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第十六章 二次根式 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024上·河南周口·九年级校联考期末）式子 有意义，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考
虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代
数式是二次根式时，被开方数为非负数．据此求解即可．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ ，
∴ ．
故选D．
2．（2024上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）估计 的值应该在（ ）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．5和6之间
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式计算后进行估算即可，将原式进行正确的计算
是解题的关键．
【详解】
，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴原式的值在6和7之间，
故选：A．
3．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）下列各式中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根的定义，开方与乘方的关系，理解“若一个 ，则称
为 的立方根， ”，开方与乘方互为逆运算，掌握 ， ，是解题的关键．
【详解】A、 ，结论错误，故不符合题意；
B、 ，结论正确，符合题意；
C、 ，结论错误，故不符合题意；
D、 ，结论错误，故不符合题意；
故选：B．
4．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）己知 与最简二次根式 是同类二次根式，则a的值
为（ ）
A．16 B．0 C．2 D．不确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念，化简二次根式，先化简二次根式得到 ，再根据
被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式得到 ，由此可得答案．
【详解】解；∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，∴ ，
故选B．
5．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）若x，y为实数，且 ，则 的值是（）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
根据非负数的性质列式求出 、 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
所以， ．
故选：C．
6．（2023下·江苏·八年级专题练习）计算 （ ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．
【详解】解：
，
故选：A．
7．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）已知 ， ，，那么 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式，利用分子有理化比较二次根式的大小，熟练掌握分子有理化的方法是解
答本题的关键．
利用平方差公式，进行分子有理化，进而比较三个数的大小关系，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
，
，
，
，
，
故选： ．
8．（2023上·重庆·八年级四川外国语大学附属外国语学校校考期中）定义一种新运算：，例如：当 时， 则下列说法正确的有（ ）
个
① ；
②当 时，则 ；
③当 时，
则 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】此题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．①把 分
别代入求出 与 的值,代入原式检验即可；②根据 的值，求出 的值，代入计算求出 的
值，即可作出判断；③把各项代入已知等式，相加减求出 与 的值，代入
原式计算得到结果，判断即可．
【详解】解：① ，说法正确；
②∵ ，
∴ ，
解得： 或
或 ，说法错误；
③得： ，即 ，
得： 即
则 ，说法正确．
说法正确的为①③，有 个
故选: C.
9．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）已知 ； ，且
，则a的值是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【分析】先根据m和n的值得出 和 的值，从而得出 和 的值，然后利用整
体代入求出a的值．
【详解】解：由 ，得 ，
两边平方，得 ，
即 ，故 ，
同理，得 ，
代入 ，
得
解得 ，
故选C．【点睛】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，运算比较冗繁，解题关键是求出部分
代数式的值再整体代入．
10．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）已知两个二次根式 ，
进行如下操作：令 ，将 加上 ，结果记为 ，令 ，
将 加上 ，结果记为 ；令 ，将 加上 ，结果记为
，以此类推，下列说法正确的个数是（ ）
① 的最小值为 ；
②当 时， ；
③ ；
④若 ，则有唯一解 ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，分母有理化，完全平方公式等，
①利用二次根式的性质和非负数的性质可得
，即可判断①；
②由题意得：
，
即可判断②；
③运用分式的运算法则即可判断③；④运用分母有理化和乘法公式即可判断④；
熟练掌握二次根式的性质、分母有理化、找到运算结果的变化规律是解题的关键．
【详解】解：①∵ ，∴结论①错误；
②当 时，
，
，
，
，
……
，
，
∴
，
∴结论②正确；
③∵，
∴结论③正确；
④∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论④正确．
故选：C．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024下·全国·七年级假期作业）化简 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“ ”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解： ，
故答案为：2024．
12．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）已知圆的半径 ，则这个圆的面积是 ．
【答案】
【分析】直接利用圆的面积公式求解即可，掌握二次根式的性质，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：这个圆的面积是 ；
故答案为： ．
13．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）已知最简二次根式 和 是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几
个二次根式叫做同类二次根式，据此即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．（2023上·山东泰安·九年级校考期末）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是 时，则
输出的y值等于 ．
【答案】
【分析】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型．
由题意输入 然后平方得 ，然后再 小于0，乘以 ，可得y的值．
【详解】解：当 时， ，
．
故答案为： ．
15．（2023上·河南周口·九年级校联考期中）已知 ， ，则
．【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，分母有理化，代数式求值，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
先把 ， 化简，再代入 求值即可．
【详解】解： ， ，
， ，
．
故答案为： ．
16．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用
三角形的三边求面积的“秦九临公式”：如果一个三角形的三边长分别为 ，则三角形的面积
．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的
面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，理解题意将边长代入正确求值是解答本题的关键．根
据题中给出的“秦九临公式”，把三边长直接带入进行求解即可．
【详解】解：根据 ， 的三边长分别为5，6，7，
，
故答案为： ．17．（2022上·广东揭阳·八年级统考期中）已知：对于正整数n，有 ，若
某个正整数k满足 ，则k＝ ．
【答案】8
【分析】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成
的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．
【详解】解： ，
，
即 ，
，
解得 ．
故答案为：8
18．（2022上·湖北襄阳·九年级襄阳四中校联考自主招生）可以用配方法化简二重根式，
例如： ，
请化简式子： ．
【答案】2
【分析】先把 ， 分别化为 与 ，再化简，结合分母有理化，最后计算加
减运算即可．
【详解】解：；
故答案为：2
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法
与技巧是解本题的关键．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的
关键．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【详解】（1）原式
．（2）原式
．
20．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【分析】先计算括号内，再将除法化为乘法，约分化简，再将 代入求值即可．
【详解】解：
，
，
原式 ．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，零指数幂，代数式求值，熟练掌握分式的运算法则是
解题关键．
21．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）已知刹车距离的计算公式 ，其中v表示车速（单位： ），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得 ，
，而发生交通事故的路段限速为 ，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶．
【答案】肇事汽车没有违规行驶
【分析】本题考查了二次根式运算的实际应用，将 和 的值代入计算，求出 ，再与 比较大小，
即可求解；能进行正确运算是解题的关键．
【详解】解：由题意得
（ ），
，
没有超速；
答：肇事汽车没有违规行驶．
22．（2023下·七年级课时练习）（1）通过计算下列各式的值探究问题：
______； ______；
______； ______； ______；
探究：对于任意有理数a， ______；
（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
______.
【答案】（1）4， 0.7， 0，3， ，
（2）-2b
【解析】略
23．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
（二）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
（三）
请用不同的方法化简 ．
(1)参照（二）式得 ______；
(2)参照（三）式得 ______．
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算：
（1）参照（二）式的方法解答，即可求解；
（2）参照（三）式的方法解答，即可求解；
（3）先进行分母有理化，再计算，即可求解．【详解】（1）解： ；
故答案为：
（2）解： ；
故答案为：
（3）解：
．
24．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，
那么三角形的面积为 .
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度
量》一书中，给出了公式 和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
.
(1)在 中， ， ， ，利用上面公式 求 的面积；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)见解析【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，熟练掌握海伦公式和秦九韵公式是解题的关键．
（1）根据海伦公式计算三角形的面积即可；
（2）根据海伦公式和秦九韵公式即可得到结果．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
的面积 ；
故答案为： ；
（2）证明： ，
．
25．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，
使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如， ，求证： ．证明：
左边 右边．
阅读材料二：基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，它是解决最值问题的有力
工具．例如：在 的条件下， ，∴ ，当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题
(1)若正数x，则 的最小值为______．
(2)若正数a，b满足 ， ，n为 的最小值，求 ；
(3)若正数a，b满足 ，若不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料2即可求解；
（2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得 的值，再根据负指数幂即可求解；
（3）根据题意可得 ，进而解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ 的最小值为
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴（3）∵正数a，b满足 ，
∴
∵不等式 恒成立，
∴
∴ ①或 ②
∴解不等式组①无解，解不等式组②得
【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整
数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键
26．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）我们学习了《二次根式》和《乘法
公式》，可以发现：当 时，有 ，当且仅当 时取
等号．
(1)当 时， 的最小值为______；当 时， 的最大值为______；
(2)当 时，求 的最小值；
(3)如图，四边形 的对角线 、 相交于点 、 的面积分别为 和 ，求四边形
的最小面积．
【答案】(1) ；
(2) 的最小值为(3)
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）先将 变形得到 ，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
（3）设 ，根据等高三角形性质得出 ，求出 ，根据四边形
的面积为 ，根据题干的信息，求出最小值即可．
【详解】（1）解：∵当 时， ，即 ，
∴ 的最小值为 ；
∵当 时， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ；
故答案为： ； ；
（2）解： ，
，
，
∴当 时， 的最小值为 ．（3）解：设 ，已知 ， ，则由等高三角形性质可知， ，
∴ ，
，
因此四边形 的面积 ，
当且仅当 时取等号，即四边形 面积的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
