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第十一章 三角形 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，图②③便具有稳定性，故选C．
【点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
2．（2022·绵阳市·八年级课时练习）刘零想做一个三角形的框架，她有两根长度分别为6cm和8cm的细木
条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（ ）
A．6cm的木条 B．8cm的木条 C．两根都可以 D．两根都不行
【答案】B
【分析】利用三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，
如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，
而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
3．（2022•甘井子区期末）在△ABC中，画边BC上的高，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
【解答】解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；B．此图形中CE不是BC边上的高，不符合题意；
C．此图形中BE是AC边上的高，不符合题意；
D．此图形中BG是△BCG中BC边上的高，不符合题意；故选：A．
【点评】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高
在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点
4．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）给出下列命题：①等边三角形是等腰三角形；②三
角形的重心是三角形三条中线的交点；③三角形的外角等于两个内角的和；④三角形的角平分线是射线；
⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就
在三角形外．其中正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质可以判断①，根据三角形重心的定义可判断②，根据三角形内角和定理可
判断③，根据三角形角平分线的定义可以判断④，根据三角形的内角的定义可以判断⑤，根据三角形的高
的定义以及直角三角形的高可以判断⑥．
【详解】①等边三角形是等腰三角形，①正确；
②三角形的重心是三角形三条中线的交点，②正确；
③三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故③不正确；
④三角形的角平分线是线段，故④不正确；
⑤三角形相邻两边组成的角且位于三角形内部的角，叫三角形的内角，⑤错误；
⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形内或在三角形外或者在三角形的边上．
正确的有①②，共计2个，
故选B
【点睛】本题考查了命题的判断，等边三角形的性质，三角形的重心，三角形的内角和定理，三角形的角
平分线，三角形的内角的定义，三角形垂心的位置，掌握相关性质定理是解题的关键．
5．（2021·河南焦作市·八年级期末）如图， 为 的一个外角，点E为边 上一点，延长 到
点F，连接 ，则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形外角性质结合图形，逐项判断即可．
【详解】∵ ，∴ ，故A选项正确，不符合题意；
由三角形外角性质即可直接得出 ，故B选项正确，不符合题意；
没有条件可以证明出 和 的关系，故C选项错误，符合题意；
∵ ， ，∴ ，
∴ ，故D选项正确，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查三角形外角性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本
题的关键．
6．（2021·重庆南岸·八年级期末）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其
中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图 的面积为75，则图中阴影部分的面积是
（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
【答案】B
【分析】正 中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正 全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小
正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
【详解】
如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；
其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分
成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为： （个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为： （个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为： （个）；小正三角形个数为13个；
一共有小正三角形个数为： （个），
∴
图中阴影部分面积为： ，故选： ．
∴ B
【点睛】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．
7．（2022春•秦淮区期中）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折
后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原
三角形的∠B的度数为（ ）
A．57° B．60° C．63° D．70°
【分析】由折叠可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG，依据∠BDG是△BDF是外角，
即可得到∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，进而得到原三角形的∠B为63°．
【解答】解：如图，由折叠可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG，
∵∠BDG是△BDA是外角，∴∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，
∴∠ABE＝∠ABE＝21°，∴∠ABG＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B为63°，故选：C．
【点评】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠FBE
＝∠ABE＝∠ABG是解答此题的关键．
8．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接 、 、 、
、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的
和，即可得到结果．
【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
9．（2022春•宜兴市校级月考）如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，
下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
1 1
【分析】延长EP交AB于G，根据角平分线的定义可得∠1＝∠AEP= ∠AEB，∠2＝∠PFD= ∠AFD，
2 2
再根据邻补角的定义求出∠BCF＝45°，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别用
∠1和∠2表示出∠EGB和∠EBG，再利用三角形的内角和定理列式求出∠1+∠2，然后表示出∠EPF即可
判断出①②正确，再求出∠PEB+∠PFD＝45°，判断出③正确．
【解答】解：如图，延长EP交AB于G，
∵∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，
1 1
∴∠1＝∠AEP= ∠AEB，∠2＝∠PFD= ∠AFD，
2 2
∵∠BCD＝135°，∴∠BCF＝180°﹣135°＝45°，
在△AEG中，∠EGB＝∠A+∠AEP＝45°+∠1，
在△BCF中，∠EBG＝∠AFD+∠BCF＝2∠2+45°，
在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG＝180°，
即∠1+45°+∠1+2∠2+45°＝180°，解得∠1+∠2＝45°，
在△GFP中，∠EPF＝∠EGB+∠2＝45°+∠1+∠2＝45°+45°＝90°，∴EP⊥FP，故①正确；
∠AEB+∠AFD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝90°＝∠P，故②正确；
∵∠PEB+∠PFD＝∠1+∠2＝45°，∴∠A＝∠PEB+∠PFD＝45°，故③正确．综上所述，正确的结论有①②③共3个．故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和的性质，作辅助线构造出三角形并求出∠1+∠2＝45°是解题的关键．
10．（2022·浙江杭州·七年级阶段练习）如图，已知长方形 ，连接 ， 是 上的一点，连接 ，
， ， ， ， 分别表示 ， ， ， 的面积，则下列等式不正确的是（
）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得：△ABP和△ADP的高相等，△ABD和△BCD的面积相等，从而得到 ，
，故D正确， ，可得 ，故B错误，从而得到 ，可得
，进而得到 ，可得到 ， 故A、C正确，即可求解．【详解】解：根据题意得：△ABP和△ADP的高相等，△ABD和△BCD的面积相等，
∴ ， ，故D正确，不符合题意；
同理 ，
∴ ，故B错误，符合题意；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 故A、C正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了长方形分割多个三角形的关系，等式基本性质，熟练掌握长方形分割多个三角形
的关系，等式基本性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·湖南·师大附中一模）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G
在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是点 。（从D、E、F、G中选择）
【答案】D【分析】据重心的定义：三角形中各边中线的交点为三角形的重心，结合图形，可知D点为△ABC的重心．
【详解】如图所示，根据图形可知AN=BN，BM=CM，∴AM，CN为△ABC的中线，
∵AM，CN交于点D，∴D点为△ABC的重心．
【点睛】本题主要考查的是三角形重心的定义，属于基础题型．
12．（2021·北京西城·九年级期末）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那
么这个未知角是__________ 度，这个多边形的边数是_________．
【答案】60 8
【分析】根据未知角的范围和内角和公式求得多边形的边数，再求得未知角的度数即可；
【详解】 ，又
即 解得：
为正整数 故答案为：60,8
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解不等式组，理解题意列不等式组求解是解题的关键．
13．（2022·江苏南京·七年级期末）已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若 ， ，则DE的
长为______．
【答案】0.5或1.5
【分析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解．
【详解】解： AD、AE分别是△ABC的高和中线， ， ，
如图，当 是钝角三角形时，当 是锐角三角形时，
当 是直角三角形时， ，不合题意，答案为： 或
【点睛】本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．
14．（2022•灞桥区校级二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是
．
1 1
【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1= ∠BAC，∠3=
2 2
∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，
1 1
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1= ∠BAC，∠3= ∠ABC，
2 2
1
∴∠1+∠3= （∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案为：130°．
2
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之
间的关系．
15．（2022·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，
∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．
【答案】70°【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．
【详解】如图，
∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，
∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于 360°是
解题的关键．
16．（2021秋•西安期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角
∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，
②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论
的序号写在横线上）
1
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+ ∠1，∠BOC＝
2
90°+∠2．
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
1 1
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，
2 2
1 1
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，= （∠ACD﹣∠ABC）= ∠1，故①正确；
2 2
1 1
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC= ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°− （∠ABC+∠ACB）
21 1
＝180°− （180°﹣∠1）＝90°+ ∠1，故②、③错误；
2 2
1 1
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ACD，
2 2
1 1
∴∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= ×180°＝90°，
2 2
∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故答案为：①④．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以
及角平分线的定义．
17．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA
得到△ABC ，再分别倍长边AB，BC ，C A 得到△ABC …按此规律，倍长2021次后得到的
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
△A B C 的面积为_________．
2021 2021 2021
【答案】
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后
求出第一次倍长后△ABC 的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．
1 1 1
【详解】解：连接AB、BC 、CA ，根据等底等高的三角形面积相等，
1 1 1△ABC、△ABC、△ABC、△ABC 、△ABC、△ABC 、△ABC的面积都相等，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以， ,同理 ，
依此类推，△A B C 的面积为=72021S ABC，
2021 2021 2021
△
∵△ABC的面积为1，∴△A B C 的面积=72021．故答案为：72021．
2021 2021 2021
【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面
积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
18．（2022·湖北省水果湖第一中学七年级期中）如图， ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连
接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，△垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则
CE+EF的最小值为______．
【答案】 ##
【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法求出CF，即为
CE+EF的最小值．【详解】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，
则CE+EF的最小值为CF．∵BC=5，AC=12，AB=13，
∴ AB•CF= BC•AC，∴CF= ，
即CE+EF的最小值为： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2021·江苏南京·七年级期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、
∠DCA是△ABC的三个外角．
求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360
(1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：(2)根据第二种思路，完成证明．
【答案】(1)① ；② ；③ ；④三角形的外角等于与它不相邻的两
个内角的和 (2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和以及外角性质填写即可；
（2）过B作BM∥AC，即可利用平行线把三个外角集中到一点，最后利用周角360°证明．
【解析】 (1)①根据后面推论是根据三角形内角和，故答案为： ；
根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质填写， + ，
故答案为：② ；③ ，④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(2)过B作BM∥AC，∴ ,
∵ ∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022·江苏姜堰初一期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接
AD．
（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平
分线时．①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；②若∠C－∠B =20°，则∠DAE = °．
【答案】（1）6 ；（2）①15°；②10．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；
（2）①根据三角形内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从
而求解；②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE
的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解．
【解析】解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24，
∴ ×BC×AE=24，∴ ×BC×4=24，∴BC=12， ∵AD是△ABC的中线，∴CD= BC=6，
（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =80°，
在△AEC中，∵AE⊥BC ∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°
∵AD为∠BAC的角平分线 ∴∠CAD= ∴∠DAE的度数为∠CAD -∠CAE =15°
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°,在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =（160-2x）°，
在△AEC中，∵AE⊥BC ∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°
∵AD为∠BAC的角平分线 ∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAE- ∠CAD =10° 故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都为1个单位长度．在方格
纸内将△ABC经过平移后得到 ， 、 、 分别是A、B、C的对应点，图中标出了点B的对应点
．点A、B、C、 均在方格纸的网格点上．(1)补全 ；
(2)画出AC边上的中线BD；
(3)△ABD的面积为______．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)4．
【分析】（1）找出点B的平移方式，再将A，C也按照该平移方式平移得到 ， ，连接 ， ，
即可；
（2）找出AC边上的中点D，连接BD即可；
（3）作 的延长线交于点E，利用D是AC边上的中点，得到 ．
(1)
解：由图可知：B向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到 ，
∴点A和点C也按照这个平移方式平移，
∴ 如图所示：
(2)
解：找出AC边上的中点D，连接BD即可，AC边上的中线BD如图：(3)
解：作 的延长线交于点E，如图：
由图可知：
， ，
∵D是AC边上的中点，
∴ ．
故答案为：4
【点睛】本题考查平移，中线，三角形面积，解题的关键是根据点的平移求出图形的平移，掌握中线性质，
理解 ．
22. （2022•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多
边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个
外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，△ABC 的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣
（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．名称 图形 内角和 外角和
三角形 180° 360°
四边形
五边形
… … … …
n边形 …
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
【分析】（1）根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°，n边形的外角和为360°即可得出答案；
（2）根据多边形的内角和公式和多边形的外角和360°即可得出答案．
【解答】解：（1）内角和分别为：四边形内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，
五边形内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n边形内角和是：180°（n﹣2）；
外角和分别为：360°、360°、360°；
故答案为：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；
（2）这个八边形一个内角的度数是：
方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．
23．（2022•宿城区校级月考）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A +∠A +∠A +∠A +∠A ＝？
1 2 3 4 5
分析：图中A A DA 是“A”型图，于是∠A DA ＝∠A +∠A +∠A ，所以∠A +∠A +∠A +∠A +∠A ＝
1 3 4 2 5 1 3 4 1 2 3 4 5
；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A +∠A +∠A +∠A +∠A +∠A +∠A 的度数．
1 2 3 4 5 6 7【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
【解答】解：（1）如图，
由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A +∠A ，
1 4
∵∠A DA ＝∠1+∠A ，∴∠A DA ＝∠A +∠A +∠A ，
2 5 3 2 5 1 4 3
∵∠A DA +∠A +∠A ＝180°，∴∠A +∠A +∠A +∠A +∠A ＝180°，故答案为：180°；
2 5 2 5 1 2 3 4 5
（2）如图，由（1）得，∠1＝∠A +∠A +∠A ，∠2＝∠A +∠A +∠A ，
1 4 5 2 3 6
∵∠1+∠2+∠A ＝180°，∴∠A +∠A +∠A +∠A +∠A +∠A +∠A ＝180°．
7 1 2 3 4 5 6 7
【点评】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．
24．（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点
C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝
72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．【分析】（1）先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上
2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到
∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数．
【解答】（1）证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，
1
∵AD是△ABE的角平分线，∴∠BAC= ∠EAB，
2
1
∴∠C+ ∠EAB＝90°，即2∠C+∠EAB＝180°，
2
∵2∠1+∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°，
∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，
即18°+78°＝72°+∠CBE，∴∠CBE＝24°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：运用三角形内角和定理可根据两已知角求第三个角．也考查了平
行线的性质．
25．（2022·江西八年级期中）已知 的面积是 ，请完成下列问题：
（1）如图1所示，若 是 的 边上的中线，则 的面积_____ 的面积．（填“
”“ ”或“ ”）
（2）如图2所示，若 ， 分别是 的 ， 边上的中线，求四边形 的面积可以用
如下方法：连接 ，由 得： ，同理： ，设 ，则 ， ．由题意得： ， ，可列方
程组为 ，解得______，通过解这个方程组可得四边形 的面积为______．
（3）如图3所示， ， ，请你计算四边形 的面积，并说明理由．
【答案】（1）＝；（2） ，40；（3）36
【分析】（1）根据等底等高的两个三角形面积相等，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，
所以 ；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，
即可得到结果；（3）连结 ，由 ，得到 ，同理可得 ，设
， ，则 ， ，由题意得列方程组即可得到结果．
【详解】解：（1）如图1，过 作 于 ，
是 的 边上的中线， ，
， ，∴ ，故答案为： ；
（2）解方程组得 ， ， ，
故答案为： ，40；（3）如图3，连结 ，
，∴ ，
，∴ ，
设 ， ，则 ， ，
由题意得： ， ，
可列方程组为： ，解得： ，
．
【点睛】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积比等于底的比，熟练掌握这
个结论是解题的关键．
26．（2021·浙江杭州市·八年级期中）如图1，含 角的直角三角板 与含 角的直
角三角板的斜边在同一直线上，D为 的中点，将直角三角板 绕点D按逆时针方向旋转
，在旋转过程中：（1）如图2，当 ________ 时， ；当 ______ 时， ；
（2）如图③，当直角三角板 的边 、 分别交 、 的延长线于点M、N时；
① 与 度数的和是否变化？若不变，求出 与 度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得 ，求出 、 的度数，并直接写出此时 的度数；
③若使得 ，求 的度数范围．
【答案】（1）15°，105°；（2）①不变，60°；②∠1＝40°，∠2＝20°，∠α=85°；③69°≤α＜90°
【分析】（1）当 时， ，根据平行线的性质得 ，解得 ；
当 时， ，根据平行线的性质得 ，解得 ；
（2）①连接 ，如图3，在 中，由三角形内角和定理得 ，则
，再在 中，利用三角形内角和定理得到
，所以 ；
②根据 与 的关系列方程组 ，然后解方程组即可；再根据三角形内角和定理和对顶
角相等得到 ，即 ，解得 ；
③由 ， 可解得 ，由于 ，即 ，
则 ，所以 ，解得 ，利用直角三角板 的边 、 分别交 、
的延长线于点 、 得到 ，于是得到 ．
【详解】解：（1） ， 当 时， ，
而 ， ，解得 ；当 时， ，此时 ，
，解得 ；故答案为 ， ；
（2）① 与 度数的和不变．连接 ，如图3，
在 中， ， ，
在 中， ，
即 ， ；
②根据题意得 ，解得 ；
，即 ， ；
③ ， ， ， ，
，即 ， ，
，解得 ， 的度数范围为 ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了解二元一次方程组．合理选择三
角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键，同时运用不等式的性质解决∠α的度数范围．
