文档内容
重难点突破02 向量中的隐圆问题
目录
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
⃗PA⋅ ⃗PB=λ
乘积型：
√ 1
λ+ AB2
定理：平面内，若 A,B 为定点，且 ⃗PA⋅ ⃗PB=λ ,则P的轨迹是以M为圆心 4 为半径的圆
1 √1
PM2 − AB2 =λ PM= AB2 +λ
证明：由 ⃗PA⋅ ⃗PB=λ ，根据极化恒等式可知， 4 ，所以 4 ，P的轨迹
√ 1
λ+ AB2
是以M为圆心 4 为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：PA2 +PB2 =λ
√ λ− 1 AB2
2
定理：若 A，B 为定点，P满足 PA2 +PB2 =λ ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心， 2 为半
1
(λ− AB2 >0)
径的圆。 2
√ λ− 1 AB2
1 2
PA2 +PB2 =2[PM2 +( AB) 2 ]=λ PM=
证明： 2 ，所以 2 ，即P的轨迹是以AB中点M为圆√ λ− 1 AB2
2
心， 2 为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
{mPA 2 PB 2 {PA 2 mPB 2
n¿ n¿
+ = + = ¿¿¿
若 A，B 为定点， ，则P的轨迹为圆．
mPA2 +PB2 =n⇒m[(x+c) 2 +y2 ]+[(x−c) 2 +y2 ]=n
证明：
⇒(m+1)(x2 +y2 )+2c(m−1)x+(m+1)c2 −n=0
2(m−1)c c2 (m+1)−n
⇒x2 +y2 + ⋅x+ =0
m+1 m+1 ．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
题型一：数量积隐圆
例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在 中， . 为 所在平面内的动
点，且 ，若 ，则给出下面四个结论：
① 的最小值为 ；② 的最小值为 ；
③ 的最大值为 ；④ 的最大值为8.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】如图，以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，
因为 ，所以设 ，则
， ，
所以 ，
所以 ，即 （ 为任意角），
所以（其中 ），
所以 的最大值为 ，最小值为 ，
所以①③错误，
因为 ，
所以
（其中 ）
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，最大值为14，
所以②正确，④错误，
故选：A
例2．（2023·全国·高三专题练习）若正 的边长为4， 为 所在平面内的动点，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由题知，
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图，
则 ， ，
由题意设 ，
则 ，
，
，
，
，
可得 .
故选：D
例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在 中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为 所在平面内的
动点，且PC＝2，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在 中，以直角顶点 为原点，射线 分别为 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，
如图，令角 的始边为射线 ，终边经过点 ，由 ，得 ，而 ，
于是 ，
因此
，其中锐角 由 确定，
显然 ，则 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是边长为 的等边三角形，其中心为O，P为平面内一
点，若 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出图像如下图所示，取 的中点为D，则 ，因为 ，则P在以O为
圆心，以1为半径的圆上，
则 .又 为圆O上的点P到D的距离，则
，
∴ 的最小值为 .
故选：A.变式2．（2023·北京·高三专题练习） 为等边三角形，且边长为 ，则 与 的夹角大小为 ，
若 ， ，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为 是边长为 的等边三角形，且 ，则 为 的中点，故 ，
以点 为坐标原点， 、 分别为 、 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 、 、 ，设点 ，
， ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两个不同的点，且
若 ，则 的最小值为______.
【答案】 /
【解析】解法1：如图，因为 ，所以 ，故四边形 为矩形，
设 的中点为S，连接 ，则 ，
所以 ，又 为直角三角形，所以 ，故 ①，
设 ，则由①可得 ，
整理得： ，
从而点S的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以 ，
因为 ，所以 ；
解法2：如图，因为 ,所以 ，
故四边形 为矩形，由矩形性质， ，
所以 ，从而 ，
故Q点的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以 .
故答案为： .
题型二：平方和隐圆
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知 是单位向量，满足 ，
则 的最大值为________．
【答案】
【解析】依题意， 可为与x轴、y轴同向的单位向量，设
化简得：运用辅助角公式得：
，
即得： ，
故 ；
故答案为：
例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量 、 满足 ， ，设
，则 ________.
【答案】
【解析】因为 且 ，所以 ；
又因为 ，所以 ；
由 ，所以 ；
根据 可知：
，
左端取等号时： 三点共线且 在线段 外且 靠近 点；右端取等号时， 三点共线且 在
线段 外且 靠近 点，
所以 ，所以 .
故答案为： .例6．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，圆 ，
若圆 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.设 ，则
，
所以 ，
所以点M的轨迹是一个圆D,
由题得圆C和圆D相交或相切，
所以 ，
所以 .
故选：B
变式4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系 中，已知直线 与点 ，若
直线 上存在点 满足 （ 为坐标原点），则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
∵直线 与点 ，直线 上存在点 满足 ，
∴ ，
整理,得 ①，
∵直线 上存在点M,满足 ，
∴方程①有解，
∴ ，
解得： ，
故选D.
变式5．（2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设 ， ，O为坐标原点，点P满足，若直线 上存在点Q使得 ，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
，
，即 ．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线 上存在点Q使得 ，
则PQ为圆 的切线时 最大，
，即 ．
圆心到直线 的距离 ，
或 ．
故选：C．
变式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：
，点 ，若圆C上存在点M，满足 ，则点M的纵坐标的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】解析：设 ，因为 ，所以 ，
化简得 ，
则圆C： 与圆 ： 有公共点，
将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为
代入 可得 ，
故答案为： .
题型三：定幂方和隐圆
例7．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点 ， ，直线 ： 上存在点
，使得 成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意得：直线 ，
因此直线 经过定点 ；
设点 坐标为 ， ； ，
化简得： ，
因此点 为 与直线 的交点．
所以应当满足圆心 到直线的距离小于等于半径
解得：
故答案为
例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量 、 、 ，满足 ， ， ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，作 ， ， ，取 的中点 ，连接 ，以点 为圆心， 为半径作圆 ，
， ， ，
所以， 为等边三角形，
为 的中点， ，所以， 的底边 上的高为 ，
， ，
所以， ，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当 、 、 三点共线且 为线段 上的点时，
的面积取得最大值，此时， 的底边 上的高 取最大值，即 ，则
，
因此， 的最大值为 .
故选：B.
例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量 ， 的夹角为60°，向量 满足
，若对任意的 ，记 的最小值为M，则M的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由 推出 ，所以 ，如图，
终点的轨迹是以 为半径的圆，设 ， ， ， ，所以 表示 的距离，
显然当 时 最小，M的最大值为圆心到 的距离加半径，即 ，
故选：A
变式7．（2023·江苏·高三专题练习）已知 ， 是两个单位向量，与 ， 共面的向量 满足
，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得 ，设 ，
则 ，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，
设 ，利用三角函数求 的最值．由 得： ，即
，
设 ，
则 ，
则点C在以AB为直径的圆O上运动，
由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设 ，
则 ，
所以当 时，|DC|取最大值 ，
故选：C．
变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量． 若
， ， 则 的最大值为_______．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，即 ，
因为 ，即 ，
作 ， ， ， ，则 ，
，则 ，
固定点 ，则 为 的中点，则点 在以线段 为直径的圆 上，
点 在以点 为圆心， 为半径的圆 上，如下图所示：
，
设 ，则 ，
因为 ， ，
故
，
当 时，等号成立，即 的最大值为 .故答案为： .
变式9．（2023·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量.若非
零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 的最小值是_______．
【答案】
【解析】由 得， ，
故 ，或 或 ，
设 ， ，以O为原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示坐标系，
则 ，令 ，则 ， ，
由 ，或 或 ，
得B点在以 为圆心， 为半径的圆上，
又非零向量 与 的夹角为 ，则设 的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线 ， 上，
则 的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心 到直线的距离减去半径，
不妨以 为例，
则 的最小值为
故答案为：变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 、 ，满足 ， ， ，
，若 ，则 的最大值是_________.
【答案】
【解析】因为 ，即 ，可得 ，
设 ， ，则 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 ， ，则 或 ，
因为 ，则 或 ，
令 ，则 或 ，
根据对称性，可只考虑 ，
由 ，
记点 、 、 ，则 ， ，
所以， ，
当且仅当点 为线段 与圆 的交点时，等号成立，
所以，
.
故答案为： .
变式11．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知 是平面向量， ，若非零向量 与
的夹角为 ，向量 满足 ，则 的最小值是__________.【答案】 /
【解析】设 ，则由 得 ，可得 ，
由 得 ，
因此， 表示圆 上的点 到直线 上的点 的距离；
故其最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，即 .
故答案为：
题型四：与向量模相关构成隐圆
例10．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则
的最小值是__________．
【答案】
【解析】 均为单位向量且 ， 不妨设 ， ， 且 ，
， ，
，
的几何意义表示的是点 到 和 两点的距离之和的2倍，
点 在单位圆内，点 在单位圆外，
则点 到 和 两点的距离之和的最小值即为 和 两点间距离，
所求最小值为 .
故答案为： .
例11．（2023·上海·高三专题练习）已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若
，则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】作图， ，则 ， ，
因为 ，所以 起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；
同理， ，所以 起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，
所以 的最小值则为 ，
因为 ， ，当 ， ， 三点共线时， ，所以
.
故答案为： .
例12．（2023·上海金山·统考二模）已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若
，则 的最小值为__________.
【答案】 /
【解析】如图，设 ， ， ， ， ，
则点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，
，所以点 在射线 上，
所以 ，
作点 关于射线 对称的点 ，则 ，且 ，
所以 （当且仅当点 三点共线时取等号）
所以 的最小值为 ，故答案为： .
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知线段 是圆 的一条动弦，且 ，
若点 为直线 上的任意一点，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图， 为直线 上的任意一点，
过圆心 作 ，连接 ，由 ，
可得 ，
由 ，当 共线时取等号，
又 是 的中点，所以 ，
所以 .
则此时 ，
的最小值为 .
故答案为：
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点， ，B在直线 上， ，动
点M满足 ，则 的最小值为__________.
【答案】 /
【解析】设 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，，
整理得 ，
可得 点在以 为圆心，半径为 的圆上，
，当 时，
可得 ，即
圆心在 在直线 上，
过 做 的垂线，当垂足为圆心 点时， 长度最小， 的长度也最小，
且 长度最小值为 ，此时 的最小值为 .
故答案为： .
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知 是单位向量， .若向量 满足 ，则| |的最
大值是________.
【答案】 /
【解析】法一 由 ，得 .
如图所示，分别作 ,作 ，
由于 是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以 ,作 ，则 ,
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，| |取得最大值 ,
1
故| |的最大值是 ,
故答案为：
法二 由 ，得 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，
设 ，由 ，
得 ，
所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.
所以
故答案为：
变式15．（2023·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是 、 是单位向量， ，
若向量 满足 ，则 的最大值为______
【答案】 /
【解析】由 、 是单位向量，且 ，则可设 ， ， ，
所以 ，
向量 满足 ，
，
即 ，
它表示圆心为 ，半径为 的圆，
又 表示圆上的点 到坐标原点 的距离，因为 ，
所以 ．
故答案为： ．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则 的最大值是_________．
【答案】
【解析】因为 是平面内两个互相垂直的单位向量，
故不妨设 ，设 ，
由 得： ，
即 ，即 ，
则 的终点在以 为圆心，半径为 的圆上，
故 的最大值为 ，
故答案为：
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： 与 的夹角为
，记 是 的最大值，则 的最小值是__________．
【答案】
【解析】如图，
设 为AB中点，令 ，
则 ①，
因为 ，
故有 ，②，
由①②得 ，从而 ，
因为 ，所以 ，即点C在以AB为直径的圆E上.
，
，
当且仅当 时，即 时等号成立.
故答案为：
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最大值为
___________.
【答案】5
【解析】令 ，
，
，
，
令 ，
设 ，则
， ，
令 ，
若函数 存在极值点，则 是函数 的唯一极值点，
显然，函数 在 取得最值，
，
故答案为：5.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ，
则 的最大值为________．【答案】
【解析】设 ，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x,y)，
∵ ，∴ ，
即 ，∴点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，
表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，
∵圆心到A的距离为 ，
∴ 的最大值为 .
故答案为： .
变式20．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 为单位向量，则 的最大值是________
【答案】
【解析】依题意 ， 为单位向量，设 ，
则
，
当且仅当 ，即 时等号成立.故答案为：
