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2022-2023 学年人教版八年级数学上册单元测试定心卷
第十二章 全等三角形（能力提升）
时间：100分钟 总分：120分
一、 选择题（每题3分，共24分）
1．图中是全等的三角形是 （ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【解析】
解：比较三角形的三边长度，发现乙和丁的长度完全一样，即为全等三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定SSS，三边对应相等，两三角形全等．
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全
等的是 （ ）
A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F
【解析】
根据全等三角形的判定定理，结合各选项的条件进行判断即可．
解：A、添加AC＝DF，满足SAS，可以判定两三角形全等；
B、添加∠B＝∠E，满足ASA，可以判定两三角形全等；
C、添加BC＝EF，不能判定这两个三角形全等；
D、添加∠C＝∠F，满足AAS，可以判定两三角形全等；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．BD、CE分别是△ABC中∠ABC、∠ACB的平分线，且交于点O，若O到AB的距离为1，
BC=3，则 = （ ）A． B．1 C． D．3
【解析】
解：∵点O是△ABC中∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴O到AB的距离与O到BC的距离相等，
∴O到BC的距离为1，
∴ = ×3×1= ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握角平分线的
性质是解题的关键．
4．如图，已知 ，则下列结论不正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】
解：∵ ，
∴ ，A选项正确；
， , ，
∵ ,
∴ ,B选项正确；
∵ ,
∴ ，C选项正确；
∵ ，
∴ ，不一定成立，D选项不正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是找准对应边和对应角以及熟悉等腰三角形的
性质.
5．如图，△ABC≌△A′B′C′，边 B′C′过点 A 且平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝
27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为 （ ）A．60° B．45° C．43° D．34°
【解析】
解∶∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′=∠C，
∵∠CDB′＝98°，
∴∠ADB=98°，
∵∠B＝27°，
∴∠BAD=55°，
∵B′C′过点 A 且平分∠BAC 交 BC 于点 D，
∴∠BAC=2∠BAD=110°，
∴∠C=180°-∠BAD-∠B=43°，即∠C′=43°．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质，三
角形的内角和定理是解题的关键．
6．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选定
点B和F，使AB⊥BF，并在垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点
A、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝DE，即测得DE的长就是AB
的长，则△ABC≌△EDC的理论依据是 （ ）
A．SAS B．HL C．ASA D．AAA
【解析】
解：∵证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图 的正方形网格中， 的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点
三角形，则在此网格中与 全等的格点三角形（不含 ）共有
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【解析】
解：如图所示：与 全等的三角形有 、 、 、 、 、 、
，共7个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：
全等三角形的判定定理有 ， ， ， ，两直角三角形全等还有 等．
8．如图，BC⊥CE，BC=CE，AC⊥CD，AC=CD，DE交AC的延长线于点M，M是DE的中点，若
AB=8，则CM的长为 （ ）
A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.8
【解析】
解：如图，过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F，∵ CD⊥AC，EF⊥AC
∴∠DCM＝∠EFM＝90°
∵M是DE的中点
∴DM＝EM
∵∠DMC＝∠EMF
∴△DCM≌△EFM（AAS）
∴CM＝FM，CD＝FE
∵BC⊥CE，EF⊥AC
∴∠BCE＝90°，∠CFE＝90°
∴∠ACB＋∠ECF＝90°，∠ECF＋∠FEC＝90°
∴∠ACB＝∠FEC
∵AC＝CD
∴AC＝FE
∵BC＝CE
∴△ABC≌△FCE（SAS）
∴FC＝AB＝8
∵CM＝FM
∴M是FC的中点
∴CM＝ FC＝4
故选：C
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的判定方法是基础，添加辅助线构造
全等三角形是关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图， ， ， ，则 ______°．【解析】
解：∵ ，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
∵AC＝AC， ，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）,
∴∠DAC＝∠BAC，
∵ ，
∴∠DAC＝ ∠BAD＝65°，
∴ 90°－∠DAC＝25°．
故答案为：25．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
10．如图， ，连结 交 于点 ， 是 上一点，连结 ， ，则图中
的全等三角形共有_________对．
【解析】
解：解：在△ACB和ADB中，
，
∴△ACB≌ADB，
∴∠CAB=∠DAB，∠CBA=∠DBA，
∵AC＝AD，∠CAB=∠DAB，AF=AF
∴△CAF≌△DAF，CF=DF，
∵AC＝AD，∠CAB=∠DAB，AE=AE∴△ACE≌△ADE，CE=DE，
∵BC＝BD，∠CBA=∠DBA，BE=BE
∴△CBE≌△DBE，
∵BC＝BD，∠CBA=∠DBA，BF=BF
∴△FCB≌△FDB，
∵CF=DF，CE=DE，EF=EF，
∴△CEF≌△DEF，
∴图中全等的三角形有6对，
图中全等三角形有△ACB≌△ADB，△ACF≌△ADF，△ACE≌△ADE，△BCE≌△BDE，
△BCF≌△BDF，△FCE≌△FDE，共6对，
故答案为：6 ．
【点睛】
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，
AAS，SSS．
11．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝65°，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF的度数是_____．
【解析】
解：在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠BDE＝∠FEC，
∵∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，
∴∠DEF＝∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明△DBE≌△ECF是解题的
关键，属于中考常考题型．
12．如图， ， 的延长线经过点 ，交 于 ， ， ，
，则 __ ．
【解析】解： ， ，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质的内容是解此
题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对角角相等．
13．如图，在 中，AD是它的角平分线， ， ，则 ______．
【解析】
解：如图，过 作 于 作 于
∵AD是它的角平分线，
而 ， ，
故答案为：4∶3
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积的计算，证明 是解本题的关键．
14．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，
则BE＝_____．【解析】
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
在△CBE和△ACD中，
，
∴△CBE≌△ACD（AAS），
∴BE＝CD，CE＝AD＝25，
∵DE＝17，
∴CD＝CE﹣DE＝AD﹣DE＝25﹣17＝8，
∴BE＝CD＝8；
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段
AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是__________．
【解析】
解：过Q作QE⊥y轴于E点，如下图所示：∵旋转90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EQ⊥y轴，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
且∠QEP=∠POA=90°，PQ=PA，
∴△QEP≌△POA(AAS)，
∴EQ=PO=3，EP=OA=4，
∴EO=EP+PO=4+3=7，
∴点Q的坐标是(3，7)，
故答案为：(3，7)．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，坐标与图形，本题的关键过Q作QE⊥y轴于E点，证明
△QEP≌△POA．
16．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为_________．
【解析】
解：如图，作 垂直于 的延长线，垂足为
∵ ，
∴
在 和 中
∵
∴
∴
∴故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质．解题的关键在于证明三角形全等．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，在四边形 中，点E为对角线 上一点， ， ，且
，证明： ．
【解析】
证明：在 与 中，
，
；
，
；
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定及全等三角形的判定及性质，熟练运用全等三角形的判定及性
质是解题的关键．
18．如图，点A、D、C、F在同一条直线上， ．若 ，求
的度数．
【解析】
∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A=∠EDF= ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．
【解析】
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）
∠ACE＝90°（已证）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）
∠B＝90°（已证）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
20．如图，在 中， ，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），
连接AD，作 ，DE交线段AC于E．
(1)点D从B向C运动时， 逐渐变__________（填“大”或“小”），但 与
的度数和始终是__________度．
(2)当DC的长度是多少时， ，并说明理由．
【解析】
(1)在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
设∠BAD=x°，∠BDA=y°，
∴40°+x+y=180°，
∴y=140-x（0＜x＜100），
当点D从点B向C运动时，x增大，
∴y减小，
+ =180°-故答案为：小，140；
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性
质等知识点的理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．
21．如图，已知 中， ，点D与点E都在射线AP上，且 ，
．
(1)说明 的理由；
(2)说明 的理由．
【解析】
(1)解： ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
(2)解：如图，设 和 交于点 ，，
，
，
，
∴∠BEF=90°，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定、外角的性质，解题的关键是能证明出 ．
22．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E
三点在同一直线上，连接BD．求证：
(1)△BAD≌△CAE；
(2)试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明．
【解析】
(1)证明： ∠BAC＝∠DAE＝90°，
AB＝AC，AD＝AE，
(2)解： 理由如下：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，掌握“利用 证明两个三角形全等及应用全等三角形的性质”是解本题的关键.
23．图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．
【解析】
(1)证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵ ，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC＝BF；
(2)根据（1），∵△ABF≌△AEC，
∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，
所以EC⊥BF．
(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC＝∠BAF是证明
的关键，也是解答本题的难点．
24．在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有 ，且满足
．
(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不
成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ， ，
直线 与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是12，求 与 的面积之
和．
【解析】
(1)
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
(2)
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
(3)
解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC＝ BC•h＝12，S△ABF＝ BF•h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟
练掌握全等三角形的判定与性质．
25．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足
为D．(1)求证： ；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；
动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且 ，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，
使得 APB与 BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【解析】
(1)证明：∵BD⊥AC，
∴ ，
在Rt△BDA和Rt△BDC中，
∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），
∴∠BAC＝∠BCA．
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAC，
∴∠BAM＝∠BCA．
(2)解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．
∵BH⊥AM，BD⊥AC，
∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在△AHB和△ADB中，∴△AHB≌△ADB（AAS），
∴BH＝BD，
∵S△ABP＝ S△BQC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②存在，理由如下：
当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，
∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴ ，
∴ ；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴ ，
∴ ．
综上所述，当 或 时，△APB和△CQB全等．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并
注意分类讨论是解题的关键．
