文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．若集合 中至多有 个元素，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 . D． 或 .
【答案】C
【解析】假设集合 中含有 个元素，即 有两个不相等的实数根，则 ，解得
，则此时实数 的取值范围是 且 .
在全集 中，集合 且 的补集是 或 .
所以满足题意的实数 的取值范围为 或 .
故选：C
2．已知i为虚数单位， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 .
故选：C.3．已知直线 与圆 交于不同的两点M，N，且 ，其中O是坐标原点，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设MN的中点为A，则 ，并且 ，如图所示，
由 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
∴O到直线MN的距离 ，解得 .
故选：D
4．计算 的结果是（ ）
A．32 B．16 C．64 D．128
【答案】A
【解析】 ，
故选：A
5．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数 在上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位得到
，
令 ， ，解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，
又函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：A
6．下面四个命题：
：命题“ ”的否定是“ ”；
:向量 ，则 是 的充分且必要条件；
：“在 中，若 ，则“ ”的逆否命题是“在 中，若 ，则“
”；
：若“ ”是假命题，则 是假命题.
其中为真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 ：命题“ ”的否定是“ ”， 不正确；
: 的充分且必要条件是 等价于 ,即为 ， 正确；
：由逆否命题的定义可知，“在 中，若 ，则“ ” 的逆否命题是“在 中，
若 ，则“ ”， 正确；
：若“ ”是假命题，则 是假命题或 是假命题， 不正确.
所以，真命题的个数是2，故选B.
7．已知 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得， ，即 ，
由 得， ，
根据对数运算法则可知 ，
即 .
故选：D
8．若 ，则下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】A：在 中，
令 ，得 ，因此本选项正确；
B：在 中，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
，得 ，所以本选项不正确；
C： ， ，所以本选项正确；
D：在 中，
令 ，得 ，
所以 ，因此本选项正确，
故选：B
9．若全集 ，集合 ， ，则 =
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合 的关系式可以变为 ，它的几何意义是直线 上去掉点 后所有的
点的集合，
所以 ，表示直线 外所有点及点 的集合；
集合 表示直线 外所有点的集合，
，表示直线 上所有点的集合；从而可得 .
故选：B.
10．圆O是边长为 的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上任意一点，
（x， ），则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
因为圆O是边长为 的等边三角形ABC的内切圆，
所以 ，即内切圆的圆心为 ，半径为1，
可设 ，又 ，
∴ ， ，
∴ ，
故得到 ，
∴ ，
∴ ，当 时等号成立，即 的最大值为2.
故选：B.
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数 的定义域为 ．
【答案】
【解析】由已知
，得 且
故函数 的定义域为 .
故答案为：
12．已知双曲线 过点 ，且渐近线方程为 ，则 的离心率为 .
【答案】
【解析】设 的方程为 ，
过点 ，代入
解得： ，
的方程为 ，即：
，
故： ，
离心率 .
故答案为：13．若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
【答案】 1
【解析】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
14．已知 ,函数 ,当 时,不等式 的解集是 ;若函数
恰有两个零点,则 的取值范围为 .
【答案】 .
【解析】当 时，当 ，令 ，得 ，
当 时， 得 ，
综上不等式 的解集是 ；
令 ，解得 .
令 ，解得 或 ，
因为函数 有 个零点，结合图像，及 ，
可知 的取值范围为 .故答案为： ； .
15．设满足以下两个条件的有穷数列{ }称为 阶 期待数列 ：
“ ”
① ；② .
命题P：{ }是单调递增等差数列；命题Q：{ }是7阶 期待数列 ，若 为真命题，则
“ ”
.
【答案】
【解析】 且 真,故 都是真命题.所以 为递增的等差数列,且 , ,
所以 , , , ,所以 ,
.
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分求函数 的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．
【答案】 或 ， 时有最大值 ， ， 时，有最小值0
【解析】设 ， ，
则 ，
当 时，即 或 ， 时有最大值 ，
当 时，即 ， 时，有最小值0．
17．（14分）如图，在四棱柱 中，底面 是边长为2的正方形， ，E分别为
的中点， ．（1）证明： 平面 ；
（2）求四棱柱 的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：连接 ，
∵ 为 的中点，∴ 为 的中点，
又E为 的中点，∴在 中， ，
而 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）连接 ，则四边形 为平行四边形，则 ，
又 ，∴ ，
在 中， ，
由余弦定理可得 ，
∴ ，即 ，而 ，∴ 平面 ，
则四棱柱 的体积为 ．
18．（13分）新高考按照“ ”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学，外语，所有考生
必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物，
政治，地理四科中选择两科．某校为了解该校考生首选科目的选科情况，从该校考生中随机选择了100名
考生进行调查，得到下面的列联表：
选择物理 不选择物理
男 46 14
女 20 20
假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
(1)能否有 的把握认为考生是否选择物理与性别有关?
(2)已知该校有考生2200名，以上表中该校考生选择物理科目的频率代替该校考生选择物理科目的概率，
估计该校考生选择物理作为首选科目的人数．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828【答案】(1)能；
(2) ．
【解析】（1）根据题意可得
所以有 的把握认为考生是否选择物理与性别有关；
（2）该校考生选择物理科目的概率为
所以估计该校考生选择物理作为首选科目的人数为 ．
19．（15分）设椭圆 的离心率为 ，圆 与x轴正半轴交于点A，圆
O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆O上任意一点作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，因为椭圆的离心率为 ，所以 ， ，
∴椭圆 的方程可设为 .
易得 ，因为圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为 ，
所以点 在椭圆上，
所以 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 .（2）当过点 且与圆 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 ，
由（1）知： ， ，
则 ， ， ，
∴ .
当过点 且与圆 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ，
， ，
因为直线与圆相切，
所以 ，即 .
联立直线和椭圆的方程得 ，
∴ ，
所以 .
∵ ， ，
∴ ，
，
，
， ，
∴ .
综上所述，圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 ， ，都有 .20．（15分）已知 ， .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)当 时，若关于 的方程 存在两个正实数根 ，证明: 且 .
【答案】(1) ;(2)见解析
【解析】(1)解:∵ ，
∴ ， ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 .
(2)证明:由 存在两个正实数根 ，
整理得方程 存在两个正实数根 .
由 ，知 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增;
当 时， ， 在 上单调递减.
所以 .
因为 有两个零点，即 ，得 .
因为实数 ， 是 的两个根，
所以 ，从而 .令 ， ，则 ，变形整理得 .
要证 ，则只需证 ，即只要证 ，
结合对数函数 的图象可知，只需要证 ， 两点连线的斜率要比 ，
两点连线的斜率小即可.
因为 ，所以只要证 ，整理得 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，即 ，
所以 成立，故 成立.
21．（15分）如果数列 满足“对任意正整数i，j， ，都存在正整数k，使得 ”，则称数
列 具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d.
（1）若 ， ，判断数列 是否具有“性质P”，并说明理由；
（2）若数列 具有“性质P”，求证： 且 ；
（3）若数列 具有“性质P”，且存在正整数k，使得 ，这样的数列共有多少个？并说明理由.
【答案】（1）不具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3039，理由见解析.
【解析】（1）若 ，公差 ，则数列 不具有性质 .
理由如下：
由题知 ，对于 和 ，假设存在正整数 ，
使得 ，
则有 ，
解得 ，
得出矛盾，
所以对任意的 .
（2）若数列 具有“性质 ”，
则：①假设 ，
则对任意的 .
设 ，则 ，矛盾！
②假设 ，则存在正整数 ，
使得
设 ，
则： ，
但数列 中仅有 项小于等于0，矛盾！
③假设 ，
则存在正整数 ，使得
设 ，
则： ，但数列 中仅有 项大于等于0，矛盾！
综上， .
（3）设公差为 的等差数列 具有“性质 ”，且存在正整数 ，
使得 .
若 ，则 为常数数列，此时 恒成立，
故对任意的正整数 ， ，
这与数列 具有“性质 ”矛盾，
故 .
设 是数列 中的任意一项，
则 ， 均是数列 中的项，
设
则 ，
因为 ，所以 ，
即数列 的每一项均是整数.
由（2）知， ，
故数列 的每一项均是自然数，且 是正整数.
由题意知， 是数列 中的项，
故 是数列中的项，
设 ，则 ，即 .
因为 ，
故 是 的约数.
所以， .
当 时， ，得 ，
故 ，共2019种可能；
当 时， ，得 ，故 ，共
1010种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共3种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共2种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共2种可能；
当 时， ，得 ，故 ，共1种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共1种可能；
当 时， ，得 ，
故 ，共1种可能.综上，满足题意的数列 共有 （种）.
经检验，这些数列均符合题意.
