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第十八章 平行四边形 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直
C．对角互补 D．对角线相等
【答案】B
【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．对于四边形的性
质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的
不同，即可解答．
【详解】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻
边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个
特征；
故选：B．
2．如图，四边形 的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．【详解】解：A、 ， ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形
为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
B、 ， 不能判定四边形 是平行四边形，故本选项错误，符合题意；
C、∵ ，∴ ，又∵ ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可
得四边形 为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
D、 ， 根据两对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形 为平行四边形，故
本选项正确，不符合题意．
故选：B．
3．平行四边形 中， ，若一边上的高为4，则该平行四边形的面积为（ ）
A．20 B．16 C．15 D．12
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，求出 ，进而可得出答案．
【详解】解：如图所示：平行四边形 中， ，一边上的高为4，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴平行四边形的面积为 ，
故选：D．
4．如图， 是等边三角形，P是三角形内一点， ， ， ，若 的周长为
18，则 （ ）A．8 B． C．6 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质，延长 分别交
于G、H，易得四边形 是平行四边形， 是等边三角形，根据等边三角形的性质
即可得出即可．
【详解】解：延长 分别交 于G、H，
则由 ， ， ，
四边形 是平行四边形，
∴ ，
是等边三角形， ，
是等边三角形，
∴ ，
又 的周长为18，
∴ ，故选：C．
5．如图，点 在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，若
，则 的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是设 ，由折叠的性质可
得 ， ，根据勾股定理可求出 、 的长，再设 ，则 ，
，根据勾股定理即可求解 ．
【详解】解：由折叠的性质可知 ， ，
设 ，则 ， ，
在 中： ，即 ，
解得： 或 （舍），
， ，
设 ，则 ， ，
在 中： ，即 ，
解得： ，
的长为15，
故选C．
6．如图，正方形 的边长为2，将正方形 绕点A逆时针旋转，使点B落在 边上的点M处，
得到正方形 ， 与 相交于点G，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用，图中阴影部分的面积 ，据此即可求
解．
【详解】解：由题意得： ， ，
∴
∴图中阴影部分的面积
故选：A
7．如图，在 中， 的垂直平分线分别交 于点D，F， 交 的延长线于点E，已
知 ， ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证 ，可得四边形 为矩形，即可证明，可求得 的长，根据 是 中位线可以求得 的长度，即可求得矩形 的
面积，即可解题．
【详解】解：∵
∴F是 的中点，
∵D是 中点，
∴ 是 中位线，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴矩形 面积 ．
故选：A．
8．如图，在 中， ， 是 的角平分线， 的角平分线交 于点 ，若
， ，则 （ ）A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线
是解题关键．过点 分别作 ，垂足分别为 ，根据角平分线的性质定理
可得 ，再利用勾股定理解得 ；结合 ，可解得 ；证明
四边形 为正方形，由正方形的性质可得 ，然后在 中，利用勾股定理解得 的
值即可．
【详解】解：如下图，过点 分别作 ，垂足分别为 ，
∵ 是 的角平分线， 是 的角平分线，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，解得 ，
∵ ，∴四边形 为矩形，
又∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．
故选：D．
9．如图，点E在正方形 外，连结 ，过点A作 的垂线交 于点F，
， .下列结论：① ；② ；③点B到直线 的距离为 ；④
.其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．①推出 即可判断；
②由 得 ，即可判断；③作 ，根据勾股定理计算 的长度，
即可判断；④由 得 ，根据 ，即可判断．
【详解】解：由题意得： ，
∴
即： ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，故②正确；
作 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即：点B到直线 的距离为 ，故③正确；
∵ ，
∴
∴
∴ ，故④正确；故选：D
10．正方形 ， 如图放置， ， ， 相交于点P，Q为 边上一点，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ，取 的中点O，连接 ，延长 至E，使 ，连接 ， ，利用等
腰直角三角形性质可得 ，由 ，可得 ， ，利用勾股定理可
得 ，再由三角形中位线定理可得 ，再证得 ，进而得出 是
的中线，即 ，由 ，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点O，连接 ，延长 至E，使 ，连接 ， ，
∵四边形 、 是正方形， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即Q是 的中点，
又∵点O是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点O是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线
定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质是解题关键．二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．菱形的两条对角线的长分别是 和 ，则它的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的面积计算，菱形的面积等于对角线乘积的一半．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．若菱形 的两条对角线的长分别为10和24，则菱形 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；由菱形的性质得 ， ， ，由勾股定理
即可求解；掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
， ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
菱形 的周长： ；
故答案： ．
13．已知正方形 ，分别以 为边长作等边 和等边 ，连接 ，则
．【答案】15
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握正方形的性质是
解题的关键．由正方形的性质可得 ，由等边三角形的性质可得
，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：15．
14．如图，将长方形纸片 沿其对角线 折叠，使点 落在点 的位置， 与 交于点 ． 若
，求图中阴影部分的周长 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的折叠问题及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解
题的关键．阴影部分的周长为 ，即矩形的周长计算解题．
【详解】证明：∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
由翻折可得 ，
∴阴影部分的周长为
，
故答案为： ．
15．如图，在平行四边形 中， ， 、 分别为边 、 的中点，连接 、 、 ，
当 平分 时， 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理．由三
角形的中位线定理可得 ， ，由角平分线的性质和平行线的性质可求 ，
，即可求解．
【详解】解：如图，设 与 的交点为 ，
平分 ，
，
∵ ，
，
、 分别为边 、 的中点，
∴ ， ，
， ，
，
， ，
，
故答案为： ．
16．如图，在 中，E是边 上一点，将 沿AE折叠至 处， 与 交于点F，若
， ，则 的度数为 ．【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和
折叠的性质是解题的关键；
由平行四边形的性质得 ，由由折叠的性质得： ， ，
，在根据三角形的内角和定理及角的和差即可解答；
【详解】 四边形 是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
，
故答案为：
17．如图，在四边形 中， ， ，点P从点A出发，沿射线 以
每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度向点B
运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t= 时，
使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？
【答案】2或6
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，分两种情况：当 为平行四边形的边时，由 列
出方程可求出t；当 为平行四边形的对角线，由 列出方程可求出t．
【详解】解：由题意知，可分两种情况：
①当 为平行四边形的边，则P在D点左侧， ，∵ ，
∴ ，
解得 ；
②当 为平行四边形的对角线，P在D点右侧， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述，当 或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：2或6．
18．如图， 是矩形 的对角线， ，垂足为 ，点 ， 分别在线段 ， 上，
．若 是以 为腰的等腰三角形， ， ，则 的长是 ．
【答案】 或
【分析】作 ， ，分别交 于点 、 ，根据题意可设 ，则 ，再根
据矩形的性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性质，用含有 的式子表示出 、 、 ，然后
根据 是以 为腰的等腰三角形，分为 和 两种情况讨论即可求解．
【详解】作 ， ，分别交 于点 、 ，四边形 是矩形，
， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
当 ，则 ，
即 ，
解得： ， ，
或 ；
在 中， ，，
，
在 中， ，
当 时，则 ，
即 ，
解得： ，
，
，
不符合题意，舍去；
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解
题的关键是灵活运用这些性质，分类讨论．
三、解答题（8小题，共66分）
19．如图，把矩形纸片 沿 折叠，使点 落在边 上的点 处，点A落在点 处，求证：
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
根据折叠的性质以及平行线的性质可得 ，根据等边对等角可得 ，再根据折叠的性
质即可证明 ．【详解】证明，在矩形 中， ，
，
由折叠可得： ， ，
，
，
∴ ．
20．如图，在 的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段 ，请按要求画出格点三角形
（顶点在格点上）．
(1)在图1中画一个等腰三角形 ．
(2)在图2中画一个 ，使得 恰好平分 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查作图 应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据等腰三角形的判定画出图形（答案不唯一）；
（2）以 为对角线，构造平行四边形 ， 即为所求．
【详解】（1）解：如图1中， 即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2中， 即为所求（答案不唯一）．．
21．如图，点 ， 分别是平行四边形 对角线 上两点，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求平行四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)平行四边形 的面积为
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分的性质，和 ，即可由对角线互相平分的四边形是
平行四边形，得出四边形 是平行四边形，
（2）作四边形 的 边上的高，根据 角直角三角形的性质求出高，即可求解，
本题考查了平行四边形的性质和判定，含 角的直角三角形，平行四边形的面积公式．
【详解】（1）解：连接 ，交 于 ，
在平行四边形 中， ，
，又 ，
四边形 是平行四边形，
（2）作 交 的延长线与点 ，
， ，
，
，
故答案为：平行四边形 的面积为 ．
22．已知：如图1，四边形 是平行四边形，点 、 在对角线 所在直线上，且 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 、 ，若 平分 ，四边形 是什么特殊的四边形?请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形 是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．
（1）根据 可得：
（2）连接 交 于点 ，证明四边形 是菱形．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
在 和 中，，
；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
如图，连接 交 于点 ，
，
， ，
∴ ，
四边形 是平行四边形，
平分 ，
，
，
，
四边形 是菱形，
23．如图1所示，在正三角形 中， 是 边（不含端点 ）上任意一点， 是 延长线上一点，
是 的平分线上一点，连接 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)若将试题中的“正三角形 ”改为“正方形 ”（如图2）， 是 的平分线上一点，则当 时，结论 是否还成立？（直接给出结论，不需要证明）
【答案】(1)见解析
(2)成立
【分析】对于（1），先在 上截取 ，连结 ，根据等边三角形的性质得 ，再
说明 为等边三角形，可得 ，即可证明
≌ ，进而得出答案；
对于（2），仿照（1），在 上取一点E，使 ，连接 ，先求出 ，再证明
，进而得出 ，可得 ≌ ，最后根据“全等三角形的对应边相
等”得出答案.
【详解】（1）证明：在 上截取 ，连结 ．
是等边三角形，
， ．
， ，
．
又 平分 ，
，
．
又 ， ，
，
即 ．
为等边三角形，
∴ ，
，
即 ，
∴ ≌ ，
．（2）成立．
在 上取一点E，使 ，连接 ．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ .
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线
的定义等，构造全等三角形是解题的关键．
24．如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将 沿 对折至 ，延
长 交边 于点 G，连接 、 ．
(1)证明： ；
(2)求 的长；(3)求△FGC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 的面积为3.6
【分析】（1）根据翻折，可得到 ， ，结合正方形的性质可得 ，
，从而可证得 ；
（2）设 ，根据勾股定理得 ，解方程即可；
（3）过C作 于 M，根据勾股定理求出 ，然后利用等面积法求出 ，
从而可计算得解．
【详解】（1）解：在正方形 中，
∵ 是由 对折得到，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）解：∵正方形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理得，
，
解得 ，
∴ ．
（3）过C作 于 M，∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、图形翻折的性质、全等三角形的判定与性质综合、勾股定理等知识，
采用数形结合列方程求解是解题关键．
25．如图，在矩形 中，动点P从点A出发，沿边 向点C运动，点A、D关于直线 的对
称点分别为点E、F，连接EF．已知． ．
(1)当点P在边 上，且 时，求 的度数；
(2)当点F在 的延长线上时，求 的长，并判断直线 与直线 之间的位置关系，并说明理由；
(3)当直线 恰好经过点C时，求 的长．
【答案】(1)
(2) ， ，理由见解析
(3) 或 ．【分析】（1）画出图形，证明 是等腰直角三角形，则 ．由对称性知
，即可得到 ；
（2）求出 ，当点F在 的延长线上时， ，连接 ，则
．设 ，则 ，由勾股定理得到 ，列方程求出 ，
即可得到 ．证明 ，则 ，即可得到 ；
（3）分两种情况画出图形，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
由对称性知 ，
∴ ．
（2）如图，∵ ，
∴ ，
∵当点F在 的延长线上时， ，连接 ，
∴ ．
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）分类讨论：①如图，当点P在边 上时，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，∴ ；
②如图4，当点P在边 上时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．能
够正确的作出图形，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
26．如图， 是四边形 的对角线，边 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 ，
连接 、 ．(1)如图1，四边形 是正方形时，作 ，垂足为O，连接 、 ．判断 、 之间的数
量关系和位置关系，并证明；
(2)如图2，四边形 是菱形时，设 ，点O在 上，且 ．判断 与 的
数量关系，写出推理过程，并用含有 的代数式表示 ；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，当四边形 是菱形时（如图3），请直接写出线段
平移的距离为 ．
【答案】(1) ， ，证明见解析
(2) ，理由见解析，
(3)
【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，证出
，则可得出结论；
（2）证明 ，得出 ， ，则可得出结论；
（3）过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，得出 ，由勾股定
理求出 的长，则可得出答案．
【详解】（1）解： ， ．
证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，在 和 中，
， ， ，
，
， ，
，
；
（2） ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
即 ，
，
，
；
（3）过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，，
由题意知四边形 和四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
设 ，
， ，
，
，
，
，
线段 平移的距离为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形
的性质，勾股定理，平移的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
