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第二章 有理数的运算压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 根据点在数轴的位置判断式子的正负................................................................................................1
压轴题型二 根据点在数轴的位置化简绝对值........................................................................................................3
压轴题型三 利用分类讨论数学思想化简绝对值....................................................................................................6
压轴题型四 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值............................................................................................9
02 压轴题型
压轴题型一 根据点在数轴的位置判断式子的正负
例题：（2024·江苏徐州·二模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小．
根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案．
【详解】解：由图可得： ，且 ，
∴A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故选：B．
巩固训练
1.（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法
法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号
两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任
何数与0相加仍得原数．
根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可．
【详解】解：∵从数轴可知： ， ，
∴A． ，
∴ ，正确，故本选项不符合题意；
B．∵ ，
∴ ，正确，故本选项不符合题意；
C．∵ ， ，
∴ ，错误，故本选项符合题意；
D．∵ ， ，
∴ ，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
2.（2023·陕西渭南·一模）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 (填“ ”，“ ”或“
”)
【答案】
【分析】根据数轴判断出 距离原点的距离比 距离原点的距离小，即可得出答案．
【详解】解：∵ 距离原点的距离比 距离原点的距离小，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握 ， 在数轴上对应点的位置得出 距离原点的距
离比 距离原点的距离小是关键．3.（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
(1)先把“ ”表示在数轴上，再用“>”或“<”填空．
___________0， ___________0， ___________0．
(2)用“<”将a、b、c、 、 、 连接起来：___________．
【答案】(1)见解析，>，<，>
(2)
【分析】（1）现根据数轴上a、b、c的位置得到 ， ，然后再逐一比较大小即可；
（2）根据 ， 进行比较大小解题即可．
【详解】（1）解：把“ ”表示在数轴上为：
因为 ， ，
∴ ， ， ，
故答案为：>，<，>；
（2）因为 ， ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】首先在数轴上表示各数，然后再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“<”连
接即可．
压轴题型二 根据点在数轴的位置化简绝对值
例题：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：
(1)比较a﹣b与a+b的大小；
(2)化简|b﹣a|+|a+b|．
【答案】（1）a﹣b＞a+b；（2）﹣2b．
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小；（1）用作差法比较大小；
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值号，再进行加减．
【详解】解：由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
（1）∵（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b＞0，
∴a﹣b＞a+b；
（2）因为b﹣a＜0，a+b＜0，
所以|b﹣a|+|a+b|
=a﹣b﹣a﹣b
=﹣2b．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练的掌握实数的大小比较方法.
巩固训练
1.已知有理数 在数轴上的位置如图所示：
（1）判断正负，用“>”、“<”或“=”填空： , ,
（2）化简： .
【答案】（1）＜；＞；＜；（2）a．
【分析】（1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解；
（2）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可．
【详解】（1）根据数轴可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＜0，a−b＞0，a＋b+c＜0，
故答案为：＜；＞；＜；
（2）根据数轴可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，
∴b−c＜0，a−b＜0，a＋c＞0，
∴
＝−（a+c）+（a+b+c）＋（a-b）
＝-a-c +a+b+c＋a-b
＝a．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解决此题的关键是能够根据数轴上
的信息，判断出a，b，c等字母的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用．2.已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|
（1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数．
（2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|
【答案】（1）图详见解析,﹣b＜a＜﹣a＜b；（2）0
【分析】（1）根据已知得出a＜0，b＞0，|b|＞|a|，再在数轴上标出即可；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）
﹣b＜a＜﹣a＜b；
（2）∵有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|，
∴2a-b＜0，2b-a＞0，
∴|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|
＝﹣2a+b﹣（2b﹣a）+（a+b）
＝﹣2a+b﹣2b+a+a+b
＝0．
【点睛】此题考查有理数的大小比较，正确理解数的正负性、绝对值的性质是解题的关键.
3.问题一：如图，试化简： ．
问题二：表示有理数 的点在数轴上的位置如图所示，
（1）比较 的大小关系
（2）化简： ．
【答案】问题一： ；问题二：（1）a＜c＜b＜-a；（2）
【分析】问题一：根据绝对值的定义进行化简即可；
问题二：（1）根据数轴上的点进行比较即可；
（2）根据绝对值的定义进行化简即可．【详解】解：问题一：由图可得：b＞0，c＜a＜0， ，
=
= ；
问题二：（1）由图可得：a＜c＜0，b＞0， ，
∴a＜c＜b＜-a；
（2）
=
=
【点睛】此题主要考查了数轴，有理数的大小比较以及整式的加减运算，正确去绝对值是解题关键．
压轴题型三 利用分类讨论数学思想化简绝对值
例题：已知 、 、 均为不等式0的有理数，则 的值为 ．
【答案】3，-3，1，−1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时， =1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时， = =−1−1−1=−3；
(3)当a>0，b>0，c<0时， = =1+1−1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时， = =−1−1+1=−1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．
故答案为：3，-3，1，−1．
【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
巩固训练
1.已知 、 ，那么 ＝【答案】±2或0
【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可．
【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2，
当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0，
当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0，
当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
故答案为：±2或0．
【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键．
2．（2024六年级下·上海·专题练习）若 ， ；若 ， ；
①若 ，则 ；
②若 ，则 ．
【答案】 1 1 1
【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还
是它的相反数．
根据实数绝对值的性质 ，根据 的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可．
【详解】解： ，
，
；
，
，
，
故答案为：1， ；
① ，
，
，，
故答案为：1；
② ，
、 、 中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况，
当 、 、 中有一个负数、两个正数时，
，
当 、 、 中有三个负数时，
，
故答案为：1或 ．
3．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知 ， 是有理数，当 时，则 _______；当 时，则 _______．
(2)已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值．
(3)已知 ， ， 是有理数，当 时，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解．
（2）由 可得 ，由根据 进而可求解．
（3）分四种情况讨论：①当 都是正数，即 时；②当 有一个为正数，另
两个为负数时，设 ；③当 有两个为正数，一个为负数时；④当 三个数都
为负数时，分别去绝对值即可求解．
【详解】（1）解：当 时，则 ，当 ，则 ，
故答案为： ， ．
（2）已知 是有理数， ，
所以 ，且 中两正一负，
所以 ．
（3）由题意得： 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或
三个都为负数．
①当 都是正数，即 时，
则： ，
②当 有一个为正数，另两个为负数时，设 ，
则： ，
③当 有两个为正数，一个为负数时，
设 ，
则： ，
④当 三个数都为负数时，
则： ，
综上所述： 的值为 或 或 或
【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等
于它相反数是解题的关键．
压轴题型四 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值
例6.（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两
点之间的距离表示为 ，在数轴上A、B两点之间的距离 ．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ；(2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是 ，则点A和B之间的距离是 ，若 ，那么x为 ；
(3)利用数轴，求 的最小值 ；
(4)当x是 时，代数式 ；
【答案】(1)3，4
(2) ， 或0
(3)3
(4) 或2
【分析】本题考查两点间的距离．绝对值的意义，熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行
求解，是解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（3）设表示x的点为M，表示 的点为A，表示1的点为B，则 是点M与点A的距离与点M
与点B的距离之和．结合数轴，根据点M的位置分类讨论计算 即可；
（4）由（3）可得当 或 时， 才成立，分 和 两种情况，去掉绝对值
符号，求解即可．
【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，
数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ．
故答案为：3，4
（2）表示数x的点A和表示 的点B之间的距离 ，
若 ，则点A到点B的距离为2，
∵点B表示的数是 ，
∴点A表示的数是 或0，
∴x为 或0．
故答案为： ， 或0（3）设表示x的点为M，表示 的点为A，表示1的点为B，则 是点M与点A的距离与点M
与点B的距离之和，即 ．
若点M在点A的左侧，即 ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
若点M在线段 上，即 ，如下图：
，
则 ，
∴ ；
若点M在点B的右侧，即 ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上所述， ，即 的最小值为3．
故答案为：3
（4）由（3）可得当 或 时， 才成立，
当 时， 可化为： ，解得： ，
当 时， 可化为： ，
解得： ，
综上，当 或2时， ．
故答案为： 或2
巩固训练
1.（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与 ， 与
．并回答下列各题：
(1)数轴上表示4和 两点间的距离是______；表示 和 两点间的距离是______．
(2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为 ．
①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）；
②如果数轴上A、B两点间的距离为 ，求x的值．
(3)直接写出代数式 的最小值为______．
【答案】(1)6；4
(2)① ② 或
(3)5
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，化简绝对值，理解绝对值的几何意义是解本题
的关键．
（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可；
（2）①根据数轴上两点间距离的求法列出代数式化简即可；②将 代入由①所得的式子，求解即可；
（3）根据绝对值的性质，分段讨论 取值，即当 时，当 时，当 时，分别化简
，取最小值比较即可得出答案．
【详解】（1）解：表示4和 两点间的距离是 ，表示 和 两点间的距离是 ，
故答案为：6；4．
（2）解：① 数轴上的点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，
数轴上A、B两点间的距离可以表示为 ，
故答案为： ；
②若数轴上A、B两点间的距离为 时，
则 ，解得 或 ，
的值为 或 ．
（3）解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述得 的最小值为5，
故答案为：5．
2.（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点
之间的距离表示为 ．则 ．所以式子 的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示有理
数 的点之间的距离．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ；
(3)式子 的最小值为 ；(4)若 ，则 ；
(5)式子 的最小值为 ，此时 ．
【答案】(1) 或
(2)
(3)
(4) 或
(5) ；
【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解，
（2）根据绝对值的几何意义，确定 在 和 之间，化简后，即可求解，
（3）根据绝对值的几何意义，确定 在 和 之间，化简后，即可求解，
（4）根据绝对值的几何意义，分 在 左侧时， 在 右侧时，两种情况，分别化简后，即可求解，
（5）根据绝对值的几何意义，确定 在 和 之间， 取最小值，当 时， 取最小值，
即可求解，
本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是：根据绝对值的几何意义，确定 的范围．
【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义， 表示 到 的距离等于 ，
或 ，
故答案为： 或 ，
（2）解：根据绝对值的几何意义， 表示 到 的距离等于 到 的距离，
在 和 之间，
，
，
故答案为： ，
（3）解：根据绝对值的几何意义， 的最小值表示 到 的距离与 到 的距离之和最小，
在 和 之间的线段上，
的最小值是 ，
故答案为： ，（4）解：根据绝对值的几何意义， 表示 到 的距离与 到 的距离之和等于 ，
当 在 左侧时， ， ，解得： ，
当 在 右侧时， ， ，解得： ，
故答案为： 或 ，
（5）解：根据绝对值的几何意义， 的最小值表示 到 的距离与 到 的距离与 到
的距离之和最小，
由（3）可知 在 和 之间的线段上时， 取最小值 ，
当 时， 取最小值 ，
当 时， 取最小值 ，
故答案为： ； ．
3.（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）：
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；
①数轴上表示数3和 的两点距离为 ；
②则 的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离．
（2）实际应用（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点
输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小；
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工
点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小；
③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小．
（3）结论应用（填空）；
①代数式 的最小值是 ；
②代数式 的最小值是 ；
③代数式 的最小值是 ．
【答案】（1）①4；②x， ；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；
③18
【分析】
（1）①按照化简绝对值的求法即可；
② ，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离；
（2）①通过观察，比较可得点 在点 、 之间时，可使 到 的距离与 到 的距离之和最小，为线段
长；
②通过观察，比较可得点 在点 处时， 到 ， ， 三点的距离之和最小，为线段 的长；
③通过观察，比较可得点 在点 、 之间，才能使 到 ， ， ， 四点的距离之和最小，为
的长；
（3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和 之间的距离；
②结合（2）中的②，可得最小距离为 和2之间的距离；
③结合（2）中的③，可得最小距离为 和5， 和2的距离之和．
【详解】
解：（1）① ；
故答案为：4；
② ，
的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离；
故答案为： ， ；
（2）①点 可能在点 的左边，点 和点 之间，点 的右边；
当点 在点 的左边或点 的右边时， 的长度均大于 的长度；
当点 在点 和点 之间时， 的长度等于 的长度．
当材料供应点 在点 和点 之间时， 到 的距离与 到 的距离之和最小．
故答案为：点 、点 之间；
②当点 在点 处时， 到 ， ， 三点的距离之和为 的长度；
当点 在除点 外的任意位置时， 到 ， ， 三点的距离之和均大于 的长度．
材料供应点 应设在点 ，才能使 到 ， ， 三点的距离之和最小；故答案为：点 ；
③当点 在点 、 之间时， 到 ， ， ， 四点的距离之和为 的长度；
当点 在除点 、 之间的任意位置时， 到 ， ， ， 四点的距离之和均大于 的长度；
材料供应点 应设在点 、 之间，才能使 到 ， ， ， 四点的距离之和最小；
故答案为：点 、点 之间；
（3）① ，
在点 和4之间．代数式 的最小值 ；
故答案为：7；
② ，
时．代数式 的最小值 ；
故答案为：8；
③ ，
在2和 之间，代数式 的最小值 ；
故答案为：18．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点
时，动点 在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键．
4．（23-24六年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道 可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5上3两个数在
数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理， 可以表示5与
之差的绝对值，也可以表示5与 两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．探究：
(1) 表示数轴上4与______所对应的两点之间的距离；
(2) 表示数轴上有理数 所对应的点到______所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数 所对
应的点到______所对应的点之间的距离；
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数 ，使得 ，则这样的整数 有
______个；(4)利用绝对值的几何意义，可以知道 的最小值是______．
【答案】(1)1
(2) ，
(3)8
(4)5
【分析】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用
（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数 所对应的点到 的距离和到5的距离的和为
7，继而求解；
（4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断．
【详解】（1）解：由题意得：
表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离．
故答案为：1．
（2）解： 表示数轴上有理数 所对应的点到5所对应点之间的距离，
表示数轴上有理数 到 所对应点之间的距离．
故答案为：5， ．
（3）解：由题意得：
表示数轴上有理数 所对应的数到数轴上 与5的距离之和等于7，
又 ，
，
又 为整数，
表示的数为： ， ，0，1，2，3，4，5，共8个．
故答案为：8．
（4）解：由题意得：
当 时， 有最小值，
令 ，代入可得，最小值为：．
故最小值为：5．
