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第十二章 全等三角形 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·湖北十堰·八年级期末）我们学习三角形全等证明时，首先是操作探究出基本事实SSS，之后用
其证明了SAS，ASA，AAS，再得到Rt ABC中的“HL”．在这个学习过程中，证明后边的方法基本思路
是构造前边已经学过和证明了的图形和元△素关系．这种研究方法主要体现的数学思想是( )
A．归纳思想 B．类比思想 C．转化思想 D．数形结合思想
【答案】C
【分析】根据数学的思想判断即可．
【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是转化思想，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质及数学思想，解题关键是根据数学的思想解答．
2．（2022·河北石家庄·八年级期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三
角形与镜面合同三角形，假设 ABC和 AC B 是全等（合同）三角形，且点A与点A 对应，点B与点B
1 1 1 1 1
对应，点C与点C 对应，当沿△周界A→△B→C→A及A→B→C →A 环绕时，若运动方向相同，则称它们是
1 1 1 1 1
真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真
正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其
中的一个进行翻折．
下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据镜面合同三角形的定义判断即可．
【详解】根据真正合同三角形的定义可知，选项A，C，D是真正合同三角形，选项B是镜面合同三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查几何变换的类型，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
3．（2022·广东茂名·七年级期末）如图，点B、E、C、F四点共线，∠B ＝∠DEF，BE ＝ CF，添加一
个条件，不能判定 △ABC ≌ △DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AC∥DF D．AC＝DF
【答案】D
【分析】求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF，
A．∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出 ABC≌△DEF，故本选
项不符合题意； △
B．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出 ABC≌△DEF，故本选项
不符合题意； △
C．∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，
∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出 ABC≌△DEF，故本选项
不符合题意； △
D．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠DEF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ABC≌△DEF，故本选项
符合题意；故选：D． △
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等
三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
4．（2022·江苏·八年级）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若
AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（ ）A．a＋b﹣c B．b＋c﹣a C．a＋c﹣b D．a﹣b
【答案】B
【分析】根据AAS证明△ABF≌△CDE，可得BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，根据EF＝AF﹣AE，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，
∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b，
∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
5．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，
且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴ ，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准
确识图，是解题的关键．
6．（2022·江苏·八年级课时练习）为了疫情防控工作的需要，某学校在门口的大门上方安装了人体体外测
温摄像头，当学生站在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生走到点A时测得摄像头M的仰角为
60°，则当学生从B走向A时，测得的摄像头M的仰角为（ ）
A．越来越小，可能为20° B．越来越大，可能为40°
C．越来越大，可能为70° D．走到AB中点时，仰角一定为45°
【答案】B【分析】根据三角形的外角的性质以及解平分线的性质可得结论．
【详解】解：∵ 是 的外角又
又
∴摄像头M的仰角的范围为：越来越大，大于30°而小于60°
所以，选项A. 越来越小，可能为20°说法错误；
B. 越来越大，可能为40°，说法正确；
C. 越来越大，可能为70°，说法错误；
D. 走到AB中点时，仰角一定为45°，说法错误，
此选项证明如下：
∵∠ 是△ 的外角
∴∠
∴∠
∵∠
∴∠
设点O为CD的中点，
∴
过点O作 于点M，作 交MC的延长线于点H，连接MO，如图，
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
在△ 和△ 中，∴△
∴
∵
∴
∴MO不是 的平分线，
∴
∴
∴
所以，选项D说法错误，
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构
造全等三角形是解答本题的关键．
7．（2021·湖北荆门·八年级期中）如图， ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD， BCD的面积为
10， ACD的面积为6，则 ABC的面积是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
【答案】A
【分析】分别延长BC、AD交于点E，证明 BDA≌△BDE，根据全等三角形的性质得到AD=DE，根据三角
形的面积公式得到S EDC=S ADC=6，计算△即可．
【详解】解：延长A△D、BC相△交于E，如图所示：∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED，
∴S ABD＝S EBD，S CDE＝S ACD＝6，
∵S△BCD＝1△0， △ △
∴S△ABD＝S EBD＝S BCD+S CDE＝10+6＝16，
∴S△ABC＝S△ABE－S△ACE＝1△6×2－6×2＝20，
故选△：A． △ △
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
8．（2022·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在四边形 与四边形 中， ， ，
．下列条件中：① ， ；② ， ；③ ，
；④ ， ．添加上述条件中的其中一个，可使四边形 四边形
．上述条件中符合要求的有（ ）A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】连接AC、 ，通过证明 （SAS）， （SAS），即可得到结论，
同理可证其余情况．
【详解】证明：连接AC、 ，
在 ABC与 A′B′C′中， ，
△ △
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴
添加① ， ，
∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴∠BAD﹣∠BAC＝∠B′A′D′﹣∠B′A′C′，
∴∠DAC＝∠D′A′C′，
在 ACD和 A′C′D中， ，
△ △
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D′，∠ACD＝∠A′C′D′，CD＝C′D′，
∴∠BCD＝∠B′C′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
同理添加②④的条件证得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．添加③无法得到 ACD≌△A′C′D′，所以条件③不符合题意；故选：B．
【点睛】此题主△要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS．
9．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且 ，
过点P作 于点M，过点Q作 交AC的延长线于点N，且 ，连接PQ交AC边于
点D，则以下结论：① ； ② ；③ 为等边三角形；④ ．其中正确的结
论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】由AAS可证 PDM≌△QDN，可得PD＝DQ，进而判断①正确；由“HL”可证
Rt APM≌Rt CQN，求△出∠A＝∠ACB，得到AB＝BC，进而判断②正确；根据全等三角形的性质求出MD
＝△DN＝CD＋△CN＝CD＋AM，可判断④正确；根据题中条件无法得出 为等边三角形，故③错误．
【详解】解：∵PM⊥AC，QN⊥AC，
∴∠PMD＝∠QND＝90°，
又∵∠PDM＝∠QDN，PM＝QN，
∴△PDM≌△QDN（AAS），
∴PD＝DQ，故①正确；
∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC，
∴∠AMP＝∠CNQ＝90°，
∴Rt APM≌Rt CQN（HL）
△ △∴∠A＝∠QCN，
∵∠ACB＝∠QCN，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，即②正确；
∵ PDM≌△QDN ，Rt APM≌Rt CQN，
∴M△D＝DN ，AM＝CN△， △
∴MD＝CD＋CN＝CD＋AM，
∴DM＝ AC，故④正确；
根据题中条件无法得出 为等边三角形，故③错误；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
10．（2022·陕西·八年级期末）如图， 中， ，点M为BA延长线上一点，∠ABC的平
分线BE和∠CAM的平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E、D两点．过P作 交
AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF，交DH于点G，则下列结论：① ；②
；③ ，其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．②③
【答案】C
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根
据角平分线的定义 然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②③先根据直角的关系
求出 ，然后利用角角边证明 AHP与 FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得
，对应角相等可得 △ 然后利△用平角的关系求出 ，再利用角角边证
明 ABP与 FBP全等，然后根据全等三角形对应边相等得到 ，从而得解；
【△详解】解△：①∵BE是∠ABC的平分线，AD是∠CAM的平分线，∴
在 ABP中,
△
，故①正确；
∵ ∴ ， ∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，∴ ，
在 AHP与 FDP中， ∴ AHP≌ FDP(AAS)，∴DF=AH，
△ △ △ △
∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP，∴
又∵ ∴∠PAE=∠PFD，∵∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠FBP，
在 ABP与 FBP中， ∴ ABP≌ FBP(AAS)，
△ △ △ △
∴AB=BF，AP=PF故②正确；
∵BD=DF+BF，∴BD=AH+AB，∴BD−AH=AB，故③正确；综上所述①②③正确．故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形的性质, 角平分线的定义，垂线，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角
形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，已知 ， ，要想使 ，还需要再
添加一个条件，那么在① ，② ，③ ，④ ，这四个关系中可以选择的
是______．（填写序号）【答案】①③④
【分析】根据全等三角形的判定定理依次判定即可．
【详解】∵ ，
∴ ，即
① ，可以用SAS判定 ，①正确；
② ，SSA不可能判定 ，②错误；
③ ，可以用ASA判定 ，③正确；
④ ，可以用AAS判定 ，④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，准确掌握定理，清楚SSA不能判定三角形全等是本题的关键．
12．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，在方格纸中，以 为一边作 ，使之与 全等，在方
格的格点中找出符合条件的P点（不与点A，B，C重合），则点P有 个
【答案】3
【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．
【详解】解：要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，
即3个单位长度，所以点P的位置可以是P，P，P 三个．
1 2 3
【点睛】此题考查全等三角形的判定，利用全等三角形的判定进行确定点P的位置是解题的关键．
13．（2021·江苏镇江·八年级期中）课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如
图）， ，AC=BC，每块砌墙用的砖块厚度为10cm，小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离DE
的长为____cm．
【答案】50
【分析】由砖的厚度可得AD=30cm，BE=20cm，利用同角的余角相等可得∠CAD=∠BCE，再用AAS判定
△CAD≌△BCE，得到对应边相等，再由DE=DC+CE即可得出答案．
【详解】解：由题意得，AD=30cm，BE=20cm，∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CAD和△BCE中，
∴△CAD≌△BCE（AAS）
∴DC=BE=20cm，AD=CE=30cm∴DE=DC+CE=50cm
故答案为：50．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，由同角的余角相等得出全等条件是关键．
14．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝65°，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF
的度数是_____．
【答案】65°
【分析】证明△DBE≌△ECF(SAS)，推出∠BDE= ∠FEC，再由三角形的外角性质得∠DEF+ ∠FEC=∠B+
∠BDE，即可得出答案．
【详解】解：在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠BDE＝∠FEC，
∵∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，
∴∠DEF＝∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明△DBE≌△ECF是解题的关键，
属于中考常考题型．
15．（2022·江苏南京·二模）如图，在 中， 、 的平分线相交于点I，且 ，
若 ，则 的度数为______度．【答案】70
【分析】在BC上取点D，令 ，利用SAS定理证明 得到 ， ，
再利用 得到 ，所以 ，再由角平分线可得 ，利
用 以及AI平分 可知 ．
【详解】解：在BC上取点D，令 ，连接DI，BI，如下图所示：
∵CI平分
∴
在 和 中
∴
∴ ，
∵
∴ ，即：
∵AI平分 、CI平分 ，
∴BI平分 ，∴
∵
∴
故答案为：70．
【点睛】本题考查角平分线，全等三角形的判定及性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和，利用 ，在BC上取点D等于AC，作出辅助线是解本题的关键点，也是难点．
16．（2022·云南保山·八年级期末）如图所示， 中， ，AD平分 ， 垂足为
E， ， ，则BE的长为______．
【答案】4
【分析】证明ΔADE≌ΔADC得出AE=AC=8，再由BE=AB−AE可得到BE的长．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠AED=∠ACD=90°，
又AD=AD，
∴ΔADE≌ΔADC，
∴AE=AC，
∵AB=12，AC=8，
∴BE=AB−AE=AB−AC=12−8=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，由BE=AB−AE得出结论是解题关键．
17．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交
于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③
=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．【答案】①②④
【分析】由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF
可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故
③错误；
【详解】解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA= （∠CAB+∠CBA）=45°，
△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，
故①正确；
∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠F=∠DAC=∠DAB，
△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，
∴△BPA≌△BPF（AAS），
∴BA=BF，PA=PF，
故②正确；
△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，故④正确；
若PH=HC，则PD=HC，
AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，
故③错误；
综上所述①②④正确，
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质
是解题关键．
18．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于点E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的长度比CD的长度多2，则BE的长
为_______________．
【答案】1
【分析】在AE上截取EF=BE，连接CF，则CE垂直平分BF，结合题意推出AF=CF，过点F作FM⊥AC，
交AC于点M，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，则有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，进而得出
AM=CN，根据题意及三角形外角性质推出∠MAF=∠NCD，利用ASA判定 AFM≌△CDN，根据全等三角形
的性质得到AF=CD，结合题意即可得解． △
【详解】解：在AE上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CE垂直平分BF，
∴BC=FC，
∴∠B=∠BFC，
∵∠B=2∠BAC，
∴∠BFC=2∠BAC，
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，
∴∠ACF=∠BAC，
∴AF=CF，
过点F作FM⊥AC，交AC于点M，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，则有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，
∵∠CAD=30°，∠N=90°，
∴AC=2CN，
∴AM=CN，
∵∠ACD+∠BAC=60°，
∴∠ACD=60°-∠BAC，
∴∠CDN=∠ACD+∠CAD=60°-∠BAC+30°=90°-∠BAC，
∴∠NCD=90°-∠CDN=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC，
∴∠MAF=∠NCD，
在 AFM和 CDN中， ，
△ △
∴△AFM≌△CDN（ASA），
∴AF=CD，
∵AB的长度比CD的长度多2，
∴AB-CD=AB-AF=2BE=2，
∴BE=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2022·黑龙江·八年级期末）如图，在 和 中，有下列四个等式：① ；②
；③ ；④ ．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题
（要求写出已知，求证及证明过程）．题设：__________，结论__________：（写序号）
【答案】①②③（或①③④）；④（或②）；已知；求证；证明见解析
【分析】根据全等三角形的判定与性质进行组合、证明即可．【详解】解：若题设：①②③
结论：④
已知：在 和 中， ， ， ，
求证： .
证明：
即
在 和 中
.
若题设：①③④，
结论：②
已知：在 和 中， ， ，
求证： ．
证明： 在 和 中
，
，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答的关键．
20．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元
楼，他们想要测量小明家所在单元楼 的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自
己家阳台C处测得E处的俯角为 ，小明站在E处测得楼顶A的仰角为 ，发现 与 互余，过点F
作 于点G，已知 米， 米， 米，点B、E、D在一条直线上，
，试求单元楼 的高．（注： 与 互余）．【答案】39米
【分析】根据题意得出 ， ，FG=CD，然后利用全等三角形的判定和性质求
解即可．
【详解】解：由图可得 ，
∴ ，
∵FG⊥AB，CD⊥BD，
∴ ，
∵BE=CD，FG=BE，
∴FG=CD，
在 与 中，
∴ ，
∴ （米），
∴ （米），
答：单元楼 的高为39米．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解
题关键．
21．（2022·山东青岛·七年级期末）已知： ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）直接利用 定理即可得证；
（2）先根据三角形的外角性质可得 ，再根据全等三角形的性质可得 ，然后根
据三角形的内角和定理即可得．
（1）证明：在 和 中， ，
．
（2）解： ，
，
由（1）已证： ，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角
形全等的判定与性质是解题关键．
22．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图1， ， ， ， ，连接 、 ，
交于点 ．(1)写出 和 的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接 ，若 、 分别平分 和 ，求 的度数；
(3)如图3，连接 、 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，探究 与 的数量关系，并说明
理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）设 交于点 ，根据已知条件证明 ，可得 ， ，进
而根据三角形内角和可得 ，即可求解；
（2）根据（1）的结论结合已知条件证明 ，可得 ，进而根据
即可求解；
（3）过点 ，分别作 的垂线，交 的延长线于点 ， ，可得 ，进而根
据三角形面积公式求得 ，根据等底等高可得 ．
(1)
，理由如下，
如图，设 交于点 ，， ，
，
，
，
又 ， ，
，
， ，
又 ，
，
，
(2)
、 分别平分 和 ，
， ，
，
,
，
在 与 中，
，，
，
，
；
(3)
如图，过点 ，分别作 的垂线，交 的延长线于点 ，
，
，
，
又 ，
，
，的面积为 ， 的面积为 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性
质与判定是解题的关键．
23．（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连
结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 ．（直接
写出结果）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 或
【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在 AFD和 EAC中，
△ △
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在 FDG和 BCG中，
△ △
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知： ADF≌△ECA， GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE△=7， △
∴CG=DG=1.5，
∴AG=CG+AC=5.5，
∴ ，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（2022·江西抚州·七年级阶段练习）综合与探究：
如图1所示的是由两块三角板组成的图形，其中在 中， ，
，在 中， ， ，点B，
E，D在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD并延长，交BA的延长线于点G．(1)当 时，试用含 的代数式表示∠BAE的度数．
(2)当 时，试探究BC与BG的数量关系，并说明理由．
(3)过点C作 ，交BD的延长线于点H，如图2所示，在满足（2）的情况下，求∠DCH的度数，
并直接写出与∠DCH相等的角（除∠G外，写两个即可）．
【答案】(1)45°-α
(2)BC=BG，理由见解析
(3)∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE
【分析】（1）证明△DAC≌△EAB（SAS），由全等三角形的性质可得出∠ACD=∠ABE，由三角形外角的
性质可得出结论；
（2）证明△CBD≌△GBD（ASA），由全等三角形的性质可得出BC=BG；
（3）由平行线的性质及直角三角形的性质可得出结论．
（1）
解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∵AD=AE，AC=AB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠AED=45°，
∴∠BAE=∠AED-∠ABE=45°-∠ACD=45°-α；
（2）
BC=BG，理由如下：
∵∠ACD=∠CBD，∠ACD=∠ABE，
∴∠CBD=∠ABE，
∵∠DFC=∠AFB，∠ACD=∠FBA，∴∠FAB=∠CDF=90°，
∴∠CDB=∠GDB=90°，
∵DB=DB，
∴△CBD≌△GBD（ASA），
∴BC=BG；
（3）
∵BC=BG，∠CBD=∠GBD，
∴CD=GD，
∵∠GAC=90°，
∴CD=AD=GD，
∴∠G=∠DAG，∠ACD=∠DAC，
∵CH∥BG，
∴∠DCH=∠G=∠DAG，
∵∠DCH+∠DCF=90°，∠DCF+∠DFC=90°，
∴∠DCH=∠DFC，
又∵∠DFC=∠AFE，
∴∠DCH=∠AFE，
∵∠ACD=∠DAC，
∴∠FAE=∠DFC，
∴∠DCH=∠FAE．
故与∠DCH相等的角有∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的
判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2022·山东济南·七年级期末）（1）模型的发现：
如图1，在 中， ， ，直线 经过点 ，且 、 两点在直线 的同侧， 直
线 ， 直线 ，垂足分别为点 ， ．请直接写出 、 和 的数量关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若 ， 两点在直线 的异侧，请说明 、 和 的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即 ，其中 ，
（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明 、 和 的关系，并证明．【答案】（1）DE＝BD+CE，理由见解析；（2）（1）的结论不成立，BD＝DE+CE，理由见解析；（3）
（1）的结论成立，证明见解析．
【分析】（1）先证明△DAB≌△ECA，然后根据全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，再结合图形即
可得出结论；
（2）模仿（1）中的方法证明即可；
（3）模仿（1）中的方法证明即可；．
【详解】解：（1）DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）BD＝DE+CE，
证明如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△BAD和△ACE中，∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；
（3）（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD，∠BAC＝∠2，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，解题的关键是
掌握全等三角形的判定定理和性质定理．
26．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）问题背景：定义：四边形 ， ， ， ，
分别是直线 ，直线 上的一点，若 ，则称四边形 是 的“等腰倍角四
边形”．如图1，四边形 是 的“等腰倍角四边形”， 在四边形 内部，探究图中线
段 ， ， 之间的数量关系．
(1)小慧同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ．连结 ，先证明 ，再证
明 ，可得出结论，她的结论应是 ．
(2)探索延伸：如图2，四边形 是 的“等腰倍角四边形”， 有一部分在四边形 外
部，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出相应的结论（写出过程）．(3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏东60°的 处，舰艇乙在指挥
中心南偏西20°的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以60海
里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向 以一定速度前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇
分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角为70°，此时两舰艇之间的距离为280海里．试求舰艇乙前进的
速度．
【答案】(1) ；(2)不成立， ；(3)80海里/小时
【分析】（1）延长 到点 ，使 ，连结 ，先利用SAS证明 ，得到BE＝
DG，AE＝AG，∠BAE＝DAG，求出 ，再利用SAS证明 ，得到EF＝GF，进
而可得 ；
（2）在DF上截取DG＝BE，先利用SAS证明 ，得到AE＝AG，∠BAE＝DAG，求出
，再利用SAS证明 ，得到EF＝GF，进而可得 ；
（3）如图作辅助线，求出∠OAE＋∠OBF＝180°，∠EOF＝ ∠AOB，延长EA到点M，使AM＝BF，同
（1）可得：EF＝BF＋AE，求出BF即可解决问题．
（1）证明：如图1，延长 到点 ，使 ，连结 ，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ （SAS），
∴BE＝DG，AE＝AG，∠BAE＝DAG，
∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵AF＝AF，AE＝AG，∴ （SAS），
∴EF＝GF，∴EF＝GF＝DF＋DG＝DF＋BE，
故答案为： ；
（2）不成立，正确的结论为： ；证明：如图2，在DF上截取DG＝BE，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ （SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝DAG，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵AF＝AF，AE＝AG，∴ （SAS），
∴EF＝GF，∴DF＝DG＋GF＝BE＋EF，即 ；
（3）如图3，点G在y轴正半轴上，BH交y轴负半轴于点H，AE交x轴于点K，过点B作CD∥y轴，连接
EF，由题意得：∠OAE＝∠GOA＝60°，∠CBO＝∠BOH＝20°，∠DBF＝40°，OA＝OB，
∴∠AOK＝30°，∠OBF＝180°－∠CBO－∠DBF＝120°，∴∠OAE＋∠OBF＝180°，
∵∠AOB＝∠AOK＋∠KOH＋∠BOH＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝ ∠AOB，
延长EA到点M，使AM＝BF，同（1）可得：EF＝BF＋AE，
∵EF＝280海里，AE＝60×2＝120海里，∴BF＝280－120＝160海里，
∴舰艇乙前进的速度为：160÷2＝80海里/小时．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，方位角等知识，作出合适的辅助线，构造出全等
三角形是解题的关键．
