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高考仿真重难点训练05 三角函数图像变换 求参数问题
一､选择题
1．将函数 的图象向左平移m（ ）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可
以是（ ）．
A． B．π C． D．
【答案】D
【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得.
【解析】将函数 的图象向左平移m个单位，
得 的图象，
因为 的图象关于原点对称，
所以 ，即 ，
当 时，得 ，
使 ， ， 的整数 不存在.
故选：D
2．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平移求出平移后的函数解析式，利用函数相等可求答案.
【解析】将 的图象向右平移 个单位长度后得到的解析式为 ，由题意 ，
所以 ， ，即 ， .
因为 ，所以 .
故选：B.
3．设函数 ，若将 的图象向左平移 个单位长度后在 上有且仅有两
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平移变换法则得 ，由题意 在 上有且仅有两个零点，由此可列出
关于 的不等式组，解出不等式组即可得解.
【解析】将 的图象向左平移 个单位长度后的图象所对应的函数表达式为
，
注意到 ，则当 时， ，
由题意 在 上有且仅有两个零点，
这意味着 ，且显然 ，
也就是说 ，解得 .
故选：A.
4．函数 的图像关于点 中心对称，将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的图像，则函数 在区间 内的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换
【解析】 函数 的图像关于点 中心对称， ，∴ ,
又 ，则 ．
将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的图像,
令 ，得 ∴函数 在区间 内的零点有
，共4个.
故选：D．
5．已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向左平移 个单
位长度后得到函数 的图象，若 在区间 上的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由图象求出函数 ，再由平移变换得函数 ，结合整体法求值域，从而求 的取值范围.【解析】设 的最小正周期为 ，由图象可知 ，
所以 ，则 ，故 ，
又 的图象过点 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
则 ，
则 .
当 时， ，
当 或 .即 或 时， ，
当 ，即 时， ，
所以 的取值范围为 .
故选：C.
6．设函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，将 的图象向右平移 个
单位长度后得到函数 的图象，则函数 的图象与 的图象的所有交点的横坐标之和为
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用轴对称求得函数 ，利用三角函数平移变换得到函数 ，再利用函数的对称中心计算
得到结果.【解析】由题意得 ，则 .
函数 的图象由函数 图形向右平移1个单位得到.
由函数 的图象与 的图象关于点 对称，在定义域内有4个交点.
所以函数 的图象与 的图象的所有交点的横坐标之和为
故选：C.
7．已知函数 ，将 图象上所有的点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）得到函数 的图象，若 在 上恰有一个极值点，则 的取值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换得到 ，结合伸缩变换得到 ，整
体法得到 ，根据极值点个数得到不等式，求出 ，得到答案.
【解析】因为
，又将 图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，
所以 ．
当 时， ，
又因为 在 上恰有一个极值点，
所以 ，解得 .
故选：A．
8．将函数 的图象向右平移个 单位后得到函数 的图象，若函数 在区间 和
上均单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数 的图像变换规律推得 的解析式，再根据三角函数的性质求出函数
的单调增区间，再结合函数 在区间 和 上均单调递增，列出关于 的不等式组进行求解即
可.
【解析】根据题意，将函数 的图象向右平移个 单位后得到函数 的图象，则
.
根据函数 的单调增区间满足 ，解得 .
当 时，函数的增区间为 ，当 时，函数的增区间为 .
若满足函数 在区间 和 上均单调递增，则，解得 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数 的图像变换规律以及根据三角函数的单调性求参数范围.
二、多选题
9．已知函数 且对于 都有 成立．现将函数
的图象向右平移 个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变）得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 B．函数 相邻的对称轴距离为
C．函数 是偶函数 D．函数 在区间 上单调递增
【答案】ABCD
【解析】先利用已知条件求出 的周期 ，即可得 ，再利三角函数图象的平移伸缩变换得
的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【解析】因为对于 都有 成立
所以 ， ，
所以 对于 都成立，
可得 的周期 ，所以 ，所以 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得 ，
对于选项A:
，
故选项A正确；
对于选项B：函数 周期为 ，所以相邻的对称轴距离为 ，故选项B正确；
对于选项C： 是偶函数，故选项C正确；
对于选项D：当 ， ，所以函数 在区间 上单调递增，故选项D正确，
故选：ABCD
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由 恒成立得出
可得 的值，求出 的解析式.
10．函数 对任意 ，都有 ，则关于函数 的命题正
确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．直线 是函数 图像的一条对称轴
C．点 是函数 图像的一个对称中心D．将函数 图像向右平移 个单位，可得到 的图像
【答案】BD
【分析】对于题干条件，用 替代 得到新的方程，联立先算出 表达式，从而得出 的表达式，
然后根据正弦函数的性质逐一判断每个选项.
【解析】由 ，用 替代 得到
，
联立上述两式得到， ，
则 .
A选项， 时， ，根据正弦函数的单调性，
在 上递增，在 上递减，
根据复合函数的单调性可知 在区间 上先递增后递减，A选项错误；
B选项， 时， ，取到了最小值，
故 是函数 图像的一条对称轴，B选项正确；
C选项， 时， ，则 是 的对称中心，
故 是是函数 图像的一个对称中心，C选项错误；
D选项，函数 图像向右平移 个单位，得到，D选项正确.
故选：BD
11．已知函数 在区间 上单调，且 ，当
时， 取到最大值4，若将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数 的图
象，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点 是 图象的一个对称中心
C． 是区间 上的增函数 D．函数 的零点个数为7
【答案】ABCD
【分析】根据单调性求得 ，再由已知得出对称轴和对称中心求出周期，代入最值即可求出解析式，
数形结合可判断零点.
【解析】因为 在 上单调，所以 ，解得 ，
又 ，
所以 为对称轴，且 ，则 为一个对称中心，故B正确；
由于 ，所以 与 为同一周期内相邻的对称轴和对称中心，
则 ，所以 ，故A正确，
因为 的最大值为4，所以 ，
则 ，则 ，即 ，取 ，
则 ，当 时， ，根据正弦函数的单调性可得 是区间 上的增函数，故C正
确；
因为 在 处的切线斜率为 ，
在 处切线斜率不存在，即切线方程为 ，
所以 右侧 图象较缓，如图所示，
同时 时， ，所以函数 的零点有7个，故D正确.
故选：ABCD.
三、填空题
12．设 ，已知函数 的两个不同的零点 、 ，满足 ，若将该函数图
像向右平移 个单位后得到一个偶函数的图像，则 ．
【答案】
【分析】根据 可求 ，再求出平移后图像对应的解析式，根据其为偶函数可求参数的值.【解析】令 ，故 即 ，
故 ，由题设有 ，故 .
故 ，
将 图像向右平移 个单位后所得图象对应的解析式为：
，
整理得到： ，
因为 为偶函数，故 ，
所以 ，
故 对无穷多个 恒成立，故 ，
故 .
故答案为:
13．已知函数 ， 和 为 的两个相邻零点，将 的图象向右
平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的值域为 ．
【答案】
【分析】根据两个相邻零点求函数的周期得出 ，即求出 ，根据平移变换求出 ，令
，结合二次函数求值域得出结果.
【解析】由题意知 的最小正周期 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故 ．
令 ，则 ，且 ，
所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以所求函数的值域为 ．
故答案为： ．
14．已知函数 相邻两零点的距离为 ，且 ，将 图象向
左平移 个单位长度，再将所得图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后得到函数
的图象．若存在非负实数 使得， 在 内恰好有8个零点，则所有
符合条件的 值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得 和 ，得到 ，令 且
，得到 ，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【解析】由函数 相邻两零点的距离为 ，可得 ，可得 ，
则 ，因为 ，则 ，所以 ，可得 ，
则 ，
令 且 ，此时 ，
则 且 ，
则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，不妨设 ，
①当 时， ，此时 ， 无解，
对于 在 内有6个零点， 内都有8个零点， 内有10个零点，则
或 ；
②当 时， ，此时 ， 在 内有6个零点，在 内有8个零点，在 内有
9个零点，故 ；
③当 时， ，此时 ，令 ，
因为 ，则 ，故 在 内有6个零点，在 内有8个零点，
在 内有10个零点，故 ，
综上可得， ．
故答案为： .
四、解答题
15．已知函数 ， ，且 在 上的最大值为 ．
(1)求 的解析式；(2)将函数 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，
求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）由 求得 ，再结合 在 上的最大值为 且 ，知
，求出 即可；
（2）先求出 ，由 求得 ，结合诱导公式及倍角公式即可求得 .
【解析】（1）因为 ，所以周期 ，又 在 上的最大值为 ，且
，
所以当 时， 取得最大值 ，所以 ，且 ，即
，
，故 ，解得 ，故 ；
（2） ，又 ，则 ，
.
16．已知函数 的图象相邻对称轴之间的距离是 ，若将 的图像向右移 个单位，所得函数 为奇函数.
(1)求 的解析式；
(2)若函数 的一个零点为 ，且 ，求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由周期求出 ，再由题意可得函数 为奇函数，可得 的值，可得函数 的解析式；
（2）由题意可得 ，即可求出 ，再由 及两角差的
余弦公式计算可得．
【解析】（1）由题意可得 ，可得 ，又 ，
而 ，可得 ，
此时 ，
由题意可得 ，
要使函数 为奇函数，则 ， ，
即 ， ，而 ，
所以 ，
所以 ；（2）由题意令 ，
可得 ，即 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以
17．已知函数 .
(1)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，再将其向右平移 个单位，得到函数
的图象.若 ，函数 有且仅有4个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最
值，即可得到答案；
（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结
合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.
【解析】（1）因为 ，当 时，可得 ，
当 ，即 时， 取得最小值 ，
因为 时， 恒成立，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
（2）由 图象的横坐标缩小为原来的 ，可得： ，
再将其向右平移 ，可得： ，
即函数 ，
因为 ，所以 ，在给定区间的正弦函数的零点是 ，
再由函数 有且仅有4个零点，则满足 ，
解得 ，所以实数 的取值范围 .
18．函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，求 在 上的最大值和最小值；
(3)若关于 的方程 在 上有两个不等实根，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3) ．
【分析】（1）利用函数图象的顶点求出 ，利用周期求出 ，由特殊点求出 ，即可求出解析
式；
（2）利用三角函数图象变换求得 ，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
【解析】（1）由函数 的部分图象可知 ，
， ， ，又 ，
，解得 ，由 可得 ，
；
（2）将 向右平移 个单位，得到 ，
再将所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，
令 ，由 ，可得 ，因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
可得 ， ；
（3）由（2）可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
可得 ， ， ，
因为关于 的方程 在 上有两个不等实根，
即 与 的图象在 有两个交点.
由图象可知符合题意的 的取值范围为 .
19．对于分别定义在 ， 上的函数 ， 以及实数 ，若存在 ， 使得
，则称函数 与 具有关系 .
(1)若 ， ； ， ，判断 与 是否具有关系 ，并说明
理由；
(2)若 与 具有关系 ，求 的取值范围；
(3)已知 ， 为定义在 上的奇函数，且满足：①在 上，当且仅当 时， 取得最大值1；
②对任意 ，有 .
判断 与 是否具有关系 ，并说明理由.
【答案】(1) 与 具有关系 ，理由见解析
(2) ；
(3)不具有关系 ，理由见解析
【分析】（1）根据三角函数的性质可得 ，结合新定义即可下结论；
（2）根据三角函数与二次函数的性质可得 、 ，则 ，
结合新定义即可求解；
（3）根据函数的对称性和周期性求出 、 、 的值域. 当 、 时，有
；当 、 时，有 ，进而
，结合新定义即可下结论.
【解析】（1） 与 具有关系 ，理由如下：
当 时， ， ，
当 ， ，当 时， ，
此时 ，则 与 具有关系 ；
（2） ，
，
因为 ，则当 时， ，则 ，
所以 ，
则 ；
（3）不具有 关系，理由如下：
因为在 上，当且仅当 时， 取得最大值1；
又 为定义在 上的奇函数，
故在 上，当且仅当 时， 取得最小值-1，
由对任意 ，有 ，
所以 关于点 对称，
又 ，
所以 的周期为 ，故 的值域为 ， ， ，
当 时， ， ；
时， ， ，
若 ，则 ， ，此时有 ；
当 时， ， ；
时， ， ，
若 ，则 ， 时，
有 ；
由于 ，
所以 ，
故不存在 ， ，使得 ，
所以 与 不具有关系 .
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解
决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落
脚点仍然是三角函数的图象与性质.
