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第二十章 勾股定理（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．以下列长度的三条线段围成的三角形是直角三角形的是（ ）
1 1 1
A．32、42、52 B． ， ， C．9，12，15 D．❑√3，❑√4，❑√5
3 4 5
【答案】C
【解答】解：A、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴长度为32、42、52的三条线段不能围成直角三角形，不符合题意；
1 1 1
B、∵（ ）2+（ ）2≠（ ）2，
4 5 3
1 1 1
∴长度为 、 、 的三条线段不能围成直角三角形，不符合题意；
3 4 5
C、∵92+122＝152，
∴长度为9、12、15的三条线段能围成直角三角形，符合题意；
D、∵（❑√3）2+（❑√4）2≠（❑√5）2，
∴长度为❑√3、❑√4、❑√5的三条线段不能围成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则AC2的值为（ ）
A．4 B．16 C．32 D．40
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝36﹣4＝32，
故选：C．
3．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，b=❑√2，c=❑√3
【答案】B
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，则∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝12k＝180°，
解得k＝15°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
C、∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵12+ (❑√2) 2= 1+ 2=3，(❑√3) 2=3，
∴12+ (❑√2) 2=(❑√3) 2 ，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
故选：B．
4．如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半
径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ）
A．❑√5 B．−❑√5 C．2−❑√5 D．❑√5−2
【答案】A
【解答】解：由数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，以点O为圆心，OB长为半径
画弧，
得OA＝OB=❑√12+22=❑√5，
则点A表示的数是❑√5．
故选：A．
5．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于
点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（ ）A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD
【答案】C
【解答】解：如图，连接CF，
∵AC＝AD，AC⊥AD，
∴∠ACD＝45°＝∠ADC，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD，
∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠CBD＝45°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°，
∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2．
故选：C．
6．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行 16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时
航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点Q，R处，此时两船的距离是（ ）A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里
【答案】D
【解答】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠RPQ＝∠1+∠2＝90°，
∵“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口1.5小时，
∴PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），
在直角三角形PRQ中，由勾股定理得：QR=❑√PR2+PQ2=❑√242+182=30（海里），
∴此时两船的距离是30海里，
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S ，S ，S ，若
1 2 3
S +S ﹣S ＝24，则图中阴影部分的面积为（ ）
3 2 1
A．6 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S +S ＝S ，
1 2 3
∵S +S ﹣S ＝24，
3 2 1
∴S ＝12，
2
1
由图形可知，阴影部分的面积= S ＝6，
2 2
故选：A．
8．如图，将一根24cm长的筷子，置于一个底面直径为 15cm，高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯
子外面的长度为hcm，则h的值最小为（ ）cm．A．7 B．8 C．16 D．17
【答案】A
【解答】解：如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，
∴AB 17（cm），
=❑√AD2+BD2=❑√152+82=
∴此时h最小 ＝24﹣17＝7（cm），
即h的值最小为7cm，
故选：A．
9．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1
所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所
得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，
CD＝2，则长方形的面积为（ ）
A．52 B．104 C．48 D．96
【答案】C
【解答】解：设BD＝BE＝x，
∵AC＝6，CD＝2，
∴AF＝AC﹣CD＝6﹣2＝4，BC＝x+2，
则AE＝AF＝4，
∴AB＝x+4，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（x+4）2＝62+（x+2）2，
解得：x＝6，
∴BC＝6+2＝8，
∴长方形的面积为：6×8＝48，
故选：C．
10．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝6，AB：BC＝5：3，
点E是BD的中点，则AE的长为（ ）
3 5
A． B． C．2 D．3
2 2
【答案】B
【解答】解：延长AE交BC的延长线于点F，
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥BF，
∴∠DAE＝∠F，
∵点E是BD的中点，
∴DE＝BE，
在△DAE和△BFE中，{
∠DAE=∠F
)
∠DEA=∠BEF ，
DE=BE
∴△DAE≌△BFE（AAS），
∴BF＝AD＝6，AE＝FE，
∵AD＝2BC＝6，
∴BC＝3，
∵AB：BC＝5：3，
∴AB＝5，
∵∠ACB＝90°，
∴ ，∠ACF＝90°，
AC=❑√AB2−BC2=❑√52−32=4
在Rt△ACF中，由勾股定理得 ，
AF=❑√AC2+CF2=❑√42+32=5
5
∴AE＝FE= ，
2
故选：B．
11．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D C 的中点M处，它到BB 的中点N的最短路
1 1 1
线是（ ）
A．8 B．2❑√5 C．2❑√10 D．4❑√2
【答案】D
【解答】解：①沿CC 展开，如图所示，
1
MN 2 （cm）．
=❑√B N2+B M2=❑√22+62= ❑√10
1 1②沿B C 展开，MN 4 （cm），
1 1 =❑√M H2+N H2=❑√42+42= ❑√2
4❑√2＜2❑√10，
∴最短路线长是4❑√2cm，
故选：D．
12．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等
的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边
形 ABCD 与四边形 EFGH 均为正方形，H 是 DE 的中点．若 AD 的长为 5，则阴影部分的面积为
（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，
∴E，F，G分别为AF，BG，CH的中点，
AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF，
1
∴S =S =S =S = S ，ED＝2AE，
△AEH △DHG △CGF △BFE 2 正 方 形EFGH
∴S阴影 ＝3×S正方形EFGH ，
依题意，∠AED＝90°，
∴AD2＝DE2+AE2＝4AE2+AE2＝5AE2，
∵AD的长为5，
∴25＝5AE2，
∴AE=❑√5（负值已舍去），
即EH=AE=❑√5，∴ S =(❑√5) 2=5 ，
正 方 形EFGH
∴S阴影 ＝3×5＝15，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，已知∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝10，则a＝
6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵a：b＝3：4，
∴设a＝3k，b＝4k，
∵在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∵c＝10，
∴（3k）2+（4k）2＝102，
解得k＝2（负值舍去），
∴a＝3k＝6，
故答案为：6．
14．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的最高处飞到另一棵
树的最高处，则小鸟至少飞行 5 米．
【答案】5．
【解答】解：由题意可知：AC＝4米，BC＝6﹣3＝3（米），
由勾股定理得：AB 5（米），
=❑√AC2+BC2=❑√42+32=
则小鸟至少飞行5米，
故答案为：5．
15．如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的面积为 2 4 m2．
【答案】24
【解答】解：连接AC，
∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，
∴AC 5（m），
=❑√32+42=
1
△ACD的面积= ×3×4＝6（m2），
2
在△ABC中，
∵AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
1
∴直角△ABC的面积= ×12×5＝30（m2），
2
∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24（m2）．
故答案为：24．
16．如图1，跷跷板是常见的一种游戏．跷跷板一端着地时如图2，支柱OM⊥地面MN，OA＝OB，PC为
握把，且PC⊥AB于C，AC＝40cm，OM＝70cm．跷跷板可以绕点O转动，如图3是跷跷板水平时即
EF∥MN，此时点A、C、D、B对应点分别为点E、G、H、F，恰有AE＝AG．则跷跷板AB的长为
265 cm．【答案】265．
【解答】解：由题意得，EG＝AC＝40cm，OE＝OA，
过A作AP⊥EG于P，
∵AE＝AG，
1
∴PE＝PG= EG＝20（cm），
2
∵EF∥MN，
∴AP＝OM＝70cm，
在Rt△APO中，AP2+PO2＝AO2，
∴702+（AO﹣20）2＝AO2，
265
∴AO= （cm），
2
∴AB＝2OA＝265（cm），
故答案为：265．
17．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝ 8 4 ，c＝ 8 5 ．
【答案】84；85
32−1 32+1
【解答】解：在32＝4+5中，4= ，5= ；
2 2
52−1 52+1
在52＝12+13中，12= ，13= ；
2 2
…132−1 132+1
则在13、b、c中，b= =84，c= =85．
2 2
18．如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发
25
沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为 2 或
8
．
25
【答案】2或 ．
8
【解答】解：过点A作AH⊥BM，
由条件可知AH＝3cm，
∵AB＝5cm，
根据勾股定理，得 ，
BH=❑√AB2−AH2=4cm
当∠APB＝90°时，如图所示：
此时点P与点H重合，则BP＝BH＝4cm，
根据题意得2t＝4，
解得t＝2；
当∠BAP＝90°时，如图所示：
∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm，
∴HP＝（2t﹣4）cm，
根据感觉到了可得：
AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝AH2+HP2＝9+（2t﹣4）2，
∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2，25
解得t= ；
8
25
综上所述，t的值为2或 ，
8
25
故答案为：2或 ．
8
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若a＝b＝4，求c；
（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．
【答案】（1）4❑√2；
（2）b=5❑√3，c＝10．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝b＝4，
∴ ；
c=❑√a2+b2=❑√42+42=4❑√2
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°．a＝5，∠A＝30°，
1
∴a= c，
2
∴c＝2a＝10，
∴ ．
b=❑√c2−a2=❑√102−52=5❑√3
2 √x √1
29．（8分）已知一个三角形ABC的三边长分别为：AB= ❑√9x，BC=6❑ ，AC=2x❑ ．
3 4 x
（1）判断三角形ABC的形状，并求它的周长（要求结果化简）；
（2）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）等腰三角形，周长为7❑√x；
3❑√7x
（2） ．
4
【解答】解：（1）三角形ABC是等腰三角形；理由如下：2 √x √1
∵AB= ❑√9x=2❑√x，BC=6❑ =3❑√x，AC=2x❑ =2❑√x，
3 4 x
∴AB＝AC，
∴三角形ABC是等腰三角形，
三角形ABC的周长=AB+BC+AC=2❑√x+3❑√x+2❑√x=7❑√x；
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，BC=3❑√x，
3
∴BD=CD= ❑√x，
2
在直角三角形ABD中，由勾股定理得： √ 1 √ 3❑√x ❑√7x，
AD=❑ AB2−( BC) 2=❑(2❑√x) 2+( ) 2=
2 2 2
1 1 ❑√7x 3❑√7x
∴S = BC⋅AD= ×3❑√x× = ．
△ABC 2 2 2 4
21．（8分）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方
向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续
多少小时？
【答案】（1）台风中心经过15h从B点移到D点；
（2）A市受到台风影响的时间持续12h．
【解答】解：（1）由题意可知，AD⊥BC，AB＝340km，AD＝160km，
在Rt△ABD中， ，
BD=❑√AB2−AD2=300km∵300÷20＝15，
∴台风中心经过15h从B点移到D点；
（2）如图，在射线BC上取点E、F，使得AE＝AF＝200km，
由AD⊥BC得DE＝DF，
在Rt△AED中， ，
ED=❑√AE2−AD2=120km
∴EF＝2ED＝240km，
∴t＝240÷20＝12，
∴A市受到台风影响的时间持续12h．
22．（8分）【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=❑√3，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”；
（2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号）
【答案】（1）见解析；
（2）10❑√6或8❑√5．
【解答】（1）证明：如图，BD为三角形ABC底边AC上的中线，
1
则CD= AC=1，
2
又∵BC=❑√3，∴BD AC，
=❑√12+(❑√3) 2=2=
∴△ABC是“奇异三角形”；
（2）解：分两种情况：如图，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E
∵AB＝AC＝20，
1 1
∴BD＝20，ED= AD= AC=5，
2 4
∴CE＝10+5＝15，
∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375，
∴Rt△BCE中， ；
BC=❑√BE2+CE2=❑√375+225=❑√600=10❑√6
如图，当底边上的中线AD＝BC 时，则AD⊥BC，且AD＝2BD，
设BD＝x，则x2+（2x）2＝202，
∴x2＝80，
又∵x＞0，
∴x=❑√80=4❑√5，
∴BC=2x=8❑√5，
综上所述，底边BC的长为10❑√6或8❑√5．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速
度沿AB向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向终点C运动，其中一点到达
终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为ts．（1）求AC的长；
（2）P、Q在运动过程中，是否存在某一时刻，使得△PBQ是直角三角形？若存在，求出此时t的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）18❑√3cm；
72
（2）9或 ．
5
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm，
∴AB＝2BC＝36cm，
由勾股定理，得： ，
AC=❑√AB2−BC2=❑√362−182=18❑√3(cm)
（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝90°﹣60°＝30°，
1 1
∴BQ= BP，即t= ×(36−2t)，
2 2
解得，t＝9，
当∠QPB＝90°时，∠BQP＝90°﹣60°＝30°，
∴B Q＝2 B P，即t＝2×（36﹣2t），
72
解得，t= ，
5
72
综上所述，t为9或 时，△PBQ是直角三角形．
5
24．（10分）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．
如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．
（1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
n2−1 n2−1
（2）当n是大于1的奇数时，若n， ，x是勾股数，且x＞n，x＞ ，求x．（用含n的式子
2 2
表示）
【答案】（1）2n，n2﹣1，n2+1是勾股数，理由见解析；n2+1
（2）x= ．
2
【解答】解：（1）2n，n2﹣1，n2+1是勾股数，
理由：∵（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+n4﹣2n2+1
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2，
∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数；
n2−1 n2−1
（2）∵n， ，x是勾股数，且x＞n，x＞ ，
2 2
n2−1
∴x2＝n2+（ ）2
2
n4−2n2+1
＝n2+
4
n4+2n2+1
=
4
(n2+1) 2
= ，
4
n2+1
∴x= ．
2
25．（10分）小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，
0），则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），
则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图，在直角坐标系中的任意两点P ，P 其坐标分别为（a，b）
1 2
和（c，d），分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边 P Q＝|a﹣c|，
1
P Q＝|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P P 的长为 ．
2 1 2 ❑√(a−c) 2+(b−d) 2
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（3，2），B（4，5）则线段AB的长为 ❑√10 ；
（2）若点C在y轴上，点D的坐标是（4，0），且CD＝5，则点C的坐标是 （ 0 ， 3 ）或（ 0 ，﹣
3 ） ；
（3）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，0），C（﹣2，1），请判断△ABC的形状，
并说明理由．【答案】（1）❑√10；
（2）（0，3）或（0，﹣3）；
（3）△ABC是等腰直角三角形，理由见解答：
【解答】解：（1）∵A（3，2），B（4，5），
∴ ，
AB=❑√(3−4) 2+(2−5) 2=❑√(−1) 2+(−3) 2=❑√1+9=❑√10
故答案为：❑√10；
（2）设点C的坐标为（0，y），
∵点D的坐标是（4，0），且CD＝5，
∴42+y2＝52，
解得：y＝3或y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
故答案为：（0，3）或（0，﹣3）；
（3）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，0），C（﹣2，1），
∴ ，
AB=❑√(1−3) 2+(3−0) 2=❑√13
，
BC=❑√(3+2) 2+(0−1) 2=❑√26
，
AC=❑√(1+2) 2+(3−1) 2=❑√13
∴AC＝AB， ，
AB2+AC2=(❑√13) 2+(❑√13) 2=26=(❑√26) 2=BC2
∴△ABC是等腰直角三角形．
26．（10分）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求证：a2+c2＝b2+d2；（2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，AD：BE＝4：1，求
BE的长；
（3）在（2）的条件下求AF的长．
【答案】（1）见解答；
（2）5；
（3）4❑√5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为垂美四边形，
∴AC⊥BD，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2＝a2，
在直角三角形COD中，由勾股定理得：OD2+OC2＝CD2＝c2，
∴a2+c2＝OA2+OB2+OD2+OC2；
同理：b2+d2＝OA2+OB2+OD2+OC2，
∴a2+c2＝b2+d2；
（2）解：如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，连接DE，
∴CD＝AB＝10，BC＝AD，∠C＝90°，
∵AD：BE＝4：1，
设BE＝x，则AD＝BC＝4x，EC＝BC﹣BE＝3x，
∵AE⊥BD，
∴四边形ABED是垂美四边形，
∴AB2+DE2＝BE2+AD2，
∵DE2＝CD2+EC2，∴102+102+（3x）2＝x2+（4x）2，
解得：x＝5（舍去负值），
即BE＝5；
（3）解：∵BE＝5，AD：BE＝4：1，
∴AD＝20，
在Rt△ABD中，由勾股定理得： ，
BD=❑√AB2+AD2=10❑√5
1 1
∵S = AB⋅AD= BD⋅AF，
△ABD 2 2
AB⋅AD 10×20
∴AF= = =4❑√5．
BD 10❑√5
