文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．若集合 中至多有 个元素，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 . D． 或 .
2．已知i为虚数单位， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
3．已知直线 与圆 交于不同的两点M，N，且 ，其中O是坐标原点，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算 的结果是（ ）
A．32 B．16 C．64 D．128
5．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数 在
上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下面四个命题：：命题“ ”的否定是“ ”；
:向量 ，则 是 的充分且必要条件；
：“在 中，若 ，则“ ”的逆否命题是“在 中，若 ，则“
”；
：若“ ”是假命题，则 是假命题.
其中为真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知 ， 则（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若全集 ，集合 ， ，则 =
（ ）
A． B． C． D．
10．圆O是边长为 的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上任意一点，
（x， ），则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．函数 的定义域为 ．
12．已知双曲线 过点 ，且渐近线方程为 ，则 的离心率为 .
13．若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
14．已知 ,函数 ,当 时,不等式 的解集是 ;若函数
恰有两个零点,则 的取值范围为 .
15．设满足以下两个条件的有穷数列{ }称为 阶 期待数列 ：
“ ”
① ；② .
命题P：{ }是单调递增等差数列；命题Q：{ }是7阶 期待数列 ，若 为真命题，则
“ ”
.
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）求函数 的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．
17．（14分）如图，在四棱柱 中，底面 是边长为2的正方形， ，E分别为
的中点， ．
（1）证明： 平面 ；（2）求四棱柱 的体积．
18．（13分）新高考按照“ ”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学，外语，所有考生
必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物，
政治，地理四科中选择两科．某校为了解该校考生首选科目的选科情况，从该校考生中随机选择了100名
考生进行调查，得到下面的列联表：
选择物理 不选择物理
男 46 14
女 20 20
假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
(1)能否有 的把握认为考生是否选择物理与性别有关?
(2)已知该校有考生2200名，以上表中该校考生选择物理科目的频率代替该校考生选择物理科目的概率，
估计该校考生选择物理作为首选科目的人数．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．（15分）设椭圆 的离心率为 ，圆 与x轴正半轴交于点A，圆
O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆O上任意一点作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O.
20．（15分）已知 ， .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)当 时，若关于 的方程 存在两个正实数根 ，证明: 且 .21．（15分）如果数列 满足“对任意正整数i，j， ，都存在正整数k，使得 ”，则称数
列 具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d.
（1）若 ， ，判断数列 是否具有“性质P”，并说明理由；
（2）若数列 具有“性质P”，求证： 且 ；
（3）若数列 具有“性质P”，且存在正整数k，使得 ，这样的数列共有多少个？并说明理由.
