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重难点突破 02：一元二次方程根的分布情
况
知识点一、一元二次方程根的“0”分布
一元二次方程根的“0”分布是指方程的根相对于零的关系.(如两根同正、两根同负、两根一
正一负)
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根分别为x,x,且x≤x.
1 2 1 2
[性质1] x>0,x>0
1 2
Δ=b2-4ac≥0,
{
b
(两个正根) x +x =- >0,
1 2 a
c
⇔ x x = >0.
1 2 a
{Δ=b2-4ac≥0, {Δ=b2-4ac≥0,
[推广1]x>0,x>0 a>0, 或 a<0,
1 2
f (0)=c>0, f (0)=c<0,
⇔
b<0 b>0.
上述推论结合二次函数图象不难得到.
[性质2] x<0,x<0
1 2Δ=b2-4ac≥0,
{
b
(两个负根) x +x =- <0,
1 2 a
c
⇔ x x = >0.
1 2 a
{Δ=b2-4ac≥0, {Δ=b2-4ac≥0,
[推广2]x<0,x<0 a>0, 或 a<0,
1 2
f (0)=c>0, f (0)=c<0,
⇔
b>0 b<0.
由二次函数图象易知它的正确性.
c
[性质3] x<0<x <0.(一根正一根负)
1 2
a
⇔
知识点二、一元二次方程根的“k”分布(a>0)
分布情况 满足条件 大致图象
Δ>0
{
b
x,x<k - <k
1 2 2a
f (k)>0
Δ>0
{
b
x,x>k - >k
1 2 2a
f (k)>0
x<k<x f(k)<0
1 2
4.一元二次方程根在区间上的分布(a>0)分布情况 满足条件 大致图象
Δ>0
{
f (m)>0
x,x∈(m,n) f (n)>0
1 2
b
m<- <n
2a
x (m,n),x∈(m,n) f(m)·f(n)<0
1 2
∉
{f (m)f (n)<0
x∈(m,n),x∈(p,q)
1 2 f (p)f (q)<0
一．选择题（共11小题）
1．已知一元二次方程 有两个实数根 ， ，且
则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：一元二次方程 有两个实数根 ， ，且
，
令 ，
则 ，即 ，解得 ，
，
．
故选： ．2．设 ， 是关于 的方程 的根．若 ， ，则实
数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，函数 开口方向向上，
若 ， ，则函数须同时满足三个条件：
当 时， ，代入解得 ，恒成立；
当 时， ，代入解得 ， ；
当 时， ，代入解得 ，
综上，实数 的取值范围是 ．
故选： ．
3．已知方程 有两个不相等的实数根，且都大于 2，则实数 的取
值范围是
A． ， ， B．
C． D． ， ，
【解答】解：令 ，
则由已知可得函数 与 轴有两个不同的交点，且都在2的右侧，
如图所示：由图可得： ，解得： ，
故 的取值范围为： ，
故选： ．
4．若方程 有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间 内，
则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为方程 有两个不相等的实数根，且仅有一个根在
区间 内，
所以①当 （2） （3） 时， ，解得 ；
②令 （2） ，得 ，方程 ，另一解为 ，不适合；
③令 （3） ，得 ，方程 ，另一解为 ，不适合，
综上实数 的取值范围是 ，
故选： ．5．关于 的方程 在 上有两个不相等的实根，则实数 的取值范
围是
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，
因为方程 在 上有两个不相等的实根，
所以 ，
解得 ．
故选： ．
6．若函数 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ，
所以 ，
设 的两个零点为 ， ，则 ，
所以 （1） ．
故选： ．7．若一元二次方程 不等于 有一个正根和一个负根，则实数 的取值范
围为
A． B． C． D．
【解答】解： 一元二次方程 不等于 有一个正根和一个负根，
，求得 ．
故选： ．
8．一元二次方程 有一个正根和一个负根的一个充要条件是
A． B． C． D．
【解答】解：因为一元二次方程 有一个正根和一负根，设两根为 和
，
所以 ，解得 ，故 ．
故选： ．
9．已知一元二次方程 的两根都在 内，则实数 的取值范围是
A． B． ，
C． ， ， D． ，
【解答】解：因为一元二次方程 的两根都在 内，
可设 ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
10．已知关于 的方程 在区间 内有实根，则实数 的取值范围是
A． ， B．
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：因为关于 的方程 在区间 内有实根，
所以 在区间 内有实根，
令 ， ，所以 在 上单调递减，
所以 （2） （1），即 ， ，
依题意 与 在 内有交点，
所以 ．
故选： ．
11．已知方程 有两根，一根在 ，而另一根在 ，则实数 的取值范
围为
A． B．
C． D．
【解答】解：设 ，
则 的一个零点在 ， 内，另一零点在 内，， ，
实数 的取值范围为 ， ，
故选： ．
二．填空题（共9小题）
12．已知关于 的方程 的两根分别在区间 ， 内，则实数
的取值范围为 ．
【解答】解：令 ，
根据题意得 ，即 ，
由①得： ，由②得： ，由③得： ，
求交集得： ，
故 的取值范围为 ．
故答案为： ．
13．设 ，关于 的方程 有两实数根 ， ，且
，则实数 的取值范围是 ， ， ．
【解答】解：设 ，
由 ， 是 的两个零点，且 ，可得 ，即 ，
即 ，
所以 或 ．
故答案为： ， ， ．
14．方程 的一根大于 1，一根小于 1，则实数 的取值范围是
．
【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ．
15．已知关于 的方程 有两个实数根，且一根小于 ，一根大
于 ，则实数 的取值范围为 ．
【解答】解：设 ，
由题意可知 ，
即 ，
解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．16．关于 的方程 有两实根，且一个大于4，一个小于4，则
的取值范围为 ， ．
【解答】解：令 ，
由题意可得 或 ，
即 或 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ， ，
故答案为： ， ．
17．二次方程 的两个根 与 ，当 ， 时，则实数
的取值范围为 ．
【解答】解：由已知设 ，
则当 ， 时，
满足 ，解得 ，即 ，
故答案为： ．
18．已知函数 有一个零点在区间 内，则实数 的取值
范围是 ， ．
【解答】解： ， ，函数的零点为 ，不满足题意；当 时，若二次函数只有一个零点，则△ ，解得：
，
此时的零点为 ，不满足题意：
若二次函数有两个零点，有且只有一个零点在区间 中，则 （1）
，
解得 ，检验：当 ，时， ，即两个零点异号，
因此当 （1） ， 时，函数有且只有一个零点在区间 内，
当若二次函数有两个零点，两个零点在区间 中时，
，即 ，无解，故不存在两个零点在区间 内，
综上， 的取值范围为： ， ．
故答案为： ， ．
19．方程 的一根在 内，另一根在 内，则实数 的取值范围
是 ．
【解答】解：设 ，
则 的一个零点在 内，另一零点在 内．，即 ，
解得 ．
故答案为
20．一元二次方程 的一根比1大，另一根比1小，则实数 的取值
范围是 ．
【解答】解：依题意可得设函数 ，
因为一元二次方程 的一根比1大，另一根比1小，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
三．解答题（共5小题）
21．已知二次函数 ，在下列条件下，求实数 的取值范围．
（1）两根均大于1；
（2）一个根大于1，一个根小于1．
【解答】解：（1）因为方程 的两根均大于1，
所以 ，解得 ，
即 的取值范围为 ；
（2）由 可得 ，
因为方程 的一个根大于1，一个根小于1，所以 （1） ，解得 ．
即 的取值范围为 ．
22．设二次函数 ．
（1）若该二次函数无零点，求实数 的取值范围；
（2）方程 的两根为 ， ，若 ， ，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）若函数无零点，
则判别式△ ，解得 ，
即实数 的范围为 ；
（2）因为方程 的两根 ， ，
则 ，即 ，解得 ，
即实数 的范围为 ， ．
23．设二次函数 ．
（1）若 ， ，且 有两个零点，求 的取值范围；
（2）若 的解集是 ，求不等式 的解集．
【解答】解：（1）当 ， 时， ，
因为 有两个零点，
所以△ ，即 ，
故 的取值范围 ；（2）由 的解集是 知： 且 ，2是方程 的两根，
由韦达定理知： ， ，
由 得： ， ， ，
解得 或 ，
故不等式 的解集为 ．
24．已知关于 的方程 ．
（1）若方程无实数根，求实数 的取值范围；
（2）若方程有两个小于 的实数根，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）因为方程 无实数根，
所以△ ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ；
（2）设 ，
方程 有两个小于 的实数根，
则 ，解得 ，
故 的取值范围为 ， ．
25．关于 的方程 的两个实根 ， ．（1）若 ， 求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） 关于 的方程 的两个实根 ， ，
， ，
令 ，
，求得 ，
故实数 的取值范围为 ．
（2）若 ，则 ，即 ，
求得 ．
