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重难点 6-3 立体几何外接球与内切球问题
有关多面体外接球和内切球的问题，是立体几何的一个重点和难点，也是高考的热门考点，要求学生具有
较强的空间想象能力和准确的计算能力。新高考考查一般出现在选择题与填空题，难度中上。
【题型1 正方体与长方体的外接球】
满分技巧
1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则
a
2、正方体的外接球：正方体的棱长为 ，外接球半径为R，则
长方体的外接球 正方体的外接球
【例1】（2022·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表
面积与球表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．【变式1-1】（2024·四川·高三校联考期末）在长方体 中， ，侧面 的面积为
6， 与底面 所成角的正切值为 ，则该长方体外接球的表面积为 ．
【变式1-2】（2024·四川成都·高三石室中学校考期末）已知长方体 在球 的内部，球心
在平面 上， 若球的半径为 ， ，则该长方体体积的最大值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．18
【变式1-3】（2023·甘肃·统考一模）在长方体 中，底面 为正方形， ，其外
接球的体积为 ，则此长方体的表面积为（ ）
A．34 B．64 C． D．
【题型2 正棱锥的外接球】
满分技巧
正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。
（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径 .
a
（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为 ，外接球半径
【例2】（2023·河南新乡·统考一模）已知正三棱锥 的侧棱 ， ， 两两垂直，且
，以 为球心的球与底面 相切，则该球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·浙江绍兴·高三统考期末）小张同学将一块棱长为 的正方体形状橡皮泥重新捏成一
个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·全国·模拟预测）已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱 与底面 所
成的角为 ，顶点S，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的表面积为 .【变式2-3】（2023·重庆·高三西南大学附中校考期中）正四棱锥 的高为3，体积为32，则其外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 能补形为长方体的外接球】
满分技巧
1、墙角模型
(2R) 2 =a2 +b2 +c2 2R= √a2 +b2 +c2
R
找三条两两垂直的线段，直接用公式 ，即 ，求出
P P P P
O2
c c c c
A b C
a C C b a B b C
B A a B b A a B A
图1 图2 图3 图4
【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角
线。
【例3】（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）在三棱锥 中，三条侧棱PA，PB，PC两两
垂直，且 ，若三棱锥 的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（
）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥 中， 平面 ，若 ，
， ， ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）在三棱锥 中， ，
，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）在平行四边形 中，已知 ，将沿 翻折得四面体 ．作一平面分别与 交于点 ．若四边形 是边长
为 的正方形，则四面体 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 直棱柱汉堡模型的外接球】
满分技巧
直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点
1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理
例如：直三棱柱内接与一球（棱柱的上下底面为直角三角形）
此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边的一般，
勾股定理： ，则
注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球。
【例4】（2023·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在直三棱柱 中， ，
， ， ，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学开学考试）已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱
的高为2，这个球的体积为 ，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C．6 D．4
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱 中，底面的边长为 ，
与底面所成角的大小为 ，且 ，则该正四棱柱的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）某灯笼厂的员工用一条长度为 的木条设计了一个正
六棱柱型的灯笼框架（木条无剩余），则当正六棱柱的外接球的表面积取最小值时，该正六棱柱的侧面积
为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 棱锥垂面模型的外接球】
满分技巧
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必过
球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直径算
法：利用正弦定理，得 )， ；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：** 错误的表达式 **
；
** 错误的表达式 ** ．
【例5】（2024·浙江温州·温州中学校考一模）三棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形，
且 ， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·河南南阳·高三统考期末）在三棱锥 中， ， ， ，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知 都在球 的球面上，且 平面
．则该球的体积为 ．
【变式5-3】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知三棱锥 中， ，
．若 的中点分别为 ， 且满足 ．当三棱锥 的体积最大时，其外接
球体积是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 棱锥切瓜模型的外接球】
满分技巧
对于平面 ⊥平面 ， （ 为小圆直径）、
第一步：由图知球心 必为 的外心，即 在大圆面上，先求小圆面直径 的长；
第二步：在 中，可根据正弦定理 ，解出
【例6】（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知三棱锥 ， 是以 为斜边的直角三角
形， 为边长是2的等边三角形，且平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（
）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·全国·模拟预测）已知四棱锥 中，底面 为边长为3的正方形，侧面
底面 ，且 为等边三角形，则该四棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 与 都是边长为4的正三角形，
且平面 平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【变式6-3】（2024·云南楚雄·彝族自治州民族中学模拟预测）在三棱锥 中，平面 平面
，底面 是边长为3的正三角形， ，若该三棱锥的各个顶点均在球 上，且该三棱锥的
体积为 ，则球 的半径为 .
【题型7 共斜边拼接模型的外接球】
满分技巧
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点 为公共斜边 的中点，根
据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知， ，即点 到 ， ， ， 四
点的距离相等，故点 就是四面体 外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．
【例7】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）如图，在四面体 中， ， ，
则四面体 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ，则三棱锥 的外接球的半径为
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个
直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿
对角线AC把 折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（ ）
A． B． C． D．不确定的实数
【题型8 二面角模型的外接球】
满分技巧
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
第一步：先画出如图所示的图形，将ΔBCD画在小圆上，找出ΔBCD和ΔA'BD的外心 H 1和 H 2；
第二步：过 H 1和 H 2分别作平面BCD和平面A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接 OE,OC
；
第三步：解
ΔOEH
1，算出
OH
1，在
RtΔOCH
1中，勾股定理：
OH
1
2 +CH
1
2 =OC2
O,H ,E,H
注：易知 1 2四点共面且四点共圆，证略.
【例8】（2024·广东湛江·高三统考期末）已知 是边长为8的正三角形， 是 的中点，沿 将
折起使得二面角 为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·山东德州·高三统考期末）在三棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三
角形， 是边长为2的正三角形，二面角 的大小为 ，则三棱锥 外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）在三棱锥 中， ，， ，二面角 的大小为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（
）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2022·河南·高三校联考期末）在边长为1的菱形 中 ，将 沿 折起，
使二面角 的平面角等于 ，连接 ，得到三棱锥 ，则此三棱锥 外接球的
表面积为 .
【题型9 棱锥的内切球问题】
满分技巧
三棱锥
P−ABC
是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
V =V +V +V +V
第二步：设内切球的半径为r，建立等式： P−ABC O−ABC O−PAB O−PAC O−PBC⇒
1 1 1 1 1
V = S ⋅r+ S ⋅r+ S ⋅r+ S ⋅r= (S +S +S +S )⋅r
P−ABC 3 ΔABC 3 PAB 3 PAC 3 PBC 3 ΔABC ΔPAB PAC ΔPBC
3V
第三步：解出
r=
P−ABC
S +S +S +S
O−ABC O−PAB O−PAC O−PBC
【例9】（2022·福建·高三校联考阶段练习）已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的正切值为 ，
，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．【变式9-1】（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知正四棱锥 内切球的半径为 ，且
，则正四棱锥 的体积是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知正四棱锥的体积为 ，则该正四棱锥内切球表面积的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）在三棱锥 中， 两两互
相垂直， ，当三棱锥 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为
.
【题型10 圆柱与圆锥的切接问题】
满分技巧
1、圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，内切圆的半径即
1
为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为ℎ，则S ∆PAB = 2 ×2r×ℎ =rℎ，C ∆PAB =2r+2√ ℎ 2+r2 ，
所以R=
2S
∆PAB=
rℎ
C
∆PAB
r+√
ℎ
2+r2
2、圆柱的内切球：不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高ℎ与圆柱的底面半径r满足ℎ =2r，即
圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径r.
3、求圆柱与圆锥的外接球的方法主要通过轴截面来解决。
【例10】（2022·北京昌平·高三昌平一中校考阶段练习）古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑
上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积
的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·山西运城·统考一模）已知圆锥的高为 ，其顶点和底面圆周都在直径为 的球面上，
则圆锥的体积为 .
【变式10-2】（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知底面半径为2的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥内切球的体积
为 ．
【题型11 圆台与棱台的切接问题】
满分技巧
球内接圆台，棱台： ，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主
【例11】（2024·广东深圳·统考一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为 ，且 ，若半径为2
的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2024·河北·高三校联考期末）（多选）已知圆台上､下底面半径分别为1，2，且上下底面圆
周均在半径为 的球 的球面上，则该圆台的体积可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（2023·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，
设四棱台的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为S，则（ ）
A． B． C． D．【变式11-3】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）在正三棱台 中， 、
，直线 与底面 所成的角为 ，则该三棱台的体积为 ，该三棱台的外接球的表面
积为 .
【题型12 球与球的相切问题】
【例12】（2022·全国·高三专题练习）已知有大、小两个球外切．若大球与某正四面体的所有棱都相切，
小球与该正四面体的三条侧棱都相切，记大球与小球的半径分别为 ，则 ．
【变式12-1】（2023·全国·模拟预测）空间中有四个球（记作球 ，球 ，球 ，球 ），它们的半径分
别是 ， ， ， （ 且 ），每个球都与其余三个球外切，另有一个半径为 的小球
（记作球 与这四个球都外切，若四面体 的体积为 ，则四面体 的外接球的表面积为
．
【变式12-2】（2023·山东济南·高三省实验中学校考阶段练习）棱长为2的正四面体内切一球，然后在正
四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，
遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等
国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球
与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长
为 ，则模型中九个球的表面积和为（ ）A． B． C． D．
（建议用时：60分钟）
1．（2024·重庆长寿·高三统考期末）将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球，则这个球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）在直三棱柱 中， ，侧面 的面积为 ，则直三
棱柱 外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的
四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 为鳖臑， 平面
， ， ，三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（
）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）已知正四面体的内切球半径为1，则外接球半径为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2023·全国·高三校联考阶段练习）若正四棱锥 体积为 ，内接于球O，且底面 过
球心O，则该四棱锥内切球的半径为（ ）
A． B．4 C． D．
6．（2024·重庆·高三统考期末）将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图）， ，将其沿BD折起，
使得而ABD⊥面BCD．若三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·福建福州·高三长乐第一中学校考阶段练习）在三棱锥 中，侧棱 ，
则其外接球的表面积是（ ）A． B． C． D．
8．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）某厨房用品“升”可看作是一棱台其上
底面 、下底面 均为正方形，且 ，外接球的表面积为 ，则该“升”的体积
为（ ）
A．448 B． 或448 C． 或224 D． 或448
9．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上
底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为 .在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方
体，则此正方体棱长的最大值是（ ）
A． B．8 C． D．10
10．（2023·陕西西安·统考一模）将平面内等边 与等腰直角 （其中 为斜边），沿公共边
折叠成直二面角，若 ，且点 在同一球 的球面上，则球 的表面积为 .
11．（2024·全国·模拟预测）在正三棱台 中， ， ，侧棱 与底面ABC所成
角的正切值为 ．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
12．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）在三棱锥 中， 是等边三角形，
，平面 平面 ，若该三棱锥的外接球表面积为 ，则 .
13．（2024·广东深圳·高三统考期末）已知菱形 的边长为2，且 ，将 沿直线
翻折为 ，记 的中点为 ，当 的面积最大时，三棱锥 的外接球表面积为
.
14．（2024·广东广州·华南师大附中校考二模）在三棱锥 中，侧面 底面 是等腰
直角三角形，且斜边 ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
15．（2023·江苏·高三白蒲高级中学校联考阶段练习）如图，若圆台的上、下底面半径分别为 且
，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 .
