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第十七章 勾股定理（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11
2．如图，两个大正方形的面积分别为 和 ，则小正方形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， 、 、 的对边分别是 、 、 ，下列条件不能判断 是直角三角形的是
（ ）
A． ， ， B．
C． D．
4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1，则在网格上的 中，边长为有理数的有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5．如图，在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
6．一个台阶如图所示，阶梯每一层高 ，宽 ，长 ，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是
（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 和 的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，书中有“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵
地，去本六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断、竹梢恰
好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列
方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，这是由若干个边长为1的正方形拼成的图形，沿过点P的一条直线剪一刀，会将这个图形分成面
积相等的两部分，则剪痕的长度为（ ）
A． B． C． D．10．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求
积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图， 是锐
角 的高，则 ．若 ， ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．点 ， 是平面直角坐标系中的两点，则线段 ．
12．如图，直线l上有三个正方形，若a，b的面积分别为9和16，则c的面积为 ．
13．若三角形的三边长 、 、 满足 ，则这个三角形的面积是 ．
14．如图，教室的墙面 与地面 垂直，点P在墙面上．若 米，点P到 的距离是
3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它爬行的最短行程是 米．
15．如图，有一张直角三角形纸片 ，两直角边 ， ，现将 折叠，使点 与点
重合，得到折痕 ，则 的面积为 ．16．在 中， ， ， ，过点B的直线把 分割成两个三角形，使其中
只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，在 中， 于点D， ．
(1)分别求出 、 、 的长．
(2)猜想 是什么三角形，并证明你的猜想．
18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点．现要求用无刻度的
直尺在网格内作图：
(1)画一个直角三角形，要求各顶点都在格点上，且三边长都是无理数；
(2)作出（1）中直角三角形斜边上的中线．
19．我区某校校园有一块四边形的空地 ，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，
已知 米， 米， ， 米， 米，学校欲在此空地上铺草坪．(1)求四边形的空地 的面积；
(2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
20．已知： 的三边长 、 、 满足 ．
(1)求 、 、 的值；
(2)试判断三角形的形状，请说明理由．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，有一块三角形菜园 ，其中 ， ， ．
(1)判断菜园的边 与 是否垂直，并说明理由；
(2)现要扩大菜园，在边 的延长上找一点 ，使边 的长为 ，求菜园的面积扩大了多少．
22．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的
金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为 的无盖长方体木箱（如图3，
）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
23．综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图 是著名的赵爽弦图，
由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在 年构造发现了一个新的证法：把两
个全等的直角三角形 和 如图 放置，其三边长分别为 ， ， ， ，显然
．
(1)请用 ， ， 分别表示出四边形 ，梯形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，证明勾股定理 ．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图 ，小正方形边长为 ，连接小正方形的三个顶点，可得
，则 边上的高为______．
(3)如图4，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．一个三角形被一条中线分割成两个三角形，如果分成的这两个三角形中至少有一个为等腰三角形，则称这个三角形为奇妙三角形，这条中线为奇妙线．
(1)如图1，在 中，已知 ， ， ，AD为一条奇妙线，则 的周长为 ．
(2)如图2，已知 ， 于点D， ， ，求证： 为奇妙三角形．
(3)已知 为奇妙三角形，且AD为奇妙线， ， ，求 的长．
25．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相
等，对边平行，四个角都是直角，即长方形 中， ， ，
， ， ．
请你运用所学知识，解决下面的问题：
(1)如图1，长方形纸片 中， ， ，将纸片折叠，使 落在对角线 上，折痕为
（点E在边 上），点B落在点 处，求 的长度；
(2)如图2，有一张长方形纸片 ， ， ，F为 边上一点， ，E为 上一点．
将纸片折叠，折痕为 ，使点B恰好落在线段 上的点 处，点A落在点 处．求线段 的长度．
