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重难点突破04 三次函数的图象和性质
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1、基本性质
设三次函数为： ( 、 、 、 且 )，其基本性质有：
性质1：①定义域为 ．②值域为 ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
图像
性质2：三次方程 的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三
次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数: ，
判别式为：△= ，设 的两根为 、 ，结合函数草图易得：
(1) 若 ，则 恰有一个实根；
(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；
(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；
(4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根.
说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即 在R上为单
调函数（或两极值同号），所以 （或 ，且 ）;
(5) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
，且 ;
(6) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极大
值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 .
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； ；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数
的对称轴，可见， 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同
时也是二阶导为零的点；
（2） 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线
对称.
（3）若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
（4）已知三次函数 的对称中心横坐标为 ，若 存在两个极值点 ， ，
则有 .题型一：三次函数的零点问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
例2．（2023·江苏扬州·高三校考阶段练习）设 为实数，函数 ．
（1）求 的极值；
（2）是否存在实数 ，使得方程 恰好有两个实数根?若存在，求出实数 的值；若不存在，请说
明理由．
【解析】（1） ，令 ，得 或 ．
∵当 时， ；当 时， ；当 时， ．
所以 在 上递减，在 上递增，在 上递减，
的极小值为 ，极大值为 ．
（2）由（1）知， 在 上递减，在 上递增，在 上递减，
而 ，即函数的极大值大于极小值．∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线 与 轴恰好有两个交点，即方程 恰好有两个
实数根，如图1所示． ，即 ．
当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线 与 轴恰有两个交点，即方程 恰好有两个实数
根，如图2所示． ，即 ．
综上所述，当 或 时，方程 恰好有两个实数根．
例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数 ，
且 在 和 处取得极值.
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，若 有且仅有一个零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
因为 在 和 处取得极值，
所以 和 是方程 ＝0的两个根，
则 ，解得 ，经检验符合已知条件，
所以 ；
（2）由题意知 ，
当 或 时， ，当 时， ，所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
又 取足够大的正数时， ， 取足够小的负数时， ，
因此，为使曲线 与 轴有一个交点，结合 的单调性，
得： 或 ，
∴ 或 ，
即当 或 时，使得曲线 与 轴有一个交点.
变式1．（2023·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知 ， .
（1）当 ，求 的极值；
（2）当 ， ，设 ，求不等式 的解集；
（3）当 时，若函数 恰有两个零点，求 的值.
【解析】（1） ，∴ ， ， .
0
+ 0 - 0 +
-4
∴ 在 时，取极大值 .
在 时，取极小值-4.
（2） ，即 ，
设 ， ， 单调增函数，且 ，
∴不等式的解集为 .
（3） ， ，
. ， 单调递增， 单调递减， 单调递增，而 ，所以至多一个零点，（舍去）.
. ， 单调增，所以至多一个零点，（舍去）.
. ， 单调递增， 单调递减， 单调递增，
而 ， ，∴ 在 上有一个零点，
所以 在 上有一个零点，根据 在 单调递增， 单调递减.
∴ .
变式2．（2023·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数 .
（1）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（2）若 在 上有解，求 的取值范围；
（3）设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若函数 的零点为 ，则点
恰好就是该函数 的对称中心.试求 的值.
【解析】（1）因为
所以所求切线的斜率
又因为切点为
所以所求的切线方程为
（2）因为 ，所以
因为 在 上有解，
所以 不小于 在区间 上的最小值.
因为 时， ，
所以 的取值范围是 .
（3）因为 ，所以 .
令 可得 ，
所以函数 的对称中心为 ，
即如果 ，则 ，所以 .
变式3．（2023·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数
过点 ，且函数 在点 处的切线恰好是直线 .
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
由题意可知： ；
（2）令 ，
设 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，
因为函数 在区间 上有两个零点，
所以直线 与函数 的图象有两个交点，
故有 ，即实数 的取值范围为 .
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围．
【解析】（1） ， ，
因函数 在 上单调递增，
所以 在 恒成立，即 ，
的最小值为 ．（2） ，
， ．
①若 ，则 ， 在 上恒成立，
在 上单调递增． ， ，
当 时，函数 的图象与 轴有且只有一个交点．
②若 ，则 ，
有两个不相等的实数根，不妨设为 ， ， ．
， ．
当 变化时， ， 的取值情况如下表：
0 0
增 极大值 减 极小值 增
， ，
，
同理 ，
．
因为 有且只有一个零点，故 ，解得 ．
故当 时，函数 的图象与 轴有且只有一个交点．
综上所述， 的取值范围是 ．
题型二：三次函数的最值、极值问题
例4．（2023·云南·高三统考期末）已知函数 ， .
（1）若函数 在 上存在单调递增区间，求实数 的取值范围；（2）设 .若 ， 在 上的最小值为 ，求 的零点.
【解析】（1）∵ 在 上存在单调递增区间，∴ 在 上有解，
又 是对称轴为 的二次函数，所以 在 上的最大值大于0，
而 的最大值为 ，∴ ，
解得： .
（2） ，
∴ ，
由 得： ， ，
则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
又∵当 时， ， ，
∴ 在 上的最大值点为 ，最小值为 或 ，
而 ，
当 ，即 时， ，得 ，
此时， 的零点为 ；
当 ，即 时， ，得 （舍）.
综上 的零点为 .
例5．（2023·高三课时练习）已知函数 ， .
（1）若函数 在 上存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
（2）设 .若 ， 在 上的最小值为 ，求 在 上取得最大值时，
对应的 值.
【解析】（1）∵ 在 上存在单调递增区间，
∴ 在 上有解，
即 在 上成立，而 的最大值为 ，
∴ ，
解得： .
（2） ，
∴ ，
由 得： ， ，
则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
又∵当 时， ， ，
∴ 在 上的最大值点为 ，最小值为 或 ，
而 ，
当 ，即 时， ，得 ，
此时，最大值点 ；
当 ，即 时， ，得 （舍）.
综上 在 上的最大值点为 .
例6．（2023·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数f(x)= ，其中a>0.
(1)当a=1时，求f(x)的单调增区间；
(2)若曲线y=f(x)在点 处的切线与y轴的交点为（0，b），求b+ 的最小值.
【解析】(1)当a=1时， ，
令 ，得 或 ，
故 的增区间为 ， .
(2) ，则 ，而 ，
故曲线 在 的切线方程为：
，它与 轴的交点为 ，故 ，
故 ，其中 ，
设 ，则 ，
当 时， ； 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 即 的最小值为 .
变式5．（2023·广东珠海·高三校联考期中）已知函数 （a， ），其图
象在点 处的切线方程为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求函数 的单调区间和极值；
(3)求函数 在区间 上的最大值．
【解析】（1） ， ，
，
又图象在点 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）得 ， ，
或 时， ， 时， ，
所以 的增区间是 和 ，减区间是 ，
极大值是 ，极小值是 ；
（3）由（2）知 在 和 上递增，在 上单调递减，
又 ， ，
所以 在 上的最大值是 ，最小值是 ．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，且 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的最大值．
【解析】（1）由 得 ，
，解得
，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
（2）由（1），令 得 或 ，令 得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
函数 在区间 上的最大值为
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是增函数，在 上是
减函数，且 的一个根为
（1）求 的值；
（2）求证： 还有不同于 的实根 、 ，且 、 、 成等差数列；
（3）若函数 的极大值小于 ，求 的取值范围
【解析】（1） ，
由题意，可知 是极大值点，故 .
（2）令 ，得 或 ,
由 的单调性知 ，
是方程 的一个根，
则 ，
，
方程 的根的判别式，
，
又 ，（ ）
即 不是方程 的根有不同于 的根 、 ，
， 、 、 成等差数列.
（3）根据函数的单调性可知 是极大值点,
，于是 ,
令 ，
求导 ，
时， ，
在 上单调递减，
，
即 .
变式8．（2023·浙江宁波·高三效实中学校考期中）已知函数 (其中 ).
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 有两个不同的极值点 ， ，求 的取值范围.
【解析】（1） ,
①当 即 时， ， 在 上单调递增；
②当 时， ， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
(2) ， 为 ( )的两根，
，
设 ( )
，
当 时，
在 上单调递减
，即 .
题型三：三次函数的单调性问题
例7．（2023·陕西商洛·高三校考阶段练习）已知三次函数 在R上是增函数，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>4 B．－4
