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第十八章 平行四边形
01 思维导图
02 知识速记
【知识点01】平行四边形
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
【知识点02】矩形1.矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四
边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
【知识点03】菱形
1.菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，
还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
2.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点04】正方形
1.正方形的概念、性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是
有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
03 题型归纳
题型一 利用平行四边形的性质求解
例题：（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）在 中，若 ，则 的度
数为 度．
【答案】65【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补求解即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
巩固训练
1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在 中， ，对角线 与 相交于点O，
，则 的周长为 .
【答案】22
【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相
平分．根据平行四边形对角线互相平分求出 的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
故答案为：22．
2．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在 中， ， 的平分线AE交DC于点
E，连接BE，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【解析】略3．（2024上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点F， 平分
，交 于点E， ， ，则 长为 .
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四
边形的性质，得出 是解题的关键．
根据平行四边形的对边平行且相等可得 ， ， ；根据两直线平行，内错角
相等可得 ；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的
平分线可得 ；推得 ，根据等角对等边可得 ， ，即可
列出等式，求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
同理可证： ，
∵ ，
即 ，
解得： ；
故答案为：3．
题型二 利用平行四边形的性质与判定综合
例题：（2023下·广东深圳·八年级校考期末）已知：如图，E、F是 对角线 上的两点．(1)若 ，求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，垂足分别为E、F， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于O，根据 ，得 ， ，继可证得 ，即可由
平行四边形的判定定理得出结论．
（2）先由 ， ，得出 ， ，再证 ，得
，从而证得四边形 是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得 ．
【详解】（1）证明：连接 交 于O，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判
定是解题的关键．
巩固训练
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图， 中，E、F分别是 、 上的点，且 ，
连接 交 于O．
(1)连接 、 ，判断四边形 的形状并说明理由．
(2)若 ， ， 的面积为2，求 的面积．
(3)若 ， ， ，延长 交 的延长线于G，当 时，则 的长为______．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析；
(2) ；
(3)4；
【分析】（1）分别证明 ， ，即可；
（2）利用平行四边形的性质，由 的面积为2，得到 ，再利用三角形同底等高的性质，得到
的面积，再求出 ，则可知 的面积为 ；
（3）由 是等腰直角三角形，得出 ，因为 ，得出 ，所以 与
都是等腰直角三角形，从而依次求得 、 、 的长，则 可求；
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形；证明：由题意，在 中， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，以及同底等高类的三角形
面积，熟练掌握平行四边形的性质，证明等腰直角三角形是解决问题的关键．
2．（2023下·全国·八年级假期作业）在四边形 中， ， ．
(1)如图①，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图②， 平分 ，交 于点 ．若 ， ，求 的面积；
(3)如图③， 平分 ，交 于点 ，作 交射线 于点 ，交 于点 ．若 ，
请探究线段 ， ， 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3) 或
【详解】解：（1）证明： ， ．
， ，
， 四边形 是平行四边形．
（2）在 中， ， ．
平分 ， ， ，
．
如图①，作 交 的延长线于点 ， ．
图①
， ， ，
，．
（3）如图②、图③，作 交射线 于点 ．
当点 在线段 上时，如图②．
图②
， ， ， ．
四边形 是平行四边形，
， ，
．
在 和 中，
， ．
由（2）易知 ．
，
， ．
又 ， ，
即 ；
当点 在 的延长线上时，如图③．
图③
同理可得 ， ，
，即 ．
综上所述，线段 ， ， 之间的数量关系为 或题型三 矩形的性质
例题：（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．矩形的四个角都相等 B．矩形的四条边都相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线平分内角
【答案】A
【分析】本题考查真假命题的判断、矩形的性质，根据矩形的角、边、对角线的特点逐项判断即可．
【详解】解：A、矩形的四个角都相等，正确，符合题意；
B、矩形的四条边不相等，故原命题错误，不符合题意；
C、矩形的对角线相等但不垂直，故原命题错误，不符合题意；
D、矩形的对角线相等但不平分内角，故原命题错误，不符合题意；
故选A．
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南濮阳·期中）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，
四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可．
【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直．
故选：B．
2.（2024·河南鹤壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．根据矩形的性质和菱形的
性质即可解决问题．
【详解】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相
等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相
平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选： ．题型四 利用矩形的性质求解
例题：（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形 中，点 是 延长线上一点，连接 ，
若 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了矩形的对角线相等，等边对等角，三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．根据等边对等角的性质可
得 ，再求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
故选：D．
巩固训练
1.（2024·四川凉山·二模）如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，
连接 ．若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，根据矩形的性质
可得对角线相等，进而根据已知可得 垂直平分 ，根据等边对等角得出 ，进而
可得 ，根据 即可求解．
【详解】解：∵矩形 的对角线相交于点 ，
∴ ， ，
又∵
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴ ，
故选：C．
2.（23-24八年级下·湖北襄阳·期中）如图，在矩形 中， 分别是 上的点， 分别是
的中点， ， ，则线段 的长为 ．【答案】6.5/ /
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连
接 ，利用勾股定理解得 的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可．
【详解】解：连接 ，如下图，
∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ．
故答案为：6.5．
3.（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，长方形 中，点E、F分别为 边上的任意点，
、 的面积分别为15和25，那么四边形 的面积为 ．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线，
连接 ，可得 ，再根据面积的和差可得 ，同理可得 ，即可解答
【详解】解：连接 ，，
又 ， ，
同理
，
又 ， ，
，
故答案为：40
题型五 菱形的性质
例题：（2024八年级下·全国·专题练习）下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．根据菱形的性质可判断．
【详解】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角，
∴A、B、D选项不符合题意，
∵菱形的对角线不一定相等，
∴菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意，
故选：C
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南商丘·期中）关于菱形的性质，下列说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】D【分析】根据菱形的性质判断即可．此题主要考查对菱形的性质及判定的理解，关键是根据菱形的性质解
答．
【详解】解：A、菱形的四条边都相等，正确不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，正确不符合题意；
C、菱形的对角线互相平分，正确不符合题意；
D、菱形的对角线不一定相等，错误符合题意；
故选：D．
2.（2024八年级下·全国·专题练习）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质和菱形的性质可求解．本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握
菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：A、不正确，菱形和平行四边形都有两组对边都分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选：D．
题型六 利用菱形的性质求解
例题：（2024·陕西西安·三模）如图，点E是菱形 的对角线 上一点，连接 ，若 ，
，则 的度数为 ．
【答案】45
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形
的四边相等是解题的关键．由等腰三角形的性质可求 ，由菱形的性质可得 ，即可求
解．
【详解】解： ，，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
故答案为：45．
巩固训练
1.（2024·重庆九龙坡·二模）如图，在菱形 中， ，依次连接各边中点，得到四边形 ，
则 °．
【答案】35
【分析】本题考查了菱形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
连接 ，先根据菱形的性质得出 ，再根据三角形中位线性质得出 ，最后根据平行线
的性质即可得出答案．
【详解】解：连接
四边形 为菱形，
F、G分别为 和 的中点故答案为： ．
2.（2024·四川成都·二模）如图，在菱形 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ，连接
， ．若 ， ，则 的大小为 ．
【答案】 /40度
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质．
根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“ ”即可证明 ，再得到
，因为 ，故 ．
【详解】∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为 ．
3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形 中， ，点E在边 上，点F在边
上，且 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，关键是根据菱形的性质和全等三角
形的判定和性质得出 解答．
延长 ， 相交于点 ，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出 ，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：延长 ， 相交于点 ，作 于点 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
， ，
，
，
，
设 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
解得： ，
，
故答案为： ．4.（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ， 分别是边
， 的中点，连接 ．若 ，则 (用含 的代数式表示)；若 ，
，则菱形 的面积为
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中位线的性质和菱形的面积公式，连接 ，根据三
角形的中线的性质可得 ；根据 是 的中位线，根据三角形中位线定理求
的 的长，然后根据菱形的面积公式求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， 、 是 和 的中点，
∴
∵ 、 是 和 的中点，即 是 的中位线，
∴
∴菱形 的面积为
故答案为： ， ．5.（2024·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 的坐标为 ，顶点 都
在第一象限，若 ，则顶点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、含 角的直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识．过点 作
于 ，由菱形的性质和直角三角形的性质可求 ， ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，
四边形 是菱形，点 ， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
点 坐标为 ，
故答案为： ．
题型七 正方形的性质
例题：（23-24八年级下·河南周口·期中）下列关于正方形的说法错误的是（ ）
A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角
B．正方形有四条对称轴C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等
D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，解题的关键是了解正方形的性质．利用正方形的性质分别判断后即可
确定正确的选项．
【详解】解：A：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，故A正确，不符合题意；
B：正方形有四条对称轴，故B正确，不符合题意；
C：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，故C正确，不符合题意；
D：由于正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，所以正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点
的距离一定相等，故D错误，符合题意；
巩固训练
1.（23-24八年级下·湖北荆州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．都是轴对称图形
C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是菱形、矩形、正方形的性质，解题关键是熟练掌握菱形、矩形、正方形的性
质．
根据菱形、矩形、正方形性质对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：根据菱形、矩形、正方形的性质可得：
选项，菱形、正方形四条边都相等，矩形四条边不都相等，不符合题意， 选项错误；
选项，菱形、矩形、正方形都是轴对称图形，符合题意， 选项正确；
选项，菱形、正方形对角线互相垂直且互相平分，矩形对角线互相平分但不互相垂直，不符合题意，
选项错误；
选项，菱形对角线互相平分但不相等，矩形、正方形对角线相等且互相平分，不符合题意， 选项错误．
故选： ．
2.（23-24八年级下·山东淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等
【答案】B
【分析】本题考查了菱形与正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形与正方形的性质． 要熟练掌握
菱形对角线相互垂直平分与正方形对角线相互垂直平分相等的性质，根据各自性质进行比较即可解答．
【详解】解：A．正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故本选项不符合题意；B．正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
C．正方形和菱形的对角线都互相垂直，故本选项不符合题意；
D．正方形和菱形都是四条边相等，故本选项不符合题意；
故选B．
3.（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四个角都是直角
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，熟知矩形、正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：矩形具有的性质为对角线互相平分，对角线相等，四个角都是直角，
正方形具有的性质为对角线互相平分且垂直，对角线相等，四个角都是直角，
故选：A．
题型八 利用正方形的性质求解
例题：（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在正方形 的内侧，作等边三角形 ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，得到
，等边三角形的性质，得到 ，进而得到 ，等边对等角，
求出 的度数即可．
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ，
∵等边三角形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；故选C．
巩固训练
1.（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图，正方形 中， ，直线 交 于点 ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由正方形的性
质得到 ，则 ，根据等边对等角得到 ，
设 ，则 ，则可推出 ， ，则由平角的定义可得
答案．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
2.（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，正方形 的对角线 是菱形 的一边，则 等
于（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出 ，根据菱形的对角线平分一组对角可得
，计算即可得解．本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一
组对角的性质，熟记性质是解题的关键．
【详解】解： 是正方形的对角线，
，
是菱形 的对角线，
．
故选：B．
3.（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在正方形 中，点 在 上， ，
，垂足分别为 、 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了正方形的性质，矩形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，由正方形 ，
以及对角线 的长，得到对角线互相垂直， 等于 的一半，根据三个角为直角的四边形为矩形得到
四边形 为矩形，进而得到矩形的对边相等，同时得到三角形 为等腰直角三角形，由等量代换得
到 ，求出即可．
【详解】解： 正方形 ， ，
，
， ， ，
， ，
，
四边形 为矩形， 为等腰直角三角形，， ，
．
故答案为： ．
4.（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形 和正方形 的边长分别为 和 ，则阴
影部分的面积为 .
【答案】
【分析】本题考查了正方形的面积和阴影部分的面积，根据图形面积之间的关系即可求解．
【详解】解： ，
即 ，
解得： ，
故答案为： ．
5.（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形 的对角线相交于点 ，以 为顶点的正方形
的两边 ， 分别变正方形的边 ， 于点 ， ．记 的面积为 ， 的面积
为 ，若正方形的边长 ， 则 的大小为 ．
【答案】【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出 ，
， ，推出 ，证出 可得答案，证明
是解此题的关键．
【详解】∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型九 矩形的性质与判定的综合问题
例题：（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形 中， ，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知
识，证明 及 是等边三角形是解题的关键．
（1）由 ， ，得 ，由四边形 是平行四边形，点 在 的延长线上，得
，则四边形 是平行四边形，即可由 ，根据矩形的定义证明四边形 是矩形；
（2）由平行四边形的性质和矩形的性质得 ， ， ，因为
，所以 是等边三角形，则 ， ，所以
，即可根据勾股定理求得 ．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，点 在 的延长线上，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形．
（2）解： 四边形 是矩形，四边形 是平行四边形，
， ，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
的长是 ．
巩固训练
1.（2024·云南德宏·一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，连接
并延长至点 ，使 ，连接 ， ．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形 为平行四边形，再根据菱形的性质得到 ，然后根据矩形的
判定可证得结论；
（2）根据矩形的性质求得 ，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线 的长，再根据菱形
的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点
，
四边形 是平行四边形，
在菱形 中，
四边形 是矩形
（2）解： ，
在菱形 中， 是 的中点
是 的中点
是 的中位线在菱形 中， ，
在 中， ，
根据勾股定理得
在菱形 中， ，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含 的直
角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．
2.（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， 是 的角平分线， 是
的外角 的平分线，过点C作 ，垂足为E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形 的面积为2．
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）证明 ，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）证明 是等腰直角三角形，再根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，∵ 是 外角 的平分线，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴四边形 为矩形；
（2）解：∵ ， 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 的面积为 ．
3.（2024八年级下·浙江·专题练习）在 中， ， 为 上的两点，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是矩形；
(3)连接 ，若 是 的平分线， ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握矩形的判定
和性质定理是解题的关键．
（1）首先根据平行四边形的性质得到 ，然后结合已知条件利用 判定两三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质得到 ，从而判定矩形；
（3）根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）证明： ，
，
在平行四边形 中， ，
，
，
四边形 是矩形；
（3）解： 四边形 是矩形，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形 的面积 ．
题型十 利用菱形的判定与性质综合性问题例题：如图，在等腰 中， ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于 ，连
接 ，过点 作 交 的延长线于 ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)四边形 是菱形，见解析
(2) 的长为 ．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质
是解题的关键．
（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得 ，再利用平行线的性质可得 ，
，从而利用 证明 ，进而可得 ，再利用对角线互相平分线的四
边形是平行四边形可得四边形 是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形 是菱形，即可
解答；
（2）先利用角平分线的定义可得 ，再利用菱形的性质可得 ，从而可得
是等边三角形，进而可得 ，然后利用垂直定义可得 ，从而可得 ，
进而可得 ，再利用勾股定理进行计算，即可解答．
【详解】（1）四边形 是菱形，
理由： ， 平分 ，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；（2） 平分 ， ，
，
四边形 是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的长为 ．
巩固训练
1.如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若菱形 的周长为 ， ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）先证明四边形 为平行四边形，再证明 ，得到 ，即可得到四边
形 是菱形；
（ ）连接 交 于点 ，由菱形的性质可得 ， ， ，进而由 得
，又由菱形的周长得 ，由直角三角形的性质可得 ，利用勾股定理得 ，即可求出 的长度；
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的应用，平行线
的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：连接 交 于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵菱形 的周长为 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由勾股定理可得， ，∴ ．
2.已知，四边形 是菱形．
(1)若 ，则菱形 的周长 ______；
(2)如图①， 、 是对角线，则 与 的位置关系是_______．
(3)如图②，点 、 分别在 、 上，且 ， ， ，点 、 分别在 、
上， 与 相交于点 ．求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)20
(2)垂直
(3)见解析
【分析】此题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定等知识，证得四边形 是平行四边形与
是解题的关键．
（1）根据菱形的性质即可得 ，即可得到结论；
（2）根据菱形的性质即可得到结论；
（3）由 ， ，可证得四边形 是平行四边形，又由四边形 是菱形，
，可得 ，即可证得四边形 是菱形．
【详解】（1）解：（1）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴菱形 的周长 ．
故答案为：20；
（2）∵四边形 是菱形， 、 是对角线，
∴ ，
∴ 与 的位置关系是垂直．
故答案为：垂直；
（3）证明：∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
题型十一 正方形的性质与判定的综合问题
例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 沿过D的直线折
叠，使点A落在 上的点 处，得到折痕 ，然后在把纸片展平；
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 沿过点E的直线折叠，点C恰好落在 上的点 处，得到
折痕 ， 交 于点M，再把纸片展平．
问题解决：
(1)如图1，求证：四边形 是正方形；
(2)如图2，若 ， ，，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 的面积是
【分析】（1）由折叠性质得 ， ， ，再根据平行线的性质和等腰三
角形的判定得到四边形 是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形 为正方形；
（2）连接 ，证明 ，得 ，从而有 ，设 ，则
，在 中，利用勾股定理列方程求出x，得到 ，即可求出 的面积．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，∵将矩形纸片 沿过点D的直线折叠，使点A落在 上的点 处，得到折痕 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴四边形 是正方形；
（2）解：如图，连接 ，由（1）知， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由折叠知， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，
，
，
解得 ，
即 ，
∴ 的面积 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的
性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．
巩固训练
1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图， 中， ， 、 外角平分线交于点
，过点 分别作直线 ， 的垂线， ， 为垂足．
(1) ________°（直接写出结果不写解答过程）
(2) 求证：四边形 是正方形．
若 ，求 的面积．
(3)如图（ ），在 中， ，高 ， ，则 的长度是________（直接写出结
果不写解答过程）．
【答案】(1) ；
(2) 证明见解析； ；
(3) ．
【分析】（ ）由 可得 ，进而得 ，再根据角平分线的定义可得 ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（ ） 过点 作 于 ，由角平分线的性质可得 ，再证明四边形 是矩形即可求
证；
证明 得 ，同理得 ，设 ，得 ，又由
可得 ，
得到 ，在 中，利用勾股定理得 ，得到 ，即得 ，再根据
三角形面积公式即可求解；
（ ）如图 所示， 把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 交于
点 ，同理（ ）即可求解；
本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠
的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） 证明：过点 作 于 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，同理可得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形；
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图 所示， 把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 交
于点 ，由折叠可得 ， ， ， ， ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
2.（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形 是边长为4的正方形，点P为射线 上的一个
动点，延长 到点E，使 ，连接 ，以 为边作平行四边形 ，直线 和直
线 相交于点M．(1)如图1，点P在边 上，判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若点P为 的中点，求点F到边 的距离；
(3)若 ，求 的长．
【答案】(1)正方形，理由见解析
(2)2
(3)1或3
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定：
（1）先证明 得到 ，进而证明 ，即可证明四边形
是正方形；
（2）如图所示，作 ，垂足为H，证明 ，得到 ，求出
，则 ，即点F到 距离为2；
（3）分点P在 上和点P在 得延长线上两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：四边形 是正方形，理由如下：
解：在正方形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是正方形；
（2）解：如图所示，作 ，垂足为H，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵点P是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴点F到 距离为2；
（3）解：①点P在线段 上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可得 ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，∴ ；
②点P在 延长线上，
如图所示，作 ，垂足为H，
同理可得 ，
同理可证明 ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上所述， 得长为1或3．
3.（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境：
如图①，点E为正方形 内一点， ，且 ，延长 交 于点G，连接
．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形 的形状，并说明理由．
（2）如图②，若 ，请猜想线段 与 的数量关系，并加以证明．
解决问题：（3）如图①，若 ，请直接写出 的长．
【答案】（1）四边形 是正方形．理由见解析；（2） ，证明见解析；（3）
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股
定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
（1）证明 即可；
（2）过点 作 于点 ，证明 ，结合 ，得到 ，得证；
（3）过点 作 ，垂足为 ，证明 ，结合 ，得到
，设 ，则 ，根据勾股定理，求得 的值，再利用
计算即可．
【详解】解：（1）四边形 是正方形．理由是：
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形．
（2） ．
证明：如图，过点 作 于点 ，则 ．
，
，
∵四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
由（1）知四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
．
（3）过点 作 ，垂足为 ，如图：
∵四边形 是正方形，
，
，，
，
．
，
，
根据（2），得到 ，
，
设 ，
∵四边形 是正方形， ，
，
，
，
解得 （舍去），
，
，
解得 ．
