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重难点突破03 三角形中的范围与最值问题
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1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类
问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函
数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形
自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1）求角的最值；
（2）求边和周长的最值及范围；
（3）求面积的最值和范围．
题型一：周长问题
例1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)若 为锐角三角形， ，求 周长范围．
【解析】（1）在 中，由射影定理得 ，
则题述条件化简为 ，
由余弦定理得 ．
可得
所以 .
（2）在 中，由正弦定理得 ，
则 周长 ，
因为 ，则 ，
因为 为锐角三角形， ，
则得 ，
故 ．
例2．（2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中， ，
，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周长l的范围.
【解析】（1）∵ ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
，所以 .
（2） ，
所以 ,所以 ， ，
所以因为△ABC是锐角三角形，且 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
例3．（2023·全国·高三专题练习）在① ；② ；③
；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角 中，内角 、 、 ，的对边分别是 、 、 ，且______
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的范围．
【解析】（1）选①，由 可得 ，
，则 ，可得 ， ；
选②，由 可得 ，
即 ，即 ，
，则 ，故 ， ；
选③，由 及正弦定理可得 ，
、 ，则 ，所以， ，
故 ，
， ，因此， .
（2）由正弦定理可得 ，则 ， ，
，因为 为锐角三角形，则 ，可得 ，
所以， ，则 ，
故 .
变式1．（2023·全国·模拟预测）在锐角 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的范围.
【解析】（1）由正弦定理得： ，
， ，
，
， ， ， .
（2）由正弦定理： ，则 ， ，
， ，
周长为
，
又锐角 ， ，结合
， ， ， ，即 周长的
范围是 .
变式2．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满
足 ， ．(1)求角A的大小；
(2)求 周长的范围．
【解析】（1）由余弦定理 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
（2）由正弦定理： ，则 ， ，
由（1） ，故
因为 ，则 ，
所以 ，即周长范围是 ．
题型二：面积问题
例4．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
， ， ， ．
(1)求角A的值；
(2)若 ，求 面积的范围．
【解析】(1)∵ ， ， ，
∴
．
又 ，∴ ．又 为锐角三角形，
∴ 或 ∴ 或 （舍去），∴ ．
(2)由正弦定理知 ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ．故得到： ，∴ ，
∴ 面积的范围为
例5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形 内种植
了两种花卉，其中 区域内种植兰花， 区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量
可知边界 ， ， ．
（1）求观赏小道BD的长及种植区域 的面积；
（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花
的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形 ）的面积最大，
并求出这个面积的最大值．
【解析】（1）设 ，则由余弦定理得 ，
．
由四边形 是圆内接四边形得 ，
故 ，即 ，
解得 （负值舍去），即 ．
从而 ，所以 ， ，
故 ．
答：观赏小道BD的长为 ，种植区域 的面积为 ．
（2）由（1）及“同弧所对的圆周角相等”得 ．
设 ， ，
则 ．在 中，由余弦定理有
，
故 （当且仅当 时等号成立）．
而 ，
因此，种植区域改造后的新区域 的面积的最大值为 ．
答：当 为等边三角形时，新区域 的面积最大，最大值为 ．
例6．（2023·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边
分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式： ，且______，求△ABC的面积的值
（或最大值）．
【解析】∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
选择条件①：当a＝2时，根据余弦定理， ，∴ ，
∵ ，
∴ （当且仅当b＝c 时取等），
∴ ；
选择条件②：当a＝b＝2时，∵ ，
∴ ，∴ ；
选择条件③：当b＝c＝2， ．
变式3．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地
，其中 ， ， ．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖 ，
其中 ， 都在边 上（ ， 均不与 重合， 在 ， 之间），且 ．(1)若 在距离 点 处，求点 ， 之间的距离；
(2)设 ，
①求出 的面积 关于 的表达式；
②为节省投入资金，三角形人工湖 的面积要尽可能小，试确定 的值，使 得面积最小，并求
出这个最小面积．
【解析】（1）∵ ， ， ， ，∴ ， ，
∴由余弦定理 ， ， ，
∴ ．
在 中 ．
（2）①∵ ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴
，
又 中 边上的高为 ，
∴ ， ．②当 ， 时， 最小且 ．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ．
（1）D为线段 上一点，且 ，求 长度；
（2）若 为锐角三角形，求 面积的范围．
【解析】（1）在 中，依题意得： ，
则有 ，于是得 ，而 ，则 ，
又 ，则 ，
在 中 ，从而得等边 ，即 ， ，
在 中由余弦定理 得 ，解得
；
（2）在 中， ，设 ，由正弦定理 得：
，
于是得 ，
因 是锐角三角形，则 ，且 ，
于是有 ，则 ，即 ， ，
从而得 ，
所以 面积的取值范围是 ．
变式5．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 .
（1）若 ， ，求 的大小；
（2）若 ，且 是钝角，求 面积的大小范围.【解析】（1）在 中， ，由正弦定理得 .
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ .
又∵ ，∴ .
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
解得 （舍去）， .
∴ .
（2）由（1）知 ，
∴ .
由正弦定理，得 ，∴ .
∵ ， 为钝角，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
即 面积的大小范围是 .
题型三：长度问题
例7．（2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角 内角 的对边分别为
.若 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的范围.
【解析】（1）由正弦定理，
又 ，得 ；
（2）因为 ，所以 ，
，因为三角形 为锐
角三角形，
所以 ，解得 ，
令 ，所以 ，
所以 .
例8．（2023·福建莆田·高三校考期中）在 中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边， ，
(1)求角B﹔
(2)求 的范围．
【解析】（1） ，又
，所以 ，因为 ，所以 .
（2）在 中，由（1）及 ，得 ，
故 ，
，
因为 ，则 ，
﹒
所以 的范围为 .
例9．（2023·重庆江北·高三校考阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别 ， ， ，且
.
（1）求角 的大小；（2）若 ， ，当 仅有一解时，写出 的范围，并求 的取值范围.
【解析】（1）
，即 ，
，
，
.
（2）根据题意，由正弦定理得 ，则 ，
仅有一解，
或 ，即 或 ，
或 ，
当 时， ，所以 ，所以 ；
当 时，由正弦定理得 ，
，
，
，
，
，即 ，
综上， .
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；
， ．
（I）求角A的值；（Ⅱ）求 的范围．
【解析】（I）由 ，
利用正弦定理可得 ，即
故 ，
又 ，
（Ⅱ） ， ，利用正弦定理
故 ，
在 中， ，故
， ，
所以 的范围是
变式7．（2023·全国·高三专题练习）在 中， 分别是角 的对边 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求 的范围.
【解析】（1）由题意知 ，∴ ，
由余弦定理可知， ，
又∵ ，∴ .
（2）由正弦定理可知， ，
即 ，
∴，
又∵ 为锐角三角形，∴ ，则 即 ，
所以， 即 ，
综上 的取值范围为 .
变式8．（2023·山西运城·统考模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求证： ；
（2）若 是锐角三角形， ，求 的范围.
【解析】（1）由两角差的正弦公式，可得 ，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知
因为 是锐角三角形，所以 ，可得 ，
又由 ，可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，可得 ，符合 .
所以实数 的取值范围是 .变式9．（2023·安徽亳州·高三统考期末）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
（1）求角 的大小；
（2）设 为 的垂心，且 ，求 的范围.
【解析】（1）由 ，结合正弦定理得
，
整理得 ，
又 为锐角，故 .
（2）由 是锐角三角形，则垂心 必在 内部，
不妨设 ，则 .
由 为 的垂心，则 .
在 中使用正弦定理得，
，整理得： .
同理在 中使用正弦定理得， .
，
结合
可得 .
题型四：转化为角范围问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，即 .因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）由（1）知
.
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．
(1)判断 的形状并给出证明；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】（1） 为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由 及正弦定理得， ，
即 ，
即 ，
整理得 ，所以 ，
故 或 ，
又 、 、 为 的内角，所以 或 ，
因此 为等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及 知 为直角三角形且不是等腰三角形，
且 ， 故 ，且 ，所以 ，
因为 ，故 ，
得 ，所以 ，
因此 的取值范围为 ．
例12．（2023·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）设 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)判断 的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；
(2)求 的最小值．
【解析】（1） 是钝角三角形.
由题意可知， ，得 ，
所以 ,于是有 ，得 或 ，即
或 ，
又 ， ，
所以 是钝角三角形.
（2）由（1）知， , ,有 ，
所以
当且仅当 ，即 （ 为锐角），等号成立，所以 的最小值为
变式10．（2023·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知 的三个内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且 ；
(1)若 ，判断 的形状并说明理由；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.
【解析】（1） 是等边三角形.理由如下：
在 中，由 得： ，
由余弦定理得 ，即 ，
由正弦定理及 ，得 ，即 ，
而 及 ，则 或 ，
当 时，即 ，有 ，此时 ，所以 是等边三角形；
当 ，即 时， ，有 ，与 矛盾，
所以 是等边三角形.
（2）由（1）知， ，由余弦定理得 ， 为锐角，
而 是锐角三角形，则 ，得 ，
，得 ，因此 ，
，令 ，则 ，
对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 或 时， ，于是 ，
因此 ，即有 ，
所以 的取值范围是 .
变式11．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知 .(1)若 ，求角A的大小；
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理得： ，
∵ ，∴ 或 ，
当 时，此时 ，所以 舍去，所以 .
（2）
（或者用积化和差公式一步得到 ）
∵ ，∴ ，所以A为锐角，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
变式12．（2023·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试）在锐角 中，角A，B，C所对的边分
别是 ， ．
（1）求角A的大小；
（2）求 的取值范围．
【解析】（1）∵ ，
结合余弦定理，可得 ，∴ ，∴
又∵ ，∴ ；
（2）由（1）得 ，∴ ，
∴
，
∵ 是锐角三角形，∴ ，解得 ，
∴ ， ，
∴ .
变式13．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴
，∴ ，∴ 或 （不符合题意舍去），
∴ ，
∴，
设 ，
∵ 是锐角三角形，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴函数 在 上单调递增，
故 ，
∴ .
故选：C．
题型五： 倍角问题
例13．（2023·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中）在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求a的取值范围；
(3)若 的三边边长为连续的正整数，求 的面积．
【解析】(1)因为 为锐角三角形，所以 .
由正弦定理有 ，
又在 中，所以有 ,
所以 ，
因此有 ，化简整理得 ，
所以 ,
即 .
(2)因为 为锐角三角形，所以 ，即 ，
又 ，得 ，因此 ，得 ，
所以 .
由（1）有 ，
若 时， ，
又因为 ，
所以 .
(3)设 的三边分别为 .
当 时，由 ，
所以有 ，解得 ，
因此三边分别为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
当 时，同理有 ，解得 ，此时不能构成三角形，故不满足题意；
当 时，同理有 ，化简得 ，此时无整数解，故不
满足题意.
综上可知： .
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ，且
为锐角，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即 ， ．
为锐角 ，则
当且仅当 ，即 时，等号成立，
的最小值为 ．
故选：A
例15．（2023·全国·高三专题练习）锐角 的角 所对的边为 ， ，则 的范围
是_________．
【答案】
【解析】∵ 为锐角三角形， ，∴ ，∴
，∴ ，即 ，由正弦定理得：
，所以 的取值范围为 ）.所以答案应填： ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的
面积为5，若 ，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】在 中， ， ，
，
，即 ，
由余弦定理可得， ，
故 ，
由正弦定理可得， ，化简整理可得， ，
故 或 （舍去），
则 ，
为锐角三角形，，解得 ，
故 ，
故答案为：
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，
则 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由于 ，作 ，则 ，
因为 ， ，可得 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
由 ，可得 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
综上 ．
故答案为： ．变式16．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中 ， ， 的对边长分别是 ， ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在锐角 中, ，
,
而 ，
，所以
，
所以由正弦定理可知: ,
故选：B.
变式17．（2023·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习）在锐角 中， ， ，
的对边分别是 ， ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在锐角 中， ，因为 ， ， ,
所以 ， ，解得 ，
所以 ， ，而 ，
，所以 ，
所以由正弦定理可知：
，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 .
故选：A.
变式18．（2023·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，
若A＝2B，则 的最小值为（ ）
A．－1 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】因为A＝2B， ,所以由正弦定理，得
，
因为A＝2B，所以 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
题型六： 角平分线问题
例16．（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
则 ，
可得 ，
整理得
注意到 ，且 ，则 ， ，且 ，
可得 或
解得 或 （舍去），
故 .
（2）若 的平分线交 于点 ，则 ，
因为 ，
则 ，
即 ，整理得 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值 .
例17．（2023·江苏淮安·高一统考期中）如图， 中， ， 的平分线AD交BC于 ．(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求AD的取值范围．
【解析】（1）设A，B，C的对边分别是a，b，c,
因为AD是 的平分线，所以 到AB，AC的距离相等，
又 ，所以 ，所以 ．
由题意 ， ．
中， ①,
中， ②
联立①②得 ．又 ，则 ．
所以 ．
（2）因为 ， ， ．
所以
所以 ．
所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ．
例18．（2023·浙江杭州·高一校联考期中）在① ，② ，③
．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， ．
(1)求角C的值；
(2)若角C的平分线交 于点D，且 ，求 的最小值．
【解析】（1）选择条件①：∵ ，
∴由正弦定理得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，∵ ，∴ ，∴ ；
选择条件②：∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ；
选择条件③：
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
由正弦定理得 ，即 ，
∴ ，∵ ，∴ ．
（2）角C的平分线交AB于点D，在 中， ，
在 中， ，在 中，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
当且仅当 ， 时等号成立，
∴ 的最小值为 ．
变式19．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，且
，角A的平分线与边 交于点 .
(1)求角A；
(2)若 ，求 的最小值.
【解析】（1）由正弦定理化简 可得：
，
∴ ，
即 ，
由 ∴又∵ ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ .
（2）
根据角A的平分线与边 交于点 ，所以 ，
，即 ，
所以 ，即 .
当且仅当 时，即 时，等号成立.
所以 的小值为18.
变式20．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，满足
，且 ．
(1)求证： ；
(2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围．
【解析】（1）由题意得 ，即 ．
所以 ，
由正弦定理得 ，又由余弦定理得 ，
所以 ，故 ，
故 ，整理得 ．
又 为锐角三角形，则 ， ， ，
所以 ，因此 ．
（2）在 中，由正弦定理得 ，所以 ．所以 ．因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，解得 ．
故 ，所以 ．因此线段 长度的取值范围 .
变式21．（2023·全国·高一专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 与 的平分线交于点 ，求 周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 ．
（2）
由（1）知， ，有 ，
而 与 的平分线交于点 ，即有 ，于是 ，
设 ，则 ，且 ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ，所以 的周长为
，由 ，得 ，
则当 ，即 时， 的周长取得最大值 ，
所以 周长的最大值为 ．
变式22．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，且
，边 上有一动点 .
(1)当 为边 中点时，若 ，求 的长度；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的最大值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，即 .
由正弦定理，得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
因为 为边 中点，所以 ，则 .
又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理，得 .又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 .
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
令 ，则 .
因为 在 上单调递增，
所以当 即 时， 取得最大值为 ，
所以 的最大值为 .
题型七： 中线问题
例19．（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）在锐角 中，角 的对边分别是 ， ， ，若
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求中线 长的范围（点 是边 中点）.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得：
即 ，所以，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）由（1）得 ，且 ，由余弦定理知， ，得到 ，
因为点D是边BC中点，所以 ，两边平方可得:
，
所以 ，
因为 ，又 ， ，
所以 ,
又因为 为锐角三角形， 所以 ， ，得到 ，
所以 ，由 的图像与性质知， ，
所以 ，所以 ，得到
故 .
例20．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若 ，求 边中线 的取值范围．
【解析】（1）由已知可得 ，
由余弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ．
（2）因为M为 的中点，所以 ，则 ，
即 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，
所以 ．
例21．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角C的大小；
(2)若 ，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【解析】（1）已知 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由余弦定理可得 ，
又 ，
则 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ， ，
所以 ，
由题意得 ，解得 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以中线CD长的取值范围为 ．
变式23．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得： ,
即 ，
,
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ,所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
因为点D是边BC中点，
所以 ,
两边平方可得： ,
则 ，
所以 ，
中线AD长的最大值为 .
变式24．（2023·广东广州·高二广州六中校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知 ．(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 边上的中线 长度的最小值．
【解析】（1）由 得,
,
即 .
（2） ,
即
，当且仅当 取等号．
题型八： 四心问题
例22．（2023·四川凉山·校联考一模）设 （ 是坐标原点）的重心、内心分别是 ，且 ，
若 ，则 的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为重心、内心分别是 ，且 ，所以 ，（r为 内切圆的半径），
又 .且 .
解得 .
所以 .
当且仅当 时，即 为等边三角形 有最小值 .
例23．（2023·全国·高三专题练习）在 中， 分别为内角 的对边，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 的内心，求 的最大值.
【解析】（1） ，
由正弦定理可得， ，
即 ，又 ，
，
，
又
.
（2）设 ，
为 的内心，且 ，
，
，
在 中，
由正弦定理得， ，
， ，
.
当且仅当 ，即 为等边三角形时取等号，
故 的最大值为2.
例24．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 为 的垂心， ，求 面积的最大值.
【解析】（1）由题可得，
结合正弦定理可得 ，即 ，
∴ ，又 ，∴ .
（2）设边 ， 上的高分别为 ， 则 为 与 的交点，
则在四边形 中， ，∵ ，∴ ，故 ，
在 中， ， ，
则 ，即 ，
当且仅当 时取等号.∴ ，故 面积的最大值为 .
变式25．（2023·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）在 中， 分别是角 的对边，
．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且其面积为 ，点 为 重心，点 为线段 的中点，点 在线段
上，且 ，线段 与线段 相交于点 ，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，则 ，
可得 ，即 ，所以 .
（2）由题意可得 ， ，
所以 ，
因为 、 、 三点共线，故设 ，
同理 、 、 三点共线，故设 ，则 ，解得 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 为锐角三角形，
当 为锐角，则 ，即 ，
即 ，所以 ；
当 为锐角，则 ，即 ，
则 ，即 ，所以 ；
综上可得 ，
又因为 ，
则 ，
因为 ，则 ，
且 在 上单调递减， ，
所以 ，即 ，
所以 ．变式26．（2023·河北邢台·高一统考期末）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，且 外接圆的半径为 ．
(1)求C的大小；
(2)若G是 的重心，求 面积的最大值．
【解析】(1)由正弦定理 ，得
因为 ，
所以 ，所以 ,因为 ,故 ．
(2)由（1）得 ，
所以 ，得 ，
当且仅当 时，等号成立．
连接BG，并延长BG交AC于D，则D是AC的中点，且 ，
过G作 于F，过B作 于E，则 ，
所以 ．故 面积的最大值为
变式27．（2023·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角 的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c， ，A的角平分线交BC于点D，O为 的重心，过O作 ，交AD于点
P，过P作 于点E.
(1)求 的取值范围；
(2)若四边形BDPE与 的面积之比为 ，求 的取值范围.
【解析】(1)因为 ，且 是锐角三角形，所以 ， 均为锐角，
所以
解得 .
(2)如图，连接AO，延长AO交BC于点G.
因为О为 的重心，
所以G为BC的中点， .
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 .
设 ， ，则 .
因为 ，
，
，
所以由 ，得 ，即 .
因为 ，
所以四边形 的面积为：
，
.
由 ，得 ，即 ，
所以 .
变式28．（2023·浙江·高一路桥中学校联考期中）若O是 的外心，且
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】如图所示：
设 ， ， ， ，
由 ，
得
化简得 ，由 是 的外心可知，
是三边中垂线交点，得 ， 代入上式得
，所以 ，
根据题意知， 是三角形 外接圆的半径，可得 ， .
所以 ，
由柯西不等式可得： ，
所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当“ ”时，等号成立.
所以 的最大值为 .
故选：C.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知 是三角形 的外心，若
，且 ，则实数 的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．3
【答案】D
【解析】如图所示：设 .
由题意可得， ，化简可得 ，由 是三角形
的外心可得， 是三边中垂线交点，
则 ，代入上式得， ，即
依据题意， 为外接圆半径，根据正弦定理可得，
代入 得 ，则
结合不等式可得 ， 的最大值为3
故选：D
题型九： 坐标法
例25．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ，点 在 内部，
，则 的最小值为______．
【答案】2【解析】因为 ， ，所以 .
在 中，由正弦定理得： （R为 的外接圆半径），所以 ，解得： .
如图所示：设 的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E为AC的中点，所以 ， .
所以点M的轨迹为： ，可写出 （ 为参数）.
因为点 在 内部，所以 （其中 满足 ， ）.
所以
因为 满足 ， ，所以 ，
所以当 时 最小.
故答案为：2
例26．（2023·全国·高一专题练习）在 中， ， ， ，M是 所在平面
上的动点，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设 ，
可得 的坐标，根据数量积公式，可得 的表达式，即可求得答案.以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示：
因为 ， ， ，
所以 ，设 ，
则 ，
所以
= ，
当 时， 有最小值，且为 ，
故答案为：
例27．（2023·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知B，C为圆
上两点，点 ，且 ，则线段 的长的取值范围是___________.
【答案】
【解析】设 的中点为 ，因为 ，
所以 ，化简得 ，
即点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以
所以 的取值范围是 ，
从而 的取值范围是 ．
故答案为： ．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，且 所在平面内存在一点 使得
，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出 三点的坐标，利用两点间距离公式，以
及圆与圆的位置关系，解不等式，得出 的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出
面积的最大值.以 的中点为坐标原点， 所在直线为 轴，建立直角坐标系
设 ， ， ，则
设 ，由 得
即 ，
即点 既在 为圆心， 为半径的圆上，又在 为圆心，1为半径的圆上可得 ，由两边平方化简可得
则 的面积为
由 ，可得 ， 取得最大值，且为 .
故选：B.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）在等边 中， 为 内一动点， ，则 的
最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
以 的BC边的中点O为原点，BC为x轴，过O点垂直于BC的直线为y轴，建立建立直角坐标系如
图，
再将 延x轴翻折得 ，求得 的外接圆的圆心为Q， ， M点 的
劣弧 上，
不妨设等边 的边长为2，可得： ， ， ， ，
点 所在圆的方程为： .设参数方程为： ，
，
，
其中 ，
即 ，解得 ， ；
故选：C.
变式32．（2023·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当
三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角
形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则
的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得： 的几何意义为点 到点 的距离之和的最小值，
因为 ， ，
，
所以 ，故三角形ABC为等腰直角三角形，，
取 的中点 ，连接 ，与 交于点 ，连接 ，故 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，则 ，
故点 到三角形三个顶点距离之和最小，即 取得最小值，
因为 ，所以 ，同理得： ， ，
，故 的最小值为 .
故选：B
题型十： 隐圆问题
例28．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形 中，连接对角线 ，已知 ， ，
， ，则对角线 的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【解析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则 ,因为
， ，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形 ，所以取图中第
四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为 ，
因此对角线 的最大值为
故选：A
例29．（2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知 中， ， 为 的重心，且满足 ，
则 的面积的最大值为______.
【答案】 /
【解析】以 的中点 为原点建立平面直角坐标系， ， ，设 ，则 ，
当 时要使 ，则 在坐标原点，显然不成立，
当 时要使 ，则 ，解得 ，显然不成立，
所以 且 ，因为
所以 ，即
整理得 ，( 且 )
所以当点 的纵坐标为 时， 的面积取得最大值为 .
故答案为：
例30．（2023·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试）已知等边 的边长为2，点G是
内的一点，且 ，点P在 所在的平面内且满足 ，则 的最大值为
________.
【答案】
【解析】由 ，可知点G为 的重心，以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如
图所示的平面直角坐标系，表示出 的坐标，设 ，由 可知 在以 为圆心， 为半径的
圆上，根据点与圆上的点的距离最值求出 的最大值.由 ，可知点G为 的重心.
以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， .
设 ，由 可知P为圆 上的动点，
所以 的最大值为 .
故答案为：
变式33．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中， ， ， ．若
， 则 的最小值为____．
【答案】
【解析】如图，以 的中点 为坐标原点，以 方向为 轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则 ， ，
设 ，则 ， ，
因为
所以 ，即：
整理得： ，所以点 在以原点为圆心，半径为2的圆上.
在 轴上取 ，连接可得 ，所以 ，所以
由图可得：当 三点共线时，即点 在图中的 位置时， 最小.
此时 最小为 .
故答案为 ．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）若 满足条件 ， ，则 面积的最大值为
__.
【答案】
【解析】如图，以 的中点为原点， 为x轴， 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ，设 ，由 ，
得 ，
化简可得 ,
则点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
且去掉点 ， 和 ， ；
所以 的面积的最大值为 ，
故答案为： .
变式35．（2023·江苏·高三专题练习）在 中， 为定长， ，若 的面积的最
大值为 ，则边 的长为____________．
【答案】
【解析】设 ，以 为原点， 为 轴建系，则 ， ，设 ， ，
，利用求向量模的公式，可得 ，根据三角形面积公式进一步求出 的值即为所求.设 ，以 为原点， 为 轴建系，则 ， ，设
， ，
则 ，
即 ，
由 ，可得 .
则 .
故答案为： .
变式36．（2023·全国·高三专题练习） 中 ， 所在平面内存在点P使得
， ，则 的面积最大值为__________________．
【答案】
【解析】以 的中点为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
设 ，则 ，
设 ，由 ， ，可得 ，
即 ，
即点P既在以 为圆心，半径为 的圆上，也在 为圆心， 为半径的圆上，
可得 ，由两边平方化简可得 ，
则 的面积为 ，
由 ，可得 ．
故答案为： .
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知 中， ， 所在平面内存在点 使得
，则 面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】设 ，以 所在直线为 轴、其中垂线 所在直线为 轴建立直角坐标系（如图所示），
则 ，设 ，由 ，得 ，
即 ，
则 ，
则 ，
即 ，
解得 ，即 ，
即 面积的最大值为 .题型十一：两边夹问题
例31．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，且 的周长为
12．
(1)求证： 为直角三角形；
(2)求 面积的最大值．
【解析】（1）在 中有 ， ，
又 ，
则 ，
可得 ，
可得 ①，
又 ， ， 是三角形内角，
若 ，则 ，此时①式不成立；
若 ，则 ，此时①式不成立；
所以 ，则 ，则 ，
所以 是直角三角形．
（2）设直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，则直角三角形的面积 ，
又 ，则 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时， 取最大值，且最大值为 ．
例32．（2023·全国·高三专题练习）设 的内角 的对边长 成等比数列，
，延长 至 ，若 ，则 面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】 ，
，①
又 成等比数列， ，由正弦定理可得 ，②
①-②得
，
，解得 ，
由 ，
得 ，
， 为正三角形，
设正三角形边长为 ，
则 ，
， 时等号成立．
即 面积的最大值为 ，故答案为 .
例33．（2023·全国·高三专题练习）设 的内角A，B，C的对边为 ，b，c．已知 ，b，c依次成等
比数列，且 ，延长边BC到D，若 ，则 面积的最大值为______．
【答案】
【解析】∵ ，
，
∴ ，①
∵a，b，c依次成等比数列，
∴ ，
由正弦定理可得， ②
①-②可得，
∴∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即
∴ 为正三角形，设边长a，
当且仅当 即
时取等号
故答案为
题型十二：与正切有关的最值问题
例34．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形 中，角 ､ ､ 的对边分别为 ､ ､ ，且满足
，则 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为 ，由余弦定理得 ，所以 ，
，
由正弦定理得 ，所以
，
因为 为锐角三角形，所以 ， ， ，
由 ，得 ， ，
，
，所以 ．
故答案为： ．
例35．（2023·全国·高一阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求A角的值；(2)若 为锐角三角形，利用（1）所求的A角值求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，∵ ，
∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
因为 ，∴ ，∴ .
（2）由正弦定理，
，
∵ 为锐角三角形，∴ ，即 ， ，
∴ }
∴ 的取值范围是 .
例36．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．求：
(1) ；
(2) 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 ,
因为 ，
，因为 .
（2）由正弦定理，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
变式38．（2023·全国·高三专题练习）锐角 是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，
得 ，
由余弦定理，可得 ，
又由正弦定理，可得 ，
所以 ，
得 ，又 ，
所以 ，所以 .
又 ，
所以 ，所以 .
又 ，且 ，故 ，所以 .
又 ，所以 ，得 ，
所以 ，
故选：C.
变式39．（2023·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为
， ， ， 为 的面积，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】△ABC中 ， ，
由 ，得 ，∴ ；
即 ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵△ABC为锐角三角形，∴ ,∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
故选：D．
变式40．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ，
则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴所以
因此
设 ，∵ 是锐角三角形，∴ ，∴
∴ ， 在 上单调递增，
∴ ，
故选：C
题型十三：最大角问题
例37．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一
边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且
和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 中，给定两
点 ， ，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7
【答案】A
【解析】 ，则线段 的中点坐标为 ，易知 ，
则经过 两点的圆的圆心在线段 的垂直平分线 上，
设圆心为 ，则圆 的方程为 ，
当 取最大值时，圆 必与 轴相切于点 （由题中结论得），
则此时P的坐标为 ，
代入圆 的方程得，解得 或 ，
即对应的切点分别为 和 ，
因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点M，N， 的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
所以 ，故点 为所求，即点 的横坐标为 .
故选：A
例38．（2023·全国·高三专题练习）设 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在 中，由正弦定理及 得： ，
即 ，整理得： ，
即 ，因 ，则 ，否则 为钝角， 也为钝角，矛盾，
，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大值为 .
故选：D
例39．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且 ，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得 ，化简得 .
，当且仅当
时等号成立，由于 故 为锐角，故 ，所以 .故选A.
变式41．（2023·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶 离地面12米，树上另一点 离地面8
米，若在离地面2米的 处看此树，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过点 作 ，交 于点 ，则 ．
设 ，在 中， ．
在 中， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
故选：C.
变式42．（2023·江苏扬州·高一统考期中）如图：已知树顶A离地面 米，树上另一点 离地面 米，
某人在离地面 米的 处看此树，则该人离此树（ ）米时，看A、 的视角最大.A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，则 ，设 ，
则 ，
则
又 ，且余弦函数在 单调递减，
则当 ，即 时 最大.
即该人离此树6米时，看A、 的视角最大.
故选：C
题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题
例40．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习） 内一点O，满足
，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索
得到许多正确结论，比如 ，请你和他一起解决如下问题：(1)若a，b，c分别是A，B，C的对边， ，证明： ；
(2)在（1）的条件下，若 的周长为4，试把 表示为a的函数 ，并求 的取值范围．
【解析】（1）设 ，
在 和 中，由正弦定理得
又 ， ，
，
，又 ，
，即 ．
（2）
，即 ，
又 成等比数列，设 （公比 ）（ ），
，解得： ，又 ，得 ，
由 且 ，则 ，故 在 上递增，
所以 在 上为减函数，易知 ，
例41．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名
的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：
当三角形的三个角均小于 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两
两成角 ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在 中，已知 ， ， ，且点 在 线段上，且满足
，若点 为 的费马点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
由正弦定理 ，即 ，所以 ，
显然 为锐角，所以 ，
设 ，则 ，即 ，
解得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，即 为锐角，
所以 的三个内角均小于 ，则 为三角形的正等角中心，
所以
，
所以 ，
因为.
故选：C
例42．（2023·全国·高三专题练习）点 在 所在平面内一点，当 取到最小值时，则称
该点为 的“费马点”.当 的三个内角均小于 时，费马点满足如下特征：
.如图，在 中， ， ，则其费马点到 三点
的距离之和为（ ）
A．4 B．2
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意， 为等腰三角形，
， ，
在 中，由余弦定理可得：
，
即 ，解得： ，
在 中，由余弦定理可得：
，
即 ，解得： ，
， 其费马点到 ， ， 三点距离之和为4．
故选：A
变式43．（2023·湖南邵阳·统考三模）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边
为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角
形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知 ，且 ， ，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ， ， ，则 的边长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接 ，由题设 ，
因为以 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ，
所以 ， ，故 .
故选：B.
变式44．（2023·河南·高一校联考期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角
形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在 中，
已知 ， ，外接圆的半径为 ，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为
， ， ，则 的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】 中， ，故 ， ，
故 ， ， ，
外接圆圆心为对应等边三角形的中心，如图所示，连接 ， ，则 ，故 ，
， ，故 ，
， ，则 ，
根据对称性知： ，故 为等边三角形，
其面积 .
故选：C.
题型十五：托勒密定理及旋转相似
例43．（2023·江苏淮安·高一校联考期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就
是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面
积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘
积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的
基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线， ，且
为正三角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C． D．12
【答案】C
【解析】设 ，由托勒密定理可知 ，
即 ，所以， ，又因为 ， ，
因此，
.
故选：C.
例44．（2023·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其
名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另
一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基
本性质．已知四边形 的四个顶点在同一个圆的圆周上， 、 是其两条对角线， ，且
为正三角形，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由托勒密定理可知 ，
即 ，所以， ，
又因为 ， ，
因此，
.
故选：C.例45．（2023·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所
著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于
或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，
四边形ABCD内接于半径为 的圆， ， ， ，则四边形ABCD的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接AC，BD．
由 ， 及正弦定理，得 ，
解得 ， ．
在 中， ， ， ，
所以 ．
因为四边形ABCD内接于半径为 的圆，
它的对角互补，所以 ，
所以 ,所以 ，
所以四边形ABCD的周长为 ．
故选：A．变式45．（2023·江苏·高一专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向
两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD
中， ， ， ， ，当 变化时，对角线BD的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ， ， ，
在△ABC中，由余弦定理，得 ，
由正弦定理，得 ，∴ .
∵ ， ， ，
在△BCD中，由余弦定理，得 ,
∴
，
当 ，即 时， 取得最大值，为 ，
即BD的最大值为 .故选：C.
变式46．（2023·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）在 中， ， ，
以 为边作等腰直角三角形 ( 为直角顶点， ， 两点在直线 的两侧).当角 变化时，线段
长度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】A
【解析】 中， ， ， ，
在 中，由正弦定理得： ，
，
在 中，
，
当 时 最大为9，故 最大值为3，
故选：A
变式47．（2023·全国·高一专题练习）在 中， ， ，以 为边作等腰直角三角形
（ 为直角顶点， 、 两点在直线 的两侧）.当 变化时，线段 长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
在 中， ， ，
， ，
，
在 中， ，
当点 在 上时，即 、 、 三点共线，此时 有的最大值，的最大值为： ，
，
的最大值为： .
故选：C.
方法二：如图，设 ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在 中，由余弦定理可知： ，
由同角关系可得： ，
，
令 ，
则
，
当 时等号成立.
的最大值为： .
故选：C.
变式48．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2， ACD为正三
角形，则 BCD面积的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在 ABC中，设 ， ，
由余弦定理得： ，
∵ ACD为正三角形，
∴ ，
，
，
在 ABC中，由正弦定理： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，∴ 为锐角， ，
∴ ，
，
当 时， ．
题型十六：三角形中的平方问题
例46．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面
积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】根据a2+b2+2c2＝8，得到 ，由余弦定理得到 ，由正弦定理得到
，两式平方相加得 ，而 ，两式结合有
，再用基本不等式求解.因为a2+b2+2c2＝8，
所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ①
由正弦定理得 ，
即 ②
由①，②平方相加得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 且 即 时，取等号.
故选：B
例47．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由 得： ，
故 ，
当且仅当 时取等号，
由于 ,故 ，
则 ，则 ，
故答案为：
例48．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大
斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是
，其中a，b，c是 的内角A，B，C的对边，若 ，且
，则 面积S的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，得 ，
所以
，当且仅当 ， 时，等号成立.
故选：B
变式49．（2023·河南洛阳·高三校考阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理知 ，
因为 且 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为 ，
所以 的面积的最大值为 ．
故选：B.变式50．（2023·云南·统考一模）已知 的三个内角分别为 、 、 .若 ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ，
由余弦定理得 ， ，
所以
，当且仅当 时等号成立.
即 为锐角， ， ，
，
所以 的最大值为 .
故选：B
变式51．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设 的内角 ， ， 所对的边 ， ， 满
足 ，则 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，
设 （ ），由 得 ，
由 得 ，两边除以 得 ，解得 （因为 ），由 得 ，两边同除以 得 ，解得 ，
由 得 ，两边除以 得 ，此不等式恒成立，
综上 ．
故选：A．
变式52．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，得： ，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为 ，所以 ，
化简，得： ，解得： ，
， ，
，
＝
＝ ＝ ，
当且仅当 时取得最小值 .
故选：C
题型十七：等面积法、张角定理
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 对应的边分别是 ， 内角 的角平分线交边 于 点， 且 ．若 ， 则 面积的最小值是（ ）
A．16 B． C．64 D．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ， ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
由题可知 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
当且仅当 取等号，
所以 .
故选：B.
例50．（2023·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC的面积为 , ∠BAC= , AD是△ABC的角平分线,
则AD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 中，∠BAC= , AD是角平分线得
， ，
而
因此
得
而 ，所以
故选D项.
例51．（2023·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中）给定平面上四点 满足
，则 面积的最大值为_______.
【答案】
【解析】 ， ， ，
，
，
设 到 的距离为 ，则由等面积可得 ，
，
面积的最大值为 ．
故答案为： ．
变式53．（2023·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在 中， ， 是 的
角平分线，且交 于点 .若 的面积为 ，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】
设角A，B，C的对边分别为a，b，c.
因为 ，所以 .由已知可得， .
又 ， ，
即 ，
整理得 ，
当且仅当 时，等号成立.
故AM的最大值为 .
故答案为： .
变式54．（2023·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知 的内角 对应的边分别是
，内角 的角平分线交边 于 点，且 .若 ，则 面积的最小值
是______.
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ， ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
由题可知 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，当且仅当 取等号，
所以 ，
即 面积的最小值是 .
故答案为：
变式55．（2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期中） 中， 的角平分线 交AC于D点，
若 且 ，则 面积的最小值为________.【答案】
【解析】因为 ， 为 的角平分线，
所以 ，又 ，
故由三角形面积公式可得 ，
，
，
又 ，
所以 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 面积的最小值为 .
故答案为： .
变式56．（2023·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知 中，角 、 、 所对的
边分别为 、 、 ， ， 的角平分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为___．
【答案】
【解析】因为 ， 的角平分线交 于点 ，且 ，
因为 ，即 ，
即 ，即 ，所以， ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .
故答案为： .
变式57．（2023·全国·高一专题练习）已知 ，内角 所对的边分别是 ， 的角平分
线交 于点D．若 ，则 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
对 用正弦定理，可得 ，设 ， ，由于 为
三角形内角，则 ，由 可得， ，整理得，
，对 ，由余弦定理， ，即
，故 ，即 ，于是
，根据基本不等式， ，即 ，结合 ，解
得 ，即 ，于是 .
故答案为：
变式58．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知 ， ， 为 上一点，且
为 的角平分线，则 的最小值为___________.
【答案】16
【解析】为 的角平分线， ，
由等面积法 ，
所以 ，
所以 （当且仅当 时等号成立），即最小值为16.
故答案为：16
