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重难点突破 02：一元二次方程根的分布情
况
知识点一、一元二次方程根的“0”分布
一元二次方程根的“0”分布是指方程的根相对于零的关系.(如两根同正、两根同负、两根一
正一负)
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根分别为x,x,且x≤x.
1 2 1 2
[性质1] x>0,x>0
1 2
Δ=b2-4ac≥0,
{
b
(两个正根) x +x =- >0,
1 2 a
c
⇔ x x = >0.
1 2 a
{Δ=b2-4ac≥0, {Δ=b2-4ac≥0,
[推广1]x>0,x>0 a>0, 或 a<0,
1 2
f (0)=c>0, f (0)=c<0,
⇔
b<0 b>0.
上述推论结合二次函数图象不难得到.
[性质2] x<0,x<0
1 2Δ=b2-4ac≥0,
{
b
(两个负根) x +x =- <0,
1 2 a
c
⇔ x x = >0.
1 2 a
{Δ=b2-4ac≥0, {Δ=b2-4ac≥0,
[推广2]x<0,x<0 a>0, 或 a<0,
1 2
f (0)=c>0, f (0)=c<0,
⇔
b>0 b<0.
由二次函数图象易知它的正确性.
c
[性质3] x<00)
分布情况 满足条件 大致图象
Δ>0
{
b
x,x0
Δ>0
{
b
x,x>k - >k
1 2 2a
f (k)>0
x0)分布情况 满足条件 大致图象
Δ>0
{
f (m)>0
x,x∈(m,n) f (n)>0
1 2
b
m<-
