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第十二章 全等三角形 易错必考60题（9个考点）专练
【精选2023年最新题型训练】
易错必考题一、全等图形
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，
把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个．
【详解】解：∵长为4、宽为3的长方形，
∴周长为2×（3+4）＝14
14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，
∴能围出不全等的长方形有3个，
故选：A．
【点睛】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决
问题是解题的关键．
2．（2023秋·七年级课时练习）有下列说法，其中正确的有 ( )
①只有两个三角形才能完全重合；
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个正方形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】要根据全等形的概念进行判定，与之相符合的是正确的，反之，是错误的，如②是正确的，
①③④是错误的．
【详解】解：①错误，不是三角形的图形也能全等；②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同；
③错误，边长不同的正方形不全等；
④错误，面积相等的两个图形边数不一定相等，也不一定是全等图形．
所以正确的只有一个.
故选A．
【点睛】本题考查全等形的概念和特点，做题时要根据定义进行判断．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为
．
【答案】6
【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边.
【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.
【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.
4．（2023·江苏·八年级假期作业）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两
个部分吗？请画出分割线．
【答案】见解析
【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如
图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．
【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，
则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相
同．
【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键．
易错必考题二、全等三角形的性质
1．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）如图， ，线段 的延长线过点
E，与线段 交于点F， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 的内角和定理求得 ；然后由全等三角形的对应角相等得到
．则结合已知条件易求 的度数；最后利用 的内角和是180度和图形来求
的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找
对应角和对应边．
2．（2021秋·山西运城·八年级统考期末）如图， 中， ， ，
，若 恰好经过点 ， 交 于 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即 ， ，再得到
对应边 ，再根据等边对等角求出 的度数，然后根据三角形内角和定理得到 ，
的度数即可．
【详解】∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之间的
关系．
3．（2022秋·山东日照·八年级校考阶段练习）如图 ，点 在 上，下列结论：
； ； ； 若 ，则 ；其中错误结论有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质对应边相等、对应角相等分别进行判断即可；
【详解】解：
故 正确；
即：
故 错误， 正确；
由 可知：
由 可知:
故 正确；
共有 个错误
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
4．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图， ， ，点A，D，C在一条直
线上，点B，E，C在一条直线上，则 ．
【答案】30
【分析】先利用 得到 ，利用 得到 ，
，则利用平角的定义可计算出 ， ，然后利用互余可计算出 的
度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．掌握全等
三角形的性质是解决问题的关键．
5．（2023·全国·八年级专题练习）如图， ， 的延长线交 于点F，
， 则 = °．
【答案】87
【分析】根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出 的度数，再根据“对顶角相
等”和三角形内角和定理即可求得 的度数.
【详解】
故答案为：87．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理.熟练掌握以上知识是解题的关键.
6．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图， ，点 在边 上， 与 相交于
点 ，已知 ， ， ， ．求：
(1) 的度数．(2) 与 的周长之和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的性质，得到 ，进而得到 ，再利用已知条件，
得出 ，即可求出 的度数；
（2）根据全等三角形的性质，得到 ， ，据此即可求出 与 的周长之
和．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
， ，
，
；
（2）解： ， ， ，
， ，
和 的周长和 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期末）如图所示，已知 ， ， ，
交 于点M， 交 于点P．
(1)试说明： ；
(2) 可以经过某种变换得到 ，请你描述这个变换；
(3)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 绕点 顺时针旋转 可以得到(3)82°
【分析】（1）根据全等的性质，得到 ，进而得到 ，即可得证；
（2）点 与点 为对应点， ，即可得出结论；
（3）根据全等得到 由（1）得到 ，利用三角形的外角的性质进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
．
．
．
（2）∵点 与点 为对应点， ，点 和点 为对应点， ，
∴ 绕点 顺时针旋转 可以得到 ．
（3） ，
∴
∵ ，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角．熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．
易错必考题三、添加条件使三角形全等
1．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）如图， ，添加下列条件中的一个后，能判定
与 全等的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定定理（ 定理、 定理）逐个判断即可得．【详解】解：①在 和 中， ，
，则条件①符合题意；
②在 和 中， ，
，则条件②符合题意；
③在 和 中， ，
，则条件③符合题意；
④在 和 中， ，
，则条件④符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 和 中，点B，F，C，E在同一直线上，
， ，只添加一个条件，不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用全等三角形的判定定理，逐一判定即可．
【详解】∵
∴ ，
∵ ，∴添加 ， 不能得出 ，故A选项符合题意；
添加 ，则 ，可根据 得出 ，故B选项不符合题意；
添加 ，可根据 得出 ，故C选项不符合题意；
添加 ，可根据 得出 ，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）如图，已知 ，在下列条件：① ；② ；③
；④ 中，只补充一个就一定可以判断 的条件是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【分析】根据等角的补角相等可得 ，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
①∵ ，
∴ （ ），
∴①符合题意；
②∵ ，
∴ （ ），
∴②符合题意；
③∵ ，
∴ （ ），
∴③符合题意；
④∵ ，
不能判断 ，
∴④不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即 、 、 、 和）是解题的关键．注意： 、 不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参
与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
4．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期中）如图，点B、E、C、F在同一条直线， ，
，请补充一个条件，使 ，可以补充的条件是 （任意填写一个即可），
对应全等的理由是 ．
【答案】 （或 或 或 ） （或 或 或 ）
【分析】在已知条件中有一对直角相等和一组直角边相等，根据全等三角形的判定方法可以补充条件即可．
【详解】∵ ， ，
∴可再补充 ，利用 可以判定 ，
也可以补充 ，利用 可以判定 ；
也可补充 ，利用 可以判定 ；
也可补充 ，利用 可以判定 ；
故答案为： （或 或 或 ）； （或 或 或 ）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法 和 是解
题的关键．
5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图， 、 相交于点O， ，请你再补充一个条件，
使得 ，这个条件可以是 ，理由是 ；这个条件也可以是 ，
理由是 ；这个条件还可以是 ，理由是 ．
【答案】
【分析】条件可以是 ，可利用 判定 ；条件也可以是 ，可利用 判
定 ；条件还可以是 ，可利用 判定 ．
【详解】解：添加 ，在 和 中， ，
；
添加 ，
在 和 中， ，
；
添加 ，
在 和 中， ，
；
故答案为： ， ； ， ； ， ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ，
，要使 ，还需要添加一些条件（不添加其他字母及辅助线）．
(1)请结合图形补充一个恰当的条件：__________，使 ，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)补充： ，证明见解析
(2)
【分析】（1）补充： ，再利用“ ”证明 即可；
（2）先证明 ，再证明 ，从而可得答案．【详解】（1）解：补充： ，
理由如下：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是添加一个添加证明三角形全等，全等三角形的性质的应用，理解题意，添加合适的
条件是解本题的关键．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，线段 与 交于点 ，点 为 上一点，连接 、 、
，已知 ， ．
(1)请添加一个条件________使 ，并说明理由．
(2)在（1）的条件下请探究 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2) ，理由见解析．
【分析】（1）利用 判定定理，添加 即可判断；
（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．【详解】（1）解：添加条件： ，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
易错必考题四、结合尺规作图的全等问题
1．（2023·全国·八年级专题练习）已知锐角 ，如图，（1）在射线 上取点 ， ，分别以点
为圆心， ， 长为半径作弧，交射线 于点 ， ；（2）连接 ， 交于点 ．根据以上作图
过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．点 在 的平分线上
【答案】C
【分析】根据题意可知 ，即可推断结论A；先证明 ，再证明
即可证明结论B；连接OP，可证明 可证明结论D；由此可知答案．【详解】解：由题意可知 ，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
在 和 中，
，
，
在 和 中，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
连接OP，
，
，
在 和 中，
，
，，
点 在 的平分线上，
故选项D正确，不符合题意；
若 ， ，
则 ，
而根据题意不能证明 ，
故不能证明 ，
故选项C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的
线段是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知 ，按图示痕迹作 ，得到 ．则在作
图时，这两个三角形满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据所给条件直接判定即可.
【详解】解：由题可得：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
故选：D
【点睛】此题考查三角形全等的判定-三边分别相等的三角形是全等三角形，掌握判定定理是解答此题的关
键.3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于
线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧
交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为
．
【答案】35°/35度
【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知： ， ．可证 ，
所以 ，可得 ．所以 ．由于AH平分 ，所以
．即： ．
【详解】解：连接CD，EF
由题目中尺规作图可知： ，
在 和 中
AH平分
故答案为： ．【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判
定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，
角平分线的性质，是解决本题的关键．
4．（2023秋·八年级单元测试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角
形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨
道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当 ， 时，可得到形状唯一确定的
②当 ， 时，可得到形状唯一确定的
③当 ， 时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】 /
【分析】②分别③在③以②上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，
作出 后可得答案．
【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交
点，作出 ，发现两个位置的Q都符合题意，所以 不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出
，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以 唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作
出 ，发现左边位置的Q不符合题意，所以 唯一，所以③正确．
综上：②③正确．
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称
关系作出另一个Q是关键．
5．（2023·全国·八年级专题练习）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角
分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中
一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相
等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即
两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与
△ABC明显不全等；(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【答案】(1)见解析
(2)2， ；
(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可；
（2）根据所画图形填空即可；
（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形 （填三角形的名称）与 ABC明
显不全等， △
故答案为：2， ；
（3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是
解题的关键．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：
（1）在OA和OB上分别截取 ．
（2）分别以D，E为圆心，以大于 DE长为半径作弧，在 的内部两弧交于点C．
（3）作射线OC，则有 ．你能指出作法中的道理吗？【答案】见解析
【分析】利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可
以得∠AOC=∠BOC．
【详解】解：由作法得：
OE=OD，CE=CD，
而OC为公共边，即OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠AOC=∠BOC．
【点睛】本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公
共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
易错必考题五、全等三角形的有关动点问题
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图 ， ， ．点 在线段
上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，它们
运动的时间为 ．当 与 全等时， 的值是（ ）A．2 B．1或 C．2或 D．1或2
【答案】B
【分析】由题意知当 与 全等，分 和 两种情况，根据全等的性
质列方程求解即可．
【详解】解：由题意知， ， ， ，
与 全等，分两种情况求解：
①当 时， ，即 ，解得 ；
②当 时， ，即 ，解得 ， ，即 ，解得 ；
综上所述， 的值是1或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解．
2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点 从点
出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 向终点 运动，同时点 从点 出发，以每秒3个单
位长度的速度沿折线 向终点 运动，点 ， 都运动到各自的终点时停止.设运动时间为 （秒），
直线 经过点 ，且 ，过点 ， 分别作直线 的垂线段，垂足为 ， .当 与 全等时，
的值不可能是（ ）A．2 B．2.8 C．3 D．6
【答案】C
【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．即当P在 上，Q在 上时；当P在
上，Q在 上时；当P在 上，Q在 上时．
【详解】解：当P在 上，Q在 上时，如图，过点P，Q，C分别作 于点E， 于点F，
于点D，
∵ ，
∴ ，
∵ 于E， 于F．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
∵点Q速度比点P速度快，当点Q运动到C点时，点P还在 上，
∴当P在 上，Q在 上时， ，
此时P、Q重合，∵ ， ，
由题意得： ，
解得 ；
当点Q运动到点A，P在 上时， ，
∵
由题意得， ，
解得 ．
综上，当 与 全等时，t的值为2或2.8或6．
∴t的值不可能是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点
从 点出发，沿 路径向终点 运动；点 从点 出发，沿 路径向终点 运动．点 和
分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，
分别过点 和 作 于点 ， 于点 ，则点 运动时间为（ ）时， 与 全等．
A．1s B．4s C．1s或4s D．1s或3.5s
【答案】D
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出 ，代入得出关于t的方程，求出即
可．
【详解】解：分以下情况：①如图1，P在 上，Q在 上，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 全等，
∴ ，
即 ，
；
②如图2，P在 上，Q在 上，
∵由①知： ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴此种情况不符合题意；
③当P、Q都在 上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在 上时，此时
，
则该情况不成立．综上所述，点 运动时间为1或 ， 与 全等，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题
的关键．
4．（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）如图，已知线段 米， 于点A，
米，射线 于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同
时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使 与 全等，则x的值为（ ）
A．8 B．20 C．10 D．10或20
【答案】C
【分析】分 和 ，两种情况讨论求解．
【详解】解：①当 时，则： ，
∵P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，
∴ ，
∴ ，解得： ；
②当 时，则： ，
即： ，
此时： 米，
∵点C在线段MA上， 米，∴ ，
故 不符合题意；
综上：当 时， 与 全等；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
5．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，点C在线段 上， 于点B， 于点D．
，且 ， ，点P以 的速度沿 向终点E运动，同时点Q以
的速度从点E开始，在线段 上往返运动（即沿 运动），当点P到达终点时，
点P，Q同时停止运动．过点P，Q分别作 的垂线，垂足为M，N．设运动时间为 ，当以P，C，M为
顶点的三角形与 全等时，t的值不可能是（ ）
A．15 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质可得 ，然后分三种情况根据 分别得出关于t的方程，解
方程即得答案．
【详解】解：当点P在 上，点Q在 上时，如图，
∵以P，C，M为顶点的三角形与 全等，
∴ ，
∴ ，
解得： ；当点P在 上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与 全等，
∴ ，
∴ ，解得： ；
当点P在 上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与 全等，
∴ ，
∴ ，解得： ；
综上所述：t的值为1或 或 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，正确分类、灵活应用方程思想、熟练掌握全等三角形的性质是解
题的关键．
6．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，在长方形 中， ，点 在线段 上，且
，动点 在线段 上，从点 出发以 的速度向点 运动，同时点 在线段 上．以
的速度由点 向点 运动，当 与 全等时， 的值为 ．【答案】 或
【分析】当 与 全等时，有两种情况： 当 时， 当
时， ，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】当 与 全等时，有两种情况：
当 时，
，
，
，
；
动点 在线段 上，从点 出发以 的速度向点 运动，
点 和点 的运动时间为： ，
的值为： ；
当 时， ，
，
，
，
，
．
故 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识点，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， ， ， 为射线， ，点P从点B出发
沿 向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线 运动，速度为x个单位/秒；若在某时
刻， 能与 全等，则 ．【答案】 或
【分析】设运动时间为 秒，由题意可知， ， ，分两种情况讨论：①当 时；
②当 时，利用全等三角形的性质，分别求出 的值，即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为 秒，
由题意可知， ， ，
，
，
①当 时， ， ，
，解得： ，
②当 时， ， ，
，解得： ，
综上可知， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
8．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）如图，在矩形 中， cm， cm，点 从点
B出发，以 cm/s的速度沿 边向点 运动，到达点 停止，同时，点 从点 出发，以 cm/s的速度沿
边向点 运动，到达点 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当 为
时， 与 全等．【答案】2或
【分析】设运动时间为t，根据题意求出对应线段的长度，然后分两种情况讨论：①当 ，
时；②当 ， 时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：设点Q从点C出发ts，同时点P从点B出发ts，
①当 ， 时， ，
，
，
，
，
解得： ，
，
，
解得： ；
②当 ， 时， ，
解得： ，
解得： ；
综上所述，当 或 时， ，
故答案为：2或 ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，
列出方程是解题关键．
9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形 中， 厘米， 厘米， 厘
米， ，点E为线段 的中点．如果点P在线段 上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使 与以C、
P、Q三点所构成的三角形全等．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则 ， ，
∵ ，
∴①当 ， 时， ，
此时 ，
解得 ，
∴ ，
此时，点Q的运动速度为 厘米/秒；
②当 ， 时， ，
此时， ，
解得 ，
∴点Q的运动速度为 厘米/秒；
综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或 厘米/秒时，能够使 与以C、P、Q三点所构成的三角形
全等．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．10．（2022秋·福建泉州·八年级校联考期中）如图， ，垂足为点A， 厘米， 厘米，
射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以1厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一
动点，随着E点运动而运动，且始终保持 ，当点E离开点A后，运动 秒时， 与
全等．
【答案】4秒或12秒或16秒
【分析】分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况 ，
进行计算即可．
【详解】解：①当E在线段AB上， 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E的运动时间为 秒；
②当E在BN上， 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E的运动时间为 秒；
③当E在线段AB上， 时， ，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上， 时， ，
，
点E的运动时间为 秒．
故答案为：4秒或12秒或16秒．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想分析三角形全等是解决问题的关键．
11．（2022秋·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，线段 ， 于点 ， ，射线
于点 ，点 从点 向点 运动，每秒走 ，点 从点 沿 方向运动，每秒走 ．若点 ，同时从点 出发，当出发 秒后，在线段 上有一点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 全
等，求 的值．
【答案】5秒
【分析】分两种情况考虑：当 ≌ 时与当 ≌ 时，根据全等三角形的性质即可确定
出时间．
【详解】解：当 时， ，即 ，解得： ；
当 时， ，此时所用时间为10秒， ，与点C
在线段 上矛盾，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，在线段 上有一点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解本题的关键．
12．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，已知在 中， ， ，
D为 的中点，设点P在线段 上以 的速度由B点向C点运动，点Q在线段 上由C点向A点
运动，运动时间为 ．
(1)用含t的代数式表示线段 ， ；
(2)若点P，Q同时出发，经过多少秒钟后 与 是否全等？求出此时t的值及Q点的运动速度；(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿△ABC的三边逆时针
运动，经过多长时间点P与点Q第一次在 的哪条边上相遇？
【答案】(1) ，
(2)出发 或者 后 与 全等，Q点的运动速度分别为 ，
(3)经过 ，点P与点Q第一次在 的边 上相遇
【分析】（1）根据题意直接列式即可作答；
（2）现求出 ，根据（1）可知： ， ，在分当 时、当
时、当 或者 时、当 或者 时几
种情况讨论，根据全等三角形的性质即可作答：
（3）先确定Q点的运动速度 ，设经过 后，P、Q两点相遇，列出一元一次方程，解方程即
可求出所需的时间，再计算出P点运动的距离为： ，即可最终确定相遇时，P点位置，问题
随之得解．
【详解】（1）∵点P在线段 上以 运动，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）∵ ，D为 的中点，
∴ ，
根据（1）可知： ， ，
当 时，
则有 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴Q点的运动速度为 ，即出发 后， 与 全等，Q点的运动速度为 ；
当 时，
则有 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴Q点的运动速度为 ，
即出发 后， 与 全等，Q点的运动速度为 ；
当 或者 时，
同理可求出：出发 后， 与 全等，Q点的运动速度为 ；
当 或者 时，
同理可求出：出发 后， 与 全等，Q点的运动速度为 ；
综上：出发 或者 后 与 全等，Q点的运动速度分别为 ， ；
（3）当Q点的运动速度分别为 ,P、Q两点的速度相同，两点同时出发时，不可能相遇，
当Q点的运动速度 时，
设经过 后，P、Q两点相遇，
刚出发时，P、Q两点初始相距 ，
根据题意可得： ，
解得： ，
∴经过 相遇时，P点运动的距离为： ，
∵在 中， ， ，
∴ 的周长为： ，
即 ，
∵ ，∴ ，即此时P点在 上，
∴点P与点Q第一次在 的边 上，
∴经过 ，点P与点Q第一次在 的边 上相遇．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，动点几何问题等知识，掌握全等三角形的性质和分类讨论的
思想是解答本题的关键．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在长方形 中， ， ，点
从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，设点 的运动时间为 秒：
(1) ．（用 的代数式表示）
(2)当 为何值时， ？
(3)当点 从点 开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样
的值，使得 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2t
(2)
(3)存在，2或
【分析】（1）根据 点的运动速度可得 的长；
（2）根据全等三角形的性质即可得出 即可；
（3）此题主要分两种情况① 得到 ，② 得到
，然后分别计算出 的值，进而得到 的值．
【详解】（1）点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，点 的运动时间为 秒：
∴ ,
故答案案为： ；
（2）当 时， ．
理由：∵ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）①当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
解得： ，
，
，
解得： ；
②当 P时，
∴
∵ ，
∴ ，
，
解得： ，
，
，
解得：
综上所述：当 或 时， 与 全等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是全等三角形性质的掌握．
14．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 从点出发，沿线段 以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点 从点 出发沿线段 以2cm/s的速度向终点
运动，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动， 与 交于点 ，设点 的运动时间为
（秒）．
(1)分别写出当 和 时线段 的长度（用含 的代数式表示）．
(2)当 时，求 的值．
(3)若 ，求所有满足条件的 值．
【答案】(1) 时， ， 时，
(2)
(3)
【分析】(1)根据点F从点B出发的速度和图形解答即可；
(2)根据题意列出方程，解方程即可；
(3)分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可．
【详解】（1）解：当 时， ， ，
当 时， ， ．
（2）解：由题意知： ，
当 时， ， ， (舍去)．
当 时， ， ， ．
（3）解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ， ， ．
当 时， ， ， (舍去）．∴当 时， ．
【点睛】本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对
应边相等是解题的关键．
易错必考题六、利用全等三角形求角度
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，点 分别在 上， 与 相交于点 ，
， ， ， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件证明 ，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图， 中， ， ，垂足为D， 平分
交 于E，点F是C关于 的对称点，连接 ．若 ，则 的度数是（ ）A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】C
【分析】由 平分 ，得到 又 ， ，推出 ，得到
，由轴对称的性质可知， ，由三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵F是C关于 的对称点，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的
性质，轴对称的性质求出∠EFC的度数．
3．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图所示，在 中，点E是 边上一点，且 ，点
D在 上，连接 ， ，若 ， ， ，则 的度数为 °．【答案】40
【分析】先证明 ，可得 ，再利用三角形的外角和的性质可得答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明 是解本题的关键．
4．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，已知 ， ， ， ．
(1) 与 是否全等？说明理由；
(2)如果 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2) ．
【分析】（1）由 证明 即可；
（2）由全等三角形的性质得 ，再由三角形内角和定理得 ，然后由平行线的性
质得 ，即可解决问题．
【详解】（1） 与 全等，理由如下：
∵ ，
∴ ，即 ，
在 与 中，，
∴ ；
（2）由( )可知， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 的度数为 ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性
质是解题的关键．
5．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，已知 ．
(1)尺规作图：在线段 的下方，以点D为顶点，作 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，请说明 ；
(3)若 ， 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）用尺规作图作一个角等于已知角即可；
（2）先找到角相等，最后通过判定方法证明平行即可；
（3）根据角平分定义得出角相等，再利用两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】（1）解：作 ，如图，以B为圆心，任意半径画弧交 于N，交 于M，以D为圆
心画弧，交 于G，以G为圆心， 长为半径画弧，与以D为圆心画的弧交于H，连接 并延长，与 的交点为F． 即为所求．
（2）证明： （已知），
（两直线平行，同位角相等），
又 （已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）
（3）解： ， （已知），
（两直线平行，同位角相等），
平分 （已知），
∴ （角平分线的定义），
（已知）
∴ （两直线平行，内错角相等）．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质和判定，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性
质与判定及其应用．
易错必考题七、利用全等三角形求长度
1．（2023秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，D，A，E三点在一条直线上，并且有
，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A．8.5 B．12 C．13.5 D．17
【答案】D【分析】利用余角的性质可得 ，然后利用 证明 ，再利用全等的性质求出
， ，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
又 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等，求出 ，
．
2．（2023春·甘肃陇南·七年级统考期末）如图， ，垂足分别
是点 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角的余角相等得 ，再利用 证明 ，得
，从而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了余角的性质，全等三角形的判定与性质，证明 是解题的关键．
3．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）如图， 平分 ， ， 于点E，
， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过C作 交 延长线与F，先根据角平分线的定义和全等三角形的判定与性质，证明
和 得到 ， ，进而可求解．
【详解】解：过C作 交 延长线与F，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，则 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质
是解答的关键．
4．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，在 中， 为 中点， 为边 上的动点，
连接 ， 交 的延长线于点 ，若 ，则 的值是 ．
【答案】5
【分析】由平行线的性质可得 ，由 证明 ，得到 ，最后由
即可得到答案．
【详解】解： ，
，为 中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等
的判定与性质是解题的关键．
5．（2023·广东深圳·模拟预测）如图， 为 的中线，点 在 的延长线上，连接 ，且
，过点 作 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，证明 ， ，得出
，再由 为 的中线及 ，根据 的面积列出关于 的方程，求解
即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点为 的中线，
，
又
，
在 和 中
，即
， ，
为 的中线，
又
解得：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属
于中档题．
6．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之
一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题：
(1)如图 ， ， ．
①求证： ；
②猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在 中，点 为 上一点， ， ，四边形 的周长为 ，
的周长为 ，请求出 的长．
【答案】(1)①见解析；② ，见解析
(2)
【分析】（1）①根据已知可求得 ， ，得到 ，证
明 ；②由（1）可知 ，得到 ， 从而得出 ；
（2）首先证明 ，得到 ， ，结合已知可得到 ，根据
的周长为 得到 ，得到 ，即可得出最后结果．
【详解】（1）解：① ，
， ，
，
在 与 中，
，
；
②猜想： ，
理由：由（1）得： ，， ，
；
（2） ，且 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
四边形 的周长为 ， ，
，
又 的周长为 ，
，
， ，
，
，
即 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形．
易错必考题八、全等三角形中的最值问题
1．（2023·全国·八年级专题练习）如图所示，在 中， ， 平分 ， 为线段
上一动点， 为 边 上一动点，当 的值最小时， 的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D
【分析】先在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出 ，说明
，找出当A、P、E在同一直线上，且 时， 最小，即 最小，过
点A作 于点E，交 于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当A、P、E在同一直线上，且 时， 最小，即 最小，过点A作 于点E，
交 于点P，如图：
∵ ， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使 最小时点P的位置．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，
CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
【答案】B
【分析】连接 ，由 得 ， ，根据 知，当点 在线
段 上时， 的最小值是 ，问题得解．
【详解】解：连接 ，
平分 交 于点 ，
， ，
，
，
且 ，
当点 在线段 上时， 的最小值是 ，
，
的最小值为7．
故选：
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是
解题的关键．
3．（2023秋·重庆开州·八年级统考期末）如图，在锐角三角形 中， ， 的面积为 ，平分 ，若 、 分别是 、 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】4
【分析】以角平分线构造轴对称型全等模型，根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：在 上取一点 ，使得 ，如图所示：
故当 时， 有最小值，如图所示：
故答案为：4
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系、垂线段最短等知识点．根据条件得出
是解题关键．易错必考题九、全等三角形的综合问题
1．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图所示，已知 是经过 顶点 的一条直线，
分别是直线 上两点，且 ．下面可能得不到 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理，等量代换得到角度相等，再根据三角形形全等的判定方法逐个判断即
可．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故A不符合题意；B、∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故B不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故C不符合题意；
D、 ， ， ， 不能判定三角形全等，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：
，注意 不能判定全等．
2．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，梯形 中， ，E是 的中点， 平分
，以下说法：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的
是（ ）．
A．①②④ B．③④ C．①②③ D．②④
【答案】D【分析】过点E作 于点F，证明 ，得到 ， ，
，再证明 ，得到 ，由此判断③错误；根据
判断②正确；根据全等三角形的性质及
，得到 ，由此判断④正确；题中无条件证明
，故①错误．
【详解】解：过点E作 于点F，则 ，
∵E是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故②正确；∵ ， ，
∴ ，即 ，
故④正确；
题中无条件证明 ，故①错误；
正确的有②④
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线及掌握全等三角形的判定定理是解题的关
键．
3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，已知 中， ，以 为边作
，使 ，E是 边上一点，连接 ， ，连接 ．下列四个结论：
① ；② ；③ 平分 ；④ ．
其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】如图，延长 至G，使 ，从而构造条件，得到 ，通过全等或线段的等量
代换运算对结论进行判别，从而得到答案．
【详解】解：如图，延长 至G，使 ，设 与 交于点M，
，
，
垂直平分 ，
，
，
,即 ，
，，
，
在 和 中，
，
， ，
故结论①正确；
，
，
，
平分 ,
故结论③正确；
，
在 和 中，
当 时，
，
则 ，
当 时，则无法说明 与 垂直，故结论②错误；
，
，
，
，故结论④正确．
综上所述，其中正确的有①③④．
故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质；解
决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的 是本题的突破口．
4．（2023春·湖南长沙·七年级校考期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形
是一个筝形，其中 ， ，在探究筝形的性质时，得到如下结论： ；
； 四边形 的面积 ．其中正确的结论有 ．
【答案】
【分析】 根据已知条件，结合图形依据“ ”可判定 ，对此可对结论 进行判断．
由 的结论可得出 ，进而可依据“ ”判定 ，由此得 ，
然后根据平角的定义可得出 ，据此可对结论 进行判断．
由 可知 ，再根据三角形的面积公式 ， ，然后由
，可对结论 进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解： 在 和 中，
，
，
结论 正确；
由 可知： ，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
结论 正确；
由 可知： ，
， ，
又 ，
．
结论 正确．
综上所述：结论 正确．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的
判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考期末）如图，在 中， ， 和 分别平分 和
， 和 相交于 ．
（1） 的度数为 ．
（2）若 ，则线段 的长为 ．
【答案】 /120度 8【分析】（1）利用 ，角平分线的定义，即可得出答案；
（2）由题中条件可得 ，进而得出 ，通过角之间的转化可得出
，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【详解】解：（1） ，
，
分别平分 ，
，
；
故答案为： ；
（2）如图，在 上截取 ，连接 ．
平分 ，
在 和 中
，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在 上截取 ，得出 是解
题关键．
6．（2021秋·江苏南京·八年级南京钟英中学校考期中）如图，在 C中， ， ，
， 平分 交斜边 于点D，动点P从点C出发，沿折线 向终点D运动．
(1)点P在 上运动的过程中，当 ______时， 与 的面积相等；（直接写出答案）
(2)点P在折线 上运动的过程中，若 是等腰三角形，求 的度数；
(3)若点E是斜边 的中点，当动点P在 上运动时，线段 所在直线上存在另一动点M，使两线段
、 的长度之和，即 的值最小，则此时 ______．（直接写出答案）
【答案】(1)当 时， 与 的面积相等
(2)45°或90°或67.5°或37.5°
(3)5
【分析】（1）根据题意可知当CP=6时，证△PCD≌△BCD（SAS），即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得：∠PCD=45°，分两种情况：①点P在AC上，若PC=PD，则
∠PDC=∠PCD=45°，则∠CPD=90°；若DP=DC时，∠CPD=∠PCD=45°，若CP=CD，则
∠CPD=∠CDP=67.5°；
②点P在AD上时，存在DP=DC，则∠CPD=∠PCD，求出∠CDP=105°，由三角形内角和定理得
∠CPD=37.5°即可；（3）由题意可知当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P'，则MP'∥AC，证
△PCM≌△P'CM（AAS），得MP=MP'，CP=CP'，当点E、M、P'三点共线时，MP+ME的值最小，则
EP'∥AC，由平行线的性质得∠BEP'=∠A=30°，由直角三角形的性质得BE= AB=6，BP'= BE=3，求出
CP=CP'=BC-BP'=3即可．
【详解】（1）解：当 时， 与 的面积相等，理由如下：
∵ ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （SAS）
∴ 与 的面积相等．
（2）由（1）得： ，
分两种情况：
①点P在 上，如图1所示：
若 ，则 ，
∴ ；
若 时，则 ，
若 ，
∴ ；
①点P在 上时，如图2所示：存在 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为45°或90°或67.5°或37.5°.
（3）当M在 上，且 时， 最小，作 于 ，如图3所示：
则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ （AAS），
∴ ， ，
当点E、M、 三点共线时， 的值最小，
则 ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∵点E是斜边 的中点，∴
∴
∴ .
故答案为：5.
【点睛】本题是三角形综合题目，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角
形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰
三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关．
7．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图1，已知正方形 的边长为16，点P为正方形
边上的动点，动点P从点A出发，沿着 运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，
的面积为y．
(1)如图2，当 时， ______；
(2)如图3，当点P在边 上运动时， _____；
(3)当 时， ______；
(4)若点E是边 上一点且 ，连接 ，在正方形的边上是否存在一点P，使得 与 全
等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)32
(2)128
(3)3或45
(4)存在， 或38时，使得 与 全等
【分析】（1）由 ，可得 ，然后由 ，求得答案；
（2）直接由 ，求得答案；（3）由已知得只有当点P在边 或边 上运动时， ，然后分别求解即可求得答案；
（4）分两种情况，当点P在边 或边 上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于x的
方程求解即可
【详解】（1）∵ ，
∴ ；
故答案为：32；
（2）∵点P在边 上运动，
∴ ；
故答案为：128；
（3）由已知得只有当点P在边 或边 上运动时， ，
当点P在边 上运动时，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
即 ；
当点P在边 上运动时，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
综上所述，当 时， 或45；
（4）当点P在边 或边 上运动时，存在一点P，使得 与 全等．
如图4，当点P在 上时，假设 ，则有 ，
∴ ，即 ．
如图5，当点P在 上时， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或38时，使得 与 全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题
的关键．
8．（2021春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图 ， 、 分别平分 、 ，交
于E点．
(1)如图1，求 的度数．(2)如图2，过点E的直线分别交 、 于B、C，猜想 、 、 之间的存在的数量关系：
_______．
(3)试证明（2）中的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线的定义得到 ，
，利用三角形内角和定理整体计算即可；
（2）根据图形猜想即可；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 得到 ，进一步推出
，再证明 ，可得 ，进而证明 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴
；
（2）猜想： ；（3）
证明：在 上截取 ，连接 ．
平分 ，
．
在 和 中，
， ， ，
，
．
，
，
又 ，
．
平分 ，
．
在 和 中，
， ， ，
，
，
．
即 ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，
构建对应全等三角形，使问题得以解决．
9．（2023春·江苏淮安·七年级校联考期末）如图①，在 中， ，．现有一动点 ，从点 出发，沿着三角形的边 运动，回
到点 停止，速度为 ．设运动时间为 ．
(1)当 时， ；当 时， ；
(2)如图①，当 时， 的面积等于 面积的一半；
(3)如图②，在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有一个
动点 ，与点 同时从点 出发，沿着边 运动，回到点 停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好 与 全等，请直接写出点 的运动速度．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 运动的速度为 或 或 或
【分析】（1）当 时，点P在线段 上，根据点P速度表示 的长即可；当 时，点P在
线段 上，根据点P速度表示 的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在 上；②点P在 上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点 所走的路程，进而可求出 的运
动时间，即 的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可
【详解】（1）当 时，点P在线段 上，
∵点P速度为 ，
∴ ；当 时，点P在线段 上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
①当点P在 上时，
，
∴ ，
；
②当点P在 上时，
过点C作 于点D，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
；
故答案为： 或 ；
（3）设点 的运动速度为 ，
①当点 在 上，点 在 上， 时，
，
∴
解得 ；
②当点 在 上，点 在 上， 时，
，
∴ ，解得 ；
③当点P在 上，点 在 上， 时，
，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴
解得 ；
④当点P在 上，点Q在 上， 时
，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴
解得 ；
∴ 运动的速度为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况
讨论是解题的关键．
