文档内容
第十九章 二次根式1. 熟练掌握二次根式全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型。
1. 重点
（1）二次根式有意义的条件；
（2）二次根式的性质；
（3）二次根式的运算。
教学重难点
2. 难点
（1）含有多个二次根式以及在特殊位置时必须同时满足都有意义；
（1）利用二次根式的性质及其逆运算进行化简；
（2）二次根式的运算及其化简求值。
考点01 二次根式的概念
1. 二次根式的概念：
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。
①“ ”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数；
【题型1】判断式子是否是二次根式
1．在下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．√32 B．❑√−10 C．❑√a2+1 D．❑√a
【答案】C
【解答】解：A、是三次根式；故本选项符合题意；
B、被开方数﹣10＜0，不是二次根式；故本选项不符合题意；
C、被开方数a2+1＞0，符合二次根式的定义；故本选项符合题意；
D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列各式是二次根式的有（ ）
（1）❑√21；（2）❑√−19；（3）❑√x2+1；（4）√3 9；（5）❑√−2x−2．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：二次根式有（1）❑√21，（3）❑√x2+1，故选：C．
考点02 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件：
二次根式中的被开方数是非负数。即❑√a中a≥0。
注意：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必
须是非负数；
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零，
【题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围
3．若二次根式❑√x−2有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故选：C．
4．已知实数a满足|2024−a|+❑√a−2025=a，则a﹣20242的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．20242 D．20252
【答案】B
【解答】解：已知实数a满足|2024−a|+❑√a−2025=a，
∵❑√a−2025要有意义，
∴a﹣2025≥0，
∴a≥2025，
∴2024﹣a＜0，
∴|2024−a|+❑√a−2025=a−2024+❑√a−2025=a，即❑√a−2025=2024，
∴a﹣2025＝20242，
∴a﹣20242＝2025，
故选：B．
【题型2】二次根式有意义的条件—分式中
❑√x+7
5．若 有意义，则x的取值范围为 x ≥﹣ 7 且 x ≠ 3 ．
x−3
【答案】x≥﹣7且x≠3．
【解答】解：根据已知，得x+7≥0且x﹣3≠0，
解得x≥﹣7且x≠3．
故答案为：x≥﹣7且x≠3．1
6．若代数式 有意义，则x的取值范围是 x ＜ 3 ．
❑√3−x
【答案】x＜3．
1
【解答】解：代数式 有意义的x的取值范围是3﹣x＞0，
❑√3−x
解得x＜3，
故答案为：x＜3．
【题型3】二次根式有意义的条件—含多个二次根式
7．若❑√−xy和❑√x−y（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（ ）
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0
【答案】C
【解答】解：根据题意得﹣xy＞0且x﹣y≥0，
解得x＞0，y＜0．
故选：C．
8．若y=❑√2x−1+3❑√1−2x−2，则代数式xy的值为（ ）
1 1
A．4 B． C．﹣4 D．−
4 4
【答案】A
【解答】解：根据题意，得
{2x−1≥0)
，
1−2x≥0
1
解得x= ，
2
∴y＝﹣2；
1 −2
∴xy=( ) =4．
2
故选：A．
❑√16−x2+❑√x2−16−1 7
9．已知实数x、y满足y= ，求 x+ y的立方根．
x+4 8
3
【答案】 ．
2
【解答】解：∵16﹣x2≥0，x2﹣16≥0，
∴x2＝16，
解得x＝±4，
又∵分母中x+4≠0，
∴x≠﹣4，
∴x＝4，0+0−1 1
∴y= =− ，
4+4 8
7 7 1 27
∴ x+ y= ×4− = ，
8 8 8 8
7 √27 3
∴ x+ y的立方根为3 = ．
8 8 2
考点03 二次根式的性质与化简
1. 二次根式的基本性质：
≥0； a≥0（双重非负性）．
（1）
（2）（ ）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
（3） ；
（4）积的算术平方根的性质： ；
（5）商的算术平方根的性质： .
2. 化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
【题型1】二次根式的双重非负性
10．已知❑√a+2+❑√b−1=0，那么（a+b）2025＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵❑√a+2+❑√b−1=0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1，
故选：A．
11．如果❑√2x−6与❑√2+ y互为相反数，那么x2+y的算术平方根是 ❑√7 ．
【答案】❑√7．
【解答】解：根据题意可知，❑√2x−6+❑√2+ y=0，
∴2x﹣6＝0，2+y＝0，解得：x＝3，y＝﹣2，
∴x2+y＝32+（﹣2）＝9﹣2＝7，
∴x2+y的算术平方根是❑√7．
故答案为：❑√7．
12．若|a+1|+b2−4b+4+❑√c+3=0，则a+b3+c2的算术平方根（ ）
A．4 B．16 C．±4 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：∵b2﹣4b+4＝（b﹣2）2，
∴原式可化为|a+1|+(b−2) 2+❑√c+3=0，
∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，
∴a+b3+c2＝﹣1+23+（﹣3）2＝16，
∵❑√16=4，
∴a+b3+c2的算术平方根为4，
故选：A．
【题型2】二次根式的化简
13．化简：❑√(3−π) 2= ﹣ 3 ．
【答案】 ﹣3 π
【解答】解：∵3﹣ ＜0，
π
∴原式＝|3﹣ |
π
＝ ﹣3．
π
故答案为： ﹣3．
π
14．已知1≤a≤ π 2，化简❑√a2−2a+1+|a−2|= 1 ．
【答案】1．
【解答】解：由条件可知a﹣1≥0，a﹣2≤0，
∴原式＝|a﹣1|+|a﹣2|
＝a﹣1﹣（a﹣2）＝a﹣1﹣a+2＝1．
故答案为：1．
【题型3】根据二次根式的性质求取值范围
15．若x−❑√(x−2) 2=2，则（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
【答案】A
【解答】解：∵x−❑√(x−2) 2=2，
∴❑√(x−2) 2=x﹣2，
∴x﹣2≥0，解得：x≥2，
故选：A．
16．若❑√(a−5) 2=5−a，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
【答案】D
【解答】解：若❑√(a−5) 2=5−a，
则a﹣5≤0，
解得a≤5，
故选：D．
【题型4】二次根式为整数
17．已知n是正整数，❑√20n是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：❑√20n=❑√4×5n=2❑√5n，
∵❑√20n是整数，
∴n的最小值是5，
故选：D．
18．已知❑√13−m是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．1 D．4
【答案】D
【解答】解：∵❑√13−m是整数，
∴13﹣m为完全平方数，
∵当m最小取4时，13﹣m＝13﹣4＝9，此时❑√13−m=❑√9=3，
∴自然数m的最小值为4．
故选：D．
【题型5】二次根式的化简—二次根式与数轴
19．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简❑√a2−|b−a|的结果为（ ）
A．﹣b B．b C．﹣2a+b D．2a﹣b
【答案】A
【解答】解：由数轴可知b﹣a＞0，
∴❑√a2−|b−a|=−a−b+a=−b，
故选：A．
20．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简❑√a2−|a+b|+❑√(c−a) 2+|b+c|=（ ）A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
【答案】B
【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，
∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a，
故选：B．
【题型6】二次根式的化简—二次根式与三角形的三边关系
21．若2、5、n为三角形的三边长，则化简❑√(3−n) 2+❑√(8−n) 2的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5
【答案】A
【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，
∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，
原式＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）
＝﹣3+n+8﹣n
＝5，
故选：A．
22．已知a，b，c为三角形的三边，则❑√(a+b−c) 2+❑√(b−c−a) 2+❑√(b+c−a) 2= a + b + c ．
【答案】a+b+c
【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，
∴❑√(a+b−c) 2+❑√(b−c−a) 2+❑√(b+c−a) 2=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|＝a+b﹣c+a+c﹣b+b+c﹣a＝
a+b+c．
故答案为：a+b+c．
【题型7】二次根式的化简—根号外的式子移到根号离
√ 1
23．二次根式x❑− 化成最简结果为（ ）
x
A．❑√x B．−❑√−x C．−❑√x D．❑√−x
【答案】B
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：
x＜0，
√ 1
∴原式=−❑ x2×(− )=−❑√−x．
x故选：B．
√ a+1
24．化简二次根式a❑− ，结果是（ ）
a2
A．❑√a+1 B．−❑√a−1 C．−❑√−a−1 D．−❑√−a+1
【答案】C
a+1
【解答】解：∵a2＞0，− ≥0，
a2
∴﹣（a+1）≥0，
∴a≤﹣1，
❑√−a−1
∴原式=a×
−a
=−❑√−a−1．
故选：C．
【题型7】二次根式的化简—双重根号的化简
25．化简❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2的结果是（ ）
A．3+❑√2 B．3−2❑√2 C．3+2❑√2 D．3−❑√2
【答案】D
【解答】解：❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2
=❑√ 23−6❑√ 10+4❑√ (❑√2−1) 2
=❑√23−6❑√10+4(❑√2−1)
=❑√23−6❑√10+4❑√2−4
=❑√23−6❑√4❑√2+6
=❑√ 23−6❑√ (2+❑√2) 2
=❑√23−6(2+❑√2)
=❑√23−12−6❑√2
=❑√11−6❑√2
=❑√ (3−❑√2) 2
=3−❑√2，
故选：D．
26．阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如4+2❑√3=(1+❑√3) 2，
善于思考的小颖进行了以下探索：
设x+ y❑√3=(m+n❑√3) 2（其中x，y，m，n均为正整数），则有x+ y❑√3=m2+3n2+2mn❑√3，∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分x+❑√3 y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x，y，m、n均为正整数且x+ y❑√5=(m+n❑√5) 2时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝
m 2 +5 n 2 ；y＝ 2 m n ；
（2）若x+4❑√3=(m+n❑√3) 2，且x，m，n均为正整数，求x的值；
（3）①填空：❑√4+2❑√3= 1+❑√3 ；
②化简：❑√4−❑√9+2❑√8．
【答案】（1）m2+5n2，2mn；
（2）x＝7或x＝13；
（3）①1+❑√3；②❑√2−1．
【解答】解：（1）x+ y❑√5=(m+n❑√5) 2=m2+5n2+2mn❑√5，
∴x＝m2+5n2，y＝2mn；
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2）x+4❑√3=(m+n❑√3) 2=m2+3n2+2mn❑√3，
∴x＝m2+3n2，4＝2mn，
∴mn＝2，
∵m，n均为正整数，
∴当m＝1时，n＝2，
此时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13；
当m＝2时，n＝1；
此时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7；
∴x＝7或x＝13；
（3）①❑√4+2❑√3=❑√1+2❑√3+3=❑√ (1+❑√3) 2=1+❑√3；
故答案为：1+❑√3；
②❑√4−❑√9+2❑√8
=❑√4−❑√1+2❑√8+8
=❑√ 4−❑√ (1+❑√8) 2
=❑√4−(1+2❑√2)
=❑√4−1−2❑√2
=❑√3−2❑√2
=❑√1−2❑√2+2=❑√12−2❑√2+(❑√2) 2=❑√(1−❑√2) 2=❑√2−1
=❑√ (1−❑√2) 2=❑√2−1．
考点04 最简二次根式
1. 最简二次根式：
最简二次根式必须同时满足一下三个条件：
（1）被开方数不含开方开得尽的因数或因式；
（2）被开方数不含分母；
（3）分母中不含根号。
注意：若被开方数是式子时，能进行因式分解的要先因式分解然后再判断。
【题型1】判断最简二次根式
27．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√12 B．❑√0.5 C．❑ D．❑√13
3
【答案】D
【解答】解：A、❑√12=2❑√3，故此选项不符合题意；
❑√2
B、❑√0.5= ，故此选项不符合题意；
2
√1 ❑√3
C、❑ = ，故此选项不符合题意；
3 3
D、❑√13是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
28．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
√a
A．❑√0.5 B．❑√9a C．❑√a2+b2 D．❑
2
【答案】C
【解答】解：根据最简二次根式定义：最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数
或因式，逐项分析判断如下：
√1
A：❑√0.5 ＝ ❑ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意；
2
B：❑√9a ＝ 3❑√a，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意；
C：❑√a2+b2，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意；
√a
D：❑ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意．
2
故选：C．
考点05 二次根式的乘除运算2. 二次根式的乘法法则：❑√a · ❑√b ＝❑√ab （a≥0，b≥0）
推广：a❑√m∙b❑√n=ab❑√mn(a≥0，b≥0)
3. 积的算术平方根性质：❑√ab ＝ ❑√a · ❑√b （a≥0，b≥0）
❑√a √a
4. 二次根式的除法法则： ＝❑ （a≥0，b＞0）
❑√b b
a❑√m a √m
推广： = ❑ (m≥0，n>0，b≠0)
b❑√n b n
商的算术平方根的性质：
❑
√a
＝
❑√a
（a≥0，b＞0）
5. b ❑√b
【题型1】二次根式的乘除运算
√5 √4
29．❑√35×❑ ÷❑ ．
2 7
【答案】见试题解答内容
√ 5 4
【解答】解：原式=❑35× ÷
2 7
√352
=❑
8
35❑√2
= ．
4
√1
30．计算：❑√12÷❑√3—❑√48×❑ ．
3
【答案】﹣2
√1
【解答】解：❑√12÷❑√3−❑√48×❑
3
=❑√4−❑√16
＝2﹣4
＝﹣2．
2 1 √b 3
31．计算 ❑√ab2÷ ❑ ⋅(− ❑√a3b)．
b 3 a 2
【答案】﹣9a2❑√a．
2 3 √ a
【解答】解：原式=− ×3× ×❑ab2 ⋅ ⋅a3b
b 2 b
9
=− ❑√a5b2
b
9
=− a2b❑√a
b
=−9a2❑√a．3 √a3
32．计算：12❑√a2b3÷ ❑√a3b×❑ ．
2 b
【答案】8a❑√b．
3 √a2b3 a3
【解答】解：原式＝（12÷ ×1）•❑ ⋅
2 a3b b
＝8❑√a2b
＝8a❑√b．
【题型2】积的算术平方根与商的算术平方根成立的条件
√3−x ❑√3−x
33．等式❑ = 成立的x的取值范围是 ﹣ 1 ＜ x ≤ 3 ．
1+x ❑√1+x
【答案】﹣1＜x≤3．
【解答】解：∵3﹣x≥0且1+x＞0，
∴﹣1＜x≤3．
故答案为：﹣1＜x≤3．
34．若❑√(x−1)(2−x)=❑√x−1⋅❑√2−x，则x的取值范围是 1 ≤ x ≤ 2 ．
【答案】1≤x≤2．
【解答】解：∵❑√(x−1)(2−x)=❑√x−1⋅❑√2−x，
∴x﹣1≥0，2﹣x≥0，
∴1≤x≤2，
故答案为：1≤x≤2．
考点06 分母有理化
1. 分母有理化的概念：
分母有理化是指把分母中的根号化去。
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。
2. 有理化因式的概念：
两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式。一
个二次根式的有理化因式不止一个。
3. 常用的有理化因式
❑√a与❑√a；❑√a＋b
与
❑√a＋b
；
❑√a－b
与
❑√a－b；❑√a＋❑√b与❑√a－❑√b；a❑√b＋c❑√d与a❑√b－c❑√d
等。
1 ❑√a ❑√a ❑√a 1 ❑√a∓❑√b ❑√a∓❑√b ❑√a∓❑√b
= = = ； = = =
例子：
❑√a ❑√a∙❑√a (❑√a) 2 a ❑√a±❑√b (❑√a±❑√b)(❑√a∓❑√b) (❑√a) 2 −(❑√b) 2 a−b
【题型1】求分母的有理化因式
35．二次根式❑√a+b的有理化因式是（ ）A．❑√a+b B．❑√a+❑√b C．❑√a−b D．❑√a−❑√b
【答案】A
【解答】解：二次根式❑√a+b的有理化因式是❑√a+b，
故选：A．
36．下列式子中，与2❑√3−❑√2互为有理化因式的是（ ）
A．2❑√3−❑√2 B．2❑√3+❑√2 C．❑√3+2❑√2 D．❑√3−2❑√2
【答案】B
【解答】解：∵（2❑√3−❑√2）（2❑√3+❑√2）
＝12﹣2
＝10，
∴与2❑√3−❑√2互为有理化因式的是：2❑√3+❑√2，
故选：B．
37．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是❑√x−❑√y的有理化因式的是（ ）
1
A．❑√x+❑√y B．−❑√x−❑√y C．❑√x+ y D．
❑√x−❑√y
【答案】C
【解答】解：A、(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y)=x−y，结果不含根式，不符合题意；
B、(❑√x−❑√y)(−❑√x−❑√y)=−(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y)=−(x−y)=−x+ y，结果不含根式，不符合题
意；
C、(❑√x−❑√y)⋅❑√x+ y=❑√x(x+ y)−❑√y(x+ y)，结果仍含根式，符合题意；
1
D、(❑√x−❑√y)⋅ =1，结果不含根式，不符合题意．
❑√x−❑√y
故选：C．
【题型2】判断二次根式的关系或比较大小
2
38．已知a=❑√5+❑√3，b = ，则a与b的关系是（ ）
❑√5−❑√3
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
【答案】A
2 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
【解答】解：b= = =❑√5+❑√3，a=❑√5+❑√3，
❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3
故选：A．
39．已知a=❑√3+❑√2，b=❑√3−❑√2，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
【答案】B
【解答】解：∵a=❑√3+❑√2，b=❑√3−❑√2，∴ab＝（❑√3+❑√2）（❑√3−❑√2）＝1，
故a与b的关系为互为倒数．
故选：B．
【题型3】利用分母有理化化简求值
40．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分
到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、
新结论的重要方法．例如(❑√2+1)(❑√2−1)=1，(❑√6+❑√3)(❑√6−❑√3)=3，观察它们的结果，积不含
根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除
1 1×❑√2 ❑√2 2+❑√2 (2+❑√2) 2
法可以这样解：如 = = ， = =3+2❑√2.像这样通过分子、分
❑√2 ❑√2×❑√2 2 2−❑√2 (2−❑√2)×(2+❑√2)
母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化．
解决问题：
1 ❑√5 1
（1）将 分母有理化得 ， 分母有理化得 ❑√6+❑√5 ．
❑√5 5 ❑√6−❑√5
3 3 3 3
（2）利用上述方法，化简 + + +⋯+ ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√100
❑√5
【答案】（1） ，❑√6+❑√5；
5
（2）27．
1 1×❑√5 ❑√5
【解答】解：（1） = = ，
❑√5 ❑√5×❑√5 5
1 1×(❑√6+❑√5)
= =❑√6+❑√5．
❑√6−❑√5 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)
❑√5
故答案为： ，❑√6+❑√5．
5
3 3 3 3
（2） + + +⋯+
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√100
3(❑√2−1) 3(❑√3−❑√2) 3(❑√4−❑√3) 3(❑√100−❑√99)
= + + +⋯+
(❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√100+❑√99)(❑√100−❑√99)
=3×(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√100−❑√99)
=3×(❑√100−1)
＝3×（10﹣1）
＝27．
41．观察下列等式：
1
第一个等式：a = =❑√2−1，
1 1+❑√21
第二个等式：a = =❑√3−❑√2，
2 ❑√2+❑√3
1
第三个等式：a = =2−❑√3，
3 ❑√3+2
1
第四个等式：a = =❑√5−2，
4 2+❑√5
…
按照上述规律，回答以下问题：
1
（1）请写出第n个式子： a = =❑√n+1−❑√n ；
n ❑√n+❑√n+1
（2）请求出a +a +…+a ；
1 2 n
（3）请求出a +a +…+a ．
21 22 45
1
【答案】（1）a = =❑√n+1−❑√n；（2）❑√n+1−1；（3）❑√46−❑√21．
n ❑√n+❑√n+1
1
【解答】解：（1）第一个等式：a = =❑√2−1，
1 1+❑√2
1
第二个等式：a = =❑√3−❑√2，
2 ❑√2+❑√3
1
第三个等式：a = =2−❑√3，
3 ❑√3+2
1
第四个等式：a = =❑√5−2，
4 2+❑√5
1
按上述规律可知，a = =❑√6−❑√5，
5 ❑√5+❑√6
1
a = =❑√7−❑√6，
6 ❑√6+❑√7
……
1
a = =❑√n+1−❑√n．
n ❑√n+❑√n+1
1
故答案为：a = =❑√n+1−❑√n；
n ❑√n+❑√n+1
（2）a +a +⋅⋅⋅+a =❑√2−1+❑√3−❑√2+2−❑√3+❑√5−2+⋅⋅⋅+❑√n+1−❑√n=❑√n+1−1；
1 2 n
（3）a +a +⋅⋅⋅+a =❑√22−❑√21+❑√23−❑√22+❑√24−❑√23+⋅⋅⋅+❑√46−❑√45=❑√46−❑√21．
21 22 45
考点07 同类二次根式
1. 同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做
同类二次根式。2. 合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。
即：a❑√m±b❑√m=(a±b)❑√m(m≥0)
【题型1】判断同类二次根式
42．下列二次根式中与❑√2是同类二次根式的是（ ）
A．❑√50 B．❑√12 C．❑√10 D．❑√4
【答案】A
【解答】解：A、❑√50=5❑√2，与❑√2是同类二次根式，故此选项符合题意；
B、❑√12=2❑√3，与❑√2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、❑√10与❑√2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、❑√4=2，与❑√2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
43．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
√3
A．❑√2与❑√12 B．❑ 与❑√3 C．❑√4与❑√8 D．❑√6与❑√3
4
【答案】B
【解答】解：A、❑√12=❑√4×3=2❑√3，
则❑√2与❑√12不是同类二次根式，不符合题意；
√3 ❑√3
B、❑ = ，
4 2
√3
则❑ 与❑√3是同类二次根式，符合题意；
4
C、❑√4=2，❑√8=2❑√2，
则❑√4与❑√8不是同类二次根式，不符合题意；
D、❑√6与❑√3不是同类二次根式，不符合题意；
故选：B．
【题型2】根据同类二次根式的定义求值
44．若❑√12与最简二次根式❑√2t−1能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：❑√12=2❑√3，而❑√12与最简二次根式❑√2t−1能合并成一项，
所以2t﹣1＝3，
解得t＝2，
故选：C．
45．若最简二次根式❑√x−2y+10与最简二次根式❑√2x−y+6是同类二次根式，则x+y＝ 4 ．【答案】4．
【解答】解：由题意得，x﹣2y+10＝2x﹣y+6，
∴x+y＝4．
故答案为：4．
考点08 二次根式的加减法
1. 二次根式的加减法法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合
并方法为系数相加减，根式不变．
2. 二次根式的加减运算步骤：
①去——如果有括号，根据去括号法则去掉括号；
②化——把不是最简二次根式的二次根式进行化简；
③并——合并被开方数相同的二次根式。
【题型1】二次根式的加减运算
1 √ 1
46．计算： ❑√45+5❑3 −3❑√20．
3 5
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式=❑√5+4❑√5−6❑√5
=−❑√5．
❑√2 √1 ❑√27
47．计算：❑√32+ −(❑ − )．
4 3 3
17❑√2 2❑√3
【答案】 + ．
4 3
❑√2 √1 ❑√27
【解答】解：❑√32+ −(❑ − )
4 3 3
❑√2 ❑√3
＝4❑√2+ −（ −❑√3）
4 3
17❑√2 2❑√3
= + ．
4 3
√ 1
48．计算：a❑√8a−2a2❑ +3❑√2a3．
8a
【答案】见试题解答内容
√ 1
【解答】解：a❑√8a−2a2❑ +3❑√2a3
8a
❑√2a
＝2a❑√2a−2a2• +3a❑√2a
4a1
＝2a❑√2a− a❑√2a+3a❑√2a
2
9
= a❑√2a．
2
1 √1 √ 1
49．计算： ❑√4a+❑ −2a❑ ．
a a a3
1
【答案】故答案为： ❑√a．
a
1 √1 √ 1
【解答】解： ❑√4a+❑ −2a❑
a a a3
2 1 2
= ❑√a+ ❑√a− ❑√a
a a a
1
= ❑√a．
a
考点09 二次根式的混合运算
1. 二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用。学习二次根式的混合运算应
注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
2. 二次根式的运算结果要化为最简二次根式。
【题型1】二次根式的混合运算
50．计算：
（1）√327−|2−❑√5|−(1−❑√5)+❑√(−3) 2；
（2）(❑√3+2❑√2) 2−(❑√3−2❑√2) 2．
【答案】（1）7；
（2）8❑√6．
【解答】解：（1）原式＝3﹣（❑√5−2）﹣（1−❑√5）+3
＝3−❑√5+2﹣1+❑√5+3
＝7；
（2）原式＝3+4❑√6+8﹣3+4❑√6−8
＝8❑√6．
51．计算：
❑√12+❑√27 √ 9
（1） −❑√5×❑ ；
❑√3 20
（2）(❑√5−2)(❑√5+2)−(❑√3−❑√2) 2．7
【答案】（1） ；
2
（2）−4+2❑√6．
❑√12 ❑√27 √9
【解答】解：（1）原式= + −❑
❑√3 ❑√3 4
3
=2+3−
2
7
= ；
2
（2）原式=5−4−(3−2❑√6+2)
=1−(5−2❑√6)
=−4+2❑√6．
1 3 √ y2
52．计算： ❑√x2y−4❑√x y2÷ ❑ ．
3 4 x
1 16x
【答案】 x❑√y− ．
3 3
【解答】解：由题意可得x2y≥0，xy2≥0，x＞0，y≠0，
∵x2≥0，y2≥0，
∴x＞0，y＞0，
1 3 y❑√x 1 16x
原式= x❑√y−4 y❑√x÷ = x❑√y− ．
3 4x 3 3
【题型2】二次根式的化简求值—二次根式与乘法公式
53．已知a=❑√5+2，b=❑√5−2，求下列代数式的值．
（1）a2﹣b2；
（2）a2+b2+ab．
【答案】（1）8❑√5；
（2）19．
【解答】解：（1）∵a=❑√5+2，b=❑√5−2，
∴a+b=❑√5+2+❑√5−2=2❑√5，a−b=❑√5+2−❑√5+2=4，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4❑√5×4=8❑√5；
（2）∵a=❑√5+2，b=❑√5−2，
∴a+b=❑√5+2+❑√5−2=2❑√5，ab=(❑√5+2)(❑√5−2)=1
原式＝（a+b）2﹣ab
＝20﹣1
＝19．6 6
54．已知x= ，y= ．
❑√7−1 ❑√7+1
1 1 ❑√7
（1）计算x+y＝ 2❑√7 ；xy＝ 6 ； + = ．
x y 3
（2）求x2﹣4xy+y2的值．
❑√7
【答案】（1）2❑√7，6， ；
3
（2）﹣8．
6 6(❑√7+1) 6 6(❑√7−1)
【解答】解：x= = =❑√7+1，y= = =❑√7−1，
❑√7−1 7−1 ❑√7+1 7−1
（1）x+y=❑√7+1+❑√7−1=2❑√7，
xy=(❑√7+1)×(❑√7−1)=7﹣1＝6，
1 1 ❑√7−1 ❑√7+1 2❑√7 ❑√7
+ = + = = ，
x y 6 6 6 3
❑√7
故答案为：2❑√7，6， ；
3
（2）x2﹣4xy+y2＝（x+y）2﹣6xy=(2❑√7) 2−6×6=28﹣36＝﹣8．
【题型3】二次根式的化简求值—二次根式与分式
a❑√b−b❑√a ❑√ab+b
55．已知实数a、b使等式(❑√2a−1) 2+|b−2|=0成立，请先化简，再求值： +1÷ ．
❑√ab−b a+❑√a
❑√a(❑√a+1) 1+4❑√2
【答案】❑√a+ ， ．
❑√b(❑√a+❑√b) 6
【解答】解：∵(❑√2a−1) 2+|b−2|=0，
∴❑√2a−1=0，b−2=0，
1
∴a= ，b=2，
2
a❑√b−b❑√a ❑√ab+b
+1÷
❑√ab−b a+❑√a
❑√ab(❑√a−❑√b) ❑√a(❑√a+1)
= +
❑√b(❑√a−❑√b) ❑√b(❑√a+❑√b)
❑√a(❑√a+1)
=❑√a+ ，
❑√b(❑√a+❑√b)
1
当a= ，b＝2时，
2√1 √1
❑ (❑ +1)
√1 2 2 ❑√2 1+❑√2 1+4❑√2
原式=❑ + = + = ．
2 √1 2 6 6
❑√2(❑ +❑√2)
2
m−n m−4❑√mn+4n 1 1
56．先化简，再求值： + ，其中m= ，n= ．
❑√m−❑√n ❑√m−2❑√n 2 18
5
【答案】2❑√m−❑√n， ❑√2．
6
m−n m−4❑√mn+4n
【解答】解： +
❑√m−❑√n ❑√m−2❑√n
(❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n) (❑√m−2❑√n) 2
= +
❑√m−❑√n ❑√m−2❑√n
=❑√m+❑√n+❑√m−2❑√n
=2❑√m−❑√n，
1 1
当m= ，n= 时，
2 18
❑√2 ❑√2 5
原式=2× − = ❑√2．
2 6 6
【题型4】二次根式的实际应用
57．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求
积 公 式 ， 即 如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 该 三 角 形 的 面 积 为 S
√1 a2+b2−c2 2
=❑ [a2b2−( ) ]．现已知△ABC的三边长分别为1，2，❑√5，则△ABC的面积为（ ）
4 2
A．1 B．2 C．1.5 D．0.5
【答案】A
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，❑√5，则△ABC的面积为：
√1 12+22−(❑√5) 2
∴S=❑ [12×22−( ) 2 ]=1，
4 2
故选：A．
58．有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加2❑√3cm（即DE=2❑√3cm），
宽AB增加7❑√3cm（即BG=7❑√3cm）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
❑√6
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为 cm的长方形木料，请通过计算
2
说明木工乙的想法是否可行．【答案】（1）18cm2（2）木工乙的想法可行，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：❑√192=8❑√3cm，
∴AD=8❑√3−2❑√3=6❑√3cm，AB=8❑√3−7❑√3=❑√3cm．
∴矩形ABCD木板的面积为6❑√3×❑√3=18cm2．
（2）木工乙的想法可行，理由如下：
❑√6
从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为 cm，
2
❑√6 2
∴裁出长为：12÷ =12× =4❑√6cm，
2 ❑√6
由（1）得长方形ABCD的长为6❑√3cm宽为❑√3cm，
❑√12
∵4❑√6=❑√96，6❑√3=❑√108，❑√3= ，
2
❑√6
∴4❑√6＜6❑√3， ＜❑√3，
2
∴可以裁出所求的长方形木料．
∴木工乙的想法可行．
59．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间 t（s）和高度h（m）
√h
近似满足公式t=❑ （不考虑阻力的影响）．
5
（1）求物体从80m的高空落到地面的时间；
（2）小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明
理由；
（3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．某质量为0.2kg
的小球经过3s落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无
防护人体只需要65J的能量）
【答案】（1）物体从80m的高空落到地面的时间为4s；
（2）她的说法不正确，
√160
理由：当h＝160时，t=❑ =❑√32=4❑√2，
5
∵4×2≠4❑√2，
∴小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍的说法是错误的；（3）这个小球在下落过程中所带能量为90J，启示是高空抛物存在很大危险，很可能一个小物体就会
杀伤行人（启示合理即可，答案不唯一）．
【解答】解：（1）当h＝80时．
√80
t=❑ =❑√16=4，
5
即物体从80m的高空落到地面的时间为4s；
（2）她的说法不正确，
√160
理由：当h＝160时，t=❑ =❑√32=4❑√2，
5
∵4×2≠4❑√2，
∴小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍的说法是错误的；
√h
（3）当t＝3时，3=❑ ，得h＝45，
5
质量为0.2kg的小球所带能量为：10×0.2×45＝90（J），
90＞75，
由上可得，这个小球在下落过程中所带能量为90J，启示是高空抛物存在很大危险，很可能一个小物体
就会杀伤行人．
