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第二十四章 圆（知识归纳+题型突破）
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系.
2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及
其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
圆内接四边形的对角互补.4.了解三角形的内心与外心.
5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念(例75) .
6.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六
边形.
7.*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线(例76) .
8.*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等.
9.会计算圆的弧长、扇形的面积.
10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
一、圆的基本性质
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
知识点二 ：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：① 弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三
.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直
角三角形.
3.圆心角、弧、弦的关系
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等．
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
( 2 )推论：
① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补.
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的 设点到圆心的距离为d.
位置关系 (1)dr⇔点在⊙O外．
位置关系 相离 相切 相交
图形
2.直线和圆
的位置关系
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d＞r d＝r d＜r
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
3.切线的判
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
定
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（1）切线与圆只有一个公共点.
4.切线的性
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
质
（3）切线垂直于经过切点的半径.
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
5.切线长
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线
平分两条切线的夹角.
图形 相关概念 圆心的确 内、外心的性质
6.三角形的
定经过三角形各定点的 三角形三 到三角形的三个顶点的距离相等
圆叫做三角形的外接 条垂直平
圆，外接圆的圆心叫 分线的交
做三角形的外心，这 点
外接圆
个三角形叫做圆的内
接三角形
与三角形各边都相切 到三角形 到三角形的三条边的距离相等
的圆叫三角形的内切 三条角平
7.三角形的 圆，内切圆的圆心叫 分线的交
内切圆 做三角形的内心，这 点
个三角形叫圆的外切
三角形
三、正多边形和圆
1.正多边形与圆
（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.
（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：
中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
四、弧长和扇形面积的计算
1..弧长和扇形面积的计算
扇形的弧长l＝ ；扇形的面积S＝ ＝
2.圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
（2）计算公式：
圆锥S侧==πrl，S=πr（l+r）
注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积题型一 垂径定理及其应用
【例1】（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图， （非直径）为 的两条弦， 与
交于点 ，请从① 为 直径；② 为 中点；③ 为 中点；中选择两个作为题设，余下的
一个作为结论组成一个真命题，并完成证明．
【例2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，某隧道的截面是一个半径为3.4米的半圆形，一辆宽3.2米
的厢式卡车（截面是长方形）恰好能通过该隧道，则这辆卡车的高为多少米？
巩固训练：
1．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如
图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在 中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦 的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点 ；
（2）作直线 交 于点 ．若 ，则 的长等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之
一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图． 是 的一部分， 是 的中点，
连接 ，与弦 交于点 ，连接 ， ．已知 cm，碗深 ，则 的半径 为
（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
4．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为
，瓶内液体的最大深度 ．则截面圆中弦 的长为（ ）A． B．6 C．8 D．
5．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图， 为 的一条弦，直径 于点E，连接 、
，若 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）如图，当宽为 的刻度尺的一边与圆相切时，
另一边与圆的两个交点处的读图如图所示（单位： ），那么该圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代
劳动人民的智慧，如图1，点 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以
轴心 为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 长为8米，则筒车工作时，
盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
8．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，将半径为 的 折叠，弧 恰好
经过与 垂直的半径 的中点D，已知弦 的长为 ，则 ．
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 、 、 都是 的弦， ， ，垂足分别
为 、 ，若 ，则 的长为 ．
10．（2023·江苏·九年级假期作业）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦 上， ，
， ，则这个花坛的半径为 ．11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在 中，已知 是直径， 为 上一点 不与 、 两点
重合），弦 过 点， ．
（1）若 ， ，则 的长为 ；
（2）当P点在 上运动时（保持 不变），则 ．
12．（2022秋·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，过 内的一点P画弦AB，使P是AB中点．
（保留作图痕迹，不写画法）
13．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，
“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦
为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
14．（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝
科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O
为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦 为6米，⊙O半径长为4米．若
点C为运行轨道的最低点，求点C到弦 所在直线的距离．
15．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图所示，一装有部分油的圆柱形油罐的
横截面．若油面宽 ，油的最大深度为 ，
(1)用尺规作图（保留作图痕迹，不用证明），找出圆心O；
(2)求该油罐横截面的半径．
16．（2023·江苏·九年级假期作业）平面直角坐标系中，点 、 、 、 在 上．(1)在图中清晰标出点P的位置；
(2)点P的坐标是 ___________， 的半径是 ___________．
17．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于点
．连接 ，过点 作 于点 ．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)已知 的半径为4， ，求弦 的长．
题型二 圆心角、弦、弧
【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是 上的点， 为直径， ．
(1)求证：点C平分 ．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出 的中点P（保留作图痕迹）．巩固训练
1．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
2．（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图， 是 的直径，点C，D在 上，
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 、 是 的两条弦， 交 于点
G，点C是 的中点，点B是 的中点，若 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2023·河北·统考中考真题）如图，点 是 的八等分点．若 ，四边形 的周长分
别为a，b，则下列正确的是( )A． B． C． D．a，b大小无法比较
5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图， 是 的直径 ，若 ，则
的度数是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，A、B、C、D是 上的点，如果
， ，那么 ．
7．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 是 的直径，C是 延长线上一点，点D在 上，且
， 的延长线交 于点E．若 ，则 度数为 ．8．（2022·广东湛江·一模）已知 ，有一量角器如图摆放，中心O在 边上， 为 刻度线，
为 刻度线，角的另一边 与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为 ， ，则
= ．
9．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图， 是 的直径， ， ，求
的度数．
10．（2022秋·江苏扬州·九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，在 中，弦 与弦 相交于点
E，且 ．求证： ．
11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图所示， 是 的两条弦，且 ，则 与 的大
小有什么关系？为什么？12．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图 为圆O的直径， 为圆O的弦，C为O上一点， ，
，垂足为D．
(1)连接 ，判断 与 的位置关系，并证明；
(2)若 ， ，求圆O的半径；
题型三 圆周角定理及其应用
【例4】（1）（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，
A、B、O是小正方形顶点， 的半径为1，P是 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图， 为⊙ 的直径，点 在圆上且在直径 的两侧，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例5】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径，弦 平分 交 于
点 ．交 于点D．连接 ， ．(1)求四边形 的面积；
(2)求 的长．
巩固训练
1．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图， 内接于 ， ， 的半径为2，则
的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，线段 是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 ，交半圆O于点C，交 于点E，连接
，若 ，则 的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
3．（2023春·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）如图， 为 的直径，弦
于点E，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
4．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图， 为 的直径， 于 ， ，连接
．图中与 相等的角有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
5．（2023·河南安阳·统考一模）如图，四边形 是⊙O的内接四边形，四边形 是平行四边形，
则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图， 是 的直径， 、 为 上的点，且点 在
上．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
7．（2023·全国·九年级专题练习）已知弦 把圆周分成 两部分，则弦 所对圆周角的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）如图，在⊙O中， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图，已知点 均在 上， 为 的直径，
弦 的延长线与弦 的延长线交于点 ，连接 ．则下列命题为假命题的是
（ ）
A．若点 是 的中点，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若半径 平分弦 ，则四边形 是平行四边形
10．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在 中， ，若弦 ，则
．11．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，延长 至点 ，已知 ，
那么 ．
12．（2023年辽宁省营口市中考模拟考试（一模）数学试卷）如图， 是 的直径，弦 交 于点
，连接 ， ．若 ，则 ．
13．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形 内接于 ， ，
， ，对角线 平分 ，则边 的长为 ．
14．（2022秋·河北邢台·九年级邢台三中校考阶段练习）有三个边长都为 的正方形硬纸板，将这三个
正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住．下面是三种不同的摆放类型：(1)图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板的最小直径应为 ；
(2)图①②③中能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板直径最小的是图 (填序号)，最小直径为 ．
15．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图， 为半径为3的 的直径，弦 、 相交于
点E， ，求 的长．
16．（2023·河南信阳·统考一模）如图，在 中， ，以 为直径作 交 于点D，交
于点E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，当 __________时，四边形 为菱形；
(3)若 ， ，则 __________．
17．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图， 是 上两点， ，C为弧 上一点．(1)写出弦 对的弧的度数；
(2)若 是劣弧 的中点，判断四边形 的形状，并说明理由．
18．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，以 为直径的半圆O经过 斜边 的两个端
点，交直角边 于点E，B、E是半圆弧的三等分点．请你仅用无刻度的直尺：
(1)请在图①中画出一条 的平行线；
(2)请在图②中画出一条直线平分 面积．
题型四 点与圆的位置关系
【例6】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在 中， ．以点A为圆心，
r为半径作圆，当点C在 内且点B在 外时，r的值可能是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
巩固训练
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知 的直径为 ，若点 到圆心 的距离为 ．则点
与 的位置关是（ ）
A．点 在 内 B．点 在 上 C．点 在 外 D．无法确定
2．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，在 中， 是斜边 上的中线，以 为圆心，
为半径画圆，则下列各点中，在 内的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点O
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形 中， ， ，点 在对角线 上，圆
经过点 ．如果矩形 有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）已知直角 的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等
于 ．
5．（2023·四川成都·统考二模）已知 是 内一点（点 不与圆心 重合），点 到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的直径为 ．
6．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末） 是 内一点， 是 上任意一点，若 ，则 的
半径为 ．
7．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在 中， ， cm， cm，以C为
圆心，r为半径作 ，若A，B两点中只有一个点在 内，则半径r的取值范围是 .
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， 经过
， ， 三点．
(1)点 的坐标为 ．
(2)判断点 与 的位置关系．
题型五 直线与圆的位置关系
【例7】（1）（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知 ，P是 上一点， .
以r为半径作 ，若 ，则 与直线OB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
（2）（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以点 为圆心、以R为半径作圆A与x轴
相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【例8】（2022秋·九年级单元测试）如图， ， ，当 的半径r为何值时， 与直线
相离？相切？相交？
巩固训练：
1．（2022秋·重庆·九年级重庆十八中校考周测）若 的直径为1，圆心O到直线l的距离是方程
根，则 与直线l的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
2．（2022秋·九年级单元测试）已知 的半径是 ，点 在 上，如果点 到直线 的距离是 ，那么
与直线 的位置关系是 （ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
3．（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在 中， ， ， ，以点 为圆
心的 的半径为 ，若对于 的一个值， 与 只有一个交点，求 的取值范围．”对于其答案，甲
答： ．乙答： ．丙答： ．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
4．（2023·江苏·九年级假期作业）在平面直角坐标系 中，以点 为圆心，4为半径的圆与x轴所在
直线的位置关系是 ．
5．（2022秋·九年级单元测试）平面直角坐标系中， 的圆心坐标为 ，半径为 ，那么 与轴的位置关系是 ．
6．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与 相离，且 的半径等于3，圆心O到直线l的距
离为d，则d的取值范围是 ．
7．（2022秋·九年级单元测试）已知直线l与半径长为R的 相离，且点O到直线l的距离为5，那么R
的取值范围是 ．
8．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的 的圆心P的坐标为 ，
将 沿x轴正方向平移，使 与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
9．（2022春·九年级课时练习）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0， ），
，点P的坐标为 ， 与y轴相切于点O，若将 沿x轴向左移动，当 与该直线相
交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
题型六 切线的性质和判定
【例9】（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径，点E在弦 的延长线上，
过点E作 交 于点D，若 平分 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【例10】（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）如图，已知 是 的直径，点P在 的
延长线上， 切 于点D，过点B作 ，交 的延长线于点C，连接 延长，交 点E．
(1)求证：ABBE；
PD2 3 ABC60 BC
(2)如果 ， ，求 的长．
【例11】（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）探究问题：
(1)如图1，PM、PN、EF分别切O于点A、B、C，猜想PEF 的周长与切线长PA的数量关系，并证明你
的结论．
(2)如果图1的条件不变，且PO10cm，PEF 的周长为16cm，求O的半径．
(3)如图2，点E是MPN的边PM上的点，EF PN于点F，O与边EF及射线PM、射线PN都相切．若EF=3，PF 4，求O的半径．
巩固训练：
PA O A PO O B
1．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）如图， 是 的切线，点 为切点， 交 于点 ，
P30，点C在O上，连接AC，BC，则ACB的度数为（ ）
A．25 B．28 C．30 D．35
2．（2023秋·青海西宁·九年级统考期末）如图，PA，PB为O的两条切线，切点分别为A，B，连接
OP O C AB D
交 于点 ，交弦 于点 ．下列结论中错误的是（ ）
A．PAPB B．OPAB
AC BC
△APB
C． D． 是等边三角形
3．（2023·山东滨州·统考一模）如图，PA，PB与O分别相切于点A，B，PA2，P60，则AB（
）
3 2 3
A． B．2 C． D．3
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）如图，在ABC中，AC BC，以AB上O OA BC C BC 2 3 OA
一点 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，若 ，则半径 为 ．
5．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，且P60，若
PA2，则AB ．
6．（2022秋·安徽合肥·九年级统考阶段练习）如图，已知O与ABC的边AC，BA，BC的延长线分别
相切，ABC60，请完成下列问题：
（1）AOC °；
（2）若O的半径为3，则ABC的周长 ．
AB O PA、PC O
7．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）已知：如图， 为 的直径， 是 的切线，A、C
为切点，BAC 28．则P的度数为 ．8．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）等腰Rt△ABC和O如图放置，已知ABBC 1，
ABC 90，O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5.若两个图形同时向右移动，ABC的速度为每
秒2个单位，O的速度为每秒1个单位，同时ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方
向增大.ABC的边与圆第一次相切时，点B运动的距离是 个单位长度.
9．（2023秋·河北张家口·九年级张家口市第一中学校考期末）已知，在Rt△ABC中，BAC90，以
AB为直径的O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE AD，
(1)求证：DE是O的切线．
(2)当BC 10，AD4时，求O的半径．
ABC O AB O BC BD DEAC
10．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，
于点E，DE交BF于点F ，交AB于点G，BOD2F，连接BD．
(1)求证：BF是O的切线；(2)判断DGB的形状，并说明理由；
(3)当BD2时，求FG的长．
11．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）如图，AB是O的直径，C是O上一点，D
AC BD AC DF∥AC BA
是 的中点， 交 于点E，过点D作 交 的延长线于点F．
(1)求证：DF是O的切线；
(2)若AF 2，FD4，求△DFB的面积．
12．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，与BA的延长
线交于点D，DEPO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB6，DB8，EDBEPB．
(1)求证：PB是O的切线：
(2)求O的半径．
13．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）如图，在O中，AB为的直径，点E在O上，D为
BE AE，BD C OD OD F BF
的中点，连接 并延长交于点 ．连接 ，在 的延长线上取一点， ，连接 ，使
1
CBF BAC．
2(1)求证：BF为O的切线；
(2)若C 70，则F ______．
14．（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，ACB90，
AO是ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作O，求证：AB是O的切线．
15．（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，以菱形ABCD的边AD为直径作O交AB于点E，连接DB
交O于点M，F是BC上的一点，且BF BE，连接DF．
(1)求证：DM BM ；
(2)求证：DF是O的切线．
16．（2023·河南安阳·统考一模）如图1是两条高速公路互通立交俯瞰图，车辆从一条高速公路转到另一条
高速公路，需要经过缓和曲线匝道进行过渡．
如图2是一种缓和曲线过渡匝道的示意图．若把过渡匝道的缓和曲线看作是一个平面上的圆弧，汽车沿
O的切线 PA经过切点A驶入匝道，从O的切线CQ经过切点C驶出匝道．已知PA60m，O的半
径为80m．(1)若在点P处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监控，且高清摄像头可以有效监控200m以内
的物体，问此摄像头能否有效监控整个匝道？并说明理由；
2 AC PO B PAPB QC PO
(2)在图 中，若连接 ，交 于点 ，且 ，判断 与 的位置关系，并说明理由．
17．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，AB是O的直径，点C在半径OA上，在O上取点
D，使BDBC，过点A作O的切线AE交DC的延长线于点E．
(1)求证：AD AE；
(2)若OC 1，AE2AC，求O的半径．
18．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点O为线段AB的中点，点C为线段OA上一点（不与O，
A重合），以点O为圆心，OC为半径作圆O交线段OB于点D，EABFBA60，AEBF 2，
AB10，连接EC，FD．
(1)求证：EC DF ；
(2)当EC与圆O相切时，求OC的长度．
19．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点E是以AB为直径的O外一点，点C是O上一点，EB是
O EC OC AC BE FO的切线，EC OC，连接AC并延长交BE的延长线于点F ．
(1)求证：点E是BF的中点；
(2)若EC OC，O的半径为3，求CF的长．
20．（2022秋·九年级课时练习）如图所示，EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A、D是O上
两点，如果E46，DCF 32，求A的度数．
21．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在ABC中，O为AB上一点，以点O为圆心，OB为半径作半圆，
与BC相切于点B，过点A作ADCO交CO的延长线于点D，且AODCAD．
(1)求证：AC是半O的切线；
(2)若CO AO，BC 4，求半O的半径．
22．（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，C 90，以AC为直径作O，交
AB于D，过O作OE∥AB，交BC于E．(1)求证：DE是O的切线；
(2)连接CD，如果O的半径为3，AB10，求CD的长；
△ADO
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
23．（2023·全国·九年级专题练习）某种在同一平面进行转动的机械装置如图1，图2是它的示意图，其工
作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动
连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以在以OP为半径的O上运动．数学兴趣小
OH l OH 4 PQ3
组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作 于点H，并测得 分米， 米，
OP2分米．
解决问题：
(1)点Q与点O间的最小距离是______分米；点Q与点O间的最大距离是______分米；点Q在l上滑到最左
端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
(2)如图3，有同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与O是相切的．”你认为这个判断对吗？说
明理由；
(3)当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
题型七 三角形的外心和外接圆
【例12】（2022秋·河北廊坊·九年级廊坊市第四中学校考期中）如图， ， ，直线经过点 ．设 ， 于点 ，将射线 绕点 按逆时针方向旋转 ，与直线
交于点 ．
(1)判断： ___________
(2)若 ，求 的长
(3)若 是锐角三角形，直接写出 的取值范围．
巩固训练：
1．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，直线 ， 为垂足，且点 在 上．若在 上找一点 ，使得
，则下列作法中，正确的是（ ）
A．作线段 的中垂线，交 于点 B．作 的外接圆，交 于点
C．过点 作一直线垂直于 ，交 于点 D．作 的平分线，交 于点
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 是 的外接圆，则点O是 的（ ）
A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 为 的外心， 为正三角形， 与 相交于 点，
连接 ．若 ， ，则 为（ ）
A．110° B．90° C．85° D．80°
4．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图， 为锐角三角形 的外心，四边形 为正方形，
其中 点在 的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A． 是 的外心， 不是 的外心B． 是 的外心， 不是 的外心
C． 是 的外心， 不是 的外心 D． 是 的外心， 不是 的外心
5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，已知点O是 的外心， ，连结 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末） 中， 、 、 ，则 外接圆圆心坐标
为 ．
7．（2023·江苏·九年级假期作业）平面直角坐标系中，已知 的三个顶点分别为
，则 的外心的坐标为 ．8．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）已知直角三角形的两条直角边分别为 、 ，则它的外接
圆半径
9．（2023·湖北襄阳·校考二模）已知 两边长分别是 和 ，则它的外接圆的半径是
．
10．（2023·湖北咸宁·统考一模）已知 中， ，点O是 的外心，点 是 的外心，
点 是 的外心，点 是 的外心，…，则 的度数为 ．
11．（2023春·九年级单元测试）已知 ，作出 的外接圆 （尺规作图，不写作法，保留作
图痕迹）．
12．（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）如图， 为圆 的内接三角形， ，连接 并
延长交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
13．（2023·浙江·九年级假期作业）下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明．
证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，在 中， ， 是斜边 上的中线，求证： ．方法2：利用圆的性质证明．
方法1：利用矩形判定和性质证明．
14．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系 中，每个小正方形网格的边长为
1，点A， ， 的坐标分别为 、 、 ．
(1)填空： 的外接圆的圆心坐标为______．该外接圆的半径长为______；
(2)在图中格点上标出点 （不与 点重合），使得 ，并写出它的坐标．
题型八 三角形的内心和内切圆
【例13】（1）（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，已知 是 的内切圆，且 ，
则 的度数为（ ）A． B． C． D．
（2）（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图， 是 的内切圆，若 的周
长为18，面积为9，则 的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
（3）（2023·湖北·统考中考真题）如图，在 中， 的内切圆 与 分别
相切于点 ， ，连接 的延长线交 于点 ，则 ．
巩固训练：
1．（2023·全国·九年级专题练习） 两直角边的长分别为 和 ，则其内心与外心的距离为
（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是 外接圆的圆心，点I是 的内心，连接 ，
．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
3．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸
板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下：
甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为 ；
乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为 ；
丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰 的直角边上，面积记为 ；
丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为 ；
则下列判断正确的是（ ）
① ；② ；③在 ， ， ， 中， 最小
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张 纸片中， ， ， ，
是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，锐角三角形 中，点O为 中点．甲、乙二人想在 上找
一点P，使得 的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（ ）
甲的作法
乙的作法
以O为圆心， 长为半径画弧，
过点B作与 垂直的直线，
交 于点P，则P即为所求
交 于点P，则P即为所求
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
6．（2022秋·河北邢台·九年级邢台三中校考阶段练习）如图， 的内切圆（圆心为点O）与各边分别
相切于点D，E，F，连接 ， ．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交 于G，H
两点；分别以点G，H为圆心，以大于 的长为半径作弧，两条弧在 的内部交于点P；作射线
．给出下列结论：
①射线 一定过点O；
②点O是 三条中线的交点；
③点O是 三条边的垂直平分线的交点；
④点O是 三条边的垂直平分线的交点．
其中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中）在 中， ， ， ，
那么这个三角形内切圆的半径为 ．
8．（2022秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图， 的内切圆 与两直角边 、 分别相切于
点D、E，过劣弧 （不包括端点D、E）上任一点P作 的切线 ，与 、 分别交于点M、
N， ， ，则 的周长为 ．
9．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）如图， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、
、 ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， ， ，求 的长．
10．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，已知O是 的内心，连接 ， ， ．若
内切圆的半径为2， 的周长为12，求 的面积．11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图 内接于 ， ， 是 的直径，点 是 延长
线上一点，且 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的直径；
(3)当点B在 下方运动时，直接写出 内心的运动路线长是 ．
题型九 正多边形和圆
【例14】（1）（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，已知 的半径为4，则该圆内接正六边形
的边心距 （ ）
A． B． C． D．3
（2）（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，六边形 是 的内接正六边形，设正六边形
的面积为 ， 的面积为 ，则 ．巩固训练：
1．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边
形，这个正六边形 的半径是 ，则这个正六边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）如图，五边形 是 的内接正五边形，过点 作
的切线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点 同时出发，沿正
六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第 次
相遇地点的坐标为（ ）A． B． C． D．
7．（2023·福建·统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，
即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可
割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似
值为3.1416．如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，可得
的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）若一个圆内接正多边形的中心角是 ，则这个正多边形的
边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
9．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图， 的圆心O与正方形的中心重合，已知 的半径和正方形
的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．A． B．2 C． D．
10．（2022秋·浙江丽水·九年级校考期中）如图，A、 、 、 为一个正多边形的相邻四个顶点， 为
正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为 ．
11．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，正三角形 与正五边形 内接于 ，则
的度数为 ．
12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正
五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．
题型十 扇形面积和弧长计算【例15】（1）（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ， 的半径为 ，
，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图， 是以 为直径的半圆周的三等分点， 是直径
上的任意一点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．（2023春·山东威海统考期末）如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为 ．
若圆的半径为3，则扇形乙的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）一个扇形的半径是 ，圆心角是 ，
则此扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．3．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，将半径为 的扇形 沿 方向平移 ，得到扇形 ．
若 ，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出
一个圆心角为 的扇形，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，某小区要绿化一扇形 空地，准备在小扇形 内种花在
其余区域内（阴影部分）种草，测得 ， ， ，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．6．（2023·四川·统考中考真题）如图，半径为 的扇形 中， ， 是 上一点，
， ，垂足分别为 ， ，若 ，则图中阴影部分面积为( )
A． B． C． D．
7．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，以D为圆心，以 长
为半径画弧，以C为圆心，以 长为半径画弧，两弧恰好交于 上的点E处，则阴影部分的面积为
．
8．（2023·吉林长春·校联考二模）如图， 是 的直径， ，点 在 上（点 不与 、 重
合），过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的长度是 （结
果保留 ）
9．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为
2，圆心角为120°的 （O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到 ；再将 绕点 旋
转180°，得到 ；……依次类推，形成曲线L，现有一点P从O点出发，以每秒 个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则点A的坐标为 ；在第2020s时，点P的坐标为 ．
10．（2023·吉林松原·统考一模）如图所示，矩形 的对角线 ， 交于点 ，分别以点 ， 为
圆心， 长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面
积为 ．（结果保留 ）
11．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，半圆 的直径 ，弦 ， 的长为 ，则
的长为 ．
12．（2023·浙江湖州·统考一模）一个扇形的半径为4，圆心角为 ，则此扇形的弧长为 ．
17．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）在长方形 中，弧 是以 为圆心
的一段圆弧， ．
求：
(1)用含有 的代数式表示阴影部分的面积；(2)当 时，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）．
题型十一 圆锥及其侧面展开图
【例14】(1)（2022秋·山西大同·九年级大同市第三中学校校考阶段练习）若圆锥的高为 ，母线长为
，则圆锥的全面积为（ ）
A． B． C． D．
(2)（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则这个
圆锥的底面半径为 cm．
(3)（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为 ，母
线长为 ，一只蚂蚁从 处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置 ）所爬行的最短路径为
．（结果保留根号）
巩固训练：
1．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）圆锥的底面半径为15，母线长为50，则该圆锥的侧面积为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中 的长为
（ ）A． B． C． D．
3．（2023秋·河北石家庄·九年级校考期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若
圆锥的底面圆的半径 cm，扇形的圆心角 为120°，则该圆锥的母线l长为（ ）．
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
4．（2023春·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）已知圆锥底面半径为 ，母线长为
，则该圆锥的侧面积是 ．
5．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）若圆锥的底面直径为6cm，侧面展开图的面积为 ，则
圆锥的母线长为 ．
6．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，在 中， ， ， 边上的高 ，将
绕着 所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．
7．（2023秋·新疆和田·九年级统考期末）已知圆锥的底面半径为5，母线长为10，则此圆锥侧面展开图的
面积是 ．
66．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）已知圆锥的底面圆的半径为 ，侧面积为
，则这个圆锥的高为 ．
8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积是 ．
9．（2023·湖南衡阳·校联考一模）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则其侧面展开图的面积
为
10．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为 ，母线长为 ，则烟囱
帽的侧面积为 ．（结果保留 ）
11．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图， 是圆锥底面的直径， ，母线
．点 为 的中点，若一只蚂蚁从 点处出发，沿圆锥的侧面爬行到 点处，则蚂蚁爬行的最
短路程为 ．
12．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线 长为 ，开口直径
为 ．
（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ；（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ．
13．（2022秋·江苏·七年级专题练习）一个圆柱削去2.4立方米后，正好削成一个与它等底等高的圆锥，
圆柱原来的体积是 立方米．
14．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），
则该圆锥的高为 ．
15．（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图1，等腰三角形 中，当顶角 的大小确定时，它的对边（即
底边 ）与邻边（即腰 或 ）的比值也就确定了，我们把这个比值记作 ，即
，当 时，如 ．
(1) ， ， 的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径 ，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据： ， ）
16．（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高 为9cm， 是上
底面的直径．一只蚂蚁从点 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 ，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？
