；
(2)写出点 的坐标（n是正整数）： （______，______）；
(3)求出 的坐标．
23
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)2，0，4，0
(2) ，0
(3)
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力．
（1）由图即可求解；
（2）根据点的坐标规律可知 ，即可求解；
（3）根据 即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可直接写出 ， ，
故答案为2，0，4，0．
（2）解：根据点的坐标规律可知， ，
故答案为 ，0．
（3）解：∵ ，
∴ ．
压轴题型四 平面直角坐标系中与平移的综合问题
例题：（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面直角坐标系中， ， ， ，
， ．
(1)求 的面积；
24
学科网（北京）股份有限公司(2)如图 ，点 以每秒 个单位的速度向下运动至 ，与此同时，点 从原点出发，以每秒 个单位的速
度沿 轴向右运动至 ， 秒后， 、 、 在同一直线上，求 的值；
(3)如图 ，点 在线段 上，将点 向右平移 个单位长度至 点，若 的面积等于 ，求点 坐
标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】坐标与图形、平移综合题(几何变换)、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题
【分析】（1）由非负数的性质求出 ，求出 ，由 三点的坐标可求出答案；
（2）根据三角形的面积关系 可得出答案；
（3）连接 ，设 ，由三角形面积关系得出 ，由平移的性质得出 ，根据三
角形的面积关系可求出答案．
【详解】（1） ， ， ，
， ，
， ，
，
， ， ，
， ，
；
（2）由题意知： ， ，
，
，
25
学科网（北京）股份有限公司．
（3）连接 ， ，
设 ，
，
，
，
点 向右平移 个单位长度得到 点，
，
，
，
，
，
【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平移的性质，三角形的面积等
知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
巩固训练
1．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司且a，b满足 ，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分
别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
(1)点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CA上移动时（不
与A，C重合），请找出 ， ， 的数量关系，并证明你的结论．
(2)连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使 的面积与 的面积相等？若存在，直接写出点M
的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1) ，证明见详解
(2)存在，M点坐标为 ， ， ，
【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、平移综合题(几何变换)、由平移方式确定点的坐标
【分析】（1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a、b的值，过点P作 ，由平移的性质可得
，利用平行线的性质即可求解；
（2）先求出 的面积，再根据Q在x轴上与y轴上分别求解．
【详解】（1）解： ，证明如下：
证明：∵
∴ ， ，解得 ， ，
∴ ， ，
∵将点A、B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到对应点C、D，
27
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
过点P作 ，由平移的性质可得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ．
（2）解：存在，M点坐标为 ， ， ， ．理由如下：
的面积为 ，
①M在x轴上，根据 的高与 相等的高，
∴ ，
∴点M坐标为 ， ，
②M在y轴上， 的高为 ， 的面积为5，
即
∴
又∵ ，
∴点M坐标为 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司故存在符合条件的M点坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查直角坐标系中点的平移及图形面积的计算和坐标轴上点的特征，根据题目已知平移
方式得到点的坐标与面积的计算是解答本题的关键．
2．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）在平面直角坐标系中， 为原点，点 ．
(1)如图①，则三角形 的面积为______；
(2)如图②，将线段AB向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到平移后的线段 连接 ，
．
①求三角形 的面积；
② 是一动点，若 ，请直接写出点 坐标．
【答案】(1)3
(2)① ；②
【知识点】平移综合题(几何变换)
【分析】（1）判断出 ， 的长，利用三角形面积公式求解．
（2）①利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．②利用三角形面积公式，
构建方程求解即可．
【详解】（1）∵A(0，-3)，B(-2，0)，
∴OA=3，OB=2，
∴ ，
故答案为： ．
（2）如图： ，
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学科网（北京）股份有限公司由题意， ，
，
∴P（-1，10）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形
面积，学会利用参数构建方程解决问题．
3．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 满足 ．
(1)直接写出点A的坐标；
(2)如图1，将线段 沿y轴向下平移a个单位后得到线段 (点O与点B对应)，过点C作 轴于点
D．若 ，求a的值；
(3)如图2，点 在y轴上，连接 ，将线段 沿y轴向上平移3个单位后得到线段 (点O与点F
对应)， 交 于点P．y轴上是否存在点Q，使 ？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)存在，点Q坐标为 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】由平移方式确定点的坐标、平移综合题(几何变换)、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性
解题
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式和绝对值的非负性，平移变换，四边形的面积等知识，
掌握面积切割法，分类讨论，利用参数构建方程是解决的关键．
（1）根据二次根式和绝对值的非负性即可求得 的值；
（2）根据平移的性质，得到 ， ， ，结合 ，用坐标表示距离，分情况
讨论即可求解；
（3）连接 ，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可．
【详解】（1） 点 满足 ，
， ，
， ，
．
（2）将线段 向下平移a个单位后得到线段 ， ，
点O与点B对应，点 与点 对应， 轴于点D，
， ， ，
， ，
，
①当点D位于x轴上方时，即 ，
，
，解得 ；
②当点D位于x轴下方时，即
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学科网（北京）股份有限公司，
，解得 ；
综上所述 或 ；
（3）连接 ，过点P作x轴的平行线，交 于M，交y轴于N，
依题意得， ，
将线段 沿y轴向上平移3个单位后得到线段 ,
四边形 为平行四边形，
，
又 ，
， ，
，
，解得 ，
设 ，则 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，即 ，
解得 或 ，
综上所述，点Q坐标为 或 ．
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