重难点突破03同构（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）_第三章导数及其应用

重难点突破 03 同构 三种基本模式： ①积型： a a lnb x a a ae ln {同左：ae ln xe {同右： ln ln ln ≤ b b⃗¿ ≤( b)e −−−−−−− f ( x )= ¿ e e ≤ b b −−−−−−− f ( x )= x x¿¿¿ 三种同构方式 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。 ②商型： a a lnb x a e b { e e e { e b x < ⃗ 三种同构方式 ¿ 同左： < −−−−−−−−−− f ( x )= ¿ 同右： < −−−−−−−−− f ( x )= ¿¿¿ a lnb a lnb x lne a lnb lnx ③和差型： e a ±a>b± lnb⃗¿ {同左：e a ±a>e lnb ± lnb−−−−−−f (x)=e x ±x¿¿¿ 两种同构方式 无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量. 一．选择题（共29小题） 1．（2023春•上犹县校级期末）若 在 ， 上恒成立，则实数 的取 值范围是A． ， B． ， C． D． 【解答】解：已知 在 ， 上恒成立， 即 在 ， 上恒成立， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 恒成立， 所以 在 上单调递增， 此时原不等式等价于 在 ， 上恒成立， 即 在 ， 上恒成立， 不妨设 ，函数定义域为 ， ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以 （1） ， 此时 ， 则实数 的取值范围为 ， ． 故选： ． 2．（2022春•柴桑区校级期中）设 ，若存在正实数 ，使得不等式 成 立，则 的最大值为A． B． C． D． 【解答】解：不等式 ， 即为 ， 即有 ， 所以 ， 设 ， 所以 ， ， 所以 单调递增， 所以 ， 所以 ， 令 ， 所以 ， 所以 时，函数 递减， 时，函数 递增， （e） ， 即 的最大值为 ． 故选： ． 3．（2023•酒泉模拟）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取 值范围为A． B． C． D． 【解答】解： 等价于 ， 令 ， 则 ， 所以 是增函数， 所以 等价于 ， 所以 ， 所以 ， 令 ， ， 所以在 上， ， 单调递增， 在 上， ， 单调递减， 所以 （e） ， 所以实数 的取值范围为 ， ． 故选： ． 4 ． （ 2023• 香 坊 区 校 级 三 模 ） 设 实 数 ， 对 任 意 的 ， 不 等 式 恒成立，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， ， 令 ，得 ， 所以在 ， 上， ， 单调递增， 所以当 ， 时， ， 因为对任意的 ，不等式 恒成立， 所以对任意的 ， ，不等式 恒成立， 即对任意的 ， ，不等式 恒成立， 令 ， ， 令 得 ， 所以在 上 ， 单调递增， 在 上 ， 单调递减， 所以 （e） ， 所以 ，所以 ， 所以实数 的取值范围为 ， ， 故选： ． 5．（2021秋•周口月考）若不等式 对任意 恒成立，则正实数 的最大值为 A．2 B． C．3 D． 【解答】解：由题意得， ， 即 ， 令 ， 所以函数 在 上单调递增， 从而不等式转化为 ， 则 ， 即 ， 令 ， 则 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以当 时， 有最小值， 即 （1） ，则 的最大值为 ， 故选： ． 6．（2021•沙坪坝区校级开学）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 A． B． C． ， D． ， 【解答】解：因为 ，不等式 成立，即 ， 转化为 恒成立， 构造函数 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递增， 则不等式 恒成立等价于 恒成立， 即 恒成立，进而转化为 恒成立， 设 ，可得 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以当 ，函数 取得最大值 （e） ， 所以 ， 所以实数 的取值范围为 ， ， 故选： ．7 ． （ 2021 春 • 利 通 区 校 级 月 考 ） 已 知 函 数 ， 若 不 等 式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【 解 答 】 解 ： 因 为 的 定 义 域 为 关 于 原 点 对 称 ， 且 ， 所以 为 上的奇函数， 又因为 ， 而 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 故 恒成立， 所以 为 上的增函数， 不等式 对 恒成立， 即 对 恒成立， 即 对 恒成立， 即 对 恒成立， 即 对 恒成立， 当 时，不等式恒成立， 当 时，则 ，解得 ， 综上所述， ， ， 故选： ． 8．（2023•辽宁一模）设 ，若不等式 在 时恒成立，则 的最大值 为 A． B．1 C． D． 【解答】解：对于 ，即 ， 因为 是 的反函数， 所以 与 关于 对称，原问题等价于 对一切 恒成立，即 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 所以 （1） ， 所以 ， 所以 的最大值为 ． 故选： ． 9．（2022•秦皇岛开学）已知 ，若对任意的 恒成立，则实数 的最 小值为 A． B． C． D． 【 解 答 】 解 ： 当 时 ， 得 ， 即 ． 设， 则原不等式等价于 ，因为 ， 故 在 上单调递增，故 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒 成立， 设 ，当 时， ，当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， ， 故选： ． 10．（2023春•湖北期中）若存在正实数 ，使得不等式 成立 是自 然对数的底数），则 的最大值为 A． B． C． D． 【解答】解： 设 ，则 ， 则 在 上单增， 则 设 ，则 ， 当 时， ，当 时， 得 在 上单增，在 上单减， 则当 时 取得最大值 ，故 ，的最大值为 ． 故选： ． 11．（2023春•渝中区校级期末）若 时，关于 的不等式 恒成立， 则 的取值范围为 A． B． ， C． D． 【解答】解：由 ，可得 ，即 ， 即 ， 设 ，则 在 上恒成立， 又 ， 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 且当 时， ，当 时， ， 当 时，由于 ，则 ， 此时 ， ，满足 在 上恒成立； 当 时，由于 ，则 ， 要使 在 上恒成立， 则需 ，即 在 上恒成立， 设 ，则 ， 易知当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，则 （e） ， 综上，实数 的取值范围为 ， ． 故选： ． 12．（2023春•盐城月考）若不等式 对任意 恒成立， 则实数 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D．以上均不正确 【解答】解：因为 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 令 ， ， 则 ，所以 在 上单调递增， 依题意 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 两边取对数可得 ，所以 ， 令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， 所以 ，所以 ，即 ， ； 故选： ． 13．（2023•亭湖区校级三模）设实数 ，若不等式 对 恒成立， 则 的取值范围为A． B． C． D． 【 解 答 】 解 ： 对 恒 成 立 ， 即 ， 即 ， 令 ，则 ， 故 在 单调递增，故 ，故 ，问题转化为 ， 令 ， ，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 故 在 单调递增，在 单调递减， 故 （e） ，故 ． 故选： ． 14．（2023•江西模拟）已知 ， ， ，若 恒 成立，则 的最大值为 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， ， ，所以 ，即 ， 令 ，则 ，所以 在 上单调递增， 由 ，可得 ， ，则 恒成立， 所以 ， 令 ， ， 令 ，得 ，当 ， ， 在 上单调递减， 当 ， ， 在 单调递增， 所以 （1） ，所以 ，解得 ， 则 的最大值为 ． 故选： ． 15 ． （ 2022 秋 • 宛 城 区 校 级 月 考 ） 设 函 数 ， 不 等 式 对 恒成立，则实数 的最大值为 A． B．1 C．0 D． 【解答】解：因为 的定义域为 ， ， 为奇函数， ， 在 上单调递增， ， ， ， 令 ， ， ， 在 上单调递增， ， 令 ， ， ， ，， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， ， 故选： ． 16．（2023•河南模拟）若 ， 恒成立，则 的最小值为 A． B． C． D． 【 解 答 】 解 ： 依 题 意 ， ， ， ， 若 ，显然成立，此时满足 ； 若 ，令 ， 在 上恒成立， 在 上单调递增，而 ， ． 综上， 在 上恒成立， ． 令 ， ， 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， ，即 ． 的最小值为 ． 故选： ． 17．（2022 秋•滨江区校级期末）已知函数对于任意 时，不等式恒成立，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：由题设 ，即 ， 令 且 ，上述不等式等价于 （1） ， 而 ，故 在 上递增，则有 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立，记 ，令 ，则 ， 当 时， ，则 单调递减，当 时， ，则 单调递增， 所以 在 上递减，在 上递增，则 ，故 ． 故选： ． 18．（2023•滨州二模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解： 等价于 ， 令函数 ，则 ，故 是增函数， 等价于 ，即 ， 令函数 ，则 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 ．故实数 的取值范围为 ． 故选： ． 19．（2023•吉林模拟）已知不等式 在 上恒成立，则实数 的取 值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：由 得 ， 即 ， 令 ， ，则 ， 所以 在 上单调递增， 而 等价于 ， ，即 ， 令 ， ，则 ， 所以 在 时 ，为增函数；在在 时 ，为减函数， 所以 最大值为 ， ． 故选： ． 20．（2023•柳州三模）已知 ， ，若 在 上恒成立，则实数 的最小值为A． B． C． D． 【解答】解： ， 即 在 上恒成立， 易知当 ， 时， ， ， 令函数 ，则 ，函数 在 上单调递增， 故有 ，则 在 上恒成立， 令 ，则 ， 令 ，即 ，解得 ， 令 ，即 ，解得 ， 所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， 所以 （e） ， 所以 ，即实数 的最小值为 ． 故选： ． 21．（2021•雅安三模）设 ，若存在正实数 ，使得不等式 成立，则 的最大值为 A． B． C． D． 【 解 答 】 解 ： 令 ， ， ，令 ，解得 ， 所以 在区间 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， ，当 时， ， 因为 ， 又 ，所以 ，即 ， 题意转化为存在正实数 ，使得 成立，即 ， 令 ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减． 所以 ，所以 ， 所以 的最大值为 ， 故选： ． 22．设 ，若存在正实数 ，使得不等式 成立，则 的最大值为 A． B． C． D． 【解答】解：不等式 ， 即为 ， 即有 ， 可令 ， 则 成立，由 和 互为反函数，可得图象关于直线 对称， 可得 有解， 则 ，即 ， 可得 ，导数为 ， 可得 时，函数 递减， 时，函数 递增， 则 时， 取得最大值 ， 可得即有 ， 可得 ， 即 的最大值为 ． 故选： ． 23．（2023•大观区校级三模）已知函数 ，若 恒成立，则 实数 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解： 等价于 ． 令函数 ，则 ， 故 是增函数． 所以 等价于 ，即 ． 令函数 ，则 ． 当 时， ， 单调递增：当 时， ， 单调递减． 所以 ． 故实数 的取值范围为 ． 故选： ． 24．（2023春•连城县校级月考）若 ，则实数 的取值范围为 A． B． ， C． D． 【解答】解：根据题意易知 ， 设 ， 求 导 可 得 ， 所 以 在 上 单 调 递 增 ， 而 ， 所以可得 ，如果得到 ，只需满足 恒成立， 令 ，求导可得 ， 当 时， ，所以 单调递减， 当 时， ，所以 单调递增， 所以 （1） ， 故只需 ，即 ， 故选： ． 25．（2022春•繁昌县校级月考）对任意 ，若不等式 恒成立 为 自然对数的底数），则正实数 的取值范围是 A． ， B． ， C． D．【解答】解： ， 令 （由 可知 ，则 ， 设 ，则 即可， 易得 ， ①当 时， ， 此时 是增函数， 故 ，解得 ，又 ， ； ②当 时，则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增， 故 （a）， （a） ， 设 （a） ，故 （a） 即可， 而 （a） ，显然 （a） ， 即 （a）在 上单调递减，又 ，而 （a） ， （a） ， ，又 ， 因此 ． 综上所述，正实数 的取值范围是 ， ． 故选： ． 26．（2023春•谯城区校级期中）已知函数 ，当 时， 恒成 立，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，若 显然 不是恒大于零，故 ．（由4个选项也是显然，可得 ， 则显然 在 ， 上恒成立； 当 时， ， 令 ， ， 在 上单调递增． 因为 ， ，所以 ，即 ， 再设 ，令 ，则 ， 易得 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，故 ， 所以 的取值范围为 ． 故选： ． 27．（2022 秋•荔湾区校级月考）已知 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 A． B． C． ， D． 【解答】解：由题意 ，不等式 恒成立，即 成立，即 ， 进而转化为 恒成立． 令 ，则 ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，则不等式 恒成立等价于 恒成立．因为 ， ，所以 ， ， 所以 对任意的 恒成立，所以 恒成立． 设 ，可得 ．当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减．所以当 时，函数 取得最大值，最大值为 ， 此时 ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ． 故选： ． 28．（2023•齐齐哈尔二模）已知不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围为 A． ， ， B． ， C． ， ， D． 【解答】解：当 时， ，而当 时， ，不符合题意，所 以 ， 不等式 对 恒成立， 即 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 设 ，则 ，可得 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， 所以 在 处取得极小值，且极小值为2， 所以 恒成立， 在 上单调递增，则 在 上恒成立， 即有 恒成立，设 ，可得 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 所以 在 处取得极大值，且最大值为 ，此时 ， 故 的取值范围是 ， ． 故选： ． 29．（2023•渭南二模）已知 ， 恒成立，则 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：由 ，得 ， 所以 ， 所以 ，即 ． 构造函数 ， 所以 ． 因为 ， 所以 单调递增． 所以 ．所以 ，即 ， 记 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 在区间 ， ， 单调递减； 在区间 ， ， 单调递增． 所以 （1） ． 所以 ， 解得 ，所以 的取值范围是 ， ． 故选： ． 二．填空题（共1小题） 30．（2016秋•清浦区校级月考） ，不等式 恒成立，则 的取值范围是 ． 【解答】解：当 ，由题意可得 与 互为反函数， 故问题等价于 在区间 上恒成立． 构造函数 ，则 ， 令 ，得 ，且此时函数 取到最小值， 故有 ，解得 ； 当 时，不符合条件，舍去，故 的取值范围是： ； 故答案为： ．