文档内容
第十八章 四边形中的最值模型【2 个类型 30 道题】
【人教版】
【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值·15题】...............................................................................1
【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值·15题】...........................................................5
【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值·15题】
【模型一】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
B
B A
A
P
P A'
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【模型二】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
A A
P'
M M
P P
B B
O N O N
P''
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折
线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
【模型三】
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。A A
P'
M P M P
Q Q
B B
O N O N
Q'
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化
折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
【练习】
1．如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，
则BF+DE的最小值为（ ）
A．❑√2 B．❑√3 C．❑√5 D．❑√6
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝BQ，连接CP、QA，
则PC+QA的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，
则四边形APQE周长的最小值为（ ）A．10+2❑√26 B．10+2❑√13 C．12+2❑√26 D．2❑√26
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC，CD边上的动点，连接AE，BF交于点G，连
接DG，点M，N分别为CD，DG的中点，连接MN．若AE＝BF，则MN的最小值为（ ）
❑√5−1 3 ❑√3−1 1
A． B． C． D．
2 2 2 2
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2❑√3，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝
DF，则DE+CF的最小值为（ ）
A．2 B．2❑√3 C．4 D．2❑√5
6．如图，在边长为10的正方形ABCD对角线上有E、F两个动点，AB=❑√2EF，点P是BC中点，连接
AE、PF，则AE+PF的最小值为（ ）
A．5❑√5 B．10❑√5 C．5❑√2 D．10
7．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与
1
DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝3GB，则OM+ FG的最小值是（ ）
2A．❑√41 B．8❑√2 C．6 D．10
8．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝120°，点M为菱形ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝4，点
H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 ．
9．如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最
大值是 ．
10．如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝5，M，N分别为边CD，AB上的动点，
且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为 ．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，
DF，则CE+DF的最小值为 ．12．如图，菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长AB=❑√10，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N
为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为 ．
13．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最
小值是 ．
14．如图，正方形ABCD边长为1，点M，N分别是边AD，CD上的动点且AM＝CN，作NP⊥BM于点
P，则AP的最小值是 ．
15．如图，在 ABCD中，AE为BC边上的高，点F和点G分别为高AE和边CD上的动点，且AF＝DG．
若AB＝5，▱BC＝4，∠ADC＝60°，则BF+AG的最小值为 ．【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值·15题】
【模型】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
A A
P'
M
P M P
B B
O N O N
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线
分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
【练习】
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点G是线段BD上的动点，点M是线段CD上的动点，点
E，F分别是线段AM，GM的中点，则线段EF的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．
连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（
）A．2 B．2❑√3−2 C．❑√3 D．4−❑√3
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，则EF的最
小值是（ ）
A．2 B．3 C．2❑√5 D．3❑√3
4．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合）．PE⊥OA
于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝8，∠BAD＝60°，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．2❑√3 B．2❑√2 C．4❑√3 D．4❑√2
5．如图，AB＝40❑√2，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，
DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接
OB，则线段BO的最小值为（ ）
A．20❑√2 B．20 C．40❑√2 D．40
6．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连
接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（ ）A．4 B．2❑√3 C．2❑√2 D．2
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上
一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF的最小值为（ ）
15 5 3 3
A． ❑√3 B． ❑√3+1 C．4❑√3− D． ❑√3+3
4 2 2 2
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DAC＝30°，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，
连接BP，取BP的中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（ ）
2❑√3 4❑√3
A．1 B． C．2 D．
3 3
9．如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线交点O为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形CDEF
的边交于A、B两点，则线段AB，的最小值为 ．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E是BC边上的动点（E可以和B，C重合），连接DE，AE，过D
点作AE的垂线交线段AB于点F，现以DF，DE为邻边构造平行四边形DFGE，连接BG，则BG的最
小值是 ．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，BC=2❑√6，点E、F分别是AD、BC边上的两个动点，连接
AF，EF，若FA平分∠BFE，则AE的最小值为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点F在AB上，AF＝1，点E是CD上的动点，连接AE，点
G是AE的中点，连接FG，则FG的最小值为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，点M、N分别是AD、AB上的动点，且△CMN为等边三
角形，则△AMN面积的最大值为 ．
14．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝120°，CD=CB=2❑√3，点E为BC的中点，连接AE，点F
为线段AE上的一个动点，连接DF，则线段DF长度的最小值为 ．
15．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，点E、F分别为边AD、CD上的两个动点，始终保持DE＝DF，连接BE、EF，取BE中点G并连接FG，则FG的最小值是 6 ．
