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第十四章 整式的乘除与因式分解
一、单选题：
1．下列运算正确的是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，正确.
故答案为：D
【分析】根据幂的运算法则和完全平方公式逐项计算可得出正确选项.
2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
3．已知 有一个因式为 ，则另一个因式为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设另一个因式为（x＋a），
则x2−5x＋m＝（x−2）（x＋a），即x2−5x＋m＝x2＋（a−2）x−2a，
∴a−2＝−5，
解得：a＝−3，
∴另一个因式为（x−3）.
故答案为：C.
【分析】所求的式子 的二次项系数是1，因式（x−2）的一次项系数是1，则另一个因式
的一次项系数一定是1，然后根据 中一次项系数为－5，列方程求出另一个因式.
4．下列是某同学在一次作业中的计算摘录：
①3a+2b=5ab，②4m3n-5mn3=-m3n，③4x3•（-2x2）=-6x5，④4a3b÷（-2a2b）=-2a，⑤（a3）2=a5，⑥
（-a）3÷（-a）=-a2，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【分析】根据合并同类项、单项式的乘法、除法以及积的乘方、幂的乘方进行计算即可．
【解答】①3a+2b=5ab，不能合并，故①错误；
②4m3n-5mn3=-m3n，不是同类项，不能合并，②错误；
③4x3•（-2x2)=-8x5，故③错误；
④4a3b÷（-2a2b)=-2a，④正确；
⑤（a3)2=a6，故⑤错误；
⑥（-a)3÷（-a)=a2，故⑥错误；
故选A．
5．计算: 的结果是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解:原式= = 。
故答案为：A。
【分析】根据完全平方公式及平方差公式分别去括号，再合并同类项即可得出答案。
6．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c），a，b，c是三角形的三边，
∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，
∴（a－b）2－c2的值是负数．
故答案为：B．
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
7．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形
（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋ab＝a(a＋b)
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：
a2－b2，
拼成的矩形的面积是：(a＋b)(a－b)，
∴根据剩余部分的面积相等得：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
故答案为：B．
【分析】由第一个图中可知阴影部分的面积为a2-b2，由第二个图中可知阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，即a2-b2=(a+b)(a-b)。
8．若 , ,则ab的值为 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a2＋b2＝5，a－b＝3，
∴（a－b）2＝a2＋b2－2ab，即9＝5－2ab，
解得：ab＝-2.
故答案为：D.
【分析】 解答本题的关键是熟练掌握公式的特征及整体代入的数学思想.
把a-b＝3 ，a2+b2＝5 代入(a﹣b)2＝a2+b2﹣2ab，得9＝5－2ab ，即可求出ab的值．
9．若 ， ，则 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得（a2+b2）2=5+a2b2，
因为ab=2，所以a2+b2= =3．
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式分解因式进而求解即可．
10．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是
2，即总不小于2
11．计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值是( )
A．1024 B．28+1 C．216+1 D．216
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
＝(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
＝(24﹣1)(24+1)(28+1)+1
＝(28﹣1)(28+1)+1
＝216﹣1+1
＝216，
故答案为：D．
【分析】先在(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)前面乘以变形的1，即（2-1），利用两数和与这两数差的积，等于这两数的平
方差，把(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)变成可以运用平方差公式的形式，再利用平方差公式计算即可.
二、填空题：
12．(－a5)4•(－a2)3＝ ．
【答案】－a26
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：(－a5)4•(－a2)3＝－a20•a6＝－a26
故答案为：－a26
【分析】由幂的乘方公式与负整数的偶次幂得正，奇次幂得负可知（-a5）4=a20，（-a2）3=-a6，再由同
底数幂的公式即可求出。
13．因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：，
故答案是： ．
【分析】首先提公因式 ，然后利用完全平方公式分解．
14．若a3•am÷a2=a9，则m=
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】
由a3•am÷a2=a9，得
a3+m-2=a9．
得3+m-2=9．
解得m=8，
答案为：8
【分析】根据同底数幂的乘除法，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案
15．计算： ．
【答案】4
【知识点】有理数的乘方；积的乘方
【解析】【解答】解：
=
=
=
=1×4
=4．
故答案为：4
【分析】根据有理数的乘方法则和积的乘方进行计算即可。
16．若一个正方形的面积是9m2+24mn+16n2，则这个正方形的边长是 .
【答案】3m+4n【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴这个正方形的边长是 ，
故答案为： .
【分析】根据因式分解把9m2+24mn+16n2，变成完全平方形式，即可求出边长.
17．已知 ，则 的值为 .
【答案】75
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵xy＝3，x＋y＝5，
∴
.
故答案为：75.
【分析】将所求的代数式利用提公因式法和公式法进行因式分解，然后代入求值即可.
18．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝3，那么 a+b 的值为 .
【答案】±1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】（2a＋2b＋1）（2a＋2b−1）＝（2a＋2b）2−1＝3，
即4（a＋b）2＝4，
∴（a＋b）2＝1，
∴a＋b＝±1.
故答案为：±1.
【分析】把（2a＋2b）看作一个整体，然后利用平方差公式展开，再根据平方根的以进行解答即可.
19．已知am=3，an=2，则a2m﹣n的值为 ．
【答案】4.5【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵am=3，
∴a2m=32=9，
∴a2m-n= =4.5．
故答案为：4.5．
【分析】a2m﹣n根据同底数幂的除法法则的逆用变为：a2m÷an，再根据幂的乘方法则的逆用变形为：
（am)2÷an，再整体代入即可算出答案。
20．已知a与b互为相反数，则代数式a2＋2ab＋b2－2018的值为 ．
【答案】-2018
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：∵a与b互为相反数，
∴a＋b＝0，
则原式＝a2＋2ab＋b2﹣2018
＝(a＋b)2－2018
＝0－2018
＝－2018
故答案为：－2018
【分析】由已知a与b互为相反数，可知a+b=0，将a2+2ab+b2运用完全平方进行因式分解得（a+b）
2，将值代入多项式即可求值。
三、解答题：
21．计算：
（1） ；
（2） ．
（3）化简：
【答案】（1）解： ，
，；
（2）解： ，
，
．
（3）解：原式=
=
= ．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方化简，再合并同类项即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可。
（3）先利用多项式乘多项式及多项式除以单项式的计算方法展开，再合并同类项即可。
22．因式分解：
（1）2a3-12a2+18a
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）
【答案】（1）解：
（2）
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再
利用平方差公式分解即可．
23．先化简，再求值： ，其中
【答案】
当 时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先去括号，化简，再代入数值计算解题即可.
24．若|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，求－a3b－2a2b2－ab3的值．
【答案】解：∵|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，
∴a＋b－6＝0且ab﹣4＝0，
则a＋b＝6，ab＝4．
∴－a3b－2a2b2－ab3
＝－ab(a2＋2ab＋b2)
＝－ab(a＋b)2
＝－4×62
＝－144．
即：－a3b－2a2b2－ab3＝－144
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】由题意可知，一个数的绝对值为非负数，一个数的完全平方也为非负数，而两个非
负数相加得零，即a+b-6=0，ab-4=0，求得a+b=6，ab=4；将-a3b-2a2b2-ab3中的公因式-ab提取后可得-
ab(a+b)2，最后将a+b=6，ab=4代入即可求得代数式的值。25．若(x2 +mx－8)(x2－3x+n)的展开式中不含 x2和 x3项，求 m和 n的值.
【答案】解：(x +mx－8)(x －3x+n)
=
=
∵展开式中不含 x 和 x 项
∴
解得：
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】利用多项式乘多项式法则将(x +mx－8)(x －3x+n)展开，再令x 和 x 项
的系数为0即可.
26．若△ABC的三边长a、b、c满足6a+8b+10c﹣50=a2+b2+c2，试判断△ABC的形状．
【答案】解：∵6a+8b+10c﹣50=a2+b2+c2，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）=0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，（c﹣5）2≥0，
∴a﹣3=0，得a=3；
b﹣4=0，得b=4；
c﹣5=0，得c=5．
又∵52=32+42，即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】将方程的左边整体移到方程的右边，再利用等式的对称性将等式变形，然后利用分
组分解法及完全平方公式法将方程变形为 （a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0，然后根据偶次幂的非
负性及几个非负数的和为0，则这几个数都为0，即可求出a,b,c的值，再根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形。
27．
（1）计算下列各式，并寻找规律：
① =（_+_）（_-_）=
② =（_+_）（_-_）=_；
（2）运用（1）中所发现的规，计算： ;
（3）猜想 的结果，并写出推理过程.
【答案】（1）解：① ；
② ；
（2）解：原式
；
（3）解：原式 .
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；（2）先根据平方差公式化简，再进行约分计算即
可；（3）根据（2）解题思路，先根据平方差公式化简，再进行约分计算即可.
28．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
【答案】（1）解：两个阴影图形的面积和可表示为：
a2＋b2或 (a＋b)2－2ab
（2）解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
（3）解：∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，
∴①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝53＋2×14=81
∴a＋b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，
且∴a－b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a－b＝5，
∴a4﹣b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385．
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）第一种表示方法为：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面
积即可，即（a+b）2-2ab；第二种表示方法为：阴影部分的面积为两个正方形的面积之和，即a2+b2；（2）因为两种方法表示的为同一个阴影的面积即两种表示方法为相等的关系，即(a+b)2-2ab=a2+b2；
（3）由（2）题中的等量关系即可求得a+b的值，再根据（2）题中的等量关系可以表示（a-b）
2+2ab=a2+b2，可求出a-b的值，将a4-b4进行因式分解，即可求出它的值。
