文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1.设集合 ， ，则 =（ ）
C B
U
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】由 可得 ，
所以 ，
故选：C
x2 +2=0
2.在复数范围内方程 的解为（ ）
A. x=−√2 B. x=√2i C. x=±√2i D. x∈φ
【答案】C
【解析】
x2 +2=0 x2 =−2 x=±√2i
【详解】由 得 ，可得
故选：C
3．已知平面单位向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由 可知 ，两边同时平方得 ，所以 ．
故选D．
4.如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形
ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形， ， 和 是两个全等的正三角形.已知
，求该屋顶的体积（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据该几何体的特征，将其分割成一个三棱柱和两个四棱锥，利用柱体和锥体体积公式即可求出
结果.
【详解】作 于点 , 于点 ,作 分别垂直于 于点 ，如下图所示：
又因为 ， 所以可得 ，
因为 是正三角形， ，所以 ；
由屋顶可知四边形 是矩形，所以可知多面体 是直三棱柱，
取 的中点 ，连接 ，易知 ，且 平面 ；
由 ， 可得 ；
所以该屋顶的体积 .
故选：A5.已知函数 的图像关于点 对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
f (x+1) (1,1)
y=f (x)+1 y=f (x+2)+1 y=f(x)−1 y=f (x+2)−1
A B C D
【答案】D
f (x+1) (1,1) f (x+2) (0,1)
【解析】因为函数 的图像关于点 对称，则 关于 对称，即：
y=f (x+2)−1 (0,0)
函数 关于 对称，所有为奇函数.
故选D．
6.如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为 的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方
形，记这2个小正方形的面积之和为 ；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相
邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为 ．以此类推，操作 次，若
，则 的最小值是（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知操作 次时有 个边长为 的小正方形，即 ，结合等比数列
前 项和解不等式即可.
【详解】由题意可知操作1次时有 个边长为 的小正方形，即 ，操作2次时有 个边长为 的小正方形，即 ，
操作3次时有 个边长为 的小正方形，即 ，
以此类推可知操作 次时有 个边长为 的小正方形，即 ，
由等比数列前 项和公式有 ，
从而问题转换成了求 不等式 最小正整数解，
的
将不等式变形为 ，注意到 ， ，且函数
在 上单调递减，
所以 的最小值是11.
故选：C.
7.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 由 商 数 关 系 及 两 角 差 的 正 切 公 式 将 已 知 化 为 ， 得 出，再根据二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】由 ，
所以 ，即 ，
.
故选：D.
8.已知双曲线 的左、右顶点分别为 为 的右焦点， 的离心率为
2，若 为 右支上一点，满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】设 的焦距为 ，点 ，由 的离心率为2可知 ，因为 ，
所以 ，将 代入 的方程得 ，即 ，不妨取 ，所以
，故
．当 时， ．
故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是（ ）
A. 若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为8
B. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，求得线性回归方程为
，则 的值分别是 和4
C. 若某校高三（1）班8位同学身高（单位 ）分别为： ，则这组数
据的上四分位数（即第75百分位数）为174
D. 根据变量 与 的样本数据计算得到 ，根据 的独立性检验 ，可判
断 与 有关，且犯错误的概率不超过0.05
【答案】AB
【解析】
【分析】根据 可判断A；对 两边同时取对数可得可判断B；从小到大
排列这组数据，由第75百分位数计算可判断C； 可判断D.
【详解】对于A，根据 可得数据 的方差为 ，
故A正确；
对于B，对 两边同时取对数可得 ，因为 ，所以
，所以 的值分别是 和4，故B正确；
对于C，从小到大可得这组数据为 ， ，则这组数据的上四
分位数（即第75百分位数）为 ，故C错误；
对于D，因为 ，在犯错误的概率不超过0.05的情况下，可判断 与 无关，故D错误.
故选：AB.
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 时， 在 上单调递增
B． 时， 的最小正周期为
C． 时， 在R上的最小值为1
D．对任意的正整数n， 的图象都关于直线 对称
【答案】AD
【分析】根据辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的最值、最小正周期公式、对称性逐一判断即可.
【详解】对于选项A： 时，则 ，
因为 ，则 ，且 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，故A正确；
对 于 选 项 B 、 C ： 时 ， 则
，
所以 的最小正周期为 ，故B错误；
当 ，即 时，则 取到最小值 ，故C错误；
对于选项D：因为 ，
所以对任意的正整数n， 的图象都关于直线 对称，故D正确；
故选：AD.
11. 设 ， 为椭圆 ： 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限， 为
的内心，且 内切圆半径为1，则（ ）A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】如下图所示，设切点为 ， ， ，由椭圆的定义结合内心的性质可判断A；由等面积法求出
代入椭圆的方程可判断B；求出 可判断C；由两点的斜率公式可判断D.
【详解】如下图所示，设切点为 ， ， ，
对于A，由椭圆的方程 知： ，
由椭圆的定义可得： ，
易知 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于BCD， ，
又因 为 ，解得： ，
又因为 为 上一点且在第一象限，所以 ，解得： ，故B正确；
从而 ，所以 ，
所以 ，而 ，所以 ，故C错误；从而 ，故D正确.
故选:ABD．
12. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， ， ，点C在底面圆周上，
且二面角 为45°，则（ ）．
A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意， ， ，所以 ，
A选项，圆锥的体积为 ，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为 ，B选项错误；
C选项，设 是 的中点，连接 ，
则 ，所以 是二面角 的平面角，
则 ，所以 ，故 ，则 ，C选项正确；
D选项， ，所以 ，D选项错误.
故选：AC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 的展开式中 的系数是__________．（用数字作答）
【答案】35
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】因为 展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，可得 ，
所以 的系数是35.
故答案为：35.
14.数列 满足 ， ，写出一个符合上述条件的数列 的通项公式 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】将已知等式变形后，找到满足等式的通项公式即可.
【详解】由 得： ，
则当 时， ， ，故 满足递推关系，又 ，满足 ，
满足条件的数列 的一个通项公式为： .
故答案为： （答案不唯一）.
15.如图，将绘有函数 部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若此时
A，B两点之间的空间距离为 ，则 .
【答案】
【分析】利用三角函数的图象与性质，求出周期并表示出 的距离，即可求解.
【详解】如图，∵ 的周期 ，
∴ ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
由图可知，当 即 ， .
∵ ，∴ 或 .
观察函数 在 轴右侧的图象结合正弦函数的单调性可知 ，
∴ ，
.
故答案为：
16.已知 是抛物线 ： 的焦点，点 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点， 是线段
的中点．若 ，则直线 的斜率 __________．
【答案】2
【解析】
【分析】方法一：设直线 ： ，设 ， ，联立直线 与抛物线的方程求出
，由 可得 ，将韦达定理代入化简即可得出答案；方法二：设 ，
， 在准线上的射影分别是 ， ， ，由题意可得出 轴，设 ， ， ：
，联立直线 与抛物线的方程可得 ，解方程即可得出答案.
【详解】方法一：由题意 ， ，设直线 ： ，其中 ，
联立 消去 得 ， ，
设 ， ，则 ， ，
又 ，则 ，即 ，而 ， ，
则 ，
即 ，
即 ，
所以 ，解得 ，所
以 .
方法二：如下图，由题意， ，点 在准线 上，
设 ， ， 在准线上的射影分别是 ， ， ，
则 ，
所以 轴，
设 ， ， ： ，
联立 消去 得 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17.在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
（1）求A的大小；
（2）若 ， ，求BC边上高的长.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角变换可得答案；
（2）利用余弦定理求出边 ，根据面积相等可得答案.
【小问1详解】
∵ ，∴ ，
∴ ，
即 .
又∵ ， ，∴ ， .
【小问2详解】
设BC边上的高为h，∵ ，即 ，解得 ，
∴ ，解得 ，即BC边上的高为 .
18.若数列 的前 项和 满足 ．
(1)证明：数列 是等比数列；(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，证明：对任意的正整数 ，都有 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推式关系再写一项做差，之后利用等比数列定义证明；
（2）先求出 的表达式，之后进行裂项求和即可.
【详解】（1）证明：由 ，当 时，可得 ；
当 时， ，所以 ，
∴ 时， ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
∴ ，∴ .
（2）证明：由（1）知， ，∴ ，
∴ ，
∴ ,
因为 ，所以 ，所以 即 成立．
所以对任意的正整数 ，都有 得证.
19.在三棱台 中， 平面ABC， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；(2)记 的中点为M，过M的直线分别与直线 ， 交于P，Q，求直线PQ与平面 所成角的正
弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)0
【分析】（1）取AC的中点D，可得四边形 为平行四边形，利用线面垂直的判定定理、性质定理
和面面垂直的判定定理证明可得答案；
（2）以A为原点， ， ， 所在方向分别为 x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系
，求出平面 的法向量，设 ， ，由P，M，Q三点共线，可设 ，
求出 ，根据空间角的向量求法可得答案.
【详解】（1）取AC的中点D，则AD与 平行且相等，
可得四边形 为平行四边形，则有 ，
又 ，故 ．
又 ， ， ，AC， 平面 ，故 平面 ，又因为
平面 ，故 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ；
（2）以A为原点， ， ， 所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系 ，
则 ， ， ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，则 ．
设 ， ，则 ， ，
由题意知P，M，Q三点共线，可设 ，则 ，
解得 ，故 ， ，
则 ，
故 ，
即 平面 ，故所求线面角的正弦值为0．
20.某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的
评价指标，按 分成8组，得到如图所示的
频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在 和 内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中
随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在 内的学员人数为 ，求 的分布列与
数学期望．5
【答案】(1)a=0.036,82.3，（2）分布列见解析；期望为3
(0.008+0.016+0.020+a+0.044+0.040+0.028+0.008)×5=1
【详解】（1）由直方图可知
解得a=0.036
(0.008+0.016+0.02+0.036)×5=0.4<0.5
因为 ，
(0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)×5=0.62>0.5
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在[80,85)内.
m
(m−80)×0.044+0.4=0.5 m≈82.3
该学员该项技能的评价指标的中位数为 ，则 ，解得 .
（2）由题意可知抽取12名学员中该项技能的评价指标在[70,75)内的有4名，在[85,90)内的有8名.由题意
可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
C5
7
C4C1
35
C3C2
14
P(X=0) 8 = , P(X=1) 8 4 = , P(X=2) 8 4 = ,
C5 99 C5 99 C5 33
12 12 12
C2C3
14
C1C4
1
P(X=3) 8 4 = , P(X=4) 8 4 = ,
C5 99 C5 99 则X的分布列为
12 12
7 35 14 14 1 5
E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =
99 99 99 99 99 3
21.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事
休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点 满足.
(1)化简曲线 的方程；
(2)已知圆 （ 为坐标原点），直线 经过点 且与圆 相切，过点A作直线 的
垂线，交 于 两点，求 面积的最小值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）移项平方可化简方程，注意变量的范围；
（2）设 ，直线 方程是 ，由垂直得直线 方程为 ，由直线与圆
相切得 ，直线 方程是 与曲线 方程联立，消去 后得关于 的二次方程，由此方
程有两个正根据得 或 ，由韦达定理得 ，计算出弦长 ，求出原点到直线 的距
离，计算出三角形面积后，设 ，换元后应用基本不等式得最小值．
， 由 得
．
所以曲线 的方程是 ；
（2）设 ，直线 方程是 ，则直线 方程为 ，即 ,
直线 与已知圆相切，所以 ，则 ，
由 得， ，
由题意 （∵ ），
， ，∴ 或 ，
，
又原点 到直线 的距离为 ，∴ ，
由 或 得 ，设 ，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
∴ 时， ，
∴ ，即 时， ．
22. 已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线与直线 平行，求函数 的极值；
（2）已知 ，若 恒成立.求证：对任意正整数 ，都有
.
【答案】（1）极大值为 ，无极小值
（2）证明见解析
【解析】【分析】（1）对 求导，由导数的几何意义可得 ，代入 ，即可求得 的单调性和极
值.
（2）将不等式变形为 ，令 ，分离参数后构造函数，转为为求解
的最大值，即 时， 恒成立，令 ，则 ，
然后结合对数运算性质可求.
【小问1详解】
由 ，可得 ，
由条件可得 ，即 .
则 ，
令 可得 ，当 时， ，当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极大值为 ，无极小值.
【小问2详解】
，即 对任意的 恒成立，
即 ，其中 ，
令 ，则 ，即 ，构造函数 ，则 ，令 ，得 ，列表如下：
+ 0 -
极大值
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以， ，
即 时， 恒成立，
取 ，则 对任意的 恒成立，
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 .
