文档内容
西安市铁一中学 2022-2023 学年上学期期末
高三理科数学
注意事项：
1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位
置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、
胶带纸、修正带。
4.考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：（本题共 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则在复平面内与复数 对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数在区间 上是增函数的是
A． B．
C． D．
4．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，若椭圆上存
在点 ，使 ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中同时具有以下性质的是（ ）
①最小正周期是 ； ②图象关于直线 对称；
③在 上是增函数； ④图象的一个对称中心为 ．A． B．
C． D．
6．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm的零件，从两台机床生产的零件中各抽
取10件进行测量，其结果如图所示，则下列选项中不能从图中数据直接比较大小的是
A．极差 B．方差 C．平均数 D．众数
7．某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人
至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（ ）
A．64 B．81 C．36 D．100
8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点
的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（
）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
9．命题 若 ，则 ；命题 ，使得 ，则下列命题中为真
命题的是( )
A． B． C． D．
10．体积为1的正方体的内切球的体积是（ ）
A． B． C． D．11．已知函数 ，若 .且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 .若 恰有4个零点，则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ________.
14．已知向量 ，则 在 上的投影向量的坐标为________．
15．如图，在直三棱柱ABC-ABC 中， ， ， ， ，F为棱
1 1 1
AA 上的一动点，则当BF+FC 最小时， BFC 的面积为__________．
1 1 1
△
16．已知 ，且 ，则 ________.
三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17．已知 为等差数列 的前 项和，且 .记 ,其中 表示
不超过 的最大整数，如 .
(1)求
(2)求数列 的前200项和.18．由于一线城市普遍存在着交通道路拥挤的情况，越来越多的上班族选择电动车作
为日常出行的重要工具，而续航里程数则是作为上班族选择电动车的重要标准之一.现
将某品牌旗下的一新款电动车的续航里程数作了抽检（共计1000台），所得结果统计
如下图所示.
（1）试估计该款电动车续航里程不低于34公里的概率；
（2）在该款电动车推出一段时间后，为了调查“购买者的性别”与“使用的满意程
度”是否相关，客服人员随机抽取了200名用户进行反馈调查，所得情况如下表所示：
满意 不满意
男性用户 60 40
女性用户 50
则根据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与
“使用的满意程度”有关？
（3）为了提高用户对电动车续航里程的满意度，工作人员将检测的续航里程在
之间的电动车的电瓶进行更换，并使得该部分电动车的续航里程均匀分布于另
外五组，分别求出电瓶更换前与更换后被检测的电动车的平均续航里程，并计算更换
后比更换前的平均续航里程多了多少.
附参考公式： .
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.82819．如图，在棱长为2的正方体 中，E为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
20．已知抛物线 截直线 所得弦长 .
（1）求m的值；
（2）设P是x轴上的点，且 的面积为9，求点P的坐标.
21．已知函数
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的最小值.
22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程
为 ，直线l的极坐标方程为 （ ）．
（1）求曲线C的参数方程，若曲线C过原点O，求实数a的值；
（2）当 时，直线l与曲线C交于A，B两点，求 ．
23．设函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若关于x的不等式 有解，求实数a的取值范围．参考答案
1．B
根据对数函数的定义域，求集合 ，结合交集运算性质，可得答案.
由 ，则 ，即 ，由 ，则 ，
故选：B.
2．B
先化简求出复数 ，即可求出 对应的点的坐标.
，
复数 对应的点的坐标为 .
故选：B.
3．B
分别根据函数的图象与性质判断函数的单调性即可．
A．函数y=4﹣5x在R上单调递减，为减函数．
B．函数y=log x+1在（0，+∞）上单调递增，∴在区间（0，2）上是增函数，正确．
3
C．函数y=x2﹣2x+3的对称轴为x=1，∴函数在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上
单调递增，∴C错误．
D．函数y=﹣2x，在R上单调递减，为减函数．
故选B．
本题主要考查函数单调性的判断，要熟练掌握常见函数的单调性．
4．C
根据椭圆定义及 求出 ， 由 即可求解．
由椭圆的定义知： ，
因为 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以有： ，
，
故椭圆的离心率的取值范围是 ．
故选：C
5．D
根据选项，对每个函数进行逐一分析即可.对A：函数的最小正周期为 ，故A不正确；
对B：该函数在区间 为减函数，故B不正确；
对C：函数图像不关于 直线对称，故C不正确；
对D：该函数满足四条性质，故D正确.
故选：D.
本题考查正余弦函数的最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心，属基础综合题.
6．C
结合图形，由极差、方差、平均数、众数的概念即可判断.
由于极差反映所有数据中最大值与最小值的差的大小，
方差反映所有数据的波动大小，
平均数反映所有数据的平均值的大小，
众数反映所有数据中出现次数最多的数的大小，
因此由图可知不能从图中数据直接比较平均数的大小.
故选:C
本题主要考查样本的平均数、众数、方差等的概念；属于基础题.
7．B
由题甲，乙均有两种情况，一荤一素和两素，再由分步原理可得种数．
甲有两种情况：一荤一素， 种；两素， 种.故甲共有 种，同理乙也
有9种，则两人打菜方法的种数为 种.故选B.
本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于基础题．
8．D
根据截面的位置，可判断截面图形的形状.
一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除
去一条边，
当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；
故选:D
本题考查了空间几何体的结构特征，几何体截面形状的判断，属于中档题.
9．C
首先判断两个命题的正负，再根据或，且，非的关系，判断复合命题的真假.
若 ，则 ，在 时不成立，故 是假命题；
，使得 ，故命题 为真命题，
故命题 ， ， 是假命题,命题 是真命题.
故选:C10．A
如图可知球的半径为 ，结合球的体积公式即可求解．
如图，因为正方体的体积为1，所以其边长为1
其内切球的球心为正方体的中心 ，半径为
则球的体积为 ．
故选：A
11．B
画出 的图象，数形结合可得 ， ，然后利用基本不等式即可
求出答案
的图象如下：
因为 .且
所以 且
所以 ，所以
所以
当且仅当 ，即 时等号成立
故选：B
本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思
想，属于中档题.
12．A恰有4个零点等价于方程 有四个不同的根，等价于 的
图象有四个不同的交点，作出 的图象，求出与 , 相
切的 的值，利用数形结合即可得出结论.
恰有4个零点等价于方程 有四个不同的根，
等价于 的图象有四个不同的交点，
作出 的图象，
由图可知 时，两图象有三个交点，
由 ,由 ，
此时 过 上的点 ， ,
所以 ，即 与 相切，
可得 时，两图象有两个交点，
由图可知，当 时， 的图象有四个不同的交点，
即 恰有4个零点，
所以，若 恰有4个零点，则实数 的取值范围是 ，故选A.
本题考查分段函数的解析式、函数的零点，导数的几何意义最数形结合的数学思想的应用,
属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在
轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.
13．
根据双曲线的渐近线方程得出 ，解该方程即可.
当 时，双曲线 的渐近线方程为 ，
由题意得 ，解得 .
故答案为 .
本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，利用双曲线的标准方程得出双曲线的渐近线方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
14．
利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．
解：向量 ， ，
在 上的投影向量的坐标为： ， ．
故答案为： ， ．
15．
将直三棱柱 的侧面沿 剪开，连接 ，与 的交点即为 最小时
的点 ，由此可求得 BFC 的边长，再由余弦定理求得一角，有面积公式求出面积.
1
解：由题意得
△
将直三棱柱 的侧面沿 剪开，并展开到同一平面上，如图所示：
连接 ，则 与 的交点即为 最小时的点 .
在展开图中， ， ， .
又由 易知，
由此可知
在直三棱柱 中，
在 中，
故 BFC 的面积为
1
△
故答案为：16．
根据二倍角公式，先求出 和 ，再由两角和的正弦公式，即可求出结果.
因为 ，且 ，所以 ，
则 ，
，
因此 .
故答案为： .
17．(1) ； ；
(2)524
（1）设等差数列 的公差为d，由 ， ，可得d，从而可求出数列 的通项
公式，即可分别求得 ；
（2）分别求出当 时，当 时，当 时，当 时，数列
， ， ， 的项数，即可求得数列 的前200项和.
（1）
设等差数列 的公差为d，
由已知 ，根据等差数列性质可知：
∴ . ∵ ，所以
∴
∴ ， ， .
（2）
当 时， ， ，共2项；
当 时， ，共10项；
当 时， ，共50项；
当 时， ，共138项.
∴数列 的前200项和为 .18．（1）0.8；（2）表格见解析，不能；（3）36.5（公里），36.8（公里），更换后比更
换前的平均续航里程多了0.3公里.
（1）由频率分布直方图求出电动车续航里程不低于34公里的频率，然后利用频率来估计
概率；
（2）利用公式 直接求解，然后由临界值表来判断即可；
（3）由题意分别计算电瓶更换前被检测电动车的平均续航里程和电瓶更换后被检测电动车
的平均续航里程，然后进行比较即可
解：（1）由频率分布直方图可知该款电动车续航里程不低于34公里的频率为
，故该款电动车续航里程不低于34公里的概
率的估计值为0.8.
（2）依题意，得到 列联表如下：
满
不满意 总计
意
男性用户 60 40 100
女性用户 50 50 100
总计 110 90 200
则 的观测值 ，故不能在犯错误的概率不
超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与“使用的满意程度”有关；
（3）依题意，电瓶更换前被检测电动车的平均续航里程为
（公里）
电瓶更换后被检测电动车的平均续航里程为
（公里）
故更换后比更换前的平均续航里程多了0.3公里.
19．(1)证明见解析
(2)
（1）由正方体的性质可证得四边形 是平行四边形，则 ，然后由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）以A为原点， 、 、 分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，利用空间向量求解即可.
（1）证明：由正方体的性质可知， ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）以A为原点， 、 、 分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐
标系．
则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
20．（1） ；（2） 或 .
（1）设 .由抛物线方程和直线方程联立，根据 ，利用弦长公式
结合韦达定理由 求解.
（2）由（1）知直线 的方程为 ,设 ，求得点P到直线 的距离，再 的面积为9，由 求解.
（1）设 .
由 ，得 ，
,
由根与系数的关系得 .
∴
，
∵ ，∴ ，
解得 .
（2）由（1）知直线 的方程为 .
设 ，点P到直线 的距离为d，
则 .
又 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 .
故点P的坐标为 或 .
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，三角形面积问题，还考查了运算求解
的能力，属于中档题.
21．(1) 单调增区间为 ，单调减区间为 ；
(2) .
（1）在定义域内根据 符号求得 的范围，求 单调区间；
（2）由题意 求 单调区间，结合 恒成立得，构造 ，利用导数研究函数的单调性得 ，
即可得结果.
（1）
当 时， ， ，
所以 ，易知 时 ， 时 ．
函数 的单调增区间为 ，减区间为 ；
（2）
由题意得 ， ．
当 时 ， 时 ．
的单调增区间为 ，减区间为 ，则 ，
∵ 恒成立，
∴ ，则 ．故 ，
令 ， ，
设 （ ），则 ．
当 时 ，当 时 ．
∴ 在 上递减，在 上递增，
综上， 的最小值为 .
22．（1） ；（2）3．
（1）根据 ， 可得 ，再由圆的参数方程可得
，将原点代入可求a的值.
（2）将 代入曲线C的极坐标方程，由 ，利用韦达定理即可求解.
解：（1）将 ， 代入 ，
得曲线C的直角坐标方程为 ，
∴曲线C的参数方程为 （α为参数）．
∵曲线C过原点O，∴ ，得 ；（2）当 时，曲线C的极坐标方程为 ，
将 代入 ，得 ．
设A、B两点对应的极径分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
23．(1)
(2)
（1）分 ， ， 三种情况求绝对值不等式的解集；
（2）利用绝对值的三角不等式求出 ，求解 有解，即 ，解不等式
即可求出答案.
(1)
当 时，不等式 ，即 ．
当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ；
当 时， ，无解．
综上，当 时，不等式 的解集为 ．
(2)
因为 ，当且仅当 时
等号成立．若关于x的不等式 有解，则 ，即 ，所以实数a的
取值范围是 ．
