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第二十一章 四边形（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（ ）
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解答】解：A、平行四边形对角相等，选项A说法正确，不符合题意；
B、平行四边形对边平行，选项B说法正确，不符合题意；
C、平行四边形对角线互相平分，选项C说法正确，不符合题意；
D、平行四边形对角线不互相垂直，选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
2．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．180° B．150° C．120° D．90°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°×3﹣（540°﹣∠B﹣∠C）＝180°．
故选：A．
3．如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线m∥n．对于下列各值，不会随点P的
移动而变化的是（ ）A．∠APB的大小 B．线段PA的长度
C．△APB的周长 D．△APB的面积
【答案】D
【解答】解：点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线m∥n．
由题意可得：点P与直线n的距离保持不变，
∵A，B是直线n上的两个定点，
∴点P到AB的距离不变，
∴△APB的面积不变，故D正确；
不会随点P的移动而变化的是D．
故选：D．
4．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，若再从下列条件：①∠A+∠C＝180°；②AB＝CD；③∠A+∠B
＝180°；④∠A+∠D＝180°中任意选取一个来判定四边形ABCD是平行四边形，则能断定四边形ABCD
是平行四边形的选法共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】A
【解答】解：①∠A+∠C＝180°，对角互补不能判定AB∥BC，故错误；
②AB＝CD，一组对边平行另一组对边相等不能判定平行四边形；
③∠A+∠B＝180°也不能判定AB∥BC，故错误；
④∠A+∠D＝180°能得到AB∥BC，故正确．
故选：A．
5．如图，小明从点O出发，前进15m后向右转 ，再前进15m后又向右转 …，这样一直走下去，他第一
次回到出发点O时一共走了270m，则 的度数θ是（ ） θ
θ
A．10° B．20° C．24° D．30°【答案】B
【解答】解：依题意可知，小明所走路径为正多边形，
270
设这个正多边形的边数为n，则n= =18，
15
360°
∴θ= =20°，
18
故选：B．
6．如图，在△ABC中，点D为AC的中点，AE∥BD，BE∥AC，则下列说法错误的是（ ）
A．当AB＝CB时，四边形AEBD是矩形
B．当AC＝2BC时，四边形AEBD是矩形
C．当∠ABC＝90°时，四边形AEBD是菱形
D．当∠E＝2∠C时，四边形AEBD是菱形
【答案】B
【解答】解：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBD是平行四边形，
A、当AB＝CB时，点D为AC的中点，可得BD⊥AD，可得平行四边形AEBD是矩形，说法正确，故不
符合题意；
B、当AC＝2BC时，不能得出四边形AEBD是矩形，说法错误，故符合题意；
C、当∠ABC＝90°时，点D为AC的中点，可得BD＝AD，可得平行四边形AEBD是菱形，说法正确，
故不符合题意；
D、当∠E＝2∠C时，可得∠ADB＝2∠C，可得BD＝DC＝AD，可得平行四边形AEBD是菱形，说法正
确，故不符合题意；
故选：B．
1
7．菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于 BC长为半径作弧，
2
两弧分别交于点E，F，作直线EF交BC于点M，连接OM，则OM的长为（ ）A．2 B．1 C．2❑√3 D．❑√3
【答案】B
【解答】解：根据作图过程可知直线EF是BC的垂直平分线，
∴点M是BC的中点．
∵四边形ABCD是菱形，且BC＝2，
∴AC⊥BD，
∴∠BDC＝90°，
1
∴OM= BC=1．
2
故选：B．
8．与三角形类似，多条线段首尾依次相连就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任
意一个多边形都能分割成三角形，其中的一种方法是连接多边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有
线段就可以将多边形分割成三角形．如连接四边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把四边
形分成2个三角形；连接五边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把五边形分成 3个三角形；
连接六边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把六边形分成4个三角形…按照这种分割方法，
连接n边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把n边形分成的三角形个数是（ ）
1 1
A．n﹣1 B．n﹣2 C． n(n−1) D． n(n−2)
2 2
【答案】B
【解答】解：n边形有n个顶点，从一个顶点可以画（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线将n边形
分成（n﹣2）个三角形，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长
是（ ）A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】B
【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，BC＝20，
1
∴FM= BC=10，
2
1
同理可得：ME= BC=10，
2
∵EF＝8，
∴△EFM的周长＝FM+ME+EF＝10+10+8＝28．
故选：B．
10．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC
＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
8 16
A．4 B． C． D．6
3 3
【答案】B
【解答】解：如图所示：
∵两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，
∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°，AD＝BC＝6，
∴四边形AHCG是平行四边形，∠BAH＝∠FAG，
在△AFG和△ABH中，
{
∠F=∠B
)
AF=AB ，
∠FAG=∠BAH∴△AFG≌△ABH（ASA），
∴AG＝AH，
∴平行四边形AHCG是菱形，
∴AH＝CH，
设AH＝CH＝x，则BH＝6﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，
10
解得：x= ，
3
10 8
∴BH＝6− = ，
3 3
1 1 8 8
∴图中阴影部分的面积= BH×AB= × ×2= ，
2 2 3 3
故选：B．
3
11．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE= ，AB＝4，则AC的值为（ ）
2
13
A．6 B． C．7 D．8
2
【答案】C
【解答】解：如图，延长BD，交AC于F，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△ABD和△AFD中，
{∠BAD=∠FAD
)
AD=AD ，
∠ADB=∠ADF
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD＝DF，AF＝AB＝4，
∵BE＝CE，
∴CF＝2DE＝3，
∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，
故答案为：C．
12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，AB＝
1
8，BE= BC，则EF的长为（ ）
4
16 24 32 34
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【解答】解：过点A作AH⊥AF，交CB的延长线于点H，如图所示：
∴∠HAF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且AB＝8，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠BAD＝∠ABE＝∠D＝∠C＝90°，
1
∴BE= BC＝2，∠ABH＝∠D＝90°，
4∴CE＝BC﹣BE＝8﹣2＝6，
设DF＝a，则CE＝CD﹣DF＝8﹣a，
∵∠HAF＝∠BAD＝90°，
∴∠HAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，
∴∠HAB＝∠FAD，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠HAB＝45°，
∴∠EAH＝∠BAE+∠HAB＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△HAB和△FAD中，
{∠ABH=∠D=90°
)
AB=AD ，
∠HAB=∠FAD
∴△HAB≌△FAD（SAS），
∴HA＝FA，BH＝DF＝a，
∴EH＝BE+BH＝2+a，
在△EAH和△EAF中，
{
HA=FA
)
∠EAH=∠EAF ，
AE=AE
∴△EAH≌△EAF（SAS），
∴EH＝EF＝2﹣a，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2＝CF2+CE2，
∴（2+a）2＝62+（8﹣a）2，
24
解得：a= ，
5
24 34
∴EF＝2+a=2+ = ．
5 5
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若平行四边形的周长为28，相邻两边的差为4，则较短边的长为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：设较长边为a，较短边为b，由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半，
即a+b＝14，
又相邻两边差为4，即a﹣b＝4，
{a+b=14)
得方程组 ，
a−b=4
{a=9)
解得 ，
b=5
故若平行四边形的周长为28，相邻两边的差为4，则较短边长为5，
故答案为：5．
14．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是 矩形 ．
【答案】矩形．
【解答】解：如图，∵E、F是分别是AB、BC的中点，
∴EF是三角形ABC的中位线，
∴EF∥AC，
同理：GH∥AC，FG∥BD，EH∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
即顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是矩形，
故答案为：矩形．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为AD边的中点，连接OE，若AB＝6，AC＝
10，则△OED的周长为 1 2 ．【答案】12．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AC＝BD＝10，AB＝DC＝6，∠ADC＝90°，O为AC、BD的中点，点
E为AD边的中点，
1
∴AD=❑√AC2−CD2=8，OD= BD=5，OE为△ADC的中位线，
2
1 1
∴DE= AD=4，OE= CD=3，
2 2
∴3+4+5＝12，则△OED的周长为12．
故答案为：12．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD=2❑√5，OE
4❑√5
＝2，则AE的长是 ．
3
4❑√5
【答案】 ．
3
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，
∴OA＝OC，∠AEC＝90°，AC⊥BD，
1
∴AC＝2OE＝4，OC= AC=2，
2
∵BD=2❑√5，
1
∴OB= BD=❑√5，
2
∴Rt△BOC中，BC=❑√OB2+OC2=❑√ (❑√5) 2+22=3，
1
∴菱形ABCD的面积 BD⋅AC=BC⋅AE，
21
即 ×4×2❑√5=3AE，
2
4❑√5
∴AE= ，
3
4❑√5
故答案为： ．
3
17．如图，三个边长为6cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重
叠部分（阴影）的面积为 1 8 cm 2 ．
【答案】18cm2．
【解答】解：连接OC，OD，如图所示：
∵图中三个正方形的边长都是6cm，点O是正方形ABCD的中心，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6cm，OC＝OD，∠OCF＝∠ODE＝45°，∠DOC＝∠EOF＝90°，S△OAB ＝S△OCD
1
=
4
S正方形ABCD ，
∵S正方形ABCD ＝AB2＝36（cm2），
1
∴S△OAB ＝S△OCD =
4
×36＝9（cm2），
∵∠DOC＝∠EOF＝90°
∴∠DOC﹣∠DOF＝∠EOF﹣∠DOF，
∴∠COF＝∠DOF，
在△COF和△DOF中，{∠OCF=∠ODE
)
OC=OD ，
∠COF=∠DOF
∴△COF≌△DOF（ASA），
∴S△COF ＝S△DOF ，
∴S四边形OEDF ＝S△DOF +S△ODF ＝S△COF +S△ODF ＝S△OCD ，
∴S阴影 ＝S△OAB +S四边形OEDF ＝S△OAB +S△OCD ＝18cm2，
故答案为：18cm2．
18．定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩
形ABCD中，AD＝8，AB＝9，点M为AD的中点，点N在AB上，且AN＝5，点P，Q分别为BC，CD
上一个动点，连接MN，NP，PQ，MQ，MP，若四边形MNPQ为筝形，则MP的长为 ❑√82 或 9 ．
【答案】❑√82或9．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AD＝8，AB＝9，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝9，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，
∵点M是AD的中点，
∴AM＝DM＝1/2AD＝4，
∵AN＝5，
∴BN＝AB﹣AN＝9﹣5＝4，
∴AM＝BN＝4，
当四边形MNPQ为筝形时，有以下两种情况：
①当MN＝PN，MQ＝PQ时，连接NQ，如图2所示：
∵∠A＝∠B＝90°，∴△AMN和△BNP都是直角三角形，
在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN=❑√AM2+AN2=❑√42+52=❑√41，
在Rt△AMN和Rt△BNP中，
{MN=PN)
，
AM=BN
∴Rt△AMN≌Rt△BNP（HL），
∴∠1＝∠2，MN＝NP，
在Rt△AMN中，∠1+∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠MNP＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴△MNP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：MP=❑√M N2+N P2=❑√2MN=❑√2×❑√41=❑√82；
②当MN＝MQ，PN＝PQ时，连接NQ交MP于点O，如图2所示：
∴MP是线段NQ的垂直平分线，
∴ON＝OQ，∠MOQ＝∠MON＝∠POQ＝∠PON＝90°，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AMN和△DMQ都是直角三角形，
在Rt△AMN和Rt△DMQ中，
{MN=MQ)
，
AM=DM
∴Rt△AMN≌Rt△DMQ（HL），
∴AN＝DQ＝4，
∵AB∥CD，
∴四边形ADQN是平行四边形，
又∵∠D＝90°，
∴平行四边形ADQN是矩形，∴∠ANQ＝∠DQN＝90°，
∴∠BNQ＝∠CQN＝90°，
∵∠D＝∠DQN＝∠MOQ＝90°，
∴四边形MOQD是矩形，
∴OQ＝MD＝4，
∵∠C＝∠CQN＝∠POQ＝90°，
∴四边形POQC是矩形，
∴PC＝OQ＝DM＝4，
∵AD∥BC，
∴四边形DMPC是平行四边形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形DMPC是矩形，
∴MP＝CD＝9，
综上所述：
当四边形MNPQ为筝形，则MP的长为❑√82或9．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：2．
（1）求这个n边形一个内角的度数．
（2）求这个n边形的内角和．
【答案】（1）该n边形的一个内角的度数为140°；
（2）1260°．
7
【解答】解：（1）由条件可得180°× =140°，
7+2
∴该n边形的一个内角的度数为140°；
（2）∵一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：2，
2
∴180°× =40°，360°÷40°＝9，
7+2
∴（9﹣2）×180°＝1260°，
则这个n边形的内角和为1260°．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E是BC延长线的一点，连接AE交CD于点F，若∠B＝∠D，
∠1+∠2＝180°．
（1）证明：AB∥CD．（2）若∠E＝30°，∠BAD＝120°，求∠2的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠AFC，∠1+∠2＝180°，
∴∠1+∠AFC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：由平行线性质可知∠DCE＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥BE，
由条件可知∠DAE＝∠E＝30°．
∵∠BAD＝120°，
∴∠2＝∠BAD﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°．
21．（8分）在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）如图1，点P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝ 12 8 度；
（2）如图2，直线EF分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BMF＝∠CNF．
【答案】（1）128；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵点E，F分别是边AD，BC的中点，点P为对角线BD的中点，
∴PE为△ABD的中位线，PF为△BCD的中位线，
1 1
∴PE= AB，PF= CD，
2 2
∵AB＝CD，∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝26°，
∴∠EPF＝180°﹣∠PFE﹣∠PEF＝180°﹣26°﹣26°＝128°，
故答案为：128；
（2）证明：连接BD，取BD的中点P，连接PE、PF，
同（1）得：PE为△ABD的中位线，PF为△BCD的中位线，
1 1
∴PE∥AB，PF∥CD，PE= AB，PF= CD，
2 2
∴∠PEF＝∠BMF，∠PFE＝∠CNF，
∵AB＝CD，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠BMF＝∠CNF．
1
22．如图，四边形ABCD是矩形，点E是DC的中点，延长DC至点G，使得CG= CD，连接AE，AE的
2
延长线与BC的延长线交于点F，连接BG，FG．
（1）求证：四边形BEFG是菱形；
（2）若BE平分∠AEG，AB＝4，求菱形BEFG的面积．
【答案】（1）见解析过程；
（2）8❑√3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠ADE＝∠FCE＝90°，
∵点E是DC的中点，
1
∴DE＝EC= CD，
2
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴CF＝AD，
∴BC＝CF，
1
∵CG= CD，
2
∴EC＝CG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
又∵BF⊥EG，
∴四边形BEFG是菱形；
（2）解：∵BE平分∠AEG，
∴∠AEB＝∠GEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEG，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝4，
1
∵DE＝EC= CD＝2，
2
∴AD=❑√AE❑ 2−DE❑ 2=❑√16−4=2❑√3，
∴BC＝2❑√3，
∴BF＝4❑√3，
∵EG＝2EC＝4，
BF⋅EG 4×4❑√3
∴菱形BEFG的面积= = =8❑√3．
2 2
23．（10分）课本再现
我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．1
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD= AB．
2
定理证明
（1）请完成这个定理的证明．
拓展应用
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF
的长．
【答案】（1）见解析；
（2）5．
【解答】解：（1）如图1，延长CD到E使得DE＝CD，连接BE，AE，
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE为平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE为矩形，
∴AB＝CE＝2CD，
1
∴CD= AB；
2
（2）连接BE、DE，∵点E是AC的中点，AC＝26，
1
∴BE=DE= AC=13，
2
1
由题意可得：EF⊥BD，BF= BD=12，
2
∴EF=❑√BE2−BF2=❑√132−122=5．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点
E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝6，∠BAC＝30°，求DE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2❑√21．
【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
{∠ADO=∠CBO
)
∠DAO=∠BCO ，
OA=OC
∴△OAD≌△OCB（AAS），
∴AD＝BC，∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝12，
∴OA＝6，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AE＝2OE
∵AO2+OE2＝AE2
❑√3
∴OE= OA=2❑√3，
3
∴AE=2OE=4❑√3，
∴DE=❑√AD2+AE2=❑√62+(4❑√3) 2=2❑√21．
25．（10分）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
的度数
α 180
（2）观察上面表格中 的变化规律，角 与边数n的关系为 ＝（ ） ° ．
n
α α α
（3）根据规律，当 ＝18°时，多边形边数n＝ 1 0 ．
【答案】（1）60°，α45°，36°，30°；
180
（2） ＝（ ）°；
n
α（3）10．
【解答】解：（1）将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
的度数 60° 45° 36° 30°
故答α案为：60°，45°，36°，30°；
180
（2）根据（1）中计算、观察，可得 的变化规律，角 与边数n的关系为： ＝（ ）°，
n
α α α
180
故答案为： ＝（ ）°；
n
α
180
（3）把 ＝18°代入 ＝（ ）°，
n
α α
解得：n＝10，
故答案为：10．
26．（10分）如图1，在正方形ABCD中，AB=2❑√3，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F
是AE的中点．
（1）求AE的长；
（2）如图2，过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长；
（3）如图3，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求OE的长．
【答案】（1）4；
4❑√3
（2） ；
3
（3）4❑√2．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AB=2❑√3，
∴AB＝BC＝CD＝AD=2❑√3，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE是直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE，
由勾股定理得：AB=❑√AE2−BE2=❑√(2BE) 2−BE2=❑√3BE，
❑√3 ❑√3
∴BE= AB= ×2❑√3=2，
3 3
∴AE＝2BE＝4；
（2）过点G作GP⊥CD于点P，连接EG，如图2所示：
∵∠GPC＝∠GPH＝90°，
∴△GPH是直角三角形，∠GPC＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形GBCP是矩形，
∴GP＝BC=2❑√3，∠PGB＝∠PGA＝90°，
∴GP＝AB=2❑√3，
设AG＝a，则BG＝AB﹣AG=2❑√3−a，
在Rt△ABE和Rt△GPH中，
{GP=AB)
，
GH=AE
∴Rt△ABE≌Rt△GPH（HL），
∴∠PGH＝∠BAE，
∵∠PGH+∠AGF＝∠PGA＝90°，
∴∠BAE+∠AGF＝90°，
在△AGF中，∠AFG＝180°﹣（∠BAE+∠AGF）＝90°，
∴GH⊥AE，
又∵点F是AE的中点，
∴GH是线段AE的垂直平分线，
∴EG＝AG＝a，由（1）可知：BE＝2，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG2＝BG2+BE2，
∴a2=(2❑√3−a) 2+22，
4❑√3
解得：a= ，
3
4❑√3
∴AG＝a= ；
3
（3）连接OA，过点O作OQ⊥BC于点Q，OT⊥AB于点T，如图3所示：
∴∠OQB＝∠OTB＝∠ABC＝90°，
∴四边形OQBT是矩形，△OEQ和△OAT都是直角三角形，
在正方形ABCD中，∠ABD＝90°，
∴△BOT是等腰直角三角形，
∴OT＝BT，
∴矩形OQBT是正方形，
∴∠QOT＝90°，OQ＝OT，
∵点F是AE的中点，MN⊥AE，
∴MN是线段AE的垂直平分线，
∴OE＝OA，
在Rt△OEQ和Rt△OAT中，
{OE=OA)
，
OQ=OT
∴Rt△OEQ≌Rt△OAT（HL），
∴∠QOE＝∠TOA，
∵∠QOE+∠TOE＝∠QOT＝90°，
∴∠TOA+∠TOE＝90°，即∠AOE＝90°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AE=❑√OE2+OA2=❑√2OE，
❑√2
∴OE= AE，
2
由（1）可知：AE＝4，
❑√2 ❑√2
∴OE= AE= ×4=2❑√2．
2 2
