文档内容
第十九章 二次根式1. 熟练掌握二次根式全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型。
1. 重点
（1）二次根式有意义的条件；
（2）二次根式的性质；
（3）二次根式的运算。
教学重难点
2. 难点
（1）含有多个二次根式以及在特殊位置时必须同时满足都有意义；
（1）利用二次根式的性质及其逆运算进行化简；
（2）二次根式的运算及其化简求值。
考点01 二次根式的概念
1. 二次根式的概念：
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。
①“ ”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数；
【题型1】判断式子是否是二次根式
1．在下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．√32 B．❑√−10 C．❑√a2+1 D．❑√a
2．下列各式是二次根式的有（ ）
（1）❑√21；（2）❑√−19；（3）❑√x2+1；（4）√3 9；（5）❑√−2x−2．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点02 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件：
二次根式中的被开方数是非负数。即❑√a中a≥0。
注意：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必
须是非负数；
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零，【题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围
3．若二次根式❑√x−2有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
4．已知实数a满足|2024−a|+❑√a−2025=a，则a﹣20242的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．20242 D．20252
【题型2】二次根式有意义的条件—分式中
❑√x+7
5．若 有意义，则x的取值范围为 ．
x−3
1
6．若代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
❑√3−x
【题型3】二次根式有意义的条件—含多个二次根式
7．若❑√−xy和❑√x−y（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（ ）
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0
8．若y=❑√2x−1+3❑√1−2x−2，则代数式xy的值为（ ）
1 1
A．4 B． C．﹣4 D．−
4 4
❑√16−x2+❑√x2−16−1 7
9．已知实数x、y满足y= ，求 x+ y的立方根．
x+4 8
考点03 二次根式的性质与化简
1. 二次根式的基本性质：
≥0； a≥0（双重非负性）．
（1）
（2）（ ）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
（3） ；
（4）积的算术平方根的性质： ；
（5）商的算术平方根的性质： .2. 化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
【题型1】二次根式的双重非负性
10．已知❑√a+2+❑√b−1=0，那么（a+b）2025＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
11．如果❑√2x−6与❑√2+ y互为相反数，那么x2+y的算术平方根是 ．
12．若|a+1|+b2−4b+4+❑√c+3=0，则a+b3+c2的算术平方根（ ）
A．4 B．16 C．±4 D．﹣4
【题型2】二次根式的化简
13．化简：❑√(3−π) 2= ．
14．已知1≤a≤2，化简❑√a2−2a+1+|a−2|= ．
【题型3】根据二次根式的性质求取值范围
15．若x−❑√(x−2) 2=2，则（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
16．若❑√(a−5) 2=5−a，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
【题型4】二次根式为整数
17．已知n是正整数，❑√20n是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
18．已知❑√13−m是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．1 D．4
【题型5】二次根式的化简—二次根式与数轴
19．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简❑√a2−|b−a|的结果为（ ）
A．﹣b B．b C．﹣2a+b D．2a﹣b
20．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简❑√a2−|a+b|+❑√(c−a) 2+|b+c|=（ ）
A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
【题型6】二次根式的化简—二次根式与三角形的三边关系
21．若2、5、n为三角形的三边长，则化简❑√(3−n) 2+❑√(8−n) 2的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣522．已知a，b，c为三角形的三边，则❑√(a+b−c) 2+❑√(b−c−a) 2+❑√(b+c−a) 2= a + b + c ．
【题型7】二次根式的化简—根号外的式子移到根号离
√ 1
23．二次根式x❑− 化成最简结果为（ ）
x
A．❑√x B．−❑√−x C．−❑√x D．❑√−x
√ a+1
24．化简二次根式a❑− ，结果是（ ）
a2
A．❑√a+1 B．−❑√a−1 C．−❑√−a−1 D．−❑√−a+1
【题型7】二次根式的化简—双重根号的化简
25．化简❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2的结果是（ ）
A．3+❑√2 B．3−2❑√2 C．3+2❑√2 D．3−❑√2
26．阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如4+2❑√3=(1+❑√3) 2，
善于思考的小颖进行了以下探索：
设x+ y❑√3=(m+n❑√3) 2（其中x，y，m，n均为正整数），则有x+ y❑√3=m2+3n2+2mn❑√3，
∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分x+❑√3 y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x，y，m、n均为正整数且x+ y❑√5=(m+n❑√5) 2时，请用含m、n的式子分别表示x，y，x＝
；y＝ ；
（2）若x+4❑√3=(m+n❑√3) 2，且x，m，n均为正整数，求x的值；
（3）①填空：❑√4+2❑√3= ；
②化简：❑√4−❑√9+2❑√8．
考点04 最简二次根式1. 最简二次根式：
最简二次根式必须同时满足一下三个条件：
（1）被开方数不含开方开得尽的因数或因式；
（2）被开方数不含分母；
（3）分母中不含根号。
注意：若被开方数是式子时，能进行因式分解的要先因式分解然后再判断。
【题型1】判断最简二次根式
27．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√12 B．❑√0.5 C．❑ D．❑√13
3
28．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
√a
A．❑√0.5 B．❑√9a C．❑√a2+b2 D．❑
2
考点05 二次根式的乘除运算
2. 二次根式的乘法法则：❑√a · ❑√b ＝❑√ab （a≥0，b≥0）
推广：a❑√m∙b❑√n=ab❑√mn(a≥0，b≥0)
3. 积的算术平方根性质：❑√ab ＝ ❑√a · ❑√b （a≥0，b≥0）
❑√a √a
4. 二次根式的除法法则： ＝❑ （a≥0，b＞0）
❑√b b
a❑√m a √m
推广： = ❑ (m≥0，n>0，b≠0)
b❑√n b n
商的算术平方根的性质：
❑
√a
＝
❑√a
（a≥0，b＞0）
5. b ❑√b
【题型1】二次根式的乘除运算
√5 √4
29．❑√35×❑ ÷❑ ．
2 7
√1
30．计算：❑√12÷❑√3—❑√48×❑ ．
3
2 1 √b 3
31．计算 ❑√ab2÷ ❑ ⋅(− ❑√a3b)．
b 3 a 23 √a3
32．计算：12❑√a2b3÷ ❑√a3b×❑ ．
2 b
【题型2】积的算术平方根与商的算术平方根成立的条件
√3−x ❑√3−x
33．等式❑ = 成立的x的取值范围是 ．
1+x ❑√1+x
34．若❑√(x−1)(2−x)=❑√x−1⋅❑√2−x，则x的取值范围是 ．
考点06 分母有理化
1. 分母有理化的概念：
分母有理化是指把分母中的根号化去。
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。
2. 有理化因式的概念：
两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式。一
个二次根式的有理化因式不止一个。
3. 常用的有理化因式
❑√a与❑√a；❑√a＋b与❑√a＋b；❑√a－b与❑√a－b；❑√a＋❑√b与❑√a－❑√b；a❑√b＋c❑√d与a❑√b－c❑√d
等。
1 ❑√a ❑√a ❑√a 1 ❑√a∓❑√b ❑√a∓❑√b ❑√a∓❑√b
= = = ； = = =
例子：
❑√a ❑√a∙❑√a (❑√a) 2 a ❑√a±❑√b (❑√a±❑√b)(❑√a∓❑√b) (❑√a) 2 −(❑√b) 2 a−b
【题型1】求分母的有理化因式
35．二次根式❑√a+b的有理化因式是（ ）
A．❑√a+b B．❑√a+❑√b C．❑√a−b D．❑√a−❑√b
36．下列式子中，与2❑√3−❑√2互为有理化因式的是（ ）
A．2❑√3−❑√2 B．2❑√3+❑√2 C．❑√3+2❑√2 D．❑√3−2❑√237．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是❑√x−❑√y的有理化因式的是（ ）
1
A．❑√x+❑√y B．−❑√x−❑√y C．❑√x+ y D．
❑√x−❑√y
【题型2】判断二次根式的关系或比较大小
2
38．已知a=❑√5+❑√3，b = ，则a与b的关系是（ ）
❑√5−❑√3
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
39．已知a=❑√3+❑√2，b=❑√3−❑√2，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
【题型3】利用分母有理化化简求值
40．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分
到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、
新结论的重要方法．例如(❑√2+1)(❑√2−1)=1，(❑√6+❑√3)(❑√6−❑√3)=3，观察它们的结果，积不含
根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除
1 1×❑√2 ❑√2 2+❑√2 (2+❑√2) 2
法可以这样解：如 = = ， = =3+2❑√2.像这样通过分子、分
❑√2 ❑√2×❑√2 2 2−❑√2 (2−❑√2)×(2+❑√2)
母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化．
解决问题：
1 1
（1）将 分母有理化得 ， 分母有理化得 ．
❑√5 ❑√6−❑√5
3 3 3 3
（2）利用上述方法，化简 + + +⋯+ ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√100
41．观察下列等式：1
第一个等式：a = =❑√2−1，
1 1+❑√2
1
第二个等式：a = =❑√3−❑√2，
2 ❑√2+❑√3
1
第三个等式：a = =2−❑√3，
3 ❑√3+2
1
第四个等式：a = =❑√5−2，
4 2+❑√5
…
按照上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个式子： = ；
（2）请求出a +a +…+a ；
1 2 n
（3）请求出a +a +…+a ．
21 22 45
考点07 同类二次根式
1. 同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做
同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。
即：a❑√m±b❑√m=(a±b)❑√m(m≥0)
【题型1】判断同类二次根式
42．下列二次根式中与❑√2是同类二次根式的是（ ）
A．❑√50 B．❑√12 C．❑√10 D．❑√4
43．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
√3
A．❑√2与❑√12 B．❑ 与❑√3 C．❑√4与❑√8 D．❑√6与❑√3
4【题型2】根据同类二次根式的定义求值
44．若❑√12与最简二次根式❑√2t−1能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
45．若最简二次根式❑√x−2y+10与最简二次根式❑√2x−y+6是同类二次根式，则x+y＝ ．
考点08 二次根式的加减法
1. 二次根式的加减法法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合
并方法为系数相加减，根式不变．
2. 二次根式的加减运算步骤：
①去——如果有括号，根据去括号法则去掉括号；
②化——把不是最简二次根式的二次根式进行化简；
③并——合并被开方数相同的二次根式。
【题型1】二次根式的加减运算
1 √ 1
46．计算： ❑√45+5❑3 −3❑√20．
3 5
❑√2 √1 ❑√27
47．计算：❑√32+ −(❑ − )．
4 3 3
√ 1
48．计算：a❑√8a−2a2❑ +3❑√2a3．
8a
1 √1 √ 1
49．计算： ❑√4a+❑ −2a❑ ．
a a a3
考点09 二次根式的混合运算1. 二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用。学习二次根式的混合运算应
注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
2. 二次根式的运算结果要化为最简二次根式。
【题型1】二次根式的混合运算
50．计算：
（1）√327−|2−❑√5|−(1−❑√5)+❑√(−3) 2；
（2）(❑√3+2❑√2) 2−(❑√3−2❑√2) 2．
51．计算：
❑√12+❑√27 √ 9
（1） −❑√5×❑ ；
❑√3 20
（2）(❑√5−2)(❑√5+2)−(❑√3−❑√2) 2．
1 3 √ y2
52．计算： ❑√x2y−4❑√x y2÷ ❑ ．
3 4 x
【题型2】二次根式的化简求值—二次根式与乘法公式
53．已知a=❑√5+2，b=❑√5−2，求下列代数式的值．（1）a2﹣b2；
（2）a2+b2+ab．
6 6
54．已知x= ，y= ．
❑√7−1 ❑√7+1
1 1
（1）计算x+y＝ ；xy＝ ； + = ．
x y
（2）求x2﹣4xy+y2的值．
【题型3】二次根式的化简求值—二次根式与分式
a❑√b−b❑√a ❑√ab+b
55．已知实数a、b使等式(❑√2a−1) 2+|b−2|=0成立，请先化简，再求值： +1÷ ．
❑√ab−b a+❑√a
m−n m−4❑√mn+4n 1 1
56．先化简，再求值： + ，其中m= ，n= ．
❑√m−❑√n ❑√m−2❑√n 2 18
【题型4】二次根式的实际应用57．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求
积 公 式 ， 即 如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 该 三 角 形 的 面 积 为 S
√1 a2+b2−c2 2
=❑ [a2b2−( ) ]．现已知△ABC的三边长分别为1，2，❑√5，则△ABC的面积为（ ）
4 2
A．1 B．2 C．1.5 D．0.5
58．有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加2❑√3cm（即DE=2❑√3cm），
宽AB增加7❑√3cm（即BG=7❑√3cm）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
❑√6
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为 cm的长方形木料，请通过计算
2
说明木工乙的想法是否可行．
59．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间 t（s）和高度h（m）
√h
近似满足公式t=❑ （不考虑阻力的影响）．
5
（1）求物体从80m的高空落到地面的时间；
（2）小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明
理由；
（3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．某质量为0.2kg
的小球经过3s落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无
防护人体只需要65J的能量）
