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第十九章 二次根式
单 元 备 课
第19单元 本单元所需课时数 6课时
课
1.了解二次根式、最简二次根式的概念.
标
2.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进
要
行简单的四则运算.
求
在学习平方根和整式的基础上，本章进一步研究二次根式的概念、性质
教
和运算，目的是以二次根式这一类典型的“式”为载体，进一步学习对数
材
字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养
分
符号意识和运算能力，同时为后面勾股定理、一元二次方程、二次函数等内
析
容的学习做好准备．
本章的主要内容是二次根式的概念、性质和运算.主要包括三节：第19.1
主
节“二次根式及其性质”主要介绍二次根式的概念和性质；第 19.2节“二次
要
根式的乘法与除法”主要研究二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简；
内
第19.3节“二次根式的加法与减法”研究二次根式的加减运算法则，并在学
容
习加、减、乘、除运算法则的基础上进行二次根式的混合运算.
1.理解二次根式的概念，理解并掌握二次根式有意义的条件．
2.理解二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)，会运用二次根式的性质进
行有关计算和化简．
3.理解·＝(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．
教
4.利用逆向思维，得出＝·(a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化简．
学
目 5.理解＝(a≥0，b>0)，并能利用它进行计算和化简．
标
6.利用逆向思维，得出＝(a≥0，b>0)，并运用它进行解题和化简．
7.会进行二次根式的加减法运算．
8.掌握混合运算的法则，合理使用运算律，能熟练地进行二次根式的混合运
算．
课 19.1 二次根式及其性质 2课时
时
19.2 二次根式的乘法与除法 2课时
分
配 19.3 二次根式的加法与减法 2课时教
1.注意代数学的整体性.
与
学 2.加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程.
建
3.加强运算技能训练，提高运算能力.
议19.1 二次根式及其性质
第 1 课时 二次根式的概念
课题 二次根式的概念 课型 新授课
教学内容 教材第2-3页的内容
1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是
非负数的理由．
2.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．
教学目标
3.通过对二次根式的概念的探究，提高数学探究和归纳能力．
4.经历观察、归纳、总结等数学活动，感受数学的严谨性和趣味性．
教学重点：从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．
教学重难
教学难点：确定二次根式中字母的取值范围.
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题
从学生已有的知识
【问题1】用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
出发，由平方根过
(1)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它 渡到二次根式的学
的宽为________m； 习．
在此之前，可以先
(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个
回顾平方根和算术
边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为
平方根的概念.
______；
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单
位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系式h＝5t2.若
用含有h的式子表示t，则t＝________．
师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结
果，教师进行适当引导和评价，帮助学生实现从数的算术平
方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象.
教师追问：第（1）（2）题中得到，√a2+1的依据是什么？
这两个式子有什么区别和联系？
师生活动：由学生回答.依据是算术平方根的定义.区别是分
别表示具体数 65的算术平方根，√a2+1是字母a2+1表示的数的算术平方根；联系是都表示非负数的算术平方根.
2.抽象概括，形成概念
【问题2】（1）观察上面得到的式子，√a2+1，，它们有什
么共同特征？
通过观察、归纳、
(2)你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？ 总结等过程，让学
生发现二次根式的
师生活动：教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子
概念，发展符号意
的特征，从而引出二次根式的定义.并板书：
识.通过追问，采用
从具体到抽象的方
它们表示一些正数的算术平方根.一般地，我们把形如
式，归纳出二次根
（a≥0）形式的式子称为二次根式，其中“ ”称为二次根 式有意义的条件.教
号.二次根式也是代数式. 师提问进一步发现
二次根式的双重非
教师追问1：4，0的算术平方根分别是什么？-4有没有算
负性，从而培养学
术平方根？
生的抽象逻辑思
教师追问2：被开方数需要满足什么条件？为什么要满足这 维．
样的条件？
教师追问3： 当x满足什么条件时，在实数范围内有意
义？呢？
师生活动：学生独立思考，教师引导学生回顾在实数范围
内，负数无平方根，所以被开方数只能是非负数．x为任意
实数时，x2都为非负数，都有意义．x≥0时，x3为非负数，
有意义．
【问题3】请同学们比较与0的大小.
师生活动：先让学生独立思考.学生的第一反应可能是>0，
部分学生能得出≥0这一正确结论.教师引导学生根据概念，
分a＞0和a=0两种情况进行讨论.归纳出的双重非负性：被
开方数a≥0，a的算术平方根≥0.
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的概念
【例1】 下列各式中，一定是二次根式的有_______.
通过例题帮助学生
巩固、应用新知，
分析：判断二次根式应关注两点：
熟悉本课重点，包
括二次根式的概
（1）有二次根号“ ”；
念、二次根式有意
（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子 义的条件.
中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.
考点2 二次根式有意义的条件
【例2】 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？
解：由x－2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义．
【变式】求下列二次根式中字母在实数范围内取何值有意
义：
1
⑴ a1 ； ⑵ √4－2x ； ⑶ √−3x−9 ； ⑷ 12a .
【例3】若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(
)
A.x≥ B．x≤ C．x＝ D．x≠
答案：C
师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式被开方数
大于等于零再次进行强调．
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列式子：， ，，，，其中属于二次根式的有(
通过随堂练习，进
)
一步巩固课堂所学
A.2个 B．3个 C．4个 D．5个
内容，检测学习效
答案：C 果.
（2）已知是二次根式，则a的值可以是( )
A.－2 B．－1 C．2 D．－8
答案：C
（3）一个用电器的电阻为R，消耗的电功率为P，它两端的
电压为U，其关系式为P= ，则U可以表示成( )
A.U= B.U= C.U= D.U=
答案：C
（4）使式子有意义的x的取值范围是 ．
答案：x＞2
√2a−1
（5）当a=5时， 的值是 ．
3
答案：3
（6）已知实数x，y满足y＝ + -5，求x²+2xy
+ y²的值．
解：根据二次根式的定义，得3－x≥0，x－3≥0，
所以x＝3，y＝-5.则x²-2xy+y²=（x+y）²＝4. 通过小结，帮助学
生梳理本节课所学
5.课堂小结，自我完善
内容，强化记忆，
课后练习巩固，让
（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如 （a≥0）
所学知识得以运用.
形式的式子称为二次根式.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0.
（3）二次根式的双重非负性：被开方数a≥0，a的算术平
方根≥0.
6.布置作业
教材P3练习1-3，P5习题19.1第1，3，5，6，7，10题
板书设计
二次根式的概念
1.二次根式的概念： 例题
2.二次根式有意义的条件： 练习
教学反思
1.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后从学生
熟悉的实际问题出发，引导学生用已有的知识进行探究，师
生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.
2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新
知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.19.1 二次根式
第 2 课时 二次根式的性质
课题 二次根式的性质 课型 新授课
教学内容 教材第3-4页的内容
1.理解二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)；
2.会运用二次根式的性质进行有关计算和化简；
3.通过对的化简，了解分类讨论的思想；
教学目标
4.利用乘方与开方互为逆运算推导结论()2＝a(a≥0)，感受数学知识
的内在联系．
教学重点：二次根式的两个性质：()2＝a(a≥0)，＝a(a≥0).
教学重难
教学难点：二次根式性质的运用与二次根式的化简.
点
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，情境导入 通过对算术平方根
和二次根式被开方
【回顾1】，有意义吗？为什么？
数的取值范围的回
【回顾2】表示的意义是什么？表示的意义是什么？ 顾，巩固上节课的
学习成果，也为学
师生活动：学生回忆并回答，回顾二次根式的概念.
习本节课打好基础.
【情境导入】如图是一幅正方形中式壁画，面积为a，求它
的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 从正方形的边长和
师生活动：引导学生思考，正方形的边长
面积引出（）²=a，
为， 用边长表示正方形的面积为（）²，又 让学生理解的实际
面积为a，∴（）²=a. 意义，并顺利过渡
到（）²的问题情
教师追问:这个式子是不是对所有的二次根
境.
式都成立呢？
2.活动探究，学习新知
在探究栏目中给出
【问题1】根据算术平方根的意义填空：
几个具体问题，让
()2＝________；()2＝________； 学生用算术平方根
的意义分析出数字
()2＝________；()2＝________．
得出结果，然后概
教师追问：观察上面几个式子有什么共同点？能够用含字母 括它们的共同特的式子归纳出来吗？
征，由特殊到一般
师生活动：请学生口答结果，组织学生小组讨论思考，教师 地归纳得出二次根
再予以评价与补充，最后一起归纳出二次根式的性质1. 式的性质1.
归纳：一般地，
通过问题串带领学
【问题2】填空：
生进入思考中，引
＝________；＝________； 导学生自主探究，
小组合作，类比归
＝________；＝________．
纳，发现二次根式
教师追问1：请学生计算出上面各式的答案，类比性质1的 的性质2，锻炼学生
探究过程，尝试用字母a写出你的猜想． 自主学习的能力，
培养其数学思维的
教师追问2：＝________；＝________．
严谨性．
教师追问3：a的取值范围有什么要求？
师生活动：学生独立思考，教师引导学生类比思考，得出二
次根式的性质2.
总结： 当a≥0时，＝a；当a<0时，＝－a.
根据绝对值的意义可知：
当a≥0时，|a|＝a；当a<0时，|a|＝－a.由此可知：＝|
a|.
由于(a≥0)表示非负数a的算术平方根，根据平方根的意
义，的平方等于a，因此我们就得到一个结论：
＝a(a≥0)
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的性质：()2＝a(a≥0)
例2 计算：(1)()2；(2)(2)2.
解：(1)原式＝1.5.
(2)原式＝20.
考点2 二次根式的性质：＝a(a≥0)
例3 化简：(1)；(2).
解：(1)原式＝4. 通过例题帮助学生
巩固、应用新知，
(2)原式＝5.
熟悉本课重点，即
师生活动：教师对二次根式的两条性质之间的区别作出强 二次根式的性质，
调． 并运用二次根式的
性质进行计算和化
()2
简.
意义不同 表示一个非负数a的 表示一个实数a的
算术平方根的平方 平方的算术平方根
从运算顺序看 先开方，后平方 先平方，后开方从取值范围看 a≥0 a取任何实数
从运算结果看 a |a|
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列式子中，计算正确的是( )
A.＝－ B．－＝－0.6
C.＝13 D．(－)2＝36
答案：C
通过随堂练习，进
（2）若＝3－x，则x的取值范围是 ． 一步巩固课堂所学
内容，检测学习效
答案：x≤3.
果.
（3）计算：
①
(√3) 2
； ②
(3√2) 2
.
答案：①3；②18.
（4）说出下列各式的值：
√ ( 1) 2
−
①
√0.32
； ②
7
； ③
− √ (−π) 2
； ④
√10−2
.
答案：①0.3；② ；③-π；④ .
（5）若实数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简：－|b
－c|．
答案：－a＋b－c.
学生相互交流，回
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点
顾知识，反思问
评、讲解，并让学生说出运用的是哪条性质．
题，共同发展提高.
5.课堂小结，自我完善
（1）二次根式的性质：()2＝a(a≥0)；
课后练习巩固，让
（2）二次根式的性质：＝a(a≥0)；
所学知识得以运用.
（3）代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起
来的式子.
6.布置作业
教材P5习题19.1第2，4，9题.
板书设计
二次根式的性质
1.二次根式的性质：()2＝a(a≥0) 例题2.二次根式的性质：＝a(a≥0) 练习
3.代数式
教学反思
1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节
课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的
难度.
2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分
析的过程，让学生在交流中体会成功.
3.教师在课堂教学中要注意引导学生进行探究学习，本
节课，对学生探索求知作出了引导，鼓励学生自由发言，但
小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交
流的意识，这样有助于他们以后的学习和生活．19.2 二次根式的乘法与除法
第 1 课时 二次根式的乘法
课题 二次根式的乘法 课型 新授课
教学内容 教材第6-7页的内容
1.理解·＝(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．
2.利用逆向思维，得出＝·(a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化
简．
教学目标
3.经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程．
4.通过合作探究，激发学生积极参与数学学习的兴趣，培养合作交流
能力．
教学重点：二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
教学重难
教学难点：能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简
点
二次根式．
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课
培养学生的观察能
【课堂引入】
力以及合作解决问
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 题的习惯；让学生
经历从特殊到一般
(1)×＝________，＝________．
的认知过程．
(2)×＝________，＝________．
(3)×＝________，＝________．
师生活动：教师出示问题，引导学生观察运算结果，并小组
讨论，引导学生发现式子有什么规律．学生计算、观察、分
小组讨论，体会结果的特点.
2.发现探究，学习新知
通过观察、归纳、
【问题1】参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空， 总结、验证等过
并用计算器加以验证． 程，让学生发现二
次根式的乘法法则．
由学生自主完成，
相互交流，感受新
知.
教师追问：你能找出二次根式乘法运算的规律了吗？尝试写
出含字母的二次根式等式？
师生活动：学生独立思考后再小组内交流想法，最后全班分
享，教师帮助完善和补充，得出法则．
结论：一般地，二次根式的乘法法则是
利用逆向思维发现
·＝(a≥0，b≥0). 新知识是探索新知
的一个常见思路，
【问题2】把·＝反过来，仍然成立吗？
让学生感受到逆向
学生分组讨论，师生共同总结，得出积的算术平方根的性质 思维中要保证结论
＝·(a≥0，b≥0). 的正反两个角度都
有充分且必要的条
教师追问1：a，b的取值有什么特点？
件作保证.
教师追问2：为什么要满足这样的关系？
教师追问3：积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则
在用法上有什么区别和联系？
总结：积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．
注意：(1)公式中的非负数的条件；
(2)在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解(或因数分
解)；
例1是利用二次根
(3)·＝可推广为：··＝(a≥0，b≥0，c≥0).
式的乘法法则进行
3.学以致用，应用新知 具体运算，例2是
利用积的算术平方
考点1 利用二次根式的乘法法则进行运算
根的性质对二次根
【例1】计算：（1）×；（2）×. 式进行化简，例3
是进行二次根式的
解：（1）原式＝.（2）原式＝3.
乘法运算，在计算
考点2 积的算术平方根的性质 过程中既要用到二
次根式的乘法法
【例2】化简：（1）；（2）.
则，又要用到积的
解：（1）原式＝36.（2）原式＝2|ab|. 算术平方根的性
质，是例1和例2的
考点3 二次根式的乘法运算
综合.
【例3】计算：
(1)×；(2)3×2；(3)·.
解：(1)原式＝7.(2)原式＝30.(3)原式＝x.
师生活动：教师引导、点拨、巡视，指定不同学生到黑板做
题，对有困难的同学适时给予指导，完成后师生共同评析．
通过例2的学习，告诉学生在化简时，一般先将被开方数进
行因数分解或因式分解，再将能开得尽方的因数或因式开出来.通过例3的学习，提醒学生注意，在被开方数相乘的时
候可先考虑因数分解或因式分解.
随堂训练，及时获
4.随堂训练，巩固新知
知学生所学知识的
（1）下列各等式成立的是( ) 掌握情况，明确哪
些学生需要在课后
A.4×2＝8 B．5×4＝20
加强辅导，达到全
C.4×3＝7 D．5×4＝20 面提高的目的．
答案：D
（2）计算：①×；②×；③2·.
解：①原式＝.②原式＝6.③原式＝2.
（3）化简：①×；②；
③；④·.
解：①原式＝77.②原式＝ .
③原式＝2.④原式＝4xy .
（4）一个长方形的长和宽分别是cm和2cm，则这个长方形
的面积为 cm2.
答案：4
师生活动：学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出
现的问题及时予以指正，帮助学生加深理解，对优秀者应予
以表扬鼓舞，让学生体验成功的快乐.
通过课堂小结的形
5.课堂小结，自我完善
式，引导学生对本
（1）二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)； 节课所学知识进行
整理，同时明确学
推广：··＝(a≥0，b≥0，c≥0). 习重点．
（2）积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0).
6.布置作业
教材P7练习第1，2题；
教材P10习题16.2第1题.
板书设计
二次根式的乘法
1.二次根式的乘法法则
2.积的算术平方根
例题 练习
教学反思
1.新课导入时教师要注重学生自主探索能力的培养.在指导教学过程中，激发和鼓励学生的学习探究;提问有序、
有提示、有鼓励、有启发，问在有疑之处.
2.二次根式的乘法是建立在二次根式的基础上的，所以
在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，
从而降低学习的难度，提高学习的效率.
3.整个教学过程始终要把学生摆在第一位，真正把课堂
交给学生，让他们变成学习的主体.给学生提供自主探索的
机会，让学生的学习过程成为-个再探索、再发现的过程.19.2 二次根式的乘除
第 2 课时 二次根式的除法
课题 二次根式的除法 课型 新授课
教学内容 教材第8-10页的内容
1.理解＝(a≥0，b>0)，并能利用它进行计算和化简．
2.利用逆向思维，得出＝(a≥0，b>0)，并运用它进行解题和化简．
教学目标
3.掌握用从特殊到一般的方法，解决数学问题．
4.通过合作探究，激发求知欲，了解类比思想．
教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．
教学重难
教学难点：能利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简
点
二次根式．
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课 类比二次根式乘法
的研究方法来研究
【课堂引入】
二次根式的除法，
师:同学们还记得二次根式的乘法法则吗? 让学生自主探究，
感受二次根式除法
生:·＝(a≥0，b≥0).
运算中所蕴含的规
师:我们是怎样得到二次根式的乘法法则的? 律性特征，获得二
次根式相除的感性
生:从特殊的几个算式中归纳出来的.
认识，导入新课.
师:接下来，我们用类似的方法来研究二次根式的除法.
2.发现探究，学习新知
【问题1】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规
律？
(1)＝________，＝________；
先列出几个平方数
(2)＝________，＝________； 的根式运算，让学
生观察、猜想，再
(3)＝________，＝________．
用一般的数的根式
师生活动：教师出示问题，引导学生观察运算结果，总结规 进行验证，从而总律． 结出二次根式除法
的法则.
教师追问1：参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填
空，并用计算器加以验证．
教师追问2：你找出二次根式除法运算的规律了吗？
师生活动：请学生总结上述规律，类比二次根式的乘法法
则，尝试写出二次根式除法法则的关系式.
结论：一般地，二次根式的除法法则是
＝(a≥0，b>0).
【应用举例】
通过例题及时巩固
例4 计算：(1)；(2)÷.
所学新知.
解：(1)原式＝＝＝2.
(2)原式＝＝＝3.
【问题2】把＝(a≥0，b>0)反过来，仍然成立吗？
学生分组讨论，师生共同总结，得出商的算术平方根的性质
＝(a≥0，b>0).
教师追问1：你能理解这个二次根式除法的逆运算吗？ 类比积的算术平方
根，利用逆向思维
教师追问2：类比积的算术平方根的性质，你能说说商的算
发现商的算术平方
术平方根的性质有什么作用吗？
根，并思考商的算
师生活动：教师组织学生独立思考后，再请同学分享想法， 术平方根的应用，
全班共同点评． 在获取新知的同时
培养学生的类比思
总结：商的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．
想.
注意：(1)当a＜0，b＜0时，虽然有意义，但是＝，而不等
于.
(2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，再做计
算．
【应用举例】
√ y3
例5 化简：(1)；(2) .
x2
解：(1)原式＝＝.
√y3 √y2 ·√y y√y
(2)原式＝ ＝ ＝ . 通过典型例题的讲
√x2 x x
解，帮助学生掌握
师生活动：学生独立思考作答，教师提示解题过程中考虑如 本课时的主要内
何逆用二次根式的除法法则，体会逆用法则的意义． 容，理解二次根式
的化简过程．
3.学以致用，应用新知例6 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知
S=，b=，求a.
√10 √10 √10×3 √30 √30
解：因为S＝ab，所以a＝＝ = = ＝ ＝
√3 3 3×3 32 √32
√30
＝ .
3
师生活动：学生独立完成为主，有困难的可以小组讨论，同
学互助完成，教师再检查点评．
【问题3】观察上面各小题的最后结果，总结二次根式的运
算结果应该成为什么样的形式才不用继续化简?
师生活动：学生分组讨论，共同总结.
最简二次根式的特征:
(1)被开方数中不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二
次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 例7进一步巩固所
学知识，培养学生
例7 计算：
的应用意识和能
(1)；(2)；(3). 力．
解：(1)原式＝＝＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝.
(3)原式＝＝＝.
师生活动：学生板书演示，小组评价，教师补充引导注意事
项．
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. B． C． D． 设计不同形式的习
题，为学生提供演
答案：B
练机会，从多个角
（2）计算：①；②. 度检测学生对二次
根式除法的掌握情
答案：①2；②2．
况，强化学生的运
（3）化简：①；②(b>0). 算能力．
答案：①；②.
（3）若二次根式是最简二次根式，求正整数a的最小值．
答案：2.
（4）计算：
①÷×；②÷(－)×3.答案：①；②－3.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点
评、讲解．
5.课堂小结，自我完善
师生共同回顾：
教师让学生自由交
（1） = （a≥0，b＞0）和 = （a≥0，b＞ 流，总结本节课的
0）及其应用； 知识要点，同时进
行自我反思，提高
（2）最简二次根式的意义.
认知，加深对所学
知识的理解.
6.布置作业
教材P10练习第1，2，3题；
教材P10习题19.2第2，4题.
板书设计
二次根式的除法
1.二次根式的除法法则
例题 练习
2.商的算术平方根
例题
3.最简二次根式
例题
教学反思
1.创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次
根式的除法，培养学生继续探究的兴趣.
2.二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规
律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜
测，使学生在交流中体会成功.19.3 二次根式的加法与减法
第 1 课时 二次根式的加减
课题 二次根式的加减 课型 新授课
教学内容 教材第13-14页的内容
1.通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加减法运
算．
2.会二次根式的加减，能通过加减法运算解决实际问题．
教学目标
3.通过整式的加减运算与二次根式的加减运算比较，体会类比思想．
4.经历探究二次根式加减法法则的过程，激发学习热情，体验成功的
快乐．
教学重点：二次根式的加减运算.
教学重难
教学难点：正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实
点
际应用．
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，提出问题
【问题1】你能类比合并同类项化简3+吗？
师生活动：教师引导学生回忆合并同类项的方法，并说明算
理（分配律）.
3+=（3+1） eq ¿(2) =4 eq ¿(2) .
教师追问1：这里的两个二次根式有什么共同特征？你能得
到这样的两个二次根式加减的方法吗？
师生活动：教师引导学生分析，得出共同特征是二次根式的
被开方数相同.这样的二次根式加减，与合并同类项类似，
可以利用分配律对它们进行合并.
教师追问 2：由 3+的运算过程，你能想到怎样计算√27＋
√12了吗？
师生活动：由学生独立完成解答，再全班交流.
通过提出问题，让2.合作探究，形成知识 学生积极参与到课
堂中来，在自主探
【问题2】如何计算√27＋√12？
究中发现问题、总
√27＋√12=3√3+2√3=（3+2）√3=5√3. 结规律.类比整式的
加减，将被开方数
师生活动：教师引导学生得到“先化简，再合并”的运算步
相同的二次根式合
骤：
并．
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方
数相同的二次根式进行合并．
注意：
(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来，包含
前面的符号，被开方数和根指数不变；
(2)当二次根式的系数是带分数时，必须将其化成假分数；
(3)化简后，被开方数不相同的根式不能合并．
3.学以致用，应用新知
通过典型例题的讲
考点1 二次根式的加减运算
解，帮助学生掌握
【例1】 计算：
本课时的主要内
(1)－；(2)＋；
容，理解二次根式
(3)2－6＋3.
的化简过程．
解：(1)原式＝4－3＝.
(2)原式＝3＋5＝8.
(3)原式＝4－2＋12＝14.
【例2】计算：(1)(＋)＋2(－)；
1 3
（2） （√3−√2）- （√2−√27）.
2 4
解：(1)原式＝2＋2＋2－2＝4．
1 1 3 9 11 5
(1)原式＝ √3− √2- √2+ √3= √3− √2.
2 2 4 4 4 4
师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注
学生能否正确化简，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪
些不可以合并．
【例3】现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如
图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和
以实际问题引入新
18 dm2的正方形木板？
课，激发学生的学
习兴趣，感受本节
课学习的必要性，
加强新旧知识的联
系．
师生活动：出示问题，教师引导学生认真读题，分析题意．
教师追问1：两个正方形木块的边长分别是多少？
教师追问2：能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数
学式子表示这个条件吗？师生活动：引导学生分析出“长够、宽也够”的条件，并把
条件表示为数学式子：＋≤7.5，≤5，≤5.从而把问题转化
为判断＋与7.5的大小关系.
解：大正方形木板的边长为 dm，因为<5，所以这块木板够
宽.两个正方形木板的边长的和为(+）dm，而+=2+3=
（2+3）=5.
由<1.5可知5<7.5，即两个正方形木板的边长的和小于
这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 8dm²
和18dm²的正方形木板。
师生活动：学生分组讨论，学生可能会想到直接取近似值.
教师可以引导学生分析其中存在的问题（例如，两次取近似
值影响精确度），并寻求解决问题的方法，即先化简再求近
似值，从而出本节课的学习任务.
4.随堂训练，巩固新知
通过随堂练习，巩
（1）下列根式中可以与合并的是( )
固课堂所学内容，
A. B． C． D．
检测学习效果.
答案：B
其中，要注意强调
（2）下列计算正确的是( )
二次根式加减运算
A.5－4＝1 B．＋＝
与乘除运算的联系
C.－＝ D．3＋2＝5
和区别，避免一些
答案：C
常见的错误，提高
（3）三角形的三边长分别为 cm， cm， cm，则这个三角形 解题的准确度．
的周长为 cm.
答案：5＋2
（4）计算：① - ；② .
答案：① . ② .
（5）计算：
①5－2＋；②2－＋.
答案：①13－6.②＋.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点
评、讲解．
5.课堂小结，自我完善
通过具体问题的思
回答下面的问题，说说你对二次根式加减运算的认识：
考，引导学生总结
（1）二次根式加减运算的一般步骤是什么？每一个步骤的 二次根式加减的方
依据是什么？ 法、依据及基本思
想，实现记忆的结
（2）在二次根式的加减中，有哪些地方容易出现错误？怎
构化、简约化，优
样避免？
化知识结构.6.布置作业
教材P14练习第1.2，3题；
教材P16习题19.3第1，2，4题.
板书设计
二次根式的加减
1.被开方数相同的最简二次根式
2.二次根式的加减
例题
练习
教学反思
1.创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨
论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式
的加减运算法则.
2.在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，
让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到
难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定
义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，
体会学习知识的成功与快乐．19.3 二次根式的加法与减法
第 2 课时 二次根式的混合运算
课题 二次根式的混合运算 课型 新授课
教学内容 教材第15页的内容
1.掌握混合运算的法则，明确三级运算的顺序，合理使用运算律，能
熟练地进行二次根式的混合运算．
教学目标
2.熟练掌握含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
3.通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习习惯，体会类比思想．
教学重点：混合运算的法则、三级运算的顺序及运算律的合理使用．
教学重难
教学难点：灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便．
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课
创设计算梯形面积
的情境，激发学生
如果梯形的上、下底边长分别为 2 cm，4 cm，高为
的学习兴趣，感受
cm，那么它的面积是多少?
本节课学习的必要
性，顺利引入新
下面的计算正确吗？
课．
师生活动：教师出示问题，倾听学生的交流，指导学生探
究，从而列出正确的式子.
2.发现探究，学习新知
针对上面的问题，在教师的引导下，学生列出算式： (2
继续就上面的问题
+4 )× .
进行探讨，让学生
在交流探究中成
长，学生通过问题
【问题1】怎样计算 (2 +4 )× ?
的研究明白有理数
教师追问：你能联想到我们以前学过的整式运算中的哪一种 乘法的运算律同样
运算？ 适用于二次根式的
混合运算.
师生活动：学生分组讨论，交流合作，探求方法．教师引导学生回忆学习过的整式乘法中的分配律，类比单项式乘多项
式尝试计算，并全班交流，得出结论.
总结:有理数乘法的运算律同样适用于二次根式的混合运算. 类比整式的混合运
算以及乘法公式，
【问题2】你能根据多项式乘多项式的方法计算下面的式子
学生通过小组合
吗？
作，很容易得到二
(－2)(2－). 次根式混合运算的
顺序．
教师追问：你能说出整式的乘法公式吗？你能根据公式计算
下列式子吗？ 教学中鼓励学生参
与探究，合作交
①(－2)(＋2)；②(－2)2.
流，归纳总结，体
师生活动：学生分小组进行交流讨论，教师巡视指导，注意 会数学的学习乐
提醒学生2平方时，要把外面的2和都平方．最后请学生类 趣．
比有理数混合运算的顺序，说出二次根式混合运算的顺序．
归纳：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的；
(2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然
适用．
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的混合运算
通过例题教学，帮
【例4】计算： 助学生巩固所学知
识.使学生对二次根
(1)(＋)×；
式的混合运算能够
(2)(4－3)÷2. 理解得更到位．
解：(1)原式＝4＋3.(2)原式＝2－.
考点2 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
【例5】计算：
(1)(＋3)(－5)；
(2)(＋)(－).
解：(1)原式＝－13－2.(2)原式＝2.
师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注
通过随堂练习，进
关注学生对运算法则的运用是否正确，并再次强调哪些二次
一步巩固课堂所学
根式可以合并，哪些不可以合并．
内容，检测学习效
4.随堂训练，巩固新知 果，使学生熟练掌
握二次根式的混合
（1）计算(－)的结果为( )
运算，提升运算能
A. B．－ 力.
C．－6 D．6－
答案：B
（2）（天津中考）计算( + )( - )的结果等于.
答案：3
（3）计算：(＋)2－＝ ．
答案：5
（4）计算：①÷－×2；
②÷(－)－×＋.
答案：①2－6.②－4.
（5）已知x=2- ，求(7+4 )x2+(2+ )x+ 的值.
答案:2+
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点
评、讲解． 通过小结，帮助学
生梳理本节课所学
5.课堂小结，自我完善
内容，强化记忆，
（1）二次根式的四则运算：先算乘方(开方)，再算乘除， 课后练习巩固，让
最后算加减，有括号的先算括号内的． 所学知识得以运用.
（2）运用乘法公式和运算律进行计算：在二次根式的运算
中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．
6.布置作业
教材P15练习第1，2题；
教材P16复习题16.3第3，5，7，10题.
板书设计
二次根式的混合运算
1.二次根式混合运算的顺序 例题
2.乘法公式在二次根式混合运算中的应用 练习教学反思
情境导入，小组讨论，利用以前的知识探究新知识，体
会二次根式的运算与整式的整式运算的联系，有利于学生对
知识的系统把握.
教学中要以练习为主，让学生在实例中理解，并及时进
行巩固练习和应用新知.同时加强师生交流，以激发学生的
学习兴趣.
