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重难点突破 01 统计与概率综合
1．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10次配对试验，每次配
对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺
处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别
记为 ， ，2， ．试验结果如下：
试验序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记 ，2， ， ，记 ， ， ， 的样本平均数为 ，样本方差为 ．
（1）求 ， ；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显
著提高．（如果 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡
胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
【解答】解：（1）根据表中数据，计算 ，2， ， ，填表如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率
536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
伸缩率
9 6 8 15 11 19 18 20 12
计算平均数为 ，方差为 ．
（2）由（1）知， ， ，
所以 ，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩
率有显著提高．
2．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经
过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的人判定为阳性，小
于或等于 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 （c）．假设数据在组内均匀分布，
以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 （c） 时，求临界值 和误诊率 （c）；
（2）设函数 （c） （c） （c）．当 ， ，求 （c）的解析式，并求
（c）在区间 ， 的最小值．
【解答】解：（1）当漏诊率 （c） 时，
则 ，解得 ；（c） ；
（2）当 ， 时，
（c） （c） （c）
，
当 ， 时 ， （ c ） （ c ） （ c ）
，
故 （c） ，
所以 （c）的最小值为0.02．
3．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配
到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小
白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位： ．试验结果如
下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数 ，再分别统计两样本中小于 与不小
于 的数据的个数，完成如下列联表；
对照组
试验组（ⅱ）根据 中的列联表，能否有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常
环境中体重的增加量有差异？
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【解答】解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为
（2） 由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第
20位与第21位数据的平均数，
因为原数据的第 11位数据是 18.8，后续依次为 19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，
22.5，22.8，23.2，23.6， ，
所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，
所以这组数据的中位数是 ；
填写列联表如下：
合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
根据列联表中数据，计算 ，
所以有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
4．甲、乙两城之间的长途客车均由 和 两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的
运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次
数
240 20
210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附： ．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【解答】解：（1） 公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故 公司准点的概率
为 ；
公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故 公司准点的概率为 ；
（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆， 公司共260辆，
公司共240辆，
，
有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
5．甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得 3局的运动员获胜，并结束比
赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设 为结束比赛所需要的局数，求随机变量 的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为 ，
比赛四局且甲获胜的概率为 ，
比赛五局且甲获胜的概率为 ，
所以甲获胜的概率为 ．
（2）随机变量 的取值为3，4，5，
则 ，
，，
所以随机变量 的分布列为：
3 4 5
则随机变量 的数学期望为 ．
6．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本
数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 ， 的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为 ，该地区年龄位于区间 ， 的人口占
该地区总人口的 ．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ， ，求此人患
这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间
的概率，精确到0.0001 ．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 ， 的频率为：
，估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 ， 的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间 ， 为事件 ，此人患这种疾病
为事件 ，
则 ．
7．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产
品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解答】解：（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为 ；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为 ；
（2）根据 列联表，可得
．
所以有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
8．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家
境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．11月22日，卡塔尔世界杯小组赛组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队 不敌沙特阿拉伯队．梅西在开场阶段打入一粒
点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的
首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多
踢3次，每次射门的结果相互独立．在 处射进一球得3分，在 处射进一球得2分，否
则得0分．将队员得分逐次累加并用 表示，如果 的值不低于3分就判定为通过测试，
立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止．现有两种射门方案，方案 1：先在
处踢一球，以后都在 处踢；方案2：都在 处踢球．已知甲队员在 处射门的命中率
为 ，在 处射门的命中率为 ．
（1）若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分 的分布列和数学期望 ；
（2）你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．
【解答】解：（1）设甲队员在 处命中的事件为 ，在 处命中的事件为 ，2，
，有 ，
的所有可能值为0，2，3，4，
，
， ，
，
所以 的分布列为：
0 2 3 4
数学期望 ；
（2）设甲队员选择方案1通过测试的概率为 ，选择方案2通过测试的概率为 ，
由 （ 1 ） 知 ， ，，显然 ，
所以甲队员选择方案2通过测试的可能性更大．
9．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上（含
的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以
往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望
；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求
证明）
【解答】解：（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校
运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率 ．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为 ，丙在校
运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为 ，
的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
，
，．
（Ⅲ）由题中数据可知，乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为 ，且丙投出过三人成绩中
的最大值 ，
在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
10．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，
用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为
和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不
认为有显著提高）．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 中 的 数 据 可 得 ，
，
，
；；
（2） ， ，
因为 ，
所以 ，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
11．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 ， 两类问题．每位参加比赛的同学先在两
类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答
正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．
类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得
80分，否则得0分．
已知小明能正确回答 类问题的概率为0.8，能正确回答 类问题的概率为0.6，且能正确
回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解答】解：（1）由已知可得， 的所有可能取值为0，20，100，
则 ，
，
所以 的分布列为：
0 20 100
0.2 0.32 0.48
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 小 明 先 回 答 类 问 题 累 计 得 分 的 期 望 为
，
若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，
则 的所有可能取值为0，80，100，，
，
，
则 的期望为 ，
因为 ，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 类问题．
12．某厂生产的某种零件的尺寸 大致服从正态分布 ， ，且规定尺寸
为次品，其余的为正品．生产线上的打包机自动把每 5件零件打包成1
箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元．现
从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如图：
（1）估计生产线生产的零件的平均尺寸；
（2）从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 生 产 线 生 产 的 产 品 平 均 尺 寸 为 ：
；
（2）次品的尺寸范围 ，
即 ，
即 ，故生产线生产的产品次品率为： ，
设生产线上的一箱零件 件）中的正品数为 ，正品率为 ，
故 ，
则 ，
设销售生产线上的一箱零件获利为 元，
则 ，
则 （元 ，
所以这箱零件销售后的期望利润为100元．
13．为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续 40天的价格变化数据，
如表所示，在描述价格变化时，用“ ”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用
“ ”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与
前一天价格相同．
时 价格变化
段
第 0 0 0 0 0
1
天
到
第
20
天
第 0 0 0 0 0
21
天
到
第
40
天
用频率估计概率．
（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取 4天，试估计该
农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第 41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【解答】解：（Ⅰ）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率
为 ．
（Ⅱ）由表可知，40天中“下跌”的有14天，则该农产品“下跌”的概率为 ，
40天中“不变”的有10天，则该农产品“不变”的概率为 ，
则该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率
．
（Ⅲ）由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，
“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为 ，
“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为 ，
“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为 ，
故第41天该农产品价格“不变”的概率估值最大．
14．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分
配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的
小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位： ．
（1）设 表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
求40只小白鼠体重的增加量的中位数 ，再分别统计两样本中小于 与不小于 的数据的个数，完成如下列联表：
对照组
实验组
根据 中的列联表，能否有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境
中体重的增加量有差异？
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【解答】解：（1）根据题意可得 ，1，2，
又 ，
，
，
的分布列为：
0 1 2
；
（2） 个数据从小到大排列后，中位数 即为第20位和第21位数的平均数，
第20位数为23.2，第21位数为23.6，
，
补全列联表为：
合计对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
由 可知 ，
能有 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
15．2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有 25个汽
车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 为小明取到红色外观的模型，事件
为小明取到棕色内饰的模型，求 （B）和 ，并判断事件 和事件 是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两
个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、
以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设 为奖金额，写出 的分布列并求出 的数学期望．
【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概
率 （A） ，
若小明取到棕色内饰，分红色外观 12，蓝色外观 8，则对应的概率 （B）
．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即 ，
则 ．（A） （B） ， （A） （B） ，
即事件 和事件 不独立．
（2）由题意知 ，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率 ，
外观和内饰都异色的概率 ，
仅外观或仅内饰同色的概率 ，
，
， ， ，
则 的分布列为：
150 300 600
则 （元 ．
16．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命
中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的
命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为
0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ， ，2，
， ，则 ．记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求．
【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为 ，
由题意得 ；
（2）由题意设 为第 次投篮的是甲，
则 ，
，
又 ，则 是首项为 ，公比为0.4的等比数列，
，即 ，
第 次投篮的人是甲的概率为 ；
（3）由（2）得 ，
当 时， ，
综上所述， ， ．
17．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好
和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同
时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人， 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事
件“选到的人患有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 ， 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出 的
估计值．
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解答】解：（1）补充列联表为：
不够良好 良好 合计
病例组 40 60 100
对照组 10 90 100
合计 50 150 200
计算 ，
所以有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（ 2 ） 证 明 ：
（ⅱ）利用调查数据， ， ， ，
，
所以 ．18．在核酸检测中，“ 合1”混采核酸检测是指：先将 个人的样本混合在一起进行1次
检测，如果这 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为
阴性，检测结束；如果这 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人
再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．
（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 ．设 是检测的总次数，求 的
分布列与数学期望 ．
（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．
设 是检测的总次数，试判断数学期望 与（Ⅰ）中 的大小．（结论不要求证
明）
【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
（ⅱ）由题意可得： ，30．
， ．
可得分布列：
20 30
．
（Ⅱ）由题意可得： ，30．
， ．
可得分布列：
25 30．
．
另解：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为 ，“5合1”混采核酸
检测两名感染患者在同一组的概率为 ，则 ，
此时有 ；
而 ，
．
19．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0代，经过
一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代， ，该微生物每代繁殖的个数是相
互独立的且有相同的分布列，设 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
，1，2， ．
（Ⅰ）已知 ， ， ， ，求 ；
（Ⅱ）设 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率， 是关于 的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时
；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【解答】（Ⅰ）解：由题意， ， ， ， ，
故 ；（Ⅱ）证明：由题意可知， ，则 ，
所以 ，变形为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
令 ，
若 时，则 的对称轴为 ，
注意到 （若 ，则 不成立，当 ，却有 ，
（1） ，
若 时， （1） ，
当 时， （1） ， 的正实根 ，原方程的最小正实根 ，
当 时， （1） ， 的正实根 ，原方程的最小
正实根 ，
（Ⅲ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖
后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖
的可能．
20．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总
材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： 和材积量（单位： ，得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
根部横截面积
0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
材积量
并计算得 ， ， ．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 ；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积
总和为 ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林
区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ， ．
【解答】解：（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为 ，平均一棵的材积量为 ，
则根据题中数据得： ， ；
（ 2 ） 由 题 可 知 ，
；
（3）设总根部面积和 ，总材积量为 ，则 ，故 ．
