文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷02·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D A A B D B B B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 13．1
14． 15.
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
【答案】 或 ， 时有最大值 ， ， 时，有最小值0
【解析】设 ， ，
则 ，
当 时，即 或 ， 时有最大值 ，
当 时，即 ， 时，有最小值0．
17．（14分）
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：连接 ，
∵ 为 的中点，∴ 为 的中点，又E为 的中点，∴在 中， ，
而 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）连接 ，则四边形 为平行四边形，则 ，
又 ，∴ ，
在 中， ，
由余弦定理可得 ，
∴ ，即 ，
而 ，∴ 平面 ，
则四棱柱 的体积为 ．
18．（13分）
【答案】(1)能；
(2) ．【解析】（1）根据题意可得
所以有 的把握认为考生是否选择物理与性别有关；
（2）该校考生选择物理科目的概率为
所以估计该校考生选择物理作为首选科目的人数为 ．
19．（15分）
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，因为椭圆的离心率为 ，所以 ， ，
∴椭圆 的方程可设为 .
易得 ，因为圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为 ，
所以点 在椭圆上，
所以 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）当过点 且与圆 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 ，
由（1）知： ， ，
则 ， ， ，
∴ .
当过点 且与圆 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ，
， ，因为直线与圆相切，
所以 ，即 .
联立直线和椭圆的方程得 ，
∴ ，
所以 .
∵ ， ，
∴ ，
，
，
， ，
∴ .
综上所述，圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 ， ，都有 .
20．（15分）
【答案】(1) ;(2)见解析
【解析】(1)解:∵ ，
∴ ， ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 .(2)证明:由 存在两个正实数根 ，
整理得方程 存在两个正实数根 .
由 ，知 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增;
当 时， ， 在 上单调递减.
所以 .
因为 有两个零点，即 ，得 .
因为实数 ， 是 的两个根，
所以 ，从而 .
令 ， ，则 ，变形整理得 .
要证 ，则只需证 ，即只要证 ，
结合对数函数 的图象可知，只需要证 ， 两点连线的斜率要比 ，
两点连线的斜率小即可.
因为 ，所以只要证 ，整理得 .
令 ，则 ，所以 在 上单调递减，即 ，
所以 成立，故 成立.
21．（15分）
【答案】（1）不具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3039，理由见解析.
【解析】（1）若 ，公差 ，则数列 不具有性质 .
理由如下：
由题知 ，
对于 和 ，假设存在正整数 ，
使得 ，
则有 ，
解得 ，
得出矛盾，
所以对任意的 .
（2）若数列 具有“性质 ”，
则：①假设 ，
则对任意的 .
设 ，则 ，矛盾！
②假设 ，则存在正整数 ，
使得
设 ，则： ，
但数列 中仅有 项小于等于0，矛盾！
③假设 ，
则存在正整数 ，使得
设 ，
则： ，
但数列 中仅有 项大于等于0，矛盾！
综上， .
（3）设公差为 的等差数列 具有“性质 ”，且存在正整数 ，
使得 .
若 ，则 为常数数列，此时 恒成立，
故对任意的正整数 ， ，
这与数列 具有“性质 ”矛盾，
故 .
设 是数列 中的任意一项，
则 ， 均是数列 中的项，
设
则 ，
因为 ，所以 ，即数列 的每一项均是整数.
由（2）知， ，
故数列 的每一项均是自然数，且 是正整数.
由题意知， 是数列 中的项，
故 是数列中的项，
设 ，则 ，
即 .
因为 ，
故 是 的约数.
所以， .
当 时， ，得 ，
故 ，共2019种可能；
当 时， ，得 ，故 ，共
1010种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共3种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共2种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共2种可能；当 时， ，得 ，故 ，共1种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共1种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共1种可能.
综上，满足题意的数列 共有 （种）.
经检验，这些数列均符合题意.
