文档内容
重难点突破 04 轻松搞定圆锥曲线离心率二十大模型
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式.....................................................................3
题型二：圆锥曲线第一定义................................................................................................................4
题型三：圆锥曲线第二定义................................................................................................................5
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）........................................................................................5
题型五：利用数形结合求解................................................................................................................6
题型六：利用正弦定理........................................................................................................................7
题型七：利用余弦定理........................................................................................................................9
题型八：内切圆问题..........................................................................................................................10
题型九：椭圆与双曲线共焦点..........................................................................................................10
题型十：利用最大顶角......................................................................................................................12
题型十一：基本不等式......................................................................................................................13
题型十二：已知⃗PF ⋅⃗PF 范围........................................................................................................13
1 2
题型十三：|⃗PF |=λ|⃗PF |............................................................................................................14
1 2
题型十四：中点弦问题......................................................................................................................14
题型十五：已知焦点三角形两底角..................................................................................................15
题型十六：利用渐近线的斜率..........................................................................................................16
题型十七：坐标法..............................................................................................................................17
题型十八：利用焦半径的取值范围..................................................................................................17
题型十九：四心问题..........................................................................................................................18
题型二十：平面截圆锥（丹林球）问题..........................................................................................19
03 过关测试.........................................................................................................................................22求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上
的任意一点， ； 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线上的
任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，
若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
【典例1-1】（2024·高三·河北保定·开学考试）如图，设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，右顶点为 ，且 ，则 的离心率为 .
【典例1-2】（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： ，点
， ，若以 为直径的圆过椭圆 的右焦点 ，且
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·四川雅安·三模）设 分别为双曲线 的左右焦点，过点
的直线交双曲线右支于点 ，交 轴于点 ，且 为线段 的中点，并满足 ，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，以
为圆心的圆交 轴正半轴于点 ，交 轴于 两点，线段 与 交于点 .若 的面积为
（ 为椭圆的半焦距），则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型二：圆锥曲线第一定义
【典例2-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 为椭圆 上一点， 分别为其
左、右焦点， 为坐标原点， ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【典例2-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
经过点 且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且 ，则椭圆C的离心率为
【变式2-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 且与实轴
垂直的直线交双曲线 于 两点.若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式2-2】（2024·高三·湖南·开学考试）已知 为双曲线 的左焦点， 为双曲
线 左支上一点， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式2-3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C： （ ）上一点， 、 是 的两个焦
点， ，点 在 的平分线上， 为原点， ，且 ．则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，过坐标原
点 的直线与双曲线 交于 两点，且点 在第一象限，满足 .若点 在双曲线 上，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以
线段 为直径的圆与双曲线 在第一象限的交点为 ，若 的内角平分线与 轴的交点 平分线
段 ，则双曲线 的离心率为 ．
题型三：圆锥曲线第二定义
【典例3-1】古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一
定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线.则方程 表示的
圆锥曲线的离心率 等于（ ）
A． B． C． D．5
【典例3-2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为左支上一点， 到左准线的距
离为 ，若 、 、 成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式3-1】已知双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 的直线交 于 、
两点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
【典例4-1】（2024·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线 与直线 相交于
， 两点，点 为双曲线 上的一个动点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，且双曲
线 的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线 的离心率为 ．
【典例4-2】（2024·山东·高三校联考开学考试）如图，A， 分别是椭圆 的左、右
顶点，点 在以 为直径的圆 上（点 异于A， 两点），线段 与椭圆 交于另一点 ，若直线
的斜率是直线 的斜率的4倍，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·江苏·三模）已知过坐标原点 且异于坐标轴的直线交椭圆 于
两点，过 的中点 作 轴的垂线，垂足为 ，直线 交椭圆于另一点 ，直线 的斜率
分别为 ，则 ；若 ，则 的离心率为 .
【变式4-2】（2024·四川达州·二模）双曲线 的左、右顶点分别为 为 上
一点，若直线 与直线 斜率之积为2，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式4-3】（2024·广东茂名·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线
与椭圆交于 两点，直线 与椭圆交于另一点 ，若直线 与 的斜率之积为 ，
则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型五：利用数形结合求解
【典例5-1】（2024·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过
双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左､
右焦点分别为 ，从 发出的光线经过图2中的 两点反射后，分别经过点 和 ，且
， ，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知 是椭圆 的两个焦
点，点 在 上，若 的离心率 ，则使 为直角三角形的点 有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式5-1】过双曲线 的左焦点F作 的一条切线，设切点为T，该切
线与双曲线E在第一象限交于点A，若 ，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知点 是椭圆 上的一点， 是 的两个焦点，若
，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用正弦定理
【典例6-1】（2024·江西赣州·二模）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，M为
C左支上一点.设 ， ，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【典例6-2】（2024·山西晋中·三模）已知双曲线 的左焦点为 ，过点 且斜率
为 的直线与 的两条渐近线分别交于点 ，且 分别位于第二、三象限，若 ，则 的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线 的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为 是 上一点， 为等腰三角形，且外接圆的周长为 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·云南·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推
广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览
场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，阳光照射油纸伞在地
面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位
置，则该椭圆的离心率为 .
【变式6-3】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，若椭圆
上一点P，使得 ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P是椭圆E上的点， ，
且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-5】（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆 的左、右焦点分别为
， ，若椭圆上存在点 （异于长轴的端点），使得 ，则该椭圆离
心率 的取值范围是______．
【变式6-6】（2024·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设 、 分别为椭圆
的左、右焦点，椭圆上存在点M， ， ，使得离心率 ，
则e取值范围为 ．题型七：利用余弦定理
【典例7-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 作
直线 与渐近线 垂直，垂足为点 ，延长 交 于点 .若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线 的焦点分别为 ，
过 的直线与 的左支交于 两点．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆 的左、右焦点分别为 ，
上顶点为A，直线 与椭圆C交于另一点B，若 ，则椭圆C的离心率为 ．
【变式7-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，
过 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ， ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·山东·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
为原点，若以 为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ，且 ，则 的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．
【变式7-4】（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双
曲线的右支上有一点 与双曲线的左支交于点 ，线段 的中点为 ，且满足 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．题型八：内切圆问题
【典例8-1】（2024·高三·广东广州·期中）已知点P是双曲线 右支上一点， 、
分别为双曲线C的左、右焦点， 的内切圆与x轴相切于点N，若 ，则双曲线C
的离心率为 .
【典例8-2】（2024·安徽六安·模拟预测）设 ， 是双曲线 的左、右焦点，点
是双曲线 右支上一点，若 的内切圆 的半径为 （ 为圆心），且 ，使得
，则双曲线 的离心率为 ．
【变式8-1】（2024·黑龙江·模拟预测）设 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，以
为直径的圆与双曲线在第一象限交于点 ，且 ，则双曲线C的离心率为 .若 内切
圆圆心I的横坐标为2，则 的面积为 .
【变式8-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆： 的左、右焦点分别为 ，点 是
轴正半轴上一点， 交椭圆于点A，若 ，且 的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是
．
【变式8-3】在平面直角坐标系 中，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ， ，
过 的直线 与 的左、右两支分别交于 、 两点，点 在 轴上，满足 ，且 经过
的内切圆圆心，则 的离心率为 ．
题型九：椭圆与双曲线共焦点
【典例9-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆 与双曲线
有相同的左右焦点 ，若点 是 与 在第一象限内的交点，且
，设 与 的离心率分别为 ，则 的取值范围为 .
【典例9-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 是椭圆 与双曲线 的
一个公共点，且 ，其离心率分别为 ，则 的最小值为（ ）A．3 B．4 C．6 D．12
【变式9-1】（多选题）已知 ， 是椭圆 与双曲线
共同的焦点， ， 分别是 ， 的离心率，点M是它们的一个交点，则以
下判断正确的有（ ）
A． 面积为
B．若 ，则
C．若 ，则 的取值范围为
D．若 ，则 的取值范围为
【变式9-2】（多选题）如图，P是椭圆 与双曲线 在第
一象限的交点， ,且 共焦点的离心率分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2
D．
【变式9-3】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆： 与双曲线：
有公共焦点 ， ，它们的离心率分别为 ， ，P是它们在第一象限的交点，
的内切圆圆心为Q， ，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则 的最小值为
C．过 作直线 的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线
D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
题型十：利用最大顶角
【典例10-1】已知椭圆 ： ，点 ， 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 ，使得
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例10-2】设A，B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆
C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 ，点 是 上任意一点，若圆
上存在点 、 ，使得 ，则 的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十一：基本不等式
【典例11-1】设椭圆 的右焦点为 ，椭圆 上的两点 ， 关于原点对你，且满足 ， ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】设 、 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 是椭圆 准线上一点，
的最大值为60°，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2024·山西运城·高三期末）已知点 为椭圆 的左顶点， 为坐标原点，
过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足 ，则椭圆离心率的最大值
______________.
题型十二：已知⃗PF ⋅⃗PF 范围
1 2
【典例12-1】（2024·四川省南充市白塔中学高三开学考试）已知 、 分别为椭圆
的左、右焦点， 为右顶点， 为上顶点，若在线段 上（不含端点）存在不同
的两点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例12-2】已知 ， 是椭圆 ： 的左右焦点，若椭圆上存在一点 使
得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（2024·全国·高三开学考试）设 ， 分别是椭圆 的左､右焦点，若
椭圆E上存在点P满足 ，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．题型十三：|⃗PF |=λ|⃗PF |
1 2
【典例13-1】已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆 上存
在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例13-2】已知椭圆 的左右焦点分别为F，F，离心率为e，若椭圆上存在点P，
1 2
使得 ，则该离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】已知椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 ， 分别为椭圆的
左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】已知双曲线 的左右焦点分别为 ，且 .点 为双曲线
与圆 的交点，直线 （ 为坐标原点）交双曲线于另一点 ，且 ，
则 ，双曲线 的离心率的最小值为 .
题型十四：中点弦问题
【典例14-1】（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C： 的焦
距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为 ．若直线l
与直线PF的斜率之积等于 ，则C的离心率为 ．
【典例14-2】已知椭圆 的右焦点为 ，过 且斜率为1的直线 与 交于 两点，若线段 的中点 在直线 上，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交
于 两点，线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】（2024·全国·高三开学考试）已知双曲线 与斜率为1的直线交于A，B
两点，若线段AB的中点为 ，则C的离心率 （ ）
A． B． C． D．
题型十五：已知焦点三角形两底角
【典例15-1】已知 ， 分别是椭圆 ： 的左右两个焦点，若在 上存在点 使
，且满足 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例15-2】（多选题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线上存在点
（点 不与左、右顶点重合），使得 ，则双曲线 的离心率的可能取值为
（ ）
A． B． C． D．2
【变式15-1】已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， 为双曲线右支上的一点，
若 在以 为直径的圆上，且 ，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．题型十六：利用渐近线的斜率
【典例16-1】（2024·山东淄博·二模）若双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 ，
则离心率e为（ ）
A． B． C．√3 D．
【典例16-2】（2024·新疆·二模）过双曲线 的右焦点 向双曲线 的一条渐近线
作垂线，垂足为 ，线段FD与双曲线 交于点 ，过点 向另一条渐近线作垂线，垂足为 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-1】（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知双曲线 ，点 在 上，过点
作 两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-2】（2024·福建泉州·模拟预测）设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近
线的垂线，垂足分别为A、 ．若 ，则E的离心率等于（ ）
A． B． C． D．3
【变式16-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）设 为双曲线 的左、右焦点，直线
过左焦点 且垂直于一条渐近线，直线 与双曲线 的渐近线分别交于点 ，点 在第一象限，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型十七：坐标法
【典例17-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的上、下焦点，过点 且与 轴垂直的直线与 的一条渐近线相交于点 ，且 在第四象限，四边形 为平行四边
形．若直线 的倾斜角 ，则 的离心率的取值范围是 ．
【典例17-2】（2024·吉林延边·二模）已知坐标平面xOy中，点 ， 分别为双曲线
的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上， 与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为 的中点，
点I为 的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为 ．
【变式17-1】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆 的左，右焦点分
别为 ，左、右顶点分 别为 ，焦距为 ，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分
别交于 两点.且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B．√2 C． D．
【变式17-2】（2024·浙江·模拟预测）双曲线C： 的左、右焦点为 ， ，直线l
过点 且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式17-3】（2024·山西临汾·二模）已知点 是椭圆 的右焦点，点 在椭圆
上，线段MF与圆 相切于点 ．若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型十八：利用焦半径的取值范围
【典例18-1】已知双曲线 的左､右焦点分别为 .若双曲线 的右
支上存在点 ，使 ，则双曲线 的离心率的取值范围为___________.
【典例18-2】（2024·吉林长春·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点
P在双曲线的右支上，且 ，则双曲线离心率的取值范围是A． B． C． D．
【变式18-1】设双曲线 的焦距为 ，左、右焦点分别是 ， ，点P在C的
右支上，且 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式18-2】在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，使得 ，其
中 、 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【变式18-3】已知左、右焦点为 ， 的椭圆 ： （ ），圆 ：
，点A是椭圆 与圆 的交点，直线 交椭圆 于点B.若 ，则椭圆的离
心率是 .
题型十九：四心问题
【典例19-1】（2024·湖北·模拟预测）斜率为1的直线与双曲线 交于两点 ，
点 是 上的一点，满足 的重心分别为 的外心为 .记直线 ，
的斜率为 .若 ，则双曲线 的离心率为 .
【典例19-2】（2024·福建龙岩·一模）斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，点
是椭圆上的一点，且满足 ，点 分别是 的重心，点 是 的外心.记直线
的斜率分别为 ，若 ，则椭圆 的离心率为 .
【变式19-1】已知点 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，点 ， 在 的右支
上，且点 恰好为 的外心，若 ，则双曲线的离心率为 ．
【变式19-2】双曲线 ，斜率为 的直线 与 交于 两点，点 在 上，且 ，
的外心为 ， 的重心为 ， 的重心为 ， ，则 的离心率 ．
【变式19-3】已知双曲线 ： 虚轴的一个顶点为 ，直线 与 交于 ， 两点，若 的垂心在 的一条渐近线上，则 的离心率为 .
【变式19-4】（2024·河南新乡·三模）已知双曲线 虚轴的一个顶点为 ，直线
与 交于 ， 两点，若 的垂心在 的一条渐近线上，则 的离心率为 .
题型二十：平面截圆锥（丹林球）问题
【典例20-1】“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不
同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的
椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥 的轴截面
是等边三角形，椭圆 所在平面为 ，则椭圆 的离心率为 ．
【典例20-2】（2024·江西南昌·一模）用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符
合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，
使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点 且与两个球都相切，切点分别记为 .这个平
面截圆锥面得到交线 是 上任意一点，过点 的母线与两个球分别相切于点 ，因此有
，而 是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线 是一个椭圆.
如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与
轴夹角的正切值为 ，球的半径为4，平面 与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于 两点，记平面
与圆锥侧面相交所得曲线为 ，则曲线 的离心率为 .【变式20-1】（2024·河北·模拟预测）数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小
不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称
为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成 角的平面截圆锥所得椭圆的离心
率为 ．
【变式20-2】（2024·广东广州·一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截
口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中
球 ，球 的半径分别为4和2，球心距离 ，截面分别与球 ，球 相切于点 （ 是
截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 .【变式20-3】如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个
问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆
锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截
口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，
，于是 ．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离 是定
值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的球放在桌面上，桌面
上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知 是椭圆的长轴， 垂直于桌面且与球相切，
，则椭圆的离心率为 ．1．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近
线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若 的面积为 ，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
2．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，P为C上
一点，满足 ，以C的短轴为直径作圆O，截直线 的弦长为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ， 的垂直平分线
经过点 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．6 D．
4．（2024·江西新余·二模）如图，已知 为双曲线 上一动点，过 作双曲线
的切线交 轴于点 ，过点 作 于点 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川自贡·三模）设 ， 分别为双曲线 （ ， ）的上，下焦点，过点
的直线 与 的一条渐近线交于点 ，若 轴，且点 到 的距离为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．6．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，过 作双曲线的
一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 （ 为坐标原点），则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
7．（2024·浙江绍兴·三模）已知直线 与椭圆C： 交于 ， 两点，以线
段 为直径的圆过椭圆的左焦点 ，若 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆 的左右焦点分别为 ，点 ，
线段 ， 分别交 于 两点，过点 作 的切线交 于 ，且 ，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过
的直线与双曲线的右支交于 两点，若 的周长为 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 分别为双曲线 的左､右焦点， 为坐
标原点.以 为圆心作与双曲线 的两条渐近线都相切的圆，切点分别为 ，记四边形 的面积为
，过右焦点 作直线 垂直于 轴，交双曲线 于 两点，记 的面积为 .若 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，直线
与C分别交于 两点（A在x轴上方），与y轴交于点 为坐标原点．若 ，则C的离心
率为（ ）A． B． C． D．
12．（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆 与双曲线 ，
若在双曲线 上存在一点P，使得过点P所作的圆 的两条切线，切点为A，B，且 ，则双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右焦
点分别为 ， 为 右支上的一点，满足 ，以点 为圆心、 为半径的圆与线段 相交于
A，B两点，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
14．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系 中，已知直线 与双曲线 的
左右两支分别交于 两点， 是线段 的中点， 是 轴上一点(非原点)，且
，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
15．（2024·陕西铜川·三模）已知 为椭圆 的左､右焦点，点 在 上且位于第
一象限，圆 与线段 的延长线､线段 以及 轴均相切， 的内切圆的圆心为 .若圆 与圆
外切，且圆 与圆 的面积之比为9，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·高三·江苏南京·期中）已知直线 与椭圆 交于 两点，线
段 的中点为 ，则 的离心率可能是（ ）
A． B． C． D．17．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交 于 两点，若
的最大值为8，则 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
18．（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C： 的右支上存在 ，
到点 的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知双曲线 的右焦点为 ，过 的直线
与 交于点 ，且满足 的直线 恰有三条，则双曲线 的离心率的取值范围为 .
20．（2024·江苏南通·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 ，开口直径为
．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于 ．
21．如图所示圆锥， 为母线 的中点，点 为底面圆心， 为底面圆的直径，且 ， ， 的长
度成等比数列，一个平面过 ， ，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该
椭圆的离心率为 ．
22．（2024·四川德阳·一模）已知有相同焦点 、 的椭圆和双曲线交于点 ， ，椭圆和双曲
线的离心率分别是 、 ，那么 （点 为坐标原点）．23．设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直线交C于A，B
两点，若 ，则C的离心率为 ．
