文档内容
西工大附中 2022-2023 学年上学期 1 月期末
高三理科数学
一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 ，则共轭复数 在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设函数 满足 ，且 有
，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设集合 ，则A B＝
A． B． C． D．
4．“ ”是“不等式 ”的
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．非充分必要条件
5．若递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a=2，S=7，则公比q等于
2 3
A．2 B． C．2或 D．无法确定
6．设函数 的最小正周期为 ，则 在 上的
零点之和为（ ）
A． B． C． D．
7．一个首项为 ，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是
A． B． C． D．
8．作用在同一物体上的两个力 ，当它们的夹角为 时，则这两
个力的合力大小为（ ）N.
A．30 B．60 C．90 D．120
9．设 ， ，则 等于
A． B． C． D．
10．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数
为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 ， 是椭圆 ： 的左、右焦点，点 在椭圆 上，
与 轴垂直， ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
12．已知数列 满足 ， （ 且 ），数列
的前n项和为Sn，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题5小题，共20分。
13．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为 ，
i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这
个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式， 的最大值为________．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ，则角
______．
15．若点 关于 轴对称点为 ，则 的一个取值为
_____.
16．曲线 上某点处的切线与直线 垂直，则该切线方程为
________．
三、解答题：本题6小题，共70分。
17．某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情
况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示：
（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数；
（2）估计甲乙两个小组的成绩的方差大小关系；
（3）甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在
的概率．
18．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且
.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)直线 与抛物线 交于 ， 两点，若线段 的中点为 ，求直线 的方程．
19．已知等差数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 的最大值.
20．如图，在四棱锥 ， 底面正方形 ， 为侧棱 的中点，
为 的中点， .（Ⅰ）求四棱锥 体积；
（Ⅱ）证明： 平面 ；
（Ⅲ）证明：平面 平面 .
21．已知数列 的首项为1， 为数列的前 项和， ，其中
，
（1）求 的通项公式；
（2）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ）且
；
22．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，圆 与 轴相切，且
圆心 与抛物线 的焦点重合.
(1)求抛物线 和圆 的方程；
(2)设 为圆 外一点，过点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于
两个不同的点 和点 .且 ，证明：点
在一条定曲线上.
23．已知函数 ，M为不等式 的解集.
（1）求M；
（2）证明：当 ， .参考答案
1．C
化简 ，求出 ，找到对应的坐标即可.
对应的点的坐标为 ，在第三象限
故选：C
2．C
根据题意，得到函数 在 上单调递增，且为定义在 上的偶函数，结合函数的
单调性与奇偶性，即可求解.
由题意知 ，都有 ，
可得函数 在 上单调递增，
又由函数 满足 ，可得 是定义在 上的偶函数，
所以 ，所以 ，即 ，
故选：C.
3．D
利用一元二次不等式的解法化简集合 ，由交集的定义可得结果.
因为集合 或 ，
所以， ，故选D.
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两
集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.
4．A
试题分析：解不等式 得 ,则 ,而时, 不成立.故“ ”是“不等式 ”的充分不必要条件.所以A选项是
正确的.
考点：解不等式；充要条件.
5．A
.由 .得 .
解得 2或 .
因为等比数列{an}为递增数列．
所以 .
故选A.
6．A
由题意可知 ，可得 ，再令 ，可得 在
上的零点，由此即可求出结果.
因为 ，所以 .
令 ，得 ，
所以 在 上的零点为 ， ，则所求零点之和为 .
故选：A.
本题主要考查了函数 的性质的应用，属于基础题.
7．C
设等差数列 的公差为 ， ，又 数列前六项均为正数，第七
项起为负数， ， ，又 数列是公差为整数的等差数列， ，故选C.
8．B
用同一起点的向量表示 ，由向量加法的平行四边形法则计算．
如图， ， ， ，作平行四边形 ，则 ，
因为 ，所以四边形 是菱形，又 ， 是等边三角形，
．
故选：B．
9．B
∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.
点睛:本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,
配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.解决本题的关键是g(x)＝f(x－2),即在f(x)＝2x＋3的
解析式中,将自变量x都用x-2来替换,代入求出f(x－2)的解析式,即所求的g(x)的解析式.
10．B
分两步进行：先选出两名男选手，再从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对.
分两步进行：第一步，选出两名男选手，有 种方法；
第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有 种.
故有 种.
故选：B.
11．A
在直角 中，由 得到a,b,c的等量关系，结合 计算即可得到离心
率.由已知 ，得 ，则 ,
又在椭圆中 , ,
故 ,
即 ,
解得e= ,
故选A
本题考查椭圆简单的几何性质，考查椭圆离心率的求法，属于基础题.
12．A
由递推关系可得 ，由此可化简求出.
因为 （ 且 ），同除以 ，得 ，
所以 ，
，所以
，即 .
故选：A.
13．3
由已知得 ，再利用余弦函数的值域即可求解.
，又 ，
即当 时， 取得最大值为3，
故答案为：3
14． ##
由正弦定理与两角和的正弦公式化简
由题意得 ，而 ，
由正弦定理化简得 ，故 ， ，得
故答案为：
15． （答案不唯一）
先求出点 关于 轴对称的点坐标，与题干中所给的坐标对应相等，对其进行
化简即可得到 所满足的条件，从而得到 的取值
点 关于 轴对称的点坐标为 ，则由题可知， ，
即 ， ， ，所以， ；同
理 ，即 ，所以 ，则 ，则 的一
个取值可以为 .
故答案为： （答案不唯一）
16．
由 可求得切点的横坐标，结合函数 的解析式可得出切点的坐标，再利用点斜式可得出所求切线的方程.
，该函数的定义域为 ， ，
直线 的斜率为 ，故所求切线的斜率为 ，由 ，可得 ，
，故切点为 ，
所以，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为： .
17．（1）68；68；（2）估计甲成绩的方差大于乙成绩的方差；（3） .
（1）利用茎叶图中的数据直接求两个小组的平均数；
（2）利用方差公式直接求解；
（3）由茎叶图可知，甲组高于70分的同学共4名，有2 名在 ，记为 ，有2
名在 ，记为 ，任取两名同学，利用列举法能求出恰好有一名同学的得分在
的概率
解：（1）记甲乙两个小组成绩的平均数分别为 ，则
，
，
所以甲乙两个小组成绩的平均数均为68，
（2）记甲乙两个小组的成绩的方差分别为 ，则
，，
所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差；
（3）由茎叶图可知，甲组高于70分的同学共4名，有2 名在 ，记为 ，有2
名在 ，记为 ，任取两名同学的基本事件有6个：
，
恰好有一名同学的得分在 的基本事件数共4个：
，
所以恰好有一名同学的得分在 的概率为 ，
此题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查列举法等知识，考查运算能力，属于基础
题
18．(1)
(2)
（1）根据焦半径公式得 ，求得 ，即可求解方程；
（2）由点差法化为 ，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直
线方程．
（1）因为点 在抛物线 上，所以
又因为 ，解得 ，故抛物线 的标准方程为 ；
（2）设 ，则，所以 ，化为
又因为 的中点为 ，所以 ，
则 ，故直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为
整理得 ．
19．（1） ；（2）90.
（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出等差
数列的通项公式；（2）利用公式求出前 项和，利用二次函数图象求得最大值．
解：（1）等差数列 中，
，
，解得 ， ，
的通项公式 ．
（2） ， ，
的前 项和 ．
当 或 时，前 项和 的最大值90.
20．（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
（Ⅰ）利用锥体的体积公式即得；
（Ⅱ）取 中点 ，由题可得四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理
即得；
（Ⅲ）由 ， 得 平面 ，由 及面面垂直的判定定理即得.
（Ⅰ）设四棱锥 体积为 ，正方形 的面积为 ，则 ．
（Ⅱ）取 中点 ，连结 ，
因为 、 分别为 、 的中点，
所以 ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（Ⅲ）∵ 底面正方形 ， 平面 ，
∴ ，又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ．又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
由（Ⅱ）知 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 ．
21．（1） （2）证明见解析
（1）采用作差法即可求解；
（2）由 ，求得 （1） ， ．再由导数判断出函数 在 ， 内单调递增，得到 在 ， 内有且仅有一个零点 ，由
，得到 ；
（1） ①， ②，①-②得 ，又当 时，
，故数列 为等比数列，首项为1，公比为 ， ；
（2） ，可得 ，
， 在 ， 内至少存在一个零点，
又 ， 在 ， 内单调递增，
在 ， 内有且仅有一个零点 ，
是 的一个零点， ，
即 ，故 ；
本题考查函数零点存在定理的应用，等比数列的前 项和，利用导数研究函数的单调性，
数学转化与化归等思想方法，属于中档题
22．(1)抛物线 的方程为 ，圆 的方程为
(2)证明见解析
（1）根据抛物线的焦点 到准线的距离可得 的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确
定圆心与半径，即可得圆 的方程；
（2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得 所满足的
方程.（1）解：由题设得 ，
所以抛物线 的方程为 .
因此，抛物线的焦点为 ，即圆 的圆心为
由圆 与 轴相切，所以圆 半径为 ，
所以圆 的方程为 .
（2）证明：由于 ，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则 .
故设过点 且与圆 相切的切线方程为 ，即 .
依题意得 ，整理得 ①；
设直线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，
故 ， ②，
由 得 ③，
因为点 ，
则 ④， ⑤
由②，④，⑤三式得：
，即 ，
则 ，即 ，
所以点 在圆 .
23．（1） （2）证明见解析
（1）用分类讨论法去掉绝对值符号，化为分段函数，再解不等式．
（2）用分析法证明．
（1） ，
时， ， 无解，同样 时， ， 无解，只有
时， 满足不等式 ，∴ ；
（2）要证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
因为 ，所以 ，则 ，
原不等式成立.
本题考查解含绝对值的不等式，考查用分析法证明不等式．解含绝对值的不等式，一般都
是按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号后再求解．
