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第二十章 勾股定理（高效培优单元自测·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各
组数中，是“勾股数”的是（ ）
1 1 1
A． ， ， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25
3 4 5
【答案】D
1 1 1
【解答】解：A、 ， ， 不是整数，不是勾股数，不符合题意；
3 4 5
B、1.5，2.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、52+112≠122，5，12，11不是勾股数，不符合题意；
D、72+242＝252，7，24，25是勾股数，符合题意；
故选：D．
2．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．a： b：=1c：❑√3：2
【答案】B
【解答】解：根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，可得：
A：设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，则k+2k+3k＝180°，k＝30°，∴∠C＝90°，能判断△ABC是直角三
角形，不符合题意；
B：设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝180°，k＝15°，∴∠C＝75°，不是直角，不能判断
△ABC是直角三角形，符合题意；
C：∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，能判断△ABC是直角三角
形，不符合题意；
D：设a＝k，b=❑√3k，c＝2k，则a2+b2＝k2+3k2＝4k2，c2＝4k2，∴a2+b2＝c2，能判断△ABC是直角三
角形，不符合题意．
故选：B．
3．如图，在数轴上，点O与原点重合，点A表示的数是1，OB⊥OA，且OB＝1，连接AB．以点A为圆
心，AB长为半径画弧，在点O左侧与数轴交于点C，则点C表示的数是（ ）A．❑√2 B．❑√2−1 C．1−❑√2 D．❑√2+1
【答案】C
【解答】解：由题意，得：OA＝1，OB＝1，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：AC＝AB ，
=❑√OB2+OA2=❑√2
∴点C表示的数为1−❑√2；
故选：C．
4．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交
最上方的网格线与点D，则CD的长为（ ）
A．❑√5 B．0.8 C．❑√5−2 D．3−❑√5
【答案】D
【解答】解：如图：连接AD，
由题意可得：AD＝AB＝CE＝3，
AE＝2，∠E＝90°，
∴DE ，
=❑√AD2−AE2=❑√32−22=❑√5
∴CD＝CE﹣DE＝3−❑√5，
故选：D．
5．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于
A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（
）A．6km B．5km C．4km D．❑√20km
【答案】A
【解答】解：设EA＝xkm，则EB＝（10﹣x）km，
∵DA＝4km，CB＝6km，
∴DE＝DA2+EA2＝42+x2，CE＝CB2+BE2＝62+（10﹣x）2，
∵DE＝CE，
∴42+x2＝62+（10﹣x）2，
化简得20x＝120，
解得x＝6，即EA＝6km．
故选：A．
6．如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，比线段BD短的是（ ）
A．线段AB B．线段AC C．线段BC D．线段CD
【答案】A
【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则BD＝3，
由勾股定理得，AB ，AC BC，CD 5，
=❑√22+22=2❑√2 =❑√12+32=❑√10= =❑√32+42=
∴比线段BD短的是线段AB，
故选：A．
7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形
A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）A．25 B．35 C．40 D．11
【答案】B
【解答】解：∵正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，
∴正方形F的面积＝32+42＝25，正方形G的面积＝12+32＝10，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝25+10＝35，
故选：B．
8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线AC，
BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（ ）
A．45 B．49 C．50 D．53
【答案】D
【解答】解：在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得，
AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2
＝AD2+BC2
＝22+72
＝53，故选：D．
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P是BC上点，且满足∠BAP＝15°，∠PDC＝75°，若AP＝6，
DP＝10，则AD的长为（ ）
A．5 B．7 C．2❑√34 D．8
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，即∠ADP+∠PDC+∠BAP+∠PAD＝180°，
∵∠PDC＝75°，∠BAP＝15°，
∴∠PAD+∠ADP＝180°﹣（∠BAP+∠PDC）＝90°，
∴∠APD＝180°﹣（∠PAD+∠ADP）＝90°，
∵DP＝10，AP＝6，
∴AD ，
=❑√AP2+DP2=❑√62+102=2❑√34
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值
是（ ）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC 10，
=❑√AB2+BC2=❑√62+82=
∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，AB⋅BC 24
根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP= = =4.8，
AC 5
∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，
故选：A．
11．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的
直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直
角三角形的面积为3，中间小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（ ）
A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2
【答案】A
1
【解答】解：由题意得， ab＝3，（b﹣a）2＝1，
2
∴ab＝6，a2+b2＝（b﹣a）2+2ab＝1+12＝13，
∵a（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab＝1+24＝25，
∴b+a＝5（负值已舍），
故选：A．
12．今有木长二丈，围之三尺、葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？（选自《九章算术》）题
目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树
底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度为（ ）
A．❑√409尺 B．❑√41尺 C．29尺 D．21尺
【答案】C
【解答】解：把大树看作圆柱，其侧面展开图为矩形，则矩形的长为3尺，缠木七周，则长为21尺，∵大树高为2丈＝20尺，
∴这条腾条长度为： 29（尺）；
❑√202+212=
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为 3 或 ❑√41 ．
【答案】3或❑√41．
【解答】解：已知直角三角形的两边长分别为4、5，
当5为斜边时，第三边长为 ；
❑√52−42=3
当第三边为斜边时，第三边长为 ；
❑√52+42=❑√41
故第三边的长为3或❑√41，
故答案为：3或❑√41．
14．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+AC2+BC2＝ 8 ．
【答案】8．
【解答】解：由题意可得：AC2+BC2＝AB2，
∴AB2+AC2+BC2＝2AB2＝2×22＝8，
故答案为：8．
15．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，则图中阴影部分的面积
为 2 4 ．
【答案】24．【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝3，
∴ ，
BC=❑√BD2+CD2=❑√42+32=5
∵AB＝13，AC＝12，
∴AC2+BC2＝122+52＝132＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
12×5 4×3
∴S =S −S = − =24，
阴影 △ACB △BDC 2 2
故答案为：24．
16．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五
尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如
图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A′C＝10
尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很
直，则绳索OA长为 14. 5 尺．
【答案】14.5．
【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，则CA′＝10尺，OA′＝x尺，OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺，
在Rt△OCA′中，由勾股定理得：OC2+CA′2＝OA′2，
∴（x﹣4）2+102＝x2，
解得：x＝14.5，
∴OA＝14.5尺．
故答案为：14.5．
17．由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体PQ平行镜面MN，点Q处恰好能从镜面点
16❑√2
G处看到点P，PQ＝1.6m，PG＝QG＝2.4m，点P′是点P的像，则P与P′之间的距离为
5
m ．16❑√2
【答案】 m．
5
【解答】解：过G作GH⊥PQ于H，
∵PQ＝1.6m，PG＝QG＝2.4m，
1
∴PH= PQ=0.8（m），
2
8❑√2
∴HG=❑√PG2−PH2=❑√2．42−0．82= （m），
5
16❑√2
∴PP′＝2HG= m，
5
16❑√2
答：P与P′之间的距离为 m，
5
16❑√2
故答案为： m．
5
18．在平面直角坐标系中，点A（3，4），点B在x轴上，且△AOB为等腰三角形（O为坐标原点），则
25
点B的坐标为 （﹣ 5 ， 0 ）或（ 5 ， 0 ）或（ 6 ， 0 ）或 ( ，0) ．
6
25
【答案】（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或( ，0)．
6
【解答】解：∵点A（3，4），点B在x轴上，
∴ ，设B点坐标为（b，0），
OA=❑√32+42=5
∴OB＝|b|， ，
AB=❑√(b−3) 2+(0−4) 2=❑√(b−3) 2+16
①当OA＝OB时，则|b|＝5，解得b＝5或b＝﹣5，故点B坐标为（5，0）或（﹣5，0）；
②当OA＝AB时，则 ，解得b＝6或b＝0，
❑√(b−3) 2+16=5当b＝0时，O，B两点重合，不构成三角形，故舍去，故点B坐标为（6，0）；
25 25
③当OB＝AB时，则❑√(b−3) 2+16=|b|，解得b= ，故点B坐标为( ，0)；
6 6
25
∴综上，B点的坐标可为（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或( ，0)，
6
25
故答案为：（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或( ，0)．
6
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC．
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，求AB的长．
【答案】（1）5；
（2）12．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴ ，
BC=❑√AB2−AC2=❑√132−122=5
则BC的长为5；
（2）∵Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，
∴ ，
AB=❑√AC2−BC2=❑√132−52=12
则AB的长为12．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点
E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长．
【答案】（1）见解答；
16
（2） ．
5
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵DE∥AC，∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
∵AE＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵BD＝3，
∴BE 5，
=❑√DE2+BD2=
∵DF⊥AB，
1 1
∴S△BDE = DF⋅BE= DE•BD，
2 2
DE⋅BD 3×4 12
∴DF= = = ，
BE 5 5
16
∴EF=❑√DE2−DF2= ．
5
21．（8分）如图，∠MON＝45°，在距离O点32❑√2米的A处有一学校，一重型卡车P沿道路ON方向行
驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响．
（1）请你判断学校A是否会受到卡车噪声影响．为什么？
（2）若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车P沿途给学校A带来噪声影响的时间．
【答案】（1）学校会处在卡车的噪声影响范围内；
（2）6秒．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，可知点A到射线ON的最短距离为线段AH的长度．∵∠O＝45°，
∴OH＝AH，
又∵OA=32❑√2m，
由勾股定理可得，OH2+AH2＝OA2，
❑√2 ❑√2
∴AH= OA= ×32❑√2=32(m)．
2 2
∵32m＜40m，
∴学校会处在卡车的噪声影响范围内．
（2）在ON上取两点C、D，连接AC，AD，当AC＝AD＝40m时，则卡车在CD段对学校A有影响．
∵AC＝AD，AH⊥CD，
∴CH＝DH．
∵∠O＝45°，
∴OH＝AH，
又∵OA=32❑√2m，
由勾股定理可得，OH2+AH2＝OA2，
❑√2 ❑√2
∴AH= OA= ×32❑√2=32(m)．
2 2
由勾股定理可得， ．
CH=❑√AC2−AH2=❑√402−322=24(m)
∴CD＝2CH＝48m．
卡车速度为8 米/秒，48
∴影响时间为： =6s．
8
答：卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为6s．
22．（8分）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实
践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下：
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位
置，BC为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离．
【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得BC长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线
AB的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即CD的长）为1.8米．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度AD；
（2）如图2，若风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线BC
方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则BF的长度是多少米？
【答案】（1）风筝离地面的垂直高度AD为8.8米；
（2）4米．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中， （米），
AC=❑√AB2−BC2=❑√252−242=7
∴AD＝AC+CD＝7+1.8＝8.8（米）．
答：此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8（米）．
（2）CE＝AC+AE＝7+8＝15（米），
由题意可得：EF＝AB＝25（米），
在Rt△EFC中， （米），
CF=❑√EF2−EC2=❑√252−152=20
∴BF＝BC﹣CF＝24﹣20＝4（米），
答：他应该朝射线BC方向前进4米．
23．（8分）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题．
勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理 a2+b2＝c2的三个正整数a，b，
c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长．
勾股数可以通过以下公式生成：a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，其中m和n都是正
整数，且m＞n．
例如，当m＝2，n＝1时，a＝22﹣12＝3，b＝2×2×1＝4，c＝22+12＝5．因此，（3，
4，5）是一组勾股数．
（1）使用勾股数生成公式，当m＝4，n＝1时，求对应的勾股数（a，b，c）．
（2）若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数（5，12，13），请你计算他代入的正整数m和n
（m＞n）的值．
【答案】（1）15，8，17；（2）m＝3，n＝2．
【解答】解：（1）∵m＝4，n＝1，
∴a＝m2﹣n2＝16﹣1＝15，b＝2mn＝2×4×1＝8，c＝m2+n2＝42+12＝17；
（2）根据题意得，m2﹣n2＝5，2mn＝12，m2+n2＝13，
解得m＝3，n＝2．
答：他代入的正整数m和n分别为3，2．
24．（10分）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角
形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是❑√5，❑√11和2，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判
断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排
列）；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD＝AD＝BD，若△BCD是“平方倍三角形”，求
△ABC的面积．
【答案】（1）是，理由见解答；
（2）1：1：❑√2；
25❑√5 25
（3） 或 ．
2 2
【解答】解：（1）这个三角形是“平方倍三角形”．理由如下：∵ ， ，
(❑√11) 2+22=15 3×(❑√5) 2=15
∴ ，
(❑√11) 2+22=3×(❑√5) 2
∴这个三角形是“平方倍三角形”；
（2）设△ABC两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
由条件可知a2+b2＝c2，且c2+a2＝3b2，
∴2a2+b2＝3b2，
∴b＝a，
∴c=❑√2a，
∴a： b：=1c：1：❑√2；
（3）当CD2+BD2＝3×BC2时，即CD2+BD2＝3×52，
5❑√6
解得：BD=DC= ，
2
则AB=5❑√6，
故 ，
AC=❑√AB2−BC2=❑√ (5❑√6) 2 −52=5❑√5
1 25❑√5
则△ABC的面积为： ×5×5❑√5= ；
2 2
当CD2+BC2＝3×BD2时，即CD2+52＝3×BD2，
5❑√2
解得：BD=DC= ，
2
则AB=5❑√2，
故AC＝5，
1 25
则△ABC的面积为： ×5×5= ．
2 2
25❑√5 25
综上所述，△ABC的面积为 或 ．
2 2
25．（10分）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，我们常用图形面积来解释一些公式或完成证明．（1）如图1，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式： （ a + b ） 2 ＝
a 2 +2 ab + b 2 ；
（2）图2是我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的
大正方形．已知大正方形的边长为c，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a，请通过面积证明：
a2+b2＝c2；
（3）由（2）可知，在直角边分别为a，b，斜边为c的直角三角形中，有a2+b2＝c2．请你用这个结论
解决问题：如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AC上，将△ABC沿BE折叠，
点C的对应点D恰好落在AB上，求CE的长．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）见解答；
4
（3） ．
3
【解答】解：（1）根据题意得，大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）根据题意得，大正方形的面积为：c2，
∵大正方形是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，直角三角形的长直角边长为 b，短直
角边长为a，
1
∴ ab×4+(b−a) 2=2ab+b2−2ab+a2=b2+a2，
2
∴a2+b2＝c2；
（3）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴ ，
AB=❑√AC2+BC2=5
∵将△ABC沿BE折叠，点C的对应点D恰好落在AB上，
∴CE＝DE，BD＝BC＝4，∠ADE＝90°，
∴AD＝5﹣4＝1，
设CE＝DE＝x，
∴AE＝3﹣x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
即12+x2＝（3﹣x）2，4
解得x= ，
3
4
∴CE的长为 ．
3
26．（12分）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问
题．
例：求代数式 的最小值．
❑√x2+32+❑√(12−x) 2+22
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜
❑√x2+32 ❑√(12−x) 2+22 ❑√x2+32
边， 是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC
❑√(12−x) 2+22
和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图
2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最
短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式 的最小值为 1 3 ；
❑√x2+32+❑√(12−x) 2+22
（2）变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；
❑√x2+4+❑√(5−x) 2+1
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值．
❑√36−x2+❑√64−x2=10
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12，
∴ ，
AD=❑√52+122=13∴ 的最小值是13，
❑√x2+32+❑√(12−x) 2+22
故答案为：13；
（2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5，
∴ ，
AD=❑√32+52=❑√34
∴ 的最小值是 ；
❑√x2+4+❑√(5−x) 2+1 ❑√34
（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝6，BC＝8，如图，
设CD＝x，则 ，
AD=❑√36−x2，BD=❑√64−x2
∴ ，
AB=❑√36−x2+❑√64−x2=10
∵62+82＝102，
∴∠ACB＝90°，
1 1
∴ ×6×8= ×10×x，
2 2
∴x＝4.8．
