普通高中教科书·数学（B版）必修第二册_高中全套电子教材及答案。_01高中电子教材全套_数学_人教版（B版）（主编：高存明）_高中年级_必修第二册

普 通 高 中 教 科 书 数学 必 修 必 第二册 普 ® 通 高 中 教 科 书 数 学 PUTONG GAOZHONG JIAOKESHU SHUXUE 修 第 二 册 绿色印刷产品 B 版 未命名-17 1 19-8-1 下午3:01数学 普 通 高 中 教 科 书 必 修 第二册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组 B 版 ·北京·主 编：高存明 副 主 编：王殿军 朱志勇 龙正武 本册主编：韩际清 陈宏伯 其他编者：李叶舟 孙晓俊 安学保 熊永昌 秦玉波 于世章 普通高中教科书 数学（B版） 必修 第二册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组 出 版 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081） 网 址 http://www.pep.com.cn 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jcyjfk.pep.com.cn 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与×××联系调换。电话：×××-×××××××× 02 高中物理必修第一册!"# 人们喜欢音乐，是因为它拥有优美和谐的旋律；人们喜欢美术，是因为它描绘了人和自然的美； 人们喜欢数学，是因为它用空间形式和数量关系刻画了自然界和人类社会的内在规律，用简洁、优 美的公式与定理揭示了世界的本质，用严谨的语言和逻辑梳理了人们的思维…… 我国著名数学家华罗庚先生曾经指出：数学是一切科学的得力助手和工具；任何一门科学缺少 了数学这一工具便不能确切地刻画出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来， 因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的准确度． 事实上，任何一项现代科学技术的出现与发展，背后都一定有数学知识的支撑．互联网的普及、 共享经济的繁荣、网络支付的便利、物联网的兴起、人工智能的发展、大数据的应用，离开了数学 知识都是不可能的！并且，现代生活中，类似 “逻辑”“函数”“命题”“线性增长”“指数增长”“概 率”“相关性”等数学术语，在政府文件、新闻报道中比比皆是． 正如 《普通高中数学课程标准 （２０１７年版）》（以下简称 “课程标准”）所指出的：数学在形成 人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用．数学素养是现代社会 每一个人应该具备的基本素养．高中生学习必需的数学知识，能为自身的可持续发展和终身学习奠定 基础． 为了帮助广大高中生更好地学习相关数学知识，我们按照课程标准的要求编写了这套高中数学 教材．在编写过程中，我们着重做了以下几项工作． １ $%&’()*+,-./0 教材在选取内容的背景素材时，力图从学生熟悉的情境出发，着力体现时代特征，并为学生的 成长提供支撑．例如，以下内容在本套教材中都有所体现：利用数学知识破解魔术的 “秘密”，用生 活中的例子说明学习逻辑知识以及理性思考的重要性，从数学角度理解报刊上有关人工智能、新兴 媒体等报道中出现的 “线性增长”“爆炸式增长”等名词． 教材中还提到了 “网络搜索”“人工智能”“自主招生”“环境保护”“大数据”“按揭贷款”“电 子商务”“创业创新”等．我们相信，这些能引起大家的共鸣． 此外，教材中多处出现了借助现代信息技术学习数学知识的内容，包括怎样借助数学软件解方 程、不等式，怎样借助信息技术呈现统计结果、展示模拟过程，等等． 在体现时代特征的同时，我们也特别注重对中华优秀传统文化的展示．例如，教材中精选了多道 我国古代数学名题，启发大家从数学角度去理解 “失败乃成功之母”“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”等 语句的含义，呈现了与二十四节气、古典诗词等有关的调查数据，介绍了 《九章算术》在代数上的 成就以及我国古代的统计工作，等等． ２ 123456*789,:; 在教材编写过程中，编者认真学习和讨论了当前教育学、心理学等学科的先进理念，并通过改 变教材呈现方式来加以体现，力图真正做到 “以学习者为中心”． 前言 ｉ 书书书例如，教材每一章都引用了一段名人名言，旨在为大家的数学学习提供参考和指引；通过 “情境 与问题”栏目，展示相关数学知识在现实生活等情境中的应用；利用 “尝试与发现”栏目，鼓励大家 大胆尝试，并在此基础上进行猜想、归纳与总结；通过填空的方式，培养大家学习数学的信心；选择 与内容紧密联系的专题，设置拓展阅读，以拓宽大家的知识面，了解数学应用的广泛性；等等． ３ <=>?@A*BCDE?F 数学学习必须循序渐进是一种共识．基础不扎实是很多人学不好数学的重要原因，本套教材在编 写时特别考虑了这一点． 事实上，教材一方面按照课程标准的要求，讲解和复习了高中数学必备的集合、等式、不等式等 内容；另一方面，在呈现新知识时，教材注重从已有知识出发，在回顾的基础上通过实际例子逐步引 入，尽力展现新旧知识的联系，以达到温故知新的效果． 例如，教材在复习了变量以及初中函数概念的基础上介绍了函数中的对应关系，在回顾了整数指 数幂、二次根式后引入了分数指数幂，等等． 正因为如此，即使是初中数学基础比较薄弱的同学，使用本套教材也能顺利地进行学习，并最终 达到理想的效果．这在本套教材试教过程中已得到印证． ４ GHIJKL*MNOP5Q 数学知识具有客观性，但数学知识的理解有多种方式与途径．揭示内容本质，培养大家对数学内 容的直观理解，是我们编写本套教材时特别注意的方面之一． 首先，教材内容的安排突出主线，强调 “通性通法”．例如，多次强调了配方法的使用，自始至 终贯彻函数的研究应从特殊到一般、从性质到图象，等等． 其次，尽量自然地引入新内容或新方法．例如，通过实例说明学习中位数、百分位数的必要性， 通过对比说明用样本估计总体的合理性，等等． 最后，注重培养大家的数学学科核心素养．课程标准提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直 观想象、数学运算和数据分析，在教材中都得到了落实．仅以数学抽象为例，教材处处强调了自然语 言与符号语言之间的相互转化等． 总的来说，“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界” 并不容易．为此，我们在编写教材时做了很多新的尝试，力图给大家提供一套有时代特色、易教易学 的数学教材，以帮助大家学习． 本书是这套教材必修部分的第二册，呈现了指数函数、对数函数与幂函数，统计与概率，平面向 量初步的内容．通过本书的目录与每章的 “本章导语”，可以大致了解本书的全貌，这里不再重复． 由于编写时间有限等原因，书中难免会有疏漏之处，敬请大家多提宝贵意见，以使教材日臻完善． 编者 ２０１９年４月 ｉｉ 前言!" １ !"#$%&’&()&’&*+’& ４１ 指数与指数函数 ３ ４．１．１ 实数指数幂及其运算 ３ ４．１．２ 指数函数的性质与图象 ９ ４２ 对数与对数函数 １５ ４．２．１ 对数运算 １５ ４．２．２ 对数运算法则 ２０ ４．２．３ 对数函数的性质与图象 ２４ ４３ 指数函数与对数函数的关系 ３１ ４４ 幂函数 ３４ ４５ 增长速度的比较 ３９ ４６ 函数的应用 （二） ４３ ４７ 数学建模活动：生长规律的描述 ４７ 本章小结 ５１ ５５ !,#$-.*/0 ５１ 统计 ５７ ５．１．１ 数据的收集 ５７ ５．１．２ 数据的数字特征 ６３ ５．１．３ 数据的直观表示 ７１ ５．１．４ 用样本估计总体 ８０ ５２ 数学探究活动： 由编号样本估计总数及其模拟 ９３ ５３ 概率 ９６ ５．３．１ 样本空间与事件 ９６ ５．３．２ 事件之间的关系与运算 １０１ ５．３．３ 古典概型 １０６ 目录 ｉ５．３．４ 频率与概率 １１２ ５．３．５ 随机事件的独立性 １１８ ５４ 统计与概率的应用 １２３ 本章小结 １３０ １３５ !1#$234567 ６１ 平面向量及其线性运算 １３７ ６．１．１ 向量的概念 １３７ ６．１．２ 向量的加法 １４１ ６．１．３ 向量的减法 １４６ ６．１．４ 数乘向量 １４９ ６．１．５ 向量的线性运算 １５２ ６２ 向量基本定理与向量的坐标 １５７ ６．２．１ 向量基本定理 １５７ ６．２．２ 直线上向量的坐标及其运算 １６２ ６．２．３ 平面向量的坐标及其运算 １６６ ６３ 平面向量线性运算的应用 １７４ 本章小结 １７８ 櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷 !!"#$%&’() 对数发明起源的简介／１７ 素数个数与对数／１９ 指数运算与生活哲学／４１ 我国古代统计工作简介／５９ 用样本估计总体的失败案例／８５ “黄金７２小时”中的概率／９９ 向量的推广与应用／１６９ ｉｉ 目录书书书初中时我们就已经学习过一些指数知识，例如知道２５表示５个２ 相乘，因此２５＝３２，还知道指数的运算法则等． “公众对于人工智能存在两种心态，一种是过度失望，认为 进展太慢了，与科幻电影呈现的相差太远；还有一种是过度乐观 而产生的焦虑：人工智能有朝一日会做得非常强大，甚至可以自 我复制，能力指数级增长，人类受到了生存的挑战怎么办？” （《中国青年报》２０１５年４月８日） “在大数据时代，人类产生的电子数据以每两年翻一番的增 幅爆炸式增长，人类在过去３年间产生的数据总量超过了之前几 千年产生的数据总量，预测、分析这些海量数据面临巨大挑战．” （《人民日报》２０１５年４月１日） 你知道这两则新闻报道里出现的 “指数级增长” “爆炸式增长” 的确切含义吗？这与本章要学习的指数函数有关． “５月１２日四川汶川地震发生后，中国地震台网中心利用国 家地震台网的实时观测数据，速报的震级为里氏７．８级．随后， 根据国际惯例，地震专家利用包括全球地震台网在内的更多台站 资料，对这次地震的参数进行了详细测定，据此对震级进行修 订，修订后震级为里氏８．０级．” （《中国青年报》２００８年５月 １９日） 你知道震级相差０．２意味着什么吗？这与本章要学习的对数知识 有关． 本章我们首先将继续学习有关指数的知识，并探讨指数函数的性 质与图象．然后引入对数运算，探讨对数函数的知识，最后学习幂函 数的有关内容．． ! "!"#$"#%# 4.1.1    国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸 式增长：２０１３年为２２１．５９亿元，２０１４年、２０１５年、２０１６年的年增长率分别为 １６．８４％，１４．０６％，１４．２６％． 你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以２０１３年的经费支出 为基础，预测２０１７年及以后各年的经费支出吗？ 为了解决类似情境中的问题，我们需要对指数运算有更多的了解． 
) 初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如 ２５＝２×２×２×２×２＝３２， ３０＝ ， １ ５－３＝ ＝ ． ５３ 一般地，犪狀 中的犪称为底数，狀称为指数 ①． 整数指数幂运算的运算法则有 犪犿犪狀＝犪犿＋狀，（犪犿）狀＝犪犿狀，（犪犫）犿＝犪犿犫犿． 另外，初中我们还学习了平方根和立方根： （１）如果狓２＝犪，则狓称为犪的平方根 （或二次方根）：当犪＞０时，犪 有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根记为槡犪，负的平方根记为 ① 本章中，所有字母的取值范围均默认为使式子有意义的取值范围． ４．１ 指数与指数函数 ３－槡犪；当犪＝０时，犪只有一个平方根，记为槡０＝０；当犪＜０时，犪在实数 范围内没有平方根． 例如，槡９＝ ． 二次根式的运算法则有 （ 槡犪 ） ２＝犪，槡犪槡犫＝槡犪犫， 槡犪 ＝ 槡 犪 ． 犫 槡犫 （２）如果狓３＝犪，则狓称为犪的立方根 （或三次方根），在实数范围内， 任意实数犪有且只有一个立方根，记作３槡犪． 例如，３槡８＝ ． A( 类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义． 一般地，给定大于１的正整数狀和实数犪，如果存在实数狓，使得 狓狀＝犪， 则狓称为犪的狀次方根． 例如，因为方程狓４＝８１的实数解为３与－３，所以３与－３都是８１的４次方 根；因为２５＝３２，而且狓５＝３２只有一个实数解，所以３２的５次方根为２． 根据方程狓狀＝犪解的情况不难看出： （１）０的任意正整数次方根均为０，记为狀槡０＝０． （２）正数犪的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 犪的狀次算术根，记为狀槡犪，负的方根记为－狀槡犪；负数的偶数次方根在实数 范围内不存在，即当犪＜０且狀为偶数时，狀槡犪在实数范围内没有意义． （３）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为狀槡犪．而且正数的奇数 次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． 当狀槡犪有意义的时候，狀槡犪称为根式，狀称为根指数，犪称为被开方数． 注意，虽然我们不知道槡５－２等的精确的小数形式 （计算器和计算机上 给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道槡５－２的一些性质，比如 （ 槡５－２ ） ５＝－２等． 一般地，根式具有以下性质： （１）（ 狀槡犪 ） 狀＝犪． （２）当狀为奇数时，狀槡犪狀＝犪；当狀为偶数时，狀槡犪狀＝犪． 例如， ４ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数槡７（－２）７＝－２，槡４（－３）４＝ －３ ＝３， （ 槡５２３ ） ５＝２３＝８． A( 你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使（ 槡犪 ） ２＝犪成为 （犪犿）狀＝犪犿狀 的特例，槡犪槡犫＝槡犪犫成为犪犿犫犿＝（犪犫）犿的特例吗？ 现在来将整数指数幂运算推广到分数指数幂运算．同以前一样，我们希 望推广后，有关的运算性质仍然能保持，比如 （犪犿）狀＝犪犿狀 在指数是分数时 仍然成立，举例来说，５１应该满足 ２ （５１ ２ ）２＝５１ ２ ×２＝５１＝５， 这表示５１应该是５的平方根，但是５的平方根有两个，即槡５和－槡５，为了 ２ 方便起见，我们规定５１ ２ ＝槡５．又如 （犪１ ３ ）３ 和 （犪２ ３ ）３ 这样的运算，如果规定 犪１ ３ ＝３槡犪，犪２ ３ ＝槡３犪２， 则 （ ） 犪１ ３ ３＝ （３槡犪）３＝犪＝犪１ ３ ×３， （ ） 犪２ ３ ３＝ （槡３犪２）３＝犪２＝犪２ ３ ×３， 即分数指数幂运算可以像整数指数幂那样运算． 为了方便起见，我们约定底数犪＞０．于是，当犪＞０时，规定 犪１＝狀槡犪， 狀 （ ） 犿 犪 狀 犿＝ 狀槡犪犿＝狀槡犪犿 （狀，犿∈犖 ＋ ，且 狀 为既约分数）． 犿 需要注意的是，上式在 不是既约分数 （即犿，狀有大于１的公因数）时可 狀 能会有歧义．例如，（－８）２ ６ ＝槡６（－８）２ 是有意义的，而（－８）２ ６ ＝ （ 槡６－８ ） ２ 是 没有意义的．因此，以后无特别说明时，我们都认为分数指数幂中的指数都 是既约分数． 负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即犪＞０时，规定 １ 犪－犿＝ （狀，犿∈犖 ）． 狀 犪犿 ＋ 狀 现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂 （即有理数指数幂）． 一般情况下，当狊与狋都是有理数时，有运算法则： 犪狊犪狋＝犪狊＋狋， （犪狊）狋＝犪狊狋， （犪犫）狊＝犪狊犫狊． ４．１ 指数与指数函数 ５例如， ８３ ５ ×８２ ５ ＝８３ ５ ＋２＝８１＝８， ８２ ３ ＝（８１ ３ ）２＝２２＝４， ３槡３×３槡３×６槡３＝３×３１ ２ ×３１ ３ ×３１ ６ ＝３１＋１ ２ ＋１ ３ ＋１ ６ ＝３２＝９， （犪２ ３ 犫１ ４ ）３＝（犪２ ３ ）３犫（１ ４ ）３＝犪２犫３ ４ ， （犪１ ２ ＋犫１ ２ ）（犪１ ２ －犫１ ２ ）＝（犪１ ２ ）２－犫（１ ２ ）２＝犪－犫， （犪１ ２ ＋犫１ ２ ）２＝犪＋２犪１ ２ 犫１ ２ ＋犫． 求证：如果犪＞犫＞０，狀是大于１的自然数，那么犪１＞犫１． 狀 狀 
 假设犪１≤犫１，即  狀 狀 犪１＜犫１或犪１＝犫１， 狀 狀 狀 狀 根据不等式的性质与根式的性质，得 犪＜犫或犪＝犫． 这都与犪＞犫矛盾，因此假设不成立，从而犪１＞犫１． 狀 狀 利用例１的结论，可以证明 （留作练习）： （１）如果犪＞犫＞０，狊是正有理数，那么犪狊＞犫狊； （２）如果犪＞１，狊是正有理数，那么犪狊＞１，犪－狊＜１； （３）如果犪＞１，狊＞狋＞０，且狊与狋均为有理数，那么犪狊＞犪狋． 
 有理指数幂还可以推广到无理指数幂，下面我们通过一个例子来描述其 中的思想． 应该怎样理解２π 这个数呢？ A( 根据前面的知识，猜测２π 与２３的相对大小，以及２π 与２４的相对大小． 不难猜出，２３＜２π＜２４． 就像在计算圆的面积时，我们常常取π为３．１４一样，在精度要求不高 的前提下，我们可以认为 ２π≈２３．１４＝２１ ５ ５ ０ ７． 因为π＝３．１４１５９２６５３…是一个无理数 （即无限不循环小数），我们写 ６ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数不出它的精确的小数形式，但是因为３．１＜π＜３．２，所以２３．１＜２π＜２３．２， 同样 ３．１４ ＜π＜３．１５ ２３．１４ ＜ ２π ＜２３．１５， ３．１４１ ＜π＜３．１４２ ２３．１４１ ＜ ２π ＜２３．１４２， ３．１４１５ ＜π＜３．１４１６ ２３．１４１５ ＜ ２π ＜２３．１４１６， ３．１４１５９ ＜π＜３．１４１６０ ２３．１４１５９＜ ２π ＜２３．１４１６０． 也就是说，两个序列 ３．１，３．１４，３．１４１，３．１４１５，３．１４１５９，…； ３．２，３．１５，３．１４２，３．１４１６，３．１４１６０，… 中的数，随着小数点后位数的增加，都越来越接近π，从而两个序列 ２３．１，２３．１４，２３．１４１，２３．１４１５，２３．１４１５９，…； ２３．２，２３．１５，２３．１４２，２３．１４１６，２３．１４１６０，… 中的数，随着指数的变化，也都会越来越接近一个实数，这个实数就是２π． 一般地，当犪＞０且狋是无理数时，犪狋 都是一个确定的实数，我们可以 用与上述类似的方法找出它的任意精度的近似值．因此，当犪＞０，狋为任意 实数时，可以认为实数指数幂犪狋 都有意义． 可以证明，对任意实数狊和狋，类似前述有理指数幂的运算法则仍然 成立． 计算下列各式的值： 
 槡 ３槡３１０ （１） ； （２）５２＋槡３×１２５－槡 ３ ３． 槡３９ 槡  （１） ３槡 槡３ ３ ９ １０ ＝［（３１０）１ ２ ］１ ３ ×（３２）－１ ３ ＝３１０×１ ２ ×１ ３ ＋２× （ －１ ３ ） ＝３１＝３． （２）５２＋槡３×１２５－槡 ３ ３＝５２＋槡３×（５３）－槡 ３ ３＝５２＋槡３－槡３＝２５． 化简下列各式： 
 （１） ５狓－２ ３ 狔１ ２ ； （２） 犿＋犿－１＋２ ． （ １ ）（ ５ ） － ４ 狓－１狔１ ２ － ６ 狓１ ３ 狔－１ ６ 犿１ ２ ＋犿－１ ２ ２４  （１）原式＝ ５ ×５×狓－２ ３ ＋１－１ ３ ×狔１ ２ －１ ２ ＋１ ６ ＝２４狓０狔１ ６ ＝２４狔１ ６ ． （２）原式＝ （犿１ ２ ）２＋２犿１ ２ 犿－１ ２ ＋（犿－１ ２ ）２ 犿１＋犿－１ ２ ２ （犿１ ２ ＋犿－１ ２ ）２ ＝ ＝ ． 犿１＋犿－１ ２ ２ ４．１ 指数与指数函数 ７
* ! 实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得． 在 ＧｅｏＧｅｂｒａ中，在 “运算 区”利用符号 “”，就可以得到 实数指数幂的精确值或近似值． 如图４１１所示，前面三个 是在符号计算模式下的输入和所 得到的结果，后面两个是在数值 计算模式下得到的结果． 下面我们来求本小节情境与 问题中的年平均增长率． 假设年平均增长率为狓，则 图４１１ 应该有 （１＋１６．８４％）（１＋１４．０６％）（１＋１４．２６％）＝（１＋狓）３， 从而 狓＝槡３（１＋１６．８４％）（１＋１４．０６％）（１＋１４．２６％）－１≈１５．０５％． 由此可预测２０１７年的科研和开发机构基础研究经费支出为 ２２１．５９×（１＋１５．０５％）４≈３８８．２４ （亿元）． 其他年份的预测值可用类似的方法算出． " ? 化简下列各式： （１）狓５狓７； （２）（－３狓３）２； （３）（－狓３）７； （ １ ） ３ （１ ） －２ （４） － 狓２ ； （５）（２狓）２（－狓）－３； （６） 狓 （５狓）２． ２ ５ ? 用分数指数幂的形式表示下列各式： １ 槡狓 （１）槡３狓２； （２） ； （３） ． 槡３犪 槡３狔２ ? 化简下列各式： （１） 槡５ （３－槡２）５； （２） 槡６ （２槡２－３）６； （３）２槡２×４槡２×８槡２． ? 求下列各式的值： 槡 （ １）３ ３槡２１０ （１）３６１ ２ ； （２） ６ ４ ２； （３） ； （４）２－１＋槡３×１６－槡 ４ ３． 槡３８ ８ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数# ? 化简下列各式： （１）犪１×犪１×犪５； （２）犪１×犪５÷犪－１； ４ ３ ８ ３ ６ ２ （ ２ ） （３）（狓１ ２ ×狔－１ ３ ）６； （４）４犪２ ３ 犫－１ ３ ÷ － ３ 犪－１ ３ ×犫－１ ３ ． ? 比较下列各组数的大小： （１）２８与２６； （２）２３ ５ 与１； （３）３５．１与３５．２； （４）５槡２与５． ? 利用例１的结论证明： （１）如果犪＞犫＞０，狊是正有理数，那么犪狊＞犫狊； （２）如果犪＞１，狊是正有理数，那么犪狊＞１，犪－狊＜１； （３）如果犪＞１，狊＞狋＞０，且狊与狋均为有理数，那么犪狊＞犪狋． １  １   ３  ２  犿１＋犿－１ １２５ ２ ２ 4.1.2     考古学家经常利用碳１４的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时， 会持续不断地吸收碳１４，从而其体内的碳１４含量会保持在一定的水平；但当有机体 死亡后，就会停止吸收碳１４，其体内的碳１４含量就会逐渐减少，而且每经过大约 ５７３０年后会变为原来的一半． 你能用函数表示有机体内的碳１４含量与其死亡时间之间的关系吗？一种死亡已 经一万年的有机体，其体内的碳１４含量是其生存时的百分之多少？ 利用本小节我们要学习的指数函数知识，可以顺利地解决情境中的 问题． ４．１ 指数与指数函数 ９A( 假设有机体生存时碳１４的含量为１，如果用狔代表该有机体死亡狓年后体内 １ （１） ２ １ 碳１４的含量，则狓＝５７３０时，狔＝ ；狓＝１１４６０时，狔＝ ＝ ．由此可知， ２ ２ ４ 狔与狓的关系可以表示为 狔＝ ． 上述尝试与发现的函数关系中，自变量出现在指数中． 
 一般地，函数 狔＝犪狓 称为指数函数，其中犪是常数，犪＞０且犪≠１①． 下面来研究指数函数的性质与图象． 作为例子，我们首先分析指数函数狔＝２狓 的性质，并得出其对应的 图象． A( １ １ 分别求出指数函数狔＝２狓在自变量取－２，－１，－ ，０， ，１，２时所对应 ２ ２ 的函数值 （填写下表），并由此猜测指数函数狔＝２狓的定义域、值域、奇偶性、单 调性，尝试说明理由． １ １ 狓 －２ －１ － ０ １ ２ ２ ２ 狔＝２狓 根据指数运算的定义，可以得到指数函数狔＝２狓 的性质： （１）定义域是 ； （２）值域是 ； （３）奇偶性是 ； （４）单调性是 ． ① 以下谈到指数函数狔＝犪狓时，均默认为犪是常数，犪＞０且犪≠１． １ ０ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数根据以上性质可知，函数狔＝２狓 的图象都在狓轴上方，而且从左往右 图象是逐渐上升的．通过描点 （如图４１２所示），可以作出狔＝２狓 的图象， 如图４１３所示． y y 1 1 O 1 x O 1 x 图４１２ 图４１３ 函数狔＝２狓 的单调性也可借助４．１．１中练习Ｂ第３题的结论来理解． （１） 狓 下面来研究指数函数狔＝ 的性质与图象． ２ A( （１） 狓 给出研究指数函数狔＝ 的性质与图象的方 ２ y 法，并用该方法得出这个函数的性质： （１）定义域是 ； （２）值域是 ； （３）奇偶性是 ； 1 （４）单调性是 ． O 1 x 图４１４ （１） 狓 然后在图４１４中作出狔＝ 的图象． ２ （１） 狓 （１） 狓 注意到 ＝２－狓，因此不难看出狔＝ 和狔＝２狓 是有联系的：当 ２ ２ 这两个函数的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等．也就是 （１） 狓 说，如果点 （狓，狔）在狔＝ 的图象上，那么这个点关于狔轴的对称 ０ ０ ２ 点 （－狓，狔）一定在狔＝２狓 的图象上；反 ０ ０ 之，狔＝２狓 的图象上任意一点 （狓，狔），其 ０ ０ 关于狔轴的对称点 （－狓，狔）也一定在 ０ ０ （１） 狓 狔＝ 的图象上．因此，指数函数狔＝２狓 ２ （１） 狓 和狔＝ 的图象关于狔轴对称，如图４１５ ２ 所示． 图４１５ ４．１ 指数与指数函数 １１A( （１） 狓 （１）你能指出指数函数狔＝２狓和狔＝ 的图象的公共点吗？ ２ （２）你能得出指数函数狔＝犪狓一定过哪个定点吗？ （１） 函数狔＝２狓 和狔＝ 狓 的图象的公共点为 （０，１）．事实上，因为 ２ 犪０＝１ （犪≠０），所以狔＝犪狓 的图象一定过点 （０，１）． 由以上实例，可以归纳出指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）具 有下列性质： 为什么要限定 （１）定义域是实数集犚． 犪＞０且犪≠１？ （２）值域是 （０，＋∞），因此，对任何实数狓，都有犪狓＞０， 也就是说函数图象一定在狓轴的上方． （３）函数图象一定过点 （０，１）． （４）当犪＞１时，狔＝犪狓 是增函数；当０＜犪＜１时，狔＝犪狓 是 减函数． 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： 
 （１）０．８－０．１ 与０．８－０．２； （２）２．５犪 与２．５犪＋１． 每一组的两个值都有共同特征，因此可以选取合适的函数，用  函数的单调性来解决问题． （１）因为０．８－０．１ 与０．８－０．２ 都是以０．８为底的幂值，所以考察函  数狔＝０．８狓，由于这个函数在实数集 犚上是减函数，又因为－０．１＞ －０．２，所以０．８－０．１＜０．８－０．２． （２）因为２．５犪 与２．５犪＋１ 都是以２．５为底的幂值，所以考察函数狔＝ ２．５狓，由于这个函数在实数集犚上是增函数，又因为犪＜犪＋１，所以 ２．５犪＜２．５犪＋１． （３） 犪 （３） 犫 已知实数犪，犫满足 ＞ ，试判断６犪 与６犫 的大小． 
 ７ ７ （３） 狓 （３） 犪 （３） 犫 因为函数狔＝ 在实数集犚上是减函数，所以由 ＞  ７ ７ ７ 可知犪＜犫． 又因为狔＝６狓 在实数集犚上是增函数，所以 ６犪＜６犫． １ ２ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数
* + A 在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，只要输入指数函数的表达式，就可以得到对应的图 （１） 狓 （１） 狓 象，如图４１６所示是用ＧｅｏＧｅｂｒａ作出的犳（狓）＝ ，犵（狓）＝ ， ３ ２ 犺（狓）＝３狓，狆（狓）＝５狓 的图象，你能从中得出什么规律吗？ 图４１６ 用ＧｅｏＧｅｂｒａ也能方便地算出死亡已经一万年的有机体，其体内的碳１４ 含量是其生存时的百分之多少，即 （１）１００００ 狔＝ ５７３０ ≈２９．８％． ２ " ? 已知指数函数的图象过点 （２，８１），求这个指数函数的解析式． ? 比较下列各题中两个值的大小： （１）３０．８与３０．７； （２）０．７５－０．１与０．７５０．１． ? 求函数狔＝２狓，狓∈［０，＋∞）的值域． # ? 比较１．００１０．００１与０．９９９０．９９９的大小． ? 比较１．１犪与０．９－犪的大小，其中犪∈犚． ? 利用指数函数的性质与图象求下列方程或不等式的解集： （１） 狓 ２ （１）３狓＝２狓＋１； （２） ＞－ 狓＋１． ３ ３ （１）狓  ５７３０  犚  （０，＋∞）  非奇非偶函数  增函数 ２  犚  （０，＋∞）  非奇非偶函数  减函数 ４．１ 指数与指数函数 １３" ? 化简下列各式： （犪） ２ （１）［（犪３）－１×犪４］－１； （２） ×（犪－１×犫）－３． 犫 ７ ? 已知犳（狓）＝ 狓＋１，犵（狓）＝２狓，在同一坐标系中作出这两个函数的图象． ３ （１）估计它们交点的坐标，并验证； （２）根据图象写出不等式犳（狓）＜犵（狓）和犳（狓）≥犵（狓）的解集． 槡 ? 已知０＜犪＜１，化简 犪４－２犪＋犪２ ． ３ ３ ? 设犳（狓）＝２狓，比较犳（狓）犳（狓）与犳（狓＋狓）的大小． １ ２ １ ２ # ? 求下列各式的值： （１）２－１×６４２ ３ ； （２）０．２－２×０．０６４１ ３ ． ? 化简下列各式： （８犪－３ ） －１ （犫） ３ （２犫２ ） ０ （ 犫） －３ （１） ３； （２） ÷ × － ． ２７犫６ ２犪２ ３犪 犪 ? 将下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来： （１）２ （１） －２ （１） ２．５ （１） ３，３４， ； （２）２２．５，２．５０， ． ３ ３ ２ ? 求下列函数的定义域和值域： （１）狔＝２狓＋１； （２）狔＝槡１－２狓； （３）狔＝２槡狓． ３ ? 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 ，写出存留污垢的百分比狔与漂洗次数 ４ 狓的函数关系式，并求出若要使存留的污垢不超过原有的１％所要漂洗的最少 次数． $ ? 已知犪是实数，比较（ 槡３－槡２ ） ２和（ 槡３－槡２ ） 犪２－犪的大小． ? 设犳（狓）＝犪狓，其中犪＞０且犪≠１，比较 犳（狓）＋犳（狓） （狓＋狓） １ ２ 与犳 １ ２ ２ ２ 的大小，并证明． １ ４ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数． ! #!&#$&#%# 4.2.1    （１）地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的．２００８年５月１２日，我国四川 汶川发生了地震，速报震级为里氏７．８级，修订后的震级为里氏８．０级．震级相差 ０．２，最大振幅之间具有什么关系？ （２）化学学科中，我们用ｐＨ表示溶液的酸碱性，ｐＨ是由犮（Ｈ＋）（即溶液中Ｈ＋ 的浓度）决定的．ｐＨ＝７和ｐＨ＝８的两种溶液，它们的犮（Ｈ＋）有什么关系？ 上述情境中两个问题的答案，都与对数知识有关． 
+  在关系式 犪犫＝犖 中，以犪或犖为未知数的方程，我们都已经接触过，例如狓５＝３２，２３＝狓 等，本小节要研究犫为未知数的情形，即求解类似２狓＝６４的方程． A( （１）说出２狓＝６４的一个实数根． （２）判断方程２狓＝６４的实数根的个数，并说明理由． 因为２６＝６４，所以狓＝６一定是２狓＝６４的实数根，再由狔＝２狓 是一个 增函数可知２狓＝６４有唯一的实数解狓＝６． 我们已经知道，当犪＞０且犪≠１时，指数函数狔＝犪狓 是定义域为犚， ４．２ 对数与对数函数 １５值域为 （０，＋∞）的单调函数，这就意味着， y 如图４２１所示，任意给定狔∈（０，＋∞），存 ０ y=ax 在唯一的狓∈犚，使得 y 0 ０ 狔＝犪狓． ０ ０ 因此，在表达式犪犫＝犖（犪＞０且犪≠１， 1 犖∈（０，＋∞））中，当犪与犖确定之后，只有 O x x 0 唯一的犫能满足这个式子，此时，幂指数犫称 图４２１ 为以犪为底犖的对数，记作 犫＝ｌｏｇ犖①， 犪 其中犪称为对数的底数，犖称为对数的真数． 例如，由前面的尝试与发现可知，因为２６＝６４，所以ｌｏｇ６４＝６． ２ 由上可以看出，当犪＞０且犪≠１时，犫＝ｌｏｇ犖的充要条件是犪犫＝犖． 犪 由此可知，只有犖＞０时，ｌｏｇ犖才有意义，这通常简称为 “负数和零没有 犪 对数”． 我们可以举出更多对数的例子： 因为４２＝１６，所以２是以４为底１６的对数，即ｌｏｇ１６＝２，即 ４ ４２＝１６ｌｏｇ１６＝２， ４ 另外， ４１＝４ｌｏｇ４＝１， ４ ４１＝２ ， ２ １ ４－１＝  ， ４ １ ４－１＝  ． ２ ２ 已知犪＞０且犪≠１，求ｌｏｇ１与ｌｏｇ犪的值． 
 犪 犪 因为犪０＝１，犪１＝犪，所以ｌｏｇ１＝０，ｌｏｇ犪＝１．  犪 犪 例１的结论可以简述为 “１的对数为０”“底的对数为１”． 由上可知，指数表达式犪犫＝犖与对数表达式犫＝ｌｏｇ犖实际上表示的是 犪 同一数量关系，如果把对数表达式中的犫代入指数表达式，则可得 犪ｌｏｇ犖＝犖； 犪 类似地，如果把指数表达式中的犖代入对数表达式，则有  ． 例如，２ｌｏｇ ２ ３２＝ ，ｌｏｇ１０３＝ ． １０ ① 本书中，若不加特殊说明，类似的对数表达式中，总是认为犪＞０且犪≠１，犖∈（０，＋∞）． １ ６ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数求下列各式的值： 
 １ （１）ｌｏｇ１６； （２）ｌｏｇ ； （３）５２ｌｏｇ３． ２ ２２ ５ （１）因为２４＝１６，所以ｌｏｇ１６＝４．  ２ １ １ （２）因为２－１＝ ，所以ｌｏｇ ＝－１． ２ ２２ （３）因为５ｌｏｇ ５ ３＝３，所以５２ｌｏｇ ５ ３＝（５ｌｏｇ ５ ３）２＝３２＝９． KA 对数发明起源的简介 几乎所有的现代数学书 （包括我们这 首先，在第二行找到１６与２５６；然后找 本）中，对数运算是通过解指数方程来引入 出它们在第一行中对应的数，即４与８，并 的．但是，你知道吗？对数发明的起源并不 求它们的和，即１２；最后在第一行中找到 完全是这样的！这是不是多多少少让你觉得 １２，读出其对应的第二行中的数４０９６，这 有些意外？ 就是１６×２５６的值． 事实上，对数是简化繁杂运算的产物． ４０９６ 用类似的方法可以算出 的值． １６ １６世纪时，科学技术的飞速发展对计算 当然，用这个表格解决不了一般的两个 技术的改进提出了前所未有的需求．为了简 数相乘与相除的问题．但是，不难想到，如 化数值计算，自然希望将乘除法归结为简单 果上述表格中第二行的数足够密，就能用类 的加减法．当时已经有数学家发现这在某些 似的方法算出更多的乘积和商． 情况下是可以实现的． 苏格兰数学家纳皮尔在１７世纪的时候 比如，利用以下２的幂次的对应表可以 发明了对数方法．后来的人们利用对数表就 方便地算出１６×２５６的值． 大大简化了有关乘除运算，简化的过程类似 ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 于计算上述１６×２５６的过程，只不过查表的 １６３２６４１２８ ２５６ ５１２ １０２４ ２０４８ ４０９６ 过程更加复杂． 
*7& 以１０为底的对数称为常用对数，即ｌｏｇ犖是常用对数．为了简便起 １０ 见，常用对数的表示中，通常把底１０略去不写，并把 “ｌｏｇ”写成 “ｌｇ”，即 把ｌｏｇ犖简写为ｌｇ犖． １０ 后续如果没有指出对数的底，则默认为指的都是常用对数．例如，“１００ 的对数是２”，就是指 “１００的常用对数是２”． 在科学技术中，常常还使用以无理数ｅ＝２．７１８２８…为底的对数，以ｅ ４．２ 对数与对数函数 １７为底的对数称为自然对数，自然对数ｌｏｇ犖通常简写为ｌｎ犖． ｅ 求下列各式的值： 
 （１）ｌｇ１０； （２）ｌｇ１００； （３）ｌｇ０．０１； （４）ｌｎｅ５． （１）因为１０１＝１０，所以ｌｇ１０＝１．  （２）因为１０２＝１００，所以ｌｇ１００＝ ． （３）因为１０－２＝０．０１，所以ｌｇ０．０１＝ ． （４）因为ｌｏｇ犪犫＝犫，所以ｌｎｅ５＝ ． 犪 已知ｌｏｇ犪＝ｌｏｇ犫＝槡３，求ｌｇ（犪犫）的值． 
 ４ ２５ 由ｌｏｇ犪＝ｌｏｇ犫＝槡３可得犪＝４槡３，犫＝２５槡３，所以  ４ ２５ 犪犫＝４槡３×２５槡３＝（４×２５）槡３＝１００槡３＝（１０２）槡３＝１０２槡３， 所以ｌｇ（犪犫）＝２槡３． 
* @0*7& 常用对数与自然对数的值，可以通过科学计算器和计算机软件求得． 图４２２ （１）是某特定型号计算器上的常用对数按钮和自然对数按钮， 图４２２ （２）显示的是用ＧｅｏＧｅｂｒａ计算ｌｇ２０１７和ｌｎ２０１７的结果． （１） （２） 图４２２ 下面我们来给出本小节情境与问题中里氏震级问题的答案． 里氏震级的计算公式为 犃 犕＝ｌｇ ， 犃 ０ 其中犃是被测地震的最大振幅，犃 是 “标准地震”的振幅．用犃 和犃 ０ ７．８ ８．０ 分别表示震级为７．８和８．０的最大振幅，则有 犃 犃 ７．８＝ｌｇ ７．８，８．０＝ｌｇ ８．０， 犃 犃 ０ ０ 犃 犃 从而 ７．８＝１０７．８， ８．０＝１０８．０，因此 犃 犃 ０ ０ 犃 １０８．０ ８．０＝ ＝１００．２≈１．５８， 犃 １０７．８ ７．８ 即犃 ≈１．５８犃 ． ８．０ ７．８ １ ８ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数情境中与ｐＨ有关的问题可用类似的方法解决，留作练习． KA 素数个数与对数 我们已经知道，像２，３，５，７这样只 狓 π（狓）≈ ． ｌｎ狓 能被１和它自己整除的正整数称为素数 （也 这一结果可以从下表中直观感受到． 称为质数）．例如，１００以内的所有素数为 狓 ２，３，５，７，１１，１３，１７， 狓 π（狓） 相对误差 ｌｎ狓 １９，２３，２９，３１，３７，４１， １０００ １６８ １４５ １３．６９％ ４３，４７，５３，５９，６１，６７， ５０００ ６６９ ５８７ １２．２６％ ７１，７３，７９，８３，８９，９７． １００００ １２２９ １０８６ １１．６４％ 探索素数出现的规律，是一些数学家非 ５００００ ５１３３ ４６２１ ９．９７％ 常关心的问题．特别地，设狓是正整数，用 １０００００ ９５９２ ８６８６ ９．４５％ π（狓）表示不超过狓的素数个数，寻找π（狓） ５０００００ ４１５３８ ３８１０３ ８．２７％ 的近似表达式，历史上曾引起了很多数学家 １００００００ ７８４９８ ７２３８２ ７．７９％ 的注意．当然，我们可以取狓为一些常数， ５００００００ ３４８５１３ ３２４１５０ ６．９９％ 然后求出π（狓）的值来进行观察和归纳． 可能会让你感到惊讶的是，π（狓）的近 注：如果犃的近似值为犪，那么相对误差指 似表达式与自然对数有关．事实上，数学家 犃－犪 的是 ×１００％． 犃 们已经证明，当狓充分大时， " ? 求出下列各式的值，并写出对应的对数式： （１）２３； （２）８２； （３）４－３； （４）８．８０． ? 判断下列各式是否正确，如果不正确，请改正： （１）ｌｏｇ９＝２； （２）ｌｏｇ１２５＝２；（３）ｌｇ１００＝３； （４）ｌｎ１＝０． ３ ５ ? 用对数的形式表示下列各式中的狓： １ （１）１０狓＝２５； （２）２狓＝１２； （３）５狓＝６； （４）４狓＝ ． ６ ? 求下列各式的值： （１）２ｌｏｇ ２ ８； （２）３ｌｏｇ ３ ９； （３）１０ｌｇ５； （４）ｅｌｎ７； （５）ｌｏｇ５２； （６）ｌｇ１０－５； （７）ｌｇ１０６； （８）ｌｎｅ３． ５ ? 利用科学计算器或计算机软件求出下列对数的值 （精确到０．０００１）： ! （１）ｌｇ２００１； （２）ｌｎ０．００４５； （３）ｌｎ３９６．５． ４．２ 对数与对数函数 １９# ? 求出下列各式的值，并写出对应的对数式： （１）２－５； （２）２５１ ２ ； （３）２７－１ ３ ； （４）８１－３ ４ ． ? 判断下列各式是否正确，如果不正确，请改正： １ １ （１）ｌｏｇ ＝－１； （２）ｌｇ ＝－３； （３）ｌｏｇ９＝２． ２４ １００ １ ３ ? 求下列各式的值： （１）２－ｌｏｇ ２ ３； （２）１０２ｌｇ３； （３）ｅ３ｌｎ７； （４）ｌｏｇ９２； （５）ｌｇ１００２； （６）ｌｇ０．００１２． ３ ? 求下列各式的值： （１）ｌｇ１＋ｌｇ１０＋ｌｇ１００； （２）ｌｇ０．１＋ｌｇ０．０１＋ｌｇ０．００１； １ （３）ｌｏｇ３６＋ｌｏｇ ； （４）ｌｇ０．１２＋ｌｎｅ－２． ６ ２８ ? 已知ｐＨ＝－ｌｇ犮（Ｈ＋），指出ｐＨ＝７和ｐＨ＝８的两种溶液的犮（Ｈ＋）有什么 关系． １ ? 已知狓＞０且ｌｏｇ ＝－４，求狓的值． 狓１６ １ １ １ １ ｌｏｇ２＝ ｌｏｇ ＝－１ ｌｏｇ ＝－ ｌｏｇ犪犫＝犫  ３２ ４ ２ ４４ ４２ ２ 犪  ３  ２  －２  ５ 4.2.2   
/ + A( （１）你知道ｌｏｇ３与ｌｏｇ２的值吗？你能算出ｌｏｇ３＋ｌｏｇ２的值吗？如果设 ６ ６ ６ ６ 狓＝ｌｏｇ３，狔＝ｌｏｇ２，则６狓＝ ，６狔＝ ，怎样由这两个式子得 ６ ６ ２ ０ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数A( 到狓＋狔？ （２）由指数运算的运算法则犪α犪 β ＝犪α＋β 能得出对数运算具有什么运算法则？ 由指数运算的运算法则可知 ６狓＋狔＝６狓×６狔＝３×２＝６， 因此狓＋狔＝１． 一般地，设犪α＝犕＞０，犪 β ＝犖＞０，则ｌｏｇ犕＝α，ｌｏｇ犖＝β．由 犪 犪 犪α＋β ＝犪α犪 β ＝犕犖 可知ｌｏｇ（犕犖）＝α＋β ，代入α与 β 的值，有 犪 ｌｏｇ（犕犖）＝ｌｏｇ犕＋ｌｏｇ犖． 犪 犪 犪 由此可知 ｌｏｇ３＋ｌｏｇ２＝ｌｏｇ（３×２）＝ ． ６ ６ ６ 不难看出，上述结论可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形，即 ｌｏｇ（犖犖…犖 ）＝ｌｏｇ犖＋ｌｏｇ犖＋…＋ｌｏｇ犖 ． 犪 １ ２ 犽 犪 １ 犪 ２ 犪 犽 特别地，当正因数全部相等时，可得 ｌｏｇ犖犽＝犽ｌｏｇ犖， 犪 犪 其中犽是正整数． 我们还可以由（犪 β ）α＝犪 β×α 得出 ｌｏｇ犕α＝αｌｏｇ犕， 犪 犪 其中α为任意实数 （证明留作练习）．例如， ｌｇ０．００１＝ｌｇ１０－３＝－３ｌｇ１０＝ ． 另外，由上面两个结论可知 犕 ｌｏｇ ＝ｌｏｇ（犕犖－１）＝ｌｏｇ犕＋ｌｏｇ犖－１＝ｌｏｇ犕－ｌｏｇ犖． 犪犖 犪 犪 犪 犪 犪 例如， １２ ｌｏｇ１２－ｌｏｇ２＝ｌｏｇ ＝ ． ６ ６ ６ ２ 总的来说，对数运算具有运算法则 ｌｏｇ（犕犖）＝ｌｏｇ犕＋ｌｏｇ犖， 犪 犪 犪 ｌｏｇ犕α＝αｌｏｇ犕， 犪 犪 犕 ｌｏｇ ＝ｌｏｇ犕－ｌｏｇ犖， 犪犖 犪 犪 其中，犪＞０且犪≠１，犕＞０，犖＞０，α∈犚． 用ｌｏｇ狓，ｌｏｇ狔，ｌｏｇ狕表示下列各式： 
 犪 犪 犪 ４．２ 对数与对数函数 ２１狓狔 狓２槡狔 （１）ｌｏｇ ； （２）ｌｏｇ（狓３狔５）； （３）ｌｏｇ ． 犪狕 犪 犪 槡３狕 狓狔 （１）ｌｏｇ ＝ｌｏｇ（狓狔）－ｌｏｇ狕＝ｌｏｇ狓＋ｌｏｇ狔－ｌｏｇ狕．  犪狕 犪 犪 犪 犪 犪 （２）ｌｏｇ（狓３狔５）＝ｌｏｇ狓３＋ｌｏｇ狔５＝３ｌｏｇ狓＋５ｌｏｇ狔． 犪 犪 犪 犪 犪 狓２槡狔 （３）ｌｏｇ ＝ｌｏｇ（狓２狔１ ２ 狕－１ ３ ） 犪 槡３狕 犪 ＝ｌｏｇ狓２＋ｌｏｇ狔１ ２ ＋ｌｏｇ狕－１ ３ 犪 犪 犪 １ １ ＝２ｌｏｇ狓＋ ｌｏｇ狔－ ｌｏｇ狕． 犪 ２ 犪 ３ 犪 计算下列各式的值： 
 （１）ｌｇ４＋ｌｇ２５； （２）ｌｇ槡５１００； （３）ｌｏｇ（４７×２５）； （４）（ｌｇ２）２＋ｌｇ２０×ｌｇ５． ２ （１）ｌｇ４＋ｌｇ２５＝ｌｇ（４×２５）＝ｌｇ１００＝２．  １ ２ （２）ｌｇ槡５１００＝ｌｇ１００１＝ ｌｇ１００＝ ． ５ ５ ５ （３）ｌｏｇ（４７×２５）＝ｌｏｇ４７＋ｌｏｇ２５＝７ｌｏｇ４＋５ｌｏｇ２＝７×２＋５×１＝１９． ２ ２ ２ ２ ２ １０ （４）（ｌｇ２）２＋ｌｇ２０×ｌｇ５＝（ｌｇ２）２＋ｌｇ（１０×２）×ｌｇ ２ ＝（ｌｇ２）２＋（１＋ｌｇ２）×（１－ｌｇ２） ＝（ｌｇ２）２＋１－（ｌｇ２）２ ＝１． 例２说明，利用对数运算的运算法则，可以在不求出对数值的前提下， 算出一些含对数的代数式的值． 
  大家可能已经看出，对数值的计算并不容易，比如ｌｇ３，ｌｇ５，ｌｏｇ５等．事实 ３ 上，在没有计算器的时代，人们曾花费了大量的精力，求出一些常用对数的近似值， 制成表格以供大家查询使用．这样一来，大家就可以根据已知的值和对数运算法则， 求出另一些对数的值，例如，由ｌｇ３≈０．４７７１，ｌｇ５≈０．６９９０可得出 ｌｇ１５＝ｌｇ３＋ｌｇ５≈０．４７７１＋０．６９９０＝１．１７６１． 但是我们知道，对数的底可以是任意不等于１的正数，那么知道常用对数的值， 能不能求出任意对数的值呢？比如，能不能借助ｌｇ３，ｌｇ５的值算出ｌｏｇ５的值呢？ ３ ２ ２ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数设ｌｏｇ５＝狓，则３狓＝５，从而ｌｇ３狓＝ｌｇ５，即狓ｌｇ３＝ｌｇ５，所以 ３ ｌｇ５ 狓＝ ， ｌｇ３ ｌｇ５ ０．６９９０ 也就是说ｌｏｇ５＝ ≈ ≈１．４６５１． ３ ｌｇ３ ０．４７７１ 一般地，我们有 ｌｏｇ犫 ｌｏｇ犫＝ 犮 ， 犪 ｌｏｇ犪 犮 其中犪＞０且犪≠１，犫＞０，犮＞０且犮≠１，这一结果通常被称为换底公式 （证明留作练习）． 计算器和计算机在计算任意对数的值时，是使用换底公式转化为常用对 数或自然对数来计算的． 求ｌｏｇ９×ｌｏｇ３２的值． 
 ８ ２７ ｌｎ９ ｌｎ３２ ｌｎ３２ ｌｎ２５ ２ｌｎ３ ５ｌｎ２ １０ ｌｏｇ９×ｌｏｇ３２＝ × ＝ × ＝ × ＝ ．  ８ ２７ ｌｎ８ ｌｎ２７ ｌｎ２３ ｌｎ３３ ３ｌｎ２ ３ｌｎ３ ９ 求证： 
 狊 ｌｏｇ犫狊＝ ｌｏｇ犫， 犪狋 狋 犪 其中犪＞０且犪≠１，犫＞０，狊∈犚，狋∈犚且狋≠０． ｌｎ犫狊 狊ｌｎ犫 狊 ｌｎ犫 狊 ｌｏｇ犫狊＝ ＝ ＝ × ＝ ｌｏｇ犫．  犪狋 ｌｎ犪狋 狋ｌｎ犪 狋 ｌｎ犪 狋 犪 " ? 计算下列各式的值： １ （１）ｌｏｇ６－ｌｏｇ３； （２）ｌｇ５＋ｌｇ２； （３）ｌｏｇ３＋ｌｏｇ ； ２ ２ ５ ５３ （４）ｌｏｇ５－ｌｏｇ１５； （５）ｌｎ槡ｅ； （６）ｌｇ１００－２． ３ ３ ? 已知３犪＝２，用犪表示ｌｏｇ４－ｌｏｇ６． ３ ３ ? 已知ｌｏｇ２＝犪，３犫＝５，用犪，犫表示ｌｏｇ槡３０． ３ ３ １ ? 求证：ｌｏｇ犫＝ ． 犪 ｌｏｇ犪 犫 ? 已知ｌｇ２≈０．３０１０，求ｌｇ５的近似值 （精确到０．０００１）． ４．２ 对数与对数函数 ２３# ? 求下列各式的值： １ （１）ｌｇ０．００１－ｌｏｇ ； （２）ｌｏｇ８＋ｌｏｇ４； （３）ｌｏｇ槡３４９． ２７８１ ４ １ ７ ２ ? （１）已知α∈犚，由（犪 β ）α＝犪 β×α 证明ｌｏｇ犕α＝αｌｏｇ犕； 犪 犪 ｌｏｇ犫 （２）由对数的定义证明换底公式ｌｏｇ犫＝ 犮 ． 犪 ｌｏｇ犪 犮 ? 计算（ｌｇ５）２＋ｌｇ２×ｌｇ５０的值． ? 求证：ｌｏｇ狔×ｌｏｇ狕×ｌｏｇ狓＝１． 狓 狔 狕 ? 化简：槡（ｌｏｇ５）２－４ｌｏｇ５＋４． ３ ３ ? 比较ｌｏｇ２与ｌｏｇ３的大小． ６ ６  ３  ２ ｌｏｇ６＝１  －３ ｌｏｇ６＝１ ６ ６ 4.2.3      我们已经知道，假设有机体生存时碳１４的含量为１，那么有机体死亡狓年后体 内碳１４的含量狔满足 （１）狓 狔＝ ５７３０， ２ 也就是说，狔是狓的函数． 在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳１４含量狔，你认为考古 学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间狓吗？给定一个狔值，有多少个狓值 与之对应？这里的狓能看成狔的函数吗？为什么？ （１）狓 在表达式狔＝ ５７３０中，因为 ２ ［ ］ （１）狓 （１）１ 狓 狔＝ ５７３０＝ ５７３０ ， ２ ２ ２ ４ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数所以这个函数可以看成一个指数函数，根据指数函数的性质可知，这个函数 是一个减函数．这也就意味着，给定一个狔值，只有唯一的狓值与它对应， 也就是说，如果把狔看成自变量，狓看成因变量，那么这里的狓可以看成狔 的函数．事实上，利用指数运算和对数运算的关系，可以把上述关系式改 写为 狓＝ｌｏｇ 狔， （）１ １ ５７３０ ２ 如果仍用狓表示自变量，狔表示因变量，那么这一函数关系可以表示为 狔＝ｌｏｇ 狓， （）１ １ ５７３０ ２ 其中自变量在真数的位置上，我们称这样的函数为对数函数． 
 一般地，函数 狔＝ｌｏｇ狓 犪 称为对数函数，其中犪是常数，犪＞０且犪≠１①． 下面我们来研究对数函数的性质与图象． 作为例子，首先分析对数函数狔＝ｌｏｇ狓的性质，并得出其对应的图象． ２ A( （１）对数函数狔＝ｌｏｇ狓中，狓的值可以是－１吗？可以是０吗？为什么？ ２ １ １ １ （２）分别求出对数函数狔＝ｌｏｇ狓在自变量取 ， ， ，１，２，４，８时所对 ２ ８ ４ ２ 应的函数值 （填写下表），并由此猜测对数函数狔＝ｌｏｇ狓的定义域、值域、奇偶 ２ 性、单调性，尝试说明理由． １ １ １ 狓 １ ２ ４ ８ ８ ４ ２ 狔＝ｌｏｇ狓 ２ 可以看出，狔＝ｌｏｇ狓中，狓不能是－１，也不能是０． ２ 事实上，根据对数运算的定义和性质，我们可以得到对数函数狔＝ ｌｏｇ狓的性质： ２ （１）定义域是 ； ① 以下谈到对数函数狔＝ｌｏｇ狓时，均默认为犪是常数，犪＞０且犪≠１． 犪 ４．２ 对数与对数函数 ２５（２）值域是 ； （３）奇偶性是 ； y （４）单调性是 ． 1 根据以上信息可知，函数狔＝ｌｏｇ狓的图象 ２ 都在狔轴右侧，而且从左往右图象是逐渐上升 O 1 x 的．通过描点，可以作出函数狔＝ｌｏｇ狓的图象， ２ 如图４２３所示． 下面我们来研究对数函数狔＝ｌｏｇ狓的性质 图４２３ １ ２ 与图象． 注意到 狔＝ｌｏｇ狓＝ｌｏｇ 狓＝－ｌｏｇ狓， １ ２－１ ２ ２ 因此不难看出狔＝ｌｏｇ狓和狔＝ｌｏｇ狓之间的联 y １ ２ ２ 系：当这两个函数的自变量相等时，对应的函数 1 y=log x 值互为相反数．也就是说，如果点 （狓，狔）在 2 ０ ０ 狔＝ｌｏｇ狓的图象上，那么这个点关于狓轴的对 O 1 x １ y=log x 1 ２ 称点 （狓，－狔）一定在狔＝ｌｏｇ狓的图象上； 2 ０ ０ ２ 反之，狔＝ｌｏｇ狓的图象上任意一点 （狓，狔）， ２ ０ ０ 图４２４ 其关于狓轴的对称点 （狓，－狔）也一定在狔＝ ０ ０ ｌｏｇ狓的图象上．因此，对数函数狔＝ｌｏｇ狓和狔＝ｌｏｇ狓的图象关于狓轴对 １ １ ２ ２ ２ 称，如图４２４所示． A( （１）你能指出对数函数狔＝ｌｏｇ狓和狔＝ｌｏｇ狓的图象的公共点吗？ ２ １ ２ （２）你能得出对数函数狔＝ｌｏｇ狓一定过哪个定点吗？ 犪 函数狔＝ｌｏｇ狓和狔＝ｌｏｇ狓的图象的公共点为 （１，０）．事实上，因为 ２ １ ２ ｌｏｇ１＝０，所以狔＝ｌｏｇ狓的图象一定过点 （１，０）． 犪 犪 由以上实例，可以归纳出对数函数狔＝ｌｏｇ狓具有下列性质： 犪 （１）定义域是 （０，＋∞），因此函数图象一定在狔轴的右边． （２）值域是实数集犚． （３）函数图象一定过点 （１，０）． （４）当犪＞１时，狔＝ｌｏｇ狓是增函数；当０＜犪＜１时，狔＝ｌｏｇ狓是减 犪 犪 函数． 比较下列各题中两个值的大小： 
 （１）ｌｏｇ ３与ｌｏｇ ５； （２）ｌｎ３与ｌｎ３．００１； ０．３ ０．３ ２ ６ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（３）ｌｏｇ０．５与０． ７ （１）因为０＜０．３＜１，所以狔＝ｌｏｇ 狓是减函数，又因为３＜５，  ０．３ 所以 ｌｏｇ ３＞ｌｏｇ ５． ０．３ ０．３ （２）因为ｅ＞１，所以狔＝ｌｎ狓是增函数，又因为３＜３．００１，所以 ｌｎ３＜ｌｎ３．００１． （３）因为７＞１，所以狔＝ｌｏｇ狓是增函数，又因为ｌｏｇ１＝０，而且 ７ ７ ０．５＜１，所以 ｌｏｇ０．５＜ｌｏｇ１＝０． ７ ７ 已知ｌｏｇ （２犿）＜ｌｏｇ （犿－１），求犿的取值范围． 
 ０．７ ０．７ 因为狔＝ｌｏｇ 狓的定义域为 （０，＋∞），而且是减函数，所以由已  ０．７ 知有２犿＞犿－１＞０，即 烄２犿＞犿－１， 烅 烆犿－１＞０． 解得犿＞１． 求下列函数的定义域： 
 （１）狔＝ｌｇ（４－狓）； （２）狔＝ｌｎ狓２． （１）因为狔＝ｌｇ（４－狓）有意义的充要条件是４－狓＞０，即狓＜４，所以  所求定义域为 （－∞，４）． （２）因为狔＝ｌｎ狓２ 有意义的充要条件是狓２＞０，即狓≠０，所以所求定 义域是 （－∞，０）∪（０，＋∞）． 
* + A 在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，只要输入对数函数的表达式，就可以得到对应的图 象，如图４２５所示是用 ＧｅｏＧｅｂｒａ作出的犳（狓）＝ｌｏｇ狓，犵（狓）＝ｌｏｇ狓， ２ １ ２ 犺（狓）＝ｌｏｇ 狓，狆（狓）＝ｌｎ狓，狇（狓）＝ｌｇ狓的图象，你能从中得出什么规律吗？ ０．３ 图４２５ ４．２ 对数与对数函数 ２７" ? 已知对数函数的图象过点 （９，２），求这个对数函数的解析式． ? 写出函数狔＝ｌｏｇ狓与狔＝ｌｏｇ狓的定义域、值域、单调性，并在同一平面直角 ３ １ ３ 坐标系内作出它们的图象． ? 比较下列各题中两个值的大小： （１）ｌｇ６与ｌｇ８； （２）ｌｏｇ ６与ｌｏｇ ４； ０．５ ０．５ （３）ｌｏｇ０．５与ｌｏｇ０．６； （４）ｌｏｇ １．６与ｌｏｇ １．４． ２ ２ １．５ １．５ ３ ３ ? 已知犪，犫均为正实数，而且ｌｎ犪＞ｌｎ犫，判断犪和犫的大小． ? 求函数狔＝ｌｏｇ狓，狓∈［８，＋∞）的值域． ２ # ? 已知犪是正实数，比较下列各题中两个值的大小： （１）ｌｇ犪与ｌｇ（犪＋０．１）； （２）ｌｎ２与ｌｎ（犪２＋２）． ? 根据下列各式，确定犪的取值范围： （１）ｌｏｇ０．８＞ｌｏｇ１．２； （２）ｌｏｇ 槡１０＞ｌｏｇπ； 犪 犪 犪 犪 （３）ｌｏｇ 犪＞ｌｏｇ ３； （４）ｌｏｇ犪＞０． ０．２ ０．２ ２ ? 求下列函数的定义域： １ （１）狔＝ｌｏｇ（１＋狓）； （２）狔＝ ； ５ ｌｏｇ狓 ２ １ （３）狔＝ｌｏｇ ； （４）狔＝槡ｌｏｇ狓． ７１－３狓 ３ ? 求函数狔＝ｌｏｇ（狓２＋狓＋１）的值域． ２ ? 利用对数函数的性质与图象求下列方程或不等式的解集： ３ （１）ｌｏｇ狓＝狓－１； （２）ｌｏｇ狓＞－ （狓－１）． ２ １ ２ ３ ? 利用ｌｇ３≈０．４７７１，求３２０１８有多少位数．  （０，＋∞）  犚  非奇非偶函数  增函数 ２ ８ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数" ? 把下列指数式化为对数式，把对数式化为指数式 （犪＞０且犪≠１）： （１）犪１＝犪； （２）犪０＝１； ２ （３）ｌｏｇ犖＝犫； （４）ｌｏｇ 槡３犪２＝ ． 犪 犪 ３ ? 求下列各式的值： （１）ｌｎｅ－２； （２）ｅｌｎπ ； （３）ｌｏｇ２＋ｌｏｇ６； （４）ｌｇ２００－ｌｇ２． １２ １２ ? 求证： ４ （１）ｌｏｇ８１＝ ｌｏｇ３； （２）ｌｏｇ６４＝３ｌｏｇ６４． ８ ３ ２ ２ ８ ? 求证：ｌｏｇ狔×ｌｏｇ狕＝ｌｏｇ狕． 狓 狔 狓 ? 已知ｌｏｇ５＝犪，ｌｏｇ７＝犫，用犪，犫表示ｌｏｇ９． ９ ９ ３５ ? （１）如果犳（狓）＝犪狓，其中犪＞０且犪≠１，求证： 犳（狓＋狓）＝犳（狓）犳（狓）； １ ２ １ ２ （２）如果犳（狓）＝ｌｏｇ狓，其中犪＞０且犪≠１，求证： 犪 犳（狓狓）＝犳（狓）＋犳（狓）． １ ２ １ ２ ? 求下列函数的定义域： （１）狔＝槡ｌｇ狓； （２）狔＝ｌｎ（狓－１）２； １ （３）狔＝槡１－ｌｏｇ狓； （４）狔＝ ． １ 槡ｌｏｇ狓－１ ２ １ ２ # ? 求下列各式的值： （３１ ） 槡 （１）ｌｏｇ３２； （２）ｌｇ２０＋ｌｏｇ ２５； （３）ｌｏｇ ×槡６１６ ． ６４ １００ ２ １６ ? 求下列各式的值： ３００ ７００ ２ ２ （１）ｌｇ ＋ｌｇ ＋ｌｇ１００； （２）ｌｏｇ －ｌｏｇ ； ７ ３ ７３５ ７５ （３）２ｌｏｇ３＋ｌｏｇ２； （４）（ｌｇ５）２＋ｌｇ２×ｌｇ２５＋（ｌｇ２）２． １８ １８ ? 已知ｌｇ２≈０．３０１０，ｌｇ７≈０．８４５１，求ｌｇ３５的近似值 （精确到０．０００１）． １ ? 已知ｌｏｇ３＝犪，ｌｏｇ４＝犫，求证：ｌｏｇ１２＝ （犪＋犫）． ５ ５ ２５ ２ ４．２ 对数与对数函数 ２９? 求下列函数的定义域： （１）狔＝ｌｏｇ狓＋ｌｏｇ（３－狓）； （２）狔＝槡８ｌｏｇ狓； ２ ２ ２ （３）狔＝槡ｌｏｇ （４狓－３）； （４）狔＝槡狓２－狓＋１＋ｌｏｇ（３狓）． ０．５ ２ ? 已知０＜犿＜狀，比较ｌｏｇ７，ｌｏｇ７的大小． 犿 狀 ? 已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ（１＋狓）＋ｌｏｇ（１－狓）． ２ ２ （１）求犳（狓）的定义域； （２）判断犳（狓）的奇偶性； （ ） 槡２ （３）求犳 的值． ２ $ ? 已知犳（狓）为定义在犚上的奇函数，且当狓＞０时，犳（狓）＝ｌｏｇ狓． １ ２ （１）求狓＜０时犳（狓）的解析式； （２）求不等式犳（狓）≤２的解集． ? 设犳（狓）＝ｌｏｇ狓，其中犪＞０且犪≠１，比较 犪 犳（狓）＋犳（狓） （狓＋狓） １ ２ 与犳 １ ２ ２ ２ 的大小，并证明． ３ ０ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数． ! $!"#%#$&#%#’() 从前面的知识中可以看出，指数函数与对数函数之间有非常密切的 联系． 例如，当犪＞０且犪≠１时，有 狔＝犪狓狓＝ｌｏｇ狔， 犪 而且指数函数与对数函数的性质可列表如下． 函数 指数函数狔＝犪狓 对数函数狔＝ｌｏｇ狓 犪 定义域   值域   单调性 ０＜犪＜１时，为 ；犪＞１时，为 由此可以看出，指数函数狔＝犪狓 与对数函数狔＝ｌｏｇ狓中，一个函数的 犪 定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．为什么会这样呢？这 是因为在上述两个函数中，通过对调其中一个函数的自变量和因变量，可得 到另一个函数． 一般地，如果在函数狔＝犳（狓）中，给定值域中任意一个狔的值，只有 唯一的狓与之对应，那么狓是狔的函数，这个函数称为狔＝犳（狓）的反函数． 此时，称狔＝犳（狓）存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用狓表示，因 变量仍用狔表示，则函数狔＝犳（狓）的反函数的表达式，可以通过对调狔＝ 犳（狓）中的狓与狔，然后从狓＝犳（狔）中求出狔得到． 例如，狔＝２狓 是增函数，因此任意给定一个狔值，只有唯一的狓与之 对应，所以狔＝２狓 存在反函数．对调狔＝２狓 中的狓和狔得狓＝２狔 ，解得 狔＝ｌｏｇ狓． ２ y 因此狔＝ｌｏｇ狓是狔＝２狓 的反函数． y=2x ２ 图４３１是同一平面直角坐标系内函数 狔＝２狓 以及它的反函数狔＝ｌｏｇ狓的图象， ２ 1 不难看出，它们的图象关于直线狔＝狓 y=log 2 x 对称． O 1 x 一般地，函数狔＝犳（狓）的反函数记作 狔＝犳－１（狓）．值得注意的是，狔＝犳（狓）的 图４３１ ４．３ 指数函数与对数函数的关系 ３１定义域与狔＝犳－１（狓）的值域相同，狔＝犳（狓）的值域与狔＝犳－１（狓）的定义域 相同，狔＝犳（狓）与狔＝犳－１（狓）的图象关于直线狔＝狓对称． 分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如 
 果存在，写出反函数． （１） 狓 １ ２ ３ ４ ５ 犳（狓） ０ ０ １ ３ ５ （２） 狓 １ ２ ３ ４ ５ 犵（狓） －１ ０ １ －２ ５ （１）因为犳（狓）＝０时，狓＝１或狓＝２，即对应的狓不唯一，因此  犳（狓）的反函数不存在． （２）因为对犵（狓）的值域｛－１，０，１，－２，５｝中任意一个值，都只有 唯一的狓与之对应，所以犵（狓）的反函数犵－１（狓）存在，而且反函数可以 表示如下． 狓 －２ －１ ０ １ ５ 犵－１（狓） ４ １ ２ ３ ５ 判断犳（狓）＝２狓＋２的反函数是否存在，如果不存在，说明理由； 
 如果存在，写出反函数犳－１（狓）的解析式，并在同一平面直角坐标系中作 出犳（狓）与犳－１（狓）的函数图象． 因为犳（狓）＝２狓＋２是增函数，  因此任意给定值域中的一个值，只有 y f(x)=2x+2 唯一的狓与之对应，所以犳（狓）存在 反函数． 令狔＝２狓＋２，对调其中的狓和狔 1 1 得狓＝２狔＋２，解得 O x 1 １ f−1(x)= x−1 狔＝ 狓－１， 2 ２ 因此 图４３２ １ 犳－１（狓）＝ 狓－１． ２ 犳（狓）与犳－１（狓）的函数图象如图４３２所示． 由反函数的定义可知，如果狔＝犳（狓）是单调函数，那么它的反函数 狔＝犳－１（狓）一定存在．此时，如果狔＝犳（狓）是增函数，则狔＝犳－１（狓）也是 增函数；如果狔＝犳（狓）是减函数，则狔＝犳－１（狓）也是减函数． ３ ２ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数" ? 求函数狔＝３狓的反函数． ? 求函数狔＝ｌｏｇ狓的反函数． ６ ? 如果点 （１，２）在函数狔＝犳（狓）的图象上，且狔＝犳（狓）的反函数存在，指出 这个函数的反函数一定过哪个点． ? 判断犳（狓）＝－３狓＋２的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存 在，写出反函数的解析式． ? 判断下列函数是否存在反函数： ３ （１）狔＝－ ； （２）狔＝狓２． 狓 # ? 已知点 （１，５）在指数函数狔＝犳（狓）的图象上，求犳－１（狓）． ? 一次函数犳（狓）＝犽狓＋犫（犽≠０）是否一定存在反函数？如果不存在，说明理 由；如果存在，求出犳－１（狓）． ? 判断下列函数是否存在反函数： １ （１）狔＝ －１； （２）狔＝狓２＋２狓． 狓＋２ ? 函数犳（狓）＝狓２，狓≥３是否一定存在反函数？如果不存在，说明理由；如果 存在，求出犳－１（狓）． １ ? 指出函数狔＝ ｅ狓的图象与函数狔＝ｌｎ（２狓）的图象之间的关系． ２ ? 如果狔＝犳（狓）存在反函数，则狔＝犳（狓）一定是单调函数吗？ $ ? 如果狔＝犳（狓）存在反函数狔＝犳－１（狓），那么狔＝犳（狓）的图象与狔＝犳－１（狓） 的图象一定有交点吗？如果有交点，交点一定在直线狔＝狓上吗？ ? （１）求出犳（狓）＝３狓＋１的反函数犳－１（狓），并求出犳（犳－１（狓））与犳－１（犳（狓）） 的值； （２）如果狔＝犳（狓）存在反函数狔＝犳－１（狓），写出犳（犳－１（狓））与犳－１（犳（狓）） 的值．  犚  （０，＋∞）  （０，＋∞）  犚  减函数  增函数 ４．３ 指数函数与对数函数的关系 ３３． ! !!*%#  我们已经知道，在关系式犖＝犪犫中，当底数犪为大于０且不等于１的常数时： 如果把犫作为自变量、犖作为因变量，则犖就是犫的指数函数；如果把犖作为自变 量、犫作为因变量，则犫就是犖的对数函数 （即犫＝ｌｏｇ犖）．那么，当犫为常数时， 犪 能否将底数犪作为自变量、犖作为因变量来构造函数关系呢？ 在关系式犖＝犪犫 中，以犪为自变量、犖为因变量构造出来的函数就是 本节我们要讨论的幂函数． 
 A( １ 我们以前学过函数狔＝狓，狔＝狓２，狔＝ ，这三个函数的解析式有什么共同的 狓 特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？ 一般地，函数 狔＝狓α １ 称为幂函数，其中α为常数．上面提到的函数狔＝狓，狔＝狓２，狔＝ 都是幂 狓 函数． 下面我们通过具体函数来研究幂函数的一些性质． 首先来研究函数狔＝狓１． ２ A( １ １ 判断－４，－３，－２，－１，－ ，０， ，１，２，３，４这些数中，哪些在函数 ４ ４ 狔＝狓１的定义域内，求出对应的函数值，并填写下表 （只需填在定义域内的数及对应 ２ 的函数值），由此猜测这个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由． ３ ４ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数A( 狓 狔＝狓１ ２ 由于狔＝狓１＝槡狓，由此不难知道，函数狔＝狓１的性质有： ２ ２ （１）定义域是 ； （２）值域是 ； （３）奇偶性是 ； （４）单调性是 ． 根据以上信息可知，函数狔＝狓１的图象上的点，除了原点，其余点都 ２ 在第一象限，通过描点 （如图４４１所示），可作出其图象，如图４４２ 所示． y y 1 1 O 1 x O 1 x 图４４１ 图４４２ 下面来研究函数狔＝狓３． A( y 给出研究函数狔＝狓３ 的性质与图象的 y=x2 方法，并用你的方法得出这个函数的性质： y=x （１）定义域是 ； 1 （２）值域是 ； （３）奇偶性是 ； O 1 x y=x−1 （４）单调性是 ； （５）图４４３中已经作出了函数狔＝ 狓－１，狔＝狓，狔＝狓２的图象，在其中作出函 数狔＝狓３的图象． 图４４３ 一般地，幂函数狔＝狓α ，随着α的取值不同，函数的定义域、值域、奇 偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征： ４．４ 幂函数 ３５（１）所有的幂函数在区间 （０，＋∞）上都有定义，因此在第一象限内 都有图象，并且图象都通过点 （１，１）． （２）如果α＞０，则幂函数的图象通过原点，并且在区间 ［０，＋∞）上 是增函数． （３）如果α＜０，则幂函数在区间 （０，＋∞）上是减函数，且在第一象 限内：当狓从右边趋向于原点时，图象在狔轴右方且无限逼近狔轴；当狓 无限增大时，图象在狓轴上方且无限逼近狓轴． 比较下列各题中两个值的大小： 
 （１）２．３１．１ 和２．５１．１； （２）（犪２＋２）－１ ３ 和２－１ ３ ． （１）考察幂函数狔＝狓１．１，因为其在区间 ［０，＋∞）上是增函数，  而且２．３＜２．５，所以 ２．３１．１＜２．５１．１． （２）考察幂函数狔＝狓－１，因为其在区间 （０，＋∞）上是减函数， ３ 而且犪２＋２≥２，所以 （犪２＋２）－１ ３ ≤２－１ ３ ． 讨论函数狔＝狓２的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图象， ３ 
 并根据图象说明函数的单调性．  因为狔＝狓２ ３ ＝槡３狓２，所以不难看出函数的定义域是实数集犚． 记犳（狓）＝狓２，则 ３ 犳（－狓）＝（－狓）２ ３ ＝槡３（－狓）２＝槡３狓２＝狓２ ３ ＝犳（狓）， 所以函数狔＝狓２是偶函数．因此，函数的图象关于狔轴对称． ３ 通过列表描点，可以先作出狔＝狓２在狓∈［０，＋∞）时的函数图象， ３ 再根据对称性，可作出它在狓∈（－∞，０］时的图象，如图４４４所示． y 1 O 1 x 图４４４ 由图象可以看出，函数狔＝狓２在区间 （－∞，０］上单调递减，在区 ３ 间 ［０，＋∞）上单调递增． ３ ６ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数
* + A 在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，只要输入幂函数的表达式，就可以得到对应的图象， 如图４４５所示是用ＧｅｏＧｅｂｒａ作出的犳（狓）＝狓－１，犵（狓）＝狓１ ２ ，犺（狓）＝狓， 狆（狓）＝狓２，狇（狓）＝狓３ 的图象，你能从中得出什么规律吗？ 图４４５ " ? 已知幂函数的图象经过点 （９，３），求这个幂函数的解析式． ? 判断函数狔＝狓－３与狔＝狓－２的奇偶性． ? 写出函数狔＝狓５与狔＝狓４的定义域和值域． ４ ５ ? 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （１）２．３１与２．４１； （２）０．３１－６与２－６． ２ ２ ５ ５ ? 已知函数犳（狓）＝狓α 的定义域为 ［０，＋∞），写出两个满足条件的α值． # ? 已知幂函数犳（狓）＝狓α 的图象经过点 （８，２），求犳（－２７）的值． ? 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （ ） （１） ２狋 １．５与（狋２＋１）１．５； （２）１．３１ ２ 与０．４－１ ２ ． ４．４ 幂函数 ３７? 求出下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性： （１）犳（狓）＝狓２＋狓－２； （２）犳（狓）＝狓＋３狓２ ３ ； （３）犳（狓）＝狓３＋狓１ ３ ； （４）犳（狓）＝２狓４＋狓－１ ２ ． ? 求函数犳（狓）＝（狓＋２）－２的定义域，并指出其单调区间． ? 已知幂函数狔＝狓α 的图象经过犃（０，０），犅（１，１），犆（－１，１），犇（４，２） 中的三个点，写出满足条件的一个α值． ? 在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象，总结出一般规律： （１）狔＝狓－３和狔＝狓－１ ３ ； （２）狔＝狓５ ４ 和狔＝狓４ ５ ． $ ? 如图所示是６个函数的图象，依据图中的信息将犪，犫，犮，犱从大到小排列． y=ax y=bx y y=x y=cx y=log x 2 y=log x d O x （第１题） ? 求证：方程 ３狓＋４狓＝５狓 只有一个实数解．  ［０，＋∞）  ［０，＋∞）  非奇非偶函数  增函数  犚  犚  奇函数  增函数 ３ ８ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数． ! %!+,-.’/0  一家世界５００强公司曾经出过类似这样的一道面试题： 有一套房子，价格为２００万元，假设房价每年上涨１０％，某人每年固定能攒下 ４０万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少 年才能攒够钱买这套房子？ （Ａ）５年 （Ｂ）７年 （Ｃ）８年 （Ｄ）９年 （Ｅ）永远也买不起 你能给出这道题的答案吗？ 情境中的问题涉及增长速度的比较． 我们已经知道，函数狔＝犳（狓）在区间 ［狓，狓］（狓＜狓 时）或 ［狓， １ ２ １ ２ ２ 狓］（狓＞狓 时）上的平均变化率为 １ １ ２ Δ犳 犳（狓）－犳（狓） ＝ ２ １ ． Δ狓 狓－狓 ２ １ 也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这 Δ犳 也可以理解为：自变量每增加１个单位，函数值平均将增加 个单位．因 Δ狓 此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢． 例如，当犵（狓）＝２狓＋３，犺（狓）＝３狓－２时，容易算出 Δ犵 Δ犺 ＝２， ＝３． Δ狓 Δ狓 这就是说，自变量每增加１个单位，犵（狓）将增加２个单位，而犺（狓）将增加 ３个单位．这也就意味着，即使犺（狓）＜犵（狓），但当Δ狓足够大时，必将有 ０ ０ 犺（狓＋Δ狓）＞犵（狓＋Δ狓）． ０ ０ 再例如，当犳（狓）＝狓２－２狓－１时，则 Δ犳 狓２－２狓－１－（狓２－２狓－１） ＝ ２ ２ １ １ Δ狓 狓－狓 ２ １ ＝（狓＋狓）－２， １ ２ 由此可知，在 ［１，＋∞）内，自变量每增加１个单位，区间长不变的条件下， ４．５ 增长速度的比较 ３９端点数值之和越大，犳（狓）的函数值增加越快． 例如，犳（狓）在区间 ［１，２］上的平均变化率 y 为 ，在区间 ［２，３］上的平均变化率为  ．从图象上来看，如图４５１所示，线段犃犅 所在直线的斜率小于线段犅犆所在直线的斜率． C 已知函数狔＝２狓，分别计算函数在 1 
 1 区间 ［１，２］与 ［２，３］上的平均变化率， O x 并说明，当自变量每增加１个单位时，函数 B A 值变化的规律． 设１≤狓＜狓≤２，因为 图４５１  １ ２ Δ狔 ２狓－２狓 ２狓（２狓－狓－１） ＝ ２ １ ＝ １ ２ １ ， Δ狓 狓－狓 狓－狓 ２ １ ２ １ 所以 ２１（２２－１－１） 狔＝２狓 在区间 ［１，２］上的平均变化率为 ＝２； ２－１ 狔＝２狓 在区间 ［２，３］上的平均变化率为 ． 不难看出，当自变量每增加１个单位时，区间的左端点值越大，函数 值增加越快． 已知函数犳（狓）＝２狓，犵（狓）＝狓，犺（狓）＝ｌｏｇ狓，分别计算这三 
 ２ 个函数在区间 ［犪，犪＋１］（犪＞１）上的平均变化率，并比较它们的大小． 因为  Δ犳 ２犪＋１－２犪 ＝ ＝２犪， Δ狓 （犪＋１）－犪 Δ犵 （犪＋１）－犪 ＝ ＝１， Δ狓 （犪＋１）－犪 Δ犺 ｌｏｇ（犪＋１）－ｌｏｇ犪 （ １） ＝ ２ ２ ＝ｌｏｇ １＋ ， Δ狓 （犪＋１）－犪 ２ 犪 又因为犪＞１时，有 ２犪＞２１＝２＞１， y （ １） （ １） f(x)=2x ｌｏｇ １＋ ＜ｌｏｇ １＋ ＝１， ２ 犪 ２ １ g(x)=x 所以在区间 ［犪，犪＋１］上，犳（狓）的平 均变化率最大，犺（狓）的最小． 例２的结论也可用图４５２来直观理解． 1 h(x)=log 2 x 通过例１和例２的计算可以看出，当自 O a a+1 x 变量每增加１个单位时，随着自变量的无限 图４５２ ４ ０ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数增大，犳（狓）＝２狓 的函数值增长会越来越快，而且比函数犵（狓）＝狓和函数 犺（狓）＝ｌｏｇ狓的增长速度都快． ２ 一般地，当犪＞１时，指数函数犳（狓）＝犪狓 都具有这个特征．也正因为如 此，人们一般将类似指数函数的增长称为指数增长 （或指数级增长、爆炸式 增长），将类似一次函数的增长称为线性增长 （或直线增长）．例如，《人民 日报》２０１６年８月２４日的一篇文章中提道：“我们要在传统媒体有线性增 长的基础上，使新兴媒体有指数级的增长．” 本节情境与问题中的房价是指数增长的，而攒的钱是线性增长的，因为 指数增长的速度会越来越快，所以在题目给定的条件下，永远也买不起房 子，这可通过下表的计算结果 （精确到１万元）看出． 年数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 房价／万元 ２２０ ２４２ ２６６ ２９３ ３２２ ３５４ ３９０ ４２９ ４７２ 攒的钱／万元 ４０ ８０ １２０ １６０ ２００ ２４０ ２８０ ３２０ ３６０ 需要注意的是，前述面试题中的情形在现实生活中是不可能发生的，因 为房价不可能按照每年１０％的速度永远增长下去，而且买房时可以选择按 揭贷款等． KA !"#$%&’() 指数函数的爆炸式增长源自指数运算的 ０．９９３６５≈ ？ 性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运 １．０１２１９×０．９８１４６≈ ？ 算的值时，可能会出现比较大的误差．例如， ０．９５５０≈ ？ 你能猜出以下各指数运算的值都大概是多少吗？ 有意思的是，如图所示，有人还用上述 １．０１３６５≈ ？ 这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲 １．０２３６５≈ ？ 学，你觉得有道理吗？ 1.01365 ≈37.78 1.02365 ≈1 377.41 0.99365 ≈ 0.03 1.01365 ≈37.78        1.01219 × 0.98146 ≈ 0.46 0.9550 ≈0.08       95   50  8 ４．５ 增长速度的比较 ４１" ? 求犳（狓）＝５狓＋１在任意区间上的平均变化率，并说明自变量每增加１个单位 时函数值的变化情况． ? 已知函数犳（狓）＝２狓，犵（狓）＝３狓，分别计算这两个函数在区间 ［３，４］上的 平均变化率，并比较它们的大小． ? 已知函数犳（狓）＝－狓２－３狓． （１）求犳（狓）在区间 ［１，２］与 ［２，３］上的平均变化率； （２）记犃（１，犳（１）），犅（２，犳（２）），犆（３，犳（３）），判断直线犃犅与直线犅犆 斜率的相对大小． # ? 已知函数犳（狓）的定义域为犚，分别判断下列条件下犳（狓）的单调性： （１）犳（狓）在任意区间内的平均变化率均为正数； （２）犳（狓）在任意区间内的平均变化率均比犵（狓）＝２在同一区间内的平均变化 率小． ? 已知函数犵（狓）＝２狓＋３，犺（狓）＝３狓－２，判断犵（２）与犺（２）的相对大小，并 求出使得犺（２＋Δ狓）＞犵（２＋Δ狓）成立的Δ狓的取值范围． ? 已知函数犳（狓）在任意区间内的平均变化率均为５，说明当自变量减小３个单 位时，函数值的变化情况． ? 已知函数犳（狓）的定义域为犚，且犳（狓）在任意区间内的平均变化率均为非零 常数犽，求证：犳（狓）是一个一次函数． $ ? 已知函数犳（狓）的定义域为犚，而且犳（狓）在任意区间内的平均变化率均比 犵（狓）＝狓＋１在同一区间内的平均变化率大，判断犳（３）－犳（２）与１的相对 大小． ? 写出同时满足下列条件的一个函数犳（狓）：若 ［犪，犫］是犳（狓）的定义域的任 意子区间，则犳（狓）在区间 ［犪，犫］内的平均变化率均为正；犳（狓）在整个定 义域内不是增函数． ２２（２３－２－１）  １  ３  ＝４ ３－２ ４ ２ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数． ! &!%#’12345 因为生活中很多量与量的关系都可以归结为指数关系，所以指数函数、 对数函数和幂函数有着广泛的应用．下面举例说明． 有些银行存款是按复利的方式计算利息的，即把前一期的利息与 
 本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息．假设最开始本金为犪元， 每期的利率为狉（狉＞０），存狓期后本息和为犳（狓）元． （１）写出犳（狓）的解析式； （２）至少要经过多少期后，本息和才能不小于本金的２倍？ （１）不难看出，  犳（１）＝犪＋犪狉＝犪（１＋狉）， 犳（２）＝犪（１＋狉）＋犪（１＋狉）狉＝犪（１＋狉）２， 犳（３）＝犪（１＋狉）２＋犪（１＋狉）２狉＝犪（１＋狉）３， …… 因此 犳（狓）＝犪（１＋狉）狓，狓∈犖． （２）由犳（狓）≥２犪可得 犪（１＋狉）狓≥２犪， ｌｎ２ 由此可解得狓≥ ． ｌｎ（１＋狉） ｌｎ２ 设不小于 的最小整数为狓，则至少要经过狓 期后，本息和 ｌｎ（１＋狉） ０ ０ 才能不小于本金的２倍． 由例１的 （２）可以得到银行业中经常使用的 “７０原则”：因为ｌｎ２≈ ０．６９３１５，而且当狉比较小时，ｌｎ（１＋狉）≈狉，所以 ｌｎ２ ０．６９３１５ ７０ ≈ ≈ ， ｌｎ（１＋狉） 狉 １００狉 ７０ 即利率为狉时，本息和大约要 期才能 “倍增” （即为原来的２倍）．例 １００狉 如，当年利率为５％时，约要经过１４年，本息和才能 “倍增”． 按照 《国务院关于印发 “十三五”节能减排综合工作方案的通 
 知》（国发 〔２０１６〕７４号）的要求，到２０２０年，全国二氧化硫排放总量 ４．６ 函数的应用 （二） ４３要控制在１５８０万吨以内，要比２０１５年下降１５％．假设 “十三五”期间 每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，２０１５年后第狋（狋＝０，１， ２，３，４，５）年的二氧化硫排放总量最大值为犳（狋）万吨． （１）求犳（狋）的解析式； （２）求２０１９年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内 （精确 到１万吨）． （１）设 “十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均  为狉，因为犳（０）表示２０１５年的排放总量，所以由题意可知 犳（狋）＝犳（０）（１－狉）狋，狋＝０，１，２，３，４，５． 又因为 烄犳（５）＝１５８０， 烅 烆犳（５）＝犳（０）（１－１５％）， ３１６００ 所以犳（０）＝ ，１－狉＝０．８５１，从而 １７ ５ ３１６００ 犳（狋）＝ ×０．８５狋，狋＝０，１，２，３，４，５． １７ ５ （２）由 （１）可知 ３１６００ 犳（４）＝ １７ ×０．８５４ ５≈１６３２， 因此２０１９年全国二氧化硫排放总量要控制在１６３２万吨以内． 已知某地区第一年的经济增长率为犪（犪∈［０，１］且犪为常数）， 
 第二年的经济增长率为狓（狓≥０），这两年的平均经济增长率为狔，写出 狔与狓的关系，并求狔的最小值． 根据题意有  （１＋犪）（１＋狓）＝（１＋狔）２， 从而有 狔＝槡（１＋犪）（１＋狓）－１，狓≥０． 显然，上述函数是增函数，因此狓＝０时，狔有最小值槡１＋犪－１． 人们通常以分贝 （符号是ｄＢ）为单位来表示声音强度的等级， 
 其中０ｄＢ是人能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为狓的声音 对应的等级为犳（狓）ｄＢ，则有 狓 犳（狓）＝１０ｌｇ ． １×１０－１２ （１）求等级为０ｄＢ的声音的强度； （２）计算出９０ｄＢ的声音与６０ｄＢ的声音强度之比． ４ ４ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（１）由犳（狓）＝０即  狓 １０ｌｇ ＝０ １×１０－１２ 可得狓＝１×１０－１２．因此等级为０ｄＢ的声音强度为１×１０－１２． （２）设犳（狓）＝９０，则 １ 狓 １０ｌｇ １ ＝９０， １×１０－１２ 解得狓＝１０－３． １ 设犳（狓）＝６０，同理可得狓＝１０－６． ２ ２ 因此所求强度之比为 狓 １０－３ １＝ ＝１０００． 狓 １０－６ ２ 值得注意的是，由例４的 （２）可以看出，９０ｄＢ的声音强度是６０ｄＢ的 声音强度的１０００倍．实际上，６０ｄＢ是一般说话的声音等级，而很嘈杂的 马路的声音等级为９０ｄＢ．为了保护听力，人所处的环境，声音一般不宜长 时间超过９０ｄＢ． " ? 据报道，青海湖的湖水量在最近５０年内减少了１０％，如果按此规律 （即每 ５０年减少１０％），设２０１０年的湖水量为犿，从２０１０年起过狓年后湖水量为 狔．试写出狔与狓的函数关系式． ? 按照 《国务院关于印发 “十三五”节能减排综合工作方案的通知》 （国发 〔２０１６〕７４号）的要求，到２０２０年，全国化学需氧量排放总量要控制在 ２００１万吨以内，要比２０１５年下降１０％．假设 “十三五”期间每一年化学需 氧量排放总量下降的百分比都相等，２０１５年后第狋（狋＝０，１，２，３，４，５） 年的化学需氧量排放总量最大值为犳（狋）万吨． （１）求犳（狋）的解析式； （２）求２０１９年全国化学需氧量排放总量要控制在多少万吨以内 （精确到１万吨）． ? 近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量犙与时间 狋（单位：年）的关系为犙＝犙ｅ－狋，其中犙 是臭氧的初始含量． ４００ ０ ０ （１）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （２）多久以后将会有一半的臭氧消失 （精确到１年）？ 狓 ? 已知强度为狓的声音对应的等级为犳（狓）ｄＢ时，有犳（狓）＝１０ｌｇ ．喷 １×１０－１２ 气式飞机起飞时，声音约为１４０ｄＢ；一般说话时，声音约为６０ｄＢ．计算喷气 式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的多少倍． ４．６ 函数的应用 （二） ４５# ? 根据统计，一名工人组装第狓件某产品所用的时间 （单位：ｍｉｎ）为 烄犮 ，狓＜犃， 槡狓 犳（狓）＝烅 犮 ，狓≥犃， 烆 槡犃 其中犃，犮为常数，已知工人组装第４件产品用时３０ｍｉｎ，组装第犃件产品 用时１５ｍｉｎ，求犮和犃的值． ? 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．２００２年全球太阳能电池的年生产 量达到６７０ＭＷ，年生产量的增长率为３４％．以后四年中，年生产量的增长 率逐年递增２％ （如，２００３年的年生产量的增长率为３６％）． （１）求２００６年全球太阳能电池的年生产量 （结果精确到０．１ＭＷ）； （２）目前太阳能电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，２００６ 年的实际安装量为１４２０ＭＷ．假设以后若干年内太阳能电池的年生产量 的增长率保持在４２％，到２０１０年，要使年安装量与年生产量基本持平 （即年安装量不少于年生产量的９５％），这四年中太阳能电池的年安装量 的平均增长率至少应达到多少 （结果精确到０．１％）？ ? 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ℃，空气的温度是 １ θ℃，则狋ｍｉｎ后物体的温度θ℃ 可由公式θ＝θ＋θ（ －θ）ｅ－犽狋求得，其中 ０ ０ １ ０ 犽是常数．把温度是６２℃的物体放在１５℃的空气中冷却，１ｍｉｎ后，物体的 温度是５２℃． （１）求出犽的值； （２）计算开始冷却多久后，上述物体的温度分别是４２℃，３２℃，２２℃； （３）判断上述物体最终能否冷却到１２℃，并说明理由． ? 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用１个单位量的水可洗掉蔬菜上残留 １ 农药量的 ，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上． ２ 设用狓个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留 的农药量之比为犳（狓）． （１）试确定犳（０）的值，并解释其实际意义； （２）试根据假设写出函数犳（狓）应该满足的条件和具有的性质； １ （３）设犳（狓）＝ ，现有犪（犪＞０）个单位量的水，可以清洗一次，也可以 １＋狓２ 把水平均分成２份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农 药量比较少，说明理由． ４ ６ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数． ! ’!#6789:;<,=>’?@ 日常生活中的很多现象都可以借助函数模型加以描述，下面给大家呈现 一个借助指数函数等建立模型的实例． !"#$%&’ １发现问题、提出问题 生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度． 例如，原卫生部２００９年６月发布的 《中国７岁以下儿童生长发育参照标准》指出， 我国７岁以下女童身高 （长）的中位数如下表所示 （０岁指刚出生时），这些数据可以用 图４７１表示． 年龄／岁 ０ ０．５ １ １．５ ２ ２．５ ３ 身高／ｃｍ ４９．７ ６６．８ ７５ ８１．５ ８７．２ ９２．１ ９６．３ 年龄／岁 ３．５ ４ ４．５ ５ ５．５ ６ ６．５ 身高／ｃｍ ９９．４ １０３．１ １０６．７ １１０．２ １１３．５ １１６．６ １１９．４ DQcm 120 110 100 90 80 70 60 50 U 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 图４７１ 从数据和图都可以看出，我国７岁以下女童身高的增长速度越来越慢． 再例如，农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，得到了以下数 据，这些数据可以用图４７２直观表示． ４．７ 数学建模活动：生长规律的描述 ４７生长阶段 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 植株高度／ｃｍ ０．６７ １．７５ ３．６９ ７．７３ １６．５５ ３２．５５ ５３．３８ ９７．４６ １５３．６ １７４．９ １８０．７９ Qcm 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 +KL! 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 图４７２ 从具体的数据和图都可以看出，玉米植株高度的增长，具有先慢后快、然后又变慢的 规律． 能否利用数学语言来描述类似的生长规律呢？ ２分析问题、建立模型 要描述生长规律，实际上是要描述当一个量 （记为狓）变化时，另外一个量 （记为 狔）会怎样变化．例如，随着年龄的增长，身高将怎样变化；随着生长阶段的不同，植株 高度会怎样变化；等等． 不难想到，我们可以借助函数狔＝犳（狓）来描述生长规律． 因为从生长规律来说，当狓增大时，狔是增大的，这说明函数狔＝犳（狓）在指定的范 围内应该是增函数；又因为不同的时间段有不同的增长速度，所以函数狔＝犳（狓）不能是 一次函数． 为了简单起见，可以假设函数的变量狓，狔都是连续变化的 （也就是说可以取某个区 间内的任意值）． 当然，根据不同对象的生长规律，可以选择不同的函数形式． 例如，对于前述我国７岁以下女童身高来说，考虑到增长速度一开始比较快，后来慢 慢变缓，而我们熟悉的函数中，幂函数狔＝槡狓具有这种性质，因此生长规律可用 犵（狓）＝犪槡狓＋犫 来描述． 类似地，对于前述玉米植株高度来说，因为增长速度一开始比较慢，后来逐渐加快， 而我们熟悉的函数中，指数函数狔＝犪狓 （犪＞１）具有这种性质，因此生长规律可用 犺（狓）＝犪ｅ犫狓 来描述． ４ ８ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数３确定参数、计算求解 对于描述我国７岁以下女童身高的函数犵（狓）＝犪槡狓＋犫来说，为了确定犪，犫的值， 可以在已有的数据中选择两对代入函数式，然后列方程组求解． 例如，如果选择的是犵（０）＝４９．７与犵（４）＝１０３．１，则有 烄犪槡０＋犫＝４９．７， 烅 烆犪槡４＋犫＝１０３．１， 由此可解得犪＝２６．７，犫＝４９．７，所以 犵（狓）＝２６．７槡狓＋４９．７． 类似地，也可选择已有数据中的两对来确定函数犺（狓）＝犪ｅ犫狓 中的犪，犫． 例如，如果选择的是犺（２）＝１．７５与犺（８）＝９７．４６，则有 烄犪ｅ２犫＝１．７５， 烅 烆犪ｅ８犫＝９７．４６， 由此可解得犪≈０．４５８，犫≈０．６７０，所以 犺（狓）＝０．４５８ｅ０．６７０狓． ４验证结果、改进模型 因为在求解时，我们都只用到了部分已有的数据，所以可以利用其他数据来检验所建 立模型的优劣． 例如，对于描述我国７岁以下女童身高的函数犵（狓）＝２６．７槡狓＋４９．７来说，计算函 数值，可以得到以下数据的对比表． 年龄／岁 ０．５ １ １．５ ２ ２．５ ３ 身高／ｃｍ ６６．８ ７５ ８１．５ ８７．２ ９２．１ ９６．３ 犵（狓） ６８．６ ７６．４ ８２．４ ８７．５ ９１．９ ９５．９ 年龄／岁 ３．５ ４．５ ５ ５．５ ６ ６．５ 身高／ｃｍ ９９．４ １０６．７ １１０．２ １１３．５ １１６．６ １１９．４ 犵（狓） ９９．７ １０６．３ １０９．４ １１２．３ １１５．１ １１７．８ 由表可以看出，误差都在２ｃｍ以内，因此犵（狓）＝２６．７槡狓＋４９．７能够较好地反映我 国７岁以下女童身高的生长规律． 对于玉米植株高度函数犺（狓）＝０．４５８ｅ０．６７０狓 来说，可以算得函数值的对应表如下． 生长阶段 １ ３ ４ ５ ６ ７ ９ １０ １１ 植株高度／ｃｍ ０．６７ ３．６９ ７．７３ １６．５５ ３２．５５ ５３．３８ １５３．６ １７４．９ １８０．７９ 犺（狓） ０．９０ ３．４２ ６．６８ １３．０５ ２５．５１ ４９．８５ １９０．４０ ３７２．０８ ７２７．１４ 不难看出，在前面７个阶段内，犺（狓）的函数值与实际值之间的误差不大，但是第９～ １１阶段就不一样了． ４．７ 数学建模活动：生长规律的描述 ４９这种现象实际上是可以预料到的．因为指数函数犺（狓）＝０．４５８ｅ０．６７０狓 的增长速度会越 来越快，这就意味着这个函数一定不能反映出植株高度的实际增长规律 （即先慢后快，然 后又变慢）． " １根据 “数学建模论文示例”中的结果，借助计算机软件等完成下列 任务： （１）在已有的数据中，选择不同的数据确定我国７岁以下女童身高和玉 米植株高度模型中的参数，然后比较不同参数确定的结果之间的差异； （２）尝试用犵（狓）＝犪ｌｇ（狓＋犫）描述我国７岁以下女童身高的生长规律， 选择合适数据确定参数，并将有关结果与示例中的结果进行比较； （３）尝试寻找描述玉米植株高度的、不同于犺（狓）＝犪ｅ犺狓 的函数模型 （提示：可以考虑分段函数），选择合适数据确定参数，并将有关结果与示例 中的结果进行比较； （４）人们一般用逻辑斯谛模型 犽 犳（狓）＝ １＋犮ｅ－狉狓 来描述类似玉米植株高度的增长规律，因为这一函数的图象与图４７２更相 似．选择合适的数据，确定出逻辑斯谛模型中的参数值，并对函数值与实际 值进行比较，由此写出得到的启发． ２按照优势互补的原则，跟其他同学组成一个数学建模小组，在以下 两个题目中，任选一个进行数学建模实践． （１）观察特定植物 （如葱、水仙花）的生长情况，定期记录有关数据， 探索生长规律，并按照类似本节的方法建立对应的生长模型． （２）了解人口增长的规律，一直都是人们特别感兴趣的事情．与其他同 学合作，查找某一地区或某一国家人口的历史数据，尝试建立相关的数学模 型，并利用数学模型加以预测． ５ ０ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数    简单归纳的话，本章我们主要是在学习指数运算的基础上，学习了指数函数和 幂函数的知识；在学习对数运算的基础上，学习了对数函数的知识．同以前一样，函 数的学习主要关注的是函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等．由此可作出知识结 构图如下图所示．        F     1  1  F      B                 上图当然还可以细化，也可以用另外的图表形式来体现，请大家自己动手试 一试．   （１）指数函数、对数函数与幂函数三者之间存在紧密的联系，试整理有关内容， 写成小论文，并与其他同学交流． （２）历史上，对数运算的引入是为了简化乘、除等运算，而且对数运算也不是 在指数函数研究的基础上发展起来的． 在没有计算器和计算机可以借助的时代，对数计算并不容易，为此，人们总结 出了对数表，通过查表可以获得对数的近似值． 利用对数表可以简化一般的乘、除等运算． 为了方便操作，人们后来还发明了 “对数计算尺”，并借助其来简化运算． 查阅有关书籍和网络，了解上述事实，任选一个角度，整理成演讲材料，并与 其他同学交流． 本章小结 ５１  犃组 １求下列各式的值： （１）８２； （２）３５３４； ３ ３ ３ （３）ｌｏｇ０．２５； （４）ｌｏｇ２０－ｌｏｇ２５； ２ ２ ４ （５）ｌｏｇ３×ｌｏｇ１２５； （６）ｌｏｇ２×ｌｏｇ５×ｌｏｇ３． ２ ２７ ３ ２ ５ ２已知ｌｇ２＝犪，ｌｇ３＝犫，用犪，犫表示ｌｇ６以及ｌｏｇ８． ３ 犪狓－犪－狓 ３判断函数犳（狓）＝ （犪＞０且犪≠１）的奇偶性，并证明． ２ ４在同一平面直角坐标系中，作出函数犳（狓）＝ｌｏｇ（－狓）和犵（狓）＝狓＋１的图 ２ 象，并求不等式犳（狓）＜犵（狓）的解集． ５已知函数犳（狓）＝３狓，求证： 犳（犪） （１）犳（犪）犳（犫）＝犳（犪＋犫）； （２） ＝犳（犪－犫）． 犳（犫） ６根据下列不等式，分别判断犿与狀的大小： （１）２犿＜２狀； （２）ｌｏｇ 犿＞ｌｏｇ 狀． ０．２ ０．２ ７比较下列各题中两个值的大小： （１）１．５３，１．７３； （２）（－１．２）－２，（－１．２５）－２． ５ ５ ３ ３ 烄２－狓－１，狓≤０， ８设函数犳（狓）＝烅 求不等式犳（狓）＞１的解集． 烆狓１ ２ ，狓＞０， ９求下列方程的解集： （１）３２狓－２＝８１； （２）槡７狓＝槡５３４３； （２） 狓 （９） 狓 ２７ （３） ＝ ； （４）５狓－１１０３狓＝８狓． ３ ８ ６４ １０求下列函数的定义域： 槡 （１） 狓 （１）狔＝８１ ； （２）狔＝ １－ ； ２狓－１ ２ （３）狔＝ｌｏｇ（２－狓）． ３ ５ ２ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数犅组 １求下列各式的值： １ １ （１）ｌｏｇ ×ｌｏｇ８×ｌｏｇ ； ２２５ ３ ５９ ３ （２）ｌｏｇ（ｌｏｇ３２－ｌｏｇ ＋ｌｏｇ６）． ２ ２ ２４ ２ ２已知５狓＝２，５狔＝９，求５２狓－狔 ２ 的值． ３已知犪３＝９，求ｌｏｇ犪的值． ３ ４已知４犪＝２，ｌｇ狓＝犪，求狓的值． １ １ ５已知２犪＝５犫＝犿， ＋ ＝２，求犿的值． 犪 犫 （犪狓＋１）狓 ６判断函数犳（狓）＝ （犪＞０且犪≠１）的奇偶性，并证明． 犪狓－１ ７已知犳（狓５）＝ｌｇ狓，求犳（２）的值． 烄２狓－１－２，狓≤１， ８已知函数犳（狓）＝烅 且犳（犪）＝３，求犳（６－犪）的值． 烆ｌｏｇ（狓＋１），狓＞１， ２ ９已知函数犳（狓）＝ｌｎ（ｅ狓＋１）－犪狓是偶函数，求犪的值． １０已知函数犳（狓）＝３狓 与犵（狓）的图象关于狔＝狓对称，求犵（狓）的解析式． １１求函数犳（狓）＝ｅ２狓－２ｅ狓 的最值． １２求下列方程的解集： （１）ｌｇ狓＋ｌｇ（狓－３）＝１； １ １ １ （２） （ｌｇ狓）２＝ － ｌｇ狓； １２ ３ ４ （３）５２狓－６×５狓＋５＝０； ８０ （４）３狓－３－狓＝ ； ９ （５）２ｌｏｇ２５－３ｌｏｇ狓＝１； 狓 ２５ （６）ｌｏｇ（ｌｏｇ狓）＝－１． ７ ３ １３ 《中国青年报》２０１５年５月１４日报道：“伴随着网络技术的蓬勃发展，国内 电子商务获得了爆炸式的增长，２０１４年网上零售额达到了２７８９８亿元，占社会消费 品零售总额的１０％，也就是说，人们日常消费中１０％是通过网购，而且还以年 ３０％～４０％的速度增长．”假设２０１４—２０２０年网上零售额每年的增长率均为３５％， 试算出２０１５—２０２０年每年的网上零售额 （精确到１亿元）． １ １４比较函数犳（狓）＝２狓 与犵（狓）＝ 狓－１在区间 ［犪－１，犪］（犪＜０）上的平均 ２ 本章小结 ５３变化率的大小． 犆组 １不使用计算器和计算机软件，比较ｌｏｇ５，２０．５，ｌｏｇ１５的大小． ２ ４ ２判断函数狔＝ｌｇ（狓＋槡狓２＋１）的奇偶性，并证明． （ 犫） ２ ３已知ｌｇ犪，ｌｇ犫是方程狓２－４狓＋１＝０的两个根，求ｌｇ 的值． 犪 ４设函数狔＝犳（狓）的图象与狔＝２狓＋犪 的图象关于直线狔＝－狓对称，且犳（－２）＋ 犳（－４）＝１，求犪的值． ５已知函数犳（狓）与犵（狓）满足犵（狓）＝犳（ｌｇ狓）． （１）如果狔＝犳（狓）的定义域是 ［１，３］，求犵（狓）的定义域； （２）如果犵（狓）的定义域是 ［０．１，１００］，求犳（狓）的定义域． ６已知函数犳（狓）＝４狓－２狓＋１犪，狓∈［－１，２］的最小值为犵（犪）． （１）求犵（２）的值； （２）求函数犵（犪）的解析式． ５ ４ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数书书书数字在我们的日常生活中已经是不可或缺的了，你不相信吗？试着完 全不用数字去描述一下昨天你都干了些什么吧！ 在日常生活与生产中，那些有意无意被记录下来的数据，到底是 “金 矿”还是 “垃圾”，取决于使用它的人是否有足够多的统计学知识． 统计学是对数据进行收集、整理、展示、分析和解释，以帮助人们更 有效地进行决策的科学．现代社会中，大到国家宏观政策的实施，小至个 人生活的点点滴滴，都或多或少要用到统计知识．例如，延迟退休决定的 做出，一定建立在对人口总体年龄分布等情况的掌握基础上；个人高考志 愿的填报，一般会参考所报考院校以往的录取分数线；等等． 概率的有关知识与统计学有千丝万缕的联系，从历史发展来看，概率 起源于人们对随机现象统计规律的认识．概率论是研究随机现象统计规律 性的学科．我们的生活中充满了随机现象：今天是否会下雨，公交车是否 会准点到达，上学的路上会不会遇到自己的好朋友…… 本章我们将在初中的基础上，进一步了解统计与概率的知识，并用它 们去解决一些更复杂的问题． 例如，俗话说，失败乃成功之母．如果做某一件事，成功的概率只有 ０．１，那么需要尝试多少次才能保证至少成功一次的概率不小于９０％呢？ 再例如，某饭店搞 “掷骰子得折扣”的活动，顾客同时掷三个骰子， 然后按照所得点数情况决定最后的折扣，规则如下图所示．你能分别算出 顾客得五五折和七五折的概率吗？      学完本章的内容之后，我们就能轻而易举地解决类似的问题了！． ! "!"# 5.1.1   统计学是一门利用数据帮助人们决策的科学，数据的收集往往是统计活 动的基础．现代社会里，获取数据的途径很多． 从互联网上可以获得大量的统计数据．比如从国家统计局的网站 （如 图５１１所示）中，通过数据查询等，可以得到各种权威的国家宏观统计 数据． 图５１１ 再比如，通过正式出版的统计报表和年鉴 （如图５１２所示），也可获得权威的统计数据． 当然，也可以通过向专业人士请教等来获 得现成的数据． 我们还可以自己动手直接收集数据．例 如，通过社会调查了解人们对环境保护的看 法，通过试验设计掌握种子的发芽率，等等． 通过每天的实时记录，也能得到有用的 数据．例如，通过记录自己每天在每个学科 上学习的时间，能了解自己是否有偏科、是 图５１２ 否需要调整各学科的学习时间等． ５．１ 统计 ５７
  育才中学想在高一年级下学期举办３场心理健康讲座，备选的主题有６个，高 一学生共有１３５６人．学校将备选的６个主题一一列出，做成了调查问卷．为了选 出最能满足大家需要的３个主题，以下两种方案各自的优点和缺点是什么？ （１）请每位高一学生完成调查问卷，然后统计有关结果； （２）随机抽取５０位高一学生完成调查问卷，然后统计有关结果． 我们在初中已经接触过总体与样本，知道所考察问题涉及的对象全体是 总体，总体中每个对象都是个体，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一 个样本中包含的个体数目是样本容量． 一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查 （也称为全面调 查），只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查．前述情境与问题中的方案 （１）是普查，方案 （２）是抽样调查． 普查能够了解总体中每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征． 因此，在总体包含的个体总数不大，或有特殊需要的情况下，可以采用普查 的方法．例如： （１）为了订购集体活动的服装，需要了解班内每位同学的身高、腰围 等，应该使用普查的方法； （２）为了全面地了解我国人口状况，从１９４９年至２０１７年，我国已进行 了６次全国性人口普查； （３）为了掌握国民经济第二产业、第三产业的发展规模、结构、效益等 信息，我国于２００４年、２００８年、２０１３年进行了三次经济普查，而且自 ２０１３年以后，计划逢３和逢８的年份都要进行经济普查． 然而，普查的方法有时会因为各种原因而无法实施，例如成本太高、时 间上不容许、考察方法具有破坏性等，此时抽样调查就成了不二选择． 例如： （１）想了解潜在顾客对新开发的产品包装意见时，由于潜在顾客难以界 定以及经济上的原因，只能采用抽样调查； （２）想实时了解收看时政新闻的人数等情况，因为经济成本与时间的原 因，只能采用抽样调查； （３）国家食品药品监督管理部门想了解各超市中正在出售的牛奶里细菌 ５ ８ 第五章 统计与概率含量是否超标，公司质监部门想测试电子产品的防水性能，因为考察方法都 具有破坏性，只能采用抽样调查． 事实上，我们在日常生活中也经常运用抽样的思想．例如： （１）早晨起床的时候，如果发现天气变了，你可能会把手伸出窗外感受 一下，然后再决定是否要穿厚一点的衣服； （２）在大口喝杯子里的热水之前，你一定会先喝一小口，试一下温度； （３）去买橘子的时候，如果有可能的话，你会先尝一下，然后再决定买 还是不买． 当然，对于抽样调查来说，最重要的是要保证所抽取的样本具有代表 性，怎样才能做到这一点呢？这正是下面我们要讨论的． KA !"#$%&’()* 早在夏朝时期，我国就进行了人口调查 屋？每一户储备有多少粮食？有多少鳏夫、 统计． 寡妇、孤儿和病人？ 为了管理统计工作，周朝设有专门负责 汉朝的开国皇帝刘邦认为统计很重要， 调查和记录数据的官员，称为 “司书”．据 因而他让宰相直接管理统计数字．这作为一 《周礼》的记载，国家设立 “司书上士二人， 个传统，在中国历史上延续了很长一段时 中士四人，府二人，史四人，徒八人”，他 间．他们主要感兴趣的问题类似于：当发生 们的主要工作是负责 “邦之六典……以周知 紧急状况时能够动员多少身强力壮的男子？ 入出百物……以知田野夫家六畜之数”． 需要多少人的劳作才能满足人们的基本生 《管子》一书中，题为 “调查”的那篇 活？在计划做出有关财产或婚姻法律变更 记载了６５个涉及统治一个国家的各方面问 时，不满的少数派会有多少？一个地方统治 题．例如：多少家庭拥有自己的土地和房 政权以及邻国的课税能力如何？…… 
0K  在初中我们已经接触过简单随机抽样， 知道在进行简单随机抽样时，总体中的每 一个个体都有相等的机会被抽到．一般地， 简单随机抽样 （也称为纯随机抽样）就是 从总体中不加任何分组、划类、排队等， 完全随机地抽取个体．简单随机抽样是其 他各种抽样方法的基础．当总体中的个体 图５１３ ５．１ 统计 ５９之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法． 常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法． 抽签法类似于从如图５１３所示的抽奖箱中抽奖． 例如，若要从９０个节能灯中用抽签法抽出５个来进行检验，可以先给 这９０个节能灯编号，然后将编号写在９０张纸片 （或小球）上，再把纸片放 在一个容器中，搅拌均匀后，随机从中抽出５个号码，找出这５个号码对应 的节能灯即可． 抽签法的优点是简单易行，但当总体的容量非常大时，操作起来就比较 麻烦，而且如果抽取之前搅拌不均匀，可能导致抽取的样本不具有代表性， 使用随机数表可在一定程度上解决这个问题． 顾名思义，随机数表是由随机数 （通常为０，１，２，…，９）形成的数 表，表中的每一位置出现的数都是随机的，下列是一个随机数表的一部分． ４８６２８ ５００８９ ３８１５５ ６９８８２ ２７７６１ ７３９０３ ５３０１４ ９８７２０ ４１５７１ ７９４１３ ５３６６６ ０８９１２ ４８３９５ ３２６１６ ３４９０５ ６３６４０ ５７９３１ ７２３２８ ４９１９５ １７６９９ ００６２０ ７９６１３ ２９９０１ ９２３６４ ３８６５９ ６４５２６ ２０２３６ ２９７９３ ０９０６３ ９９３９８ ０１１１４ １９０４８ ００８９５ ９１７７０ ９５９３４ ３１４９１ ７２５２９ ３９９８０ ４５７５０ １４１５５ ９８２４６ １８９５７ ９１９６５ １３５２９ ９７１６８ ９７２９９ ６８４０２ ６８３７８ ８９２０１ ６７８７１ ４１４１０ ５１５９５ ８９９８３ ８２３３０ ９６８０９ ９３８７７ ９２８１８ ８４２７５ ４５９３８ ４８４９０ 用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为： （１）对总体进行编号． （２）在随机数表中任意指定一个开始选取的位置．位置的确定可以闭着 眼用手指随机确定，也可用其他方式随机确定． （３）按照一定规则选取编号．例如，若编号是两位，规则可以是每次从 左往右选取两个数字，也可以是每次只选取每一组的前两个数字，还可以是 每次只选取下面一行同一位置对应的两个数字，等等．规则一经确定，就不 能更改．在选取过程中，遇到超过编号范围或已经选取了的数字，应该 舍弃． （４）按照得到的编号找出对应的个体． 例如，仍以从９０个节能灯中抽出５个为例，将９０个节能灯编号为０１， ０２，…，９０： （１）若指定从第三行第五组的第一个数字开始，每次从左往右选取两个 数字，则可得５个编号为 ３８，６５，４５， ， ， 注意，操作过程中共选取了６次数，其中第３次选取的编号９６超出了范围， 已舍弃； ６ ０ 第五章 统计与概率（２）若指定从第五行第一组的第一个数字开始，每次只选取每一组的前 两个数字，则可得５个编号为 １８，１３， ， ， ， 注意，操作过程中共选取了１０次数． 
 A( 某高中高一新生共有９００人，其中男生５００人，女生４００人．学校现在想了解 高一新生对文史类课程的看法，以便开设有关选修课程，准备从高一新生中抽取 ４５人进行访谈： （１）如果直接采用简单随机抽样，会有什么缺点？ （２）采用怎样的抽样方法较好？ 如果相对于要考察的问题来说，总体是由有明显差别的几部分组成时， 直接采用简单随机抽样得出的样本，可能并不具有代表性． 例如，上述尝试与发现中，一般来说，男生与女生对文史类课程的看法 存在差别，如果采用简单随机抽样，得到的样本中，男生 （女生）所占比例 与总体中的男生 （女生）所占比例可能存在较大差异，从而导致最后得到的 结果不能很好地反映总体的情况． 为了避免出现这种情况，可以在抽样时要求样本中的男生 （女生）所占 比例与总体中男生 （女生）所占比例一致．设样本中男生为狓人，女生为狔 人，则应有 狓 ５００ 狔 ４００ 狓 狔 ４５ ＝ ， ＝ ，即 ＝ ＝ ， ４５ ９００ ４５ ９００ ５００ ４００ ９００ 从而有狓＝２５，狔＝２０．这就是说，应从高一新生的男生中抽取２５人，女生 中抽取２０人．在男生和女生中抽取时，可以用简单随机抽样的方法． 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、 互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例 进行随机抽样的方法称为分层随机抽样 （简称为分层抽样）． 通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总 体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此．分层抽 样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法． 有些情况下，人们除了对总体的信息感兴趣，还希望得到各层的内部信息， ５．１ 统计 ６１这时采用分层抽样更是自然的选择．因此，分层抽样方法的应用比较广泛． 某科研院所共有科研人员８００人，其中具有高级职称的１６０人，具  有中级职称的３２０人，具有初级职称的２４０人，无职称的８０人，欲了解 该科研院所科研人员的创新能力，决定抽取１００名科研人员进行调查，应 怎样进行抽样？ 因为一般来说，创新能力与职称有关，所以应该用分层抽样．  １００ 狓 设样本中具有高级职称的人数为狓，则 ＝ ，可算得狓＝２０，即 ８００ １６０ 要抽取具有高级职称的科研人员２０人． 类似地，可以算得要抽取具有中级职称的科研人员 人，具有 初级职称的科研人员 人，无职称的科研人员 人． 在分层抽样过程中，如果计算得出的层内抽样数不是整数，可以进行一 定的技术处理，比如将结果取成整数等． 
* E= 很多计算机软件中，都内置有生成随机数的函数，我们可以利用这些函 数来进行抽样． 例如，要从１，２，…，９０中 抽出５个数，可以在Ｅｘｃｅｌ中多次 使用ＲＡＮＤＢＥＴＷＥＥＮ函数，如图 ５１４所示． 在ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的表格区也 可实现同样的功能，只不过使用的 函数是ＲａｎｄｏｍＢｅｔｗｅｅｎ． 图５１４ 当然，也可以利用上述命令生 成随机数表． " ? 如果要了解一批节能灯的寿命，应该用普查还是抽样调查？简述理由． ? 利用正文中的随机数表，从第二行第三组第一个数开始，每次从左往右读三个 数字，从００１，００２，…，５００中抽取一个容量为５的样本． ? 某完全中学初中部有学生１８５０人，高中部有学生１２５０人．若要用分层抽样的 方法从这所学校抽出６２名同学来了解大家对学校伙食的看法，那么所抽出的初 中部学生数与高中部学生数的比是多少？ ６ ２ 第五章 统计与概率# ? 某集团有甲、乙、丙三个分公司，其中甲公司有员工５００名，乙公司有员工８００ 名，丙公司有员工３００名．为了了解集团员工对企业改革的态度，该集团用分 层抽样的方式抽取若干名员工进行访谈．已知甲公司共抽取了１０名员工，分别 求乙公司和丙公司抽取的员工数． ? 某电视台在互联网上征集电视节目的现场参与观众，报名的共有１２０００人，分 别来自４个地区，其中甲地区２４００人，乙地区４６０５人，丙地区３７９５人，丁 地区１２００人，主办方计划从中抽取６０人参加现场节目，请设计一套抽样方案． ? 利用Ｅｘｃｅｌ或ＧｅｏＧｅｂｒａ生成一张含有１００组数的随机数表，并以生成的表为基 ! 础，用随机数表法，从编号００１，００２，…，６００中抽取容量为３０的一个样本． ２６ ２０ ６８ ８９ ６７ ４０ ３０ １０ 5.1.2    如下是某学校高一 （１）班和高一 （２）班某一次期中考试的语文成绩，试从不 同的角度对两班成绩进行对比． 高一 （１）班期中考试语文成绩 ６９ ８４ ６９ ８０ ７５ ７０ ７５ ７１ ８７ ７０ ８０ ８４ ７３ ８１ ８１ ７３ ６６ ７８ ６８ ７９ ７３ ７５ ７６ ７６ ７０ ７４ ７１ ８６ ６３ ８８ 高一 （２）班期中考试语文成绩 ７６ ８６ ７４ ８２ ７７ ６８ ６２ ８２ ７２ ８２ ７６ ８１ ８４ ７９ ６７ ７８ ７０ ７２ ８１ ８９ ８１ ７７ ７２ ７７ ６７ ６７ ７２ ７９ ８１ ７５ ７５ ８４ 在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关 心的是能反映这组数据特征的一些值．例如，上述情境中的两个班的成绩， 我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较． ５．１ 统计 ６３
 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最 极端的情况．一般地，最大值用ｍａｘ表示，最小值用ｍｉｎ表示． 日常生活中，有时我们只关心数据的最值．比如，高考部分科目实行 “一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三 次 “试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积 分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等． 
  日常生活中，我们经常使用平均数来刻画一组数据的平均水平 （或中心 位置）．例如，为了减少测量的误差，一般取多次测量值的平均数作为最终 的测量值；在有多个评委的比赛中，一般也以各评委给出分数的平均数作为 最后的成绩；等等． 如果给定的一组数是狓，狓，…，狓，则这组数的平均数为 １ ２ 狀 １ 狓珚＝ （狓＋狓＋…＋狓）． 狀 １ ２ 狀 这一公式在数学中常简记为 狓珚 ＝ １ ∑狀 狓， 狀 犻 犻＝１ 其中的符号 “ ∑ ”表示求和，读作 “西格玛”， ∑ 右边式子中的犻表示求 和的范围，其最小值与最大值分别写在∑ 的下面与上面．例如， ∑３ ∑７ 狓＝狓＋狓＋狓， 狓＝狓＋狓＋狓． 犻 １ ２ ３ 犻 ５ ６ ７ 犻＝１ 犻＝５ 不难看出，求和符号 ∑ 具有以下性质： ∑狀 ∑狀 ∑狀 ∑狀 ∑狀 （１） （狓＋狔）＝ 狓＋ 狔； （２） （犽狓）＝犽 狓； 犻 犻 犻 犻 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ∑狀 （３） 狋＝狀狋． 犻＝１ A( 某武术比赛中，共有７个评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最 低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分．按照这样的规则，根据以下 ６ ４ 第五章 统计与概率A( 数据，计算三位选手的最后得分： 选手 评委１ 评委２ 评委３ 评委４ 评委５ 评委６ 评委７ 最后得分 甲 ９０ ８８ ９３ ９３ ９２ ９２ ９６  乙 ９２ ９６ ９５ ９２ ８９ ９２ ９５  丙 ９１ ９１ ８８ ９１ ９８ ９３ ９２  （１）从数学的角度，讨论为什么要去掉一个最高分与最低分后再计算平均数， 以及平均数具有什么特点； （２）有人认为，应该把最高分与最低分之外的分数总分作为选手的最后得分， 讨论这样的计分规则与前面的规则是否有本质上的区别． 平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为 了避免过于极端的值影响结果太大等，会去掉最低分与最高分后再计算平均 数．但是，计算总分与计算平均分不会有本质区别，请读者自行说明理由． 当计算上述甲选手的最后得分时，在把８８与９６去掉之后，可以先把其 余数都减去９２，得到新的数为－２，１，１，０，０，因为这一组数的平均数为 ０，所以可知甲的最后得分为９２．其余选手的得分可以用类似的方法得到． 一般地，利用平均数的计算公式可知，如果狓，狓，…，狓 的平均数 １ ２ 狀 为狓珚，且犪，犫为常数，则 犪狓＋犫，犪狓＋犫，…，犪狓＋犫 １ ２ 狀 的平均数为犪狓珚＋犫，这是因为 １ ∑狀 １［∑狀 ∑狀 ］ １（∑狀 ） （犪狓＋犫）＝ （犪狓）＋ 犫＝ 犪 狓＋狀犫 狀 犻 狀 犻 狀 犻 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ＝犪 （１ ∑狀 狓 ） ＋犫＝犪狓珚 ＋犫． 狀 犻 犻＝１ 
+ 我们知道，一组数的平均数与这组数中的每一个数都有关，特别地，平 均数容易受到最值的影响，因此有时平均数并不能很好地表示这组数的中心 位置． ５．１ 统计 ６５A( 有甲、乙两个组，每组有６名成员，他们暑假读书的本数分别如下： 甲组：１，２，３，３，４，５； 乙组：０，０，１，２，３，１２． （１）分别求出两组数的平均数； （２）平均数是否很好地表示了每一组数的中心位置？如果没有，可以选择什么 数来表示？ 上述甲、乙两组数的平均数均为３，但是用３来刻画乙组数的中心位置 是不合适的，因为这组数中，有５个数都不大于３． 一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数 有奇数个数，且按照从小到大排列后为狓，狓，…，狓 ，则称狓 为 １ ２ ２狀＋１ 狀＋１ 这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为狓， １ 狓＋狓 狓，…，狓 ，则称 狀 狀＋１为这组数的中位数． ２ ２狀 ２ A( 指出甲、乙两组数的中位数，并思考：中位数是否能比较全面地体现数据的分 布特点？如果不能，有什么补救的办法？ 序号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ 甲组 １ ２ ２ ２ ２ ３ ３ ３ ５ ５ ６ ６ ８ ８ ９ １０ １０ １２ １３ １３ 乙组 ０ ０ ０ ０ １ １ ２ ３ ４ ５ ６ ６ ７ ７ １０ １４ １４ １４ １４ １５ 当数据个数较多时，如果仅仅知道中位数，是不足以了解这组数的分布 特点的．例如，上述甲、乙两组数的中位数都是５．５，但是甲组数中，小于 ５．５的数普遍比乙组的大，而大于５．５的数普遍比乙组的小． 更具体地，将甲、乙两组数小于５．５的前１０个数分别看成一组数，则 它们的中位数分别是２．５， ，这两个数能够反映甲、乙两组数小于 ５．５的数的分布特点，因为这两个数是通过找小于或等于中位数的所有数的 中位数得到的，所以它们分别称为甲、乙两组数的２５％分位数． 一般地，当数据个数较多时，可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点． 一组数的狆％（狆∈（０，１００））分位数指的是满足下列条件的一个数值： 至少有狆％的数据不大于该值，且至少有 （１００－狆）％的数据不小于该值． 直观来说，一组数的狆％分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序 排列后，处于狆％位置的数．例如，中位数就是一个５０％分位数． ６ ６ 第五章 统计与概率按照定义可知，狆％分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件 所得出的狆％分位数可能会有差异． 为了方便，我们按如下方式确定狆％分位数：设一组数按照从小到大排 列后为狓，狓，…，狓，计算犻＝狀狆％的值，如果犻不是整数，设犻为大 １ ２ 狀 ０ 于犻的最小整数，取狓 为狆％分位数；如果犻是整数，取 犻 ０ 狓＋狓 犻 犻＋１ ２ 为狆％分位数．特别地，规定：０分位数是狓 （即最小值），１００％分位数是 １ 狓 （即最大值）． 狀 实际应用中，除了中位数外，经常使用的是２５％分位数 （简称为第一 四分位数）与７５％分位数 （简称为第三四分位数）． 计算上述尝试与发现中甲、乙两组数的７５％分位数． 
 因为数据个数为２０，而且  ２０×７５％＝１５， 所以，甲组数的７５％分位数为 狓 ＋狓 ９＋１０ １５ １６＝ ＝９．５； ２ ２ 乙组数的７５％分位数为  ． 由此可知，如果尝试与发现中的甲组数用２．５，５．５，９．５来刻画，乙组 数用１，５．５，１２来刻画，则大致可以看出它们的数的分布特点． 
 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多 的数据称为这组数据的众数．有些情形中，我们用众数来描述一组数据的中 心位置．  某班级准备利用暑假去进行研学旅行，为了便于识别，他们准备定做一批容量 一致的双肩包，为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据： 容量／Ｌ ２３ ２５ ２７ ２９ ３１ ３３ 频数 ３ ２ ５ ２１ ２ ２ 你认为应该定做什么容量的双肩包？为什么？ ５．１ 统计 ６７为了照顾到绝大多数人的需求，此时应该定做容量为２９Ｌ的双肩包， 这里的２９就是上述数据的众数． 
  一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．不难看出， 极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度． 描述一组数的离散程度的量还有方差和标准差． 如果狓，狓，…，狓 的平均数为狓珚，则方差可用求和符号表示为 １ ２ 狀 狊２＝ １ ∑狀 （狓－狓珚）２． 狀 犻 犻＝１ 此时，如果犪，犫为常数，则 犪狓＋犫，犪狓＋犫，…，犪狓＋犫 １ ２ 狀 的方差为犪２狊２，这是因为 １ ∑狀 ［（犪狓＋犫）－（犪狓珚 ＋犫）］２ 狀 犻 犻＝１ ＝ １ ∑狀 （犪狓－犪狓珚）２＝ １ ∑狀 ［犪２（狓－狓珚）２］ 狀 犻 狀 犻 犻＝１ 犻＝１ ＝犪２ １ ∑狀 （狓－狓珚）２＝犪２狊２． 狀 犻 犻＝１ 方差的算术平方根称为标准差．由此可知，如果一组数中， 各数据值都相等，则标准差为０，表明数据没有波动，数据没有离 １ ∑狀 用 （狓－ 狀 犻 散性；若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较 犻＝１ 大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高．因此标 狓珔）或 １ ∑狀 狓－ 狀 犻 犻＝１ 准差描述了数据相对于平均数的离散程度． 狓珔 来衡量一组数 计算下列各组数的平均数与方差： 的离散程度可以吗？ 
 （１）１８．９，１９．５，１９．５，１９．２，１９，１８．８，１９．５； 为什么？ （２）２，２，２，３，３，３，３，４，４，４，４，４，５，５，５，５， ５，５，６，６． （１）将每一个数乘以１０，再减去１９０，可得  －１，５，５，２，０，－２，５． 这组新数的平均数为 １ ×（－１＋５＋５＋２＋０－２＋５）＝２， ７ 方差为 ６ ８ 第五章 统计与概率１ ×［（－１－２）２＋（５－２）２＋（５－２）２＋（２－２）２＋ ７ （０－２）２＋（－２－２）２＋（５－２）２］＝８． １ 由此可知，所求平均数为１９．２，方差为８× ＝０．０８． １００ （２）可将数据整理为 狓 ２ ３ ４ ５ ６ 频数 ３ ４ ５ ６ ２ 每一个数都减去４可得 狓－４ －２ －１ ０ １ ２ 频数 ３ ４ ５ ６ ２ 这组数的平均数与方差分别为 １ ×［（－２）×３＋（－１）×４＋０×５＋１×６＋２×２］＝０， ２０ １ ３ ×［（－２）２×３＋（－１）２×４＋０２×５＋１２×６＋２２×２］＝ ． ２０ ２ ３ 因此，所求平均数为４，方差为 ． ２ 
* !+' 用计算机软件可以方便快捷地求得一组数的各种数字特征． 例如，为了求出例２ （１）中数据的数字特征，可以将它们输入Ｅｘｃｅｌ的 表格中，然后使用相应的函数即可，如图５１５所示． 图５１５ 其中，求第一四分位数输入的是 “＝ＱＵＡＲＴＩＬＥ．ＥＸＣ（Ａ２：Ａ８，１）”， 求第三四分位数输入的是 “＝ＱＵＡＲＴＩＬＥ．ＥＸＣ（Ａ２：Ａ８，３）”． 用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的表格区也可实现类似的功能，但是函数的名称不一 致，如图５１６所示． ５．１ 统计 ６９其中，求第一四分位数输入的是 “＝Ｐｅｒｃｅｎｔｉｌｅ［Ａ２：Ａ８，０．２５］”，求 第三四分位数输入的是 “＝Ｐｅｒｃｅｎｔｉｌｅ［Ａ２：Ａ８，０．７５］”． 图５１６ " ? 已知狓＝１，狓＝２，狓＝３，狓＝４，狓＝５，求下列各式的值： １ ２ ３ ４ ５ ∑３ ∑５ ∑５ （１） 狓； （２） 狓； （３） 狓． 犻 犻 犻 犻＝１ 犻＝３ 犻＝１ ? 求１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０的２５％分位数，７５％分位数，９０％分位数． ? 计算下列各组数的平均数与方差： （１）９０，９２，９２，９３，９３； （２）０，２，２，３，３； （３）－２，０，０，１，１； （４）９００，９２０，９２０，９３０，９３０． ? 已知狓，狓，…，狓 的平均数为狓珚，求证： ∑狀 （狓－狓珚）＝０． １ ２ 狀 犻 犻＝１ # ? 已知１２，１０，１５，９，８，犪中的最大值为１５，其中犪是正整数，求犪所有可能 的值所组成的集合． ? 求下列各式的值： ∑３ ∑５ ∑５ （１） （２犻）； （２） （犻－２）； （３） （２犻－１）． 犻＝１ 犻＝３ 犻＝１ ? 记１００，１００，３００，５００，５００的平均数为犪，标准差为犫；２００，２００，３００， １ １ ４００，４００的平均数为犪，标准差为犫．比较犪 与犪 的大小，犫 与犫 的大小． ２ ２ １ ２ １ ２ 狓 ＋狓 １０＋１４ ９２ ９３．２ ９１．６ １  １５ １６＝ ＝１２ ２ ２ ７ ０ 第五章 统计与概率5.1.3  我们知道，从现实生活中得到的数据往往都是没有规律的、凌乱的，如 果不加以整理，可能难以看出数据的特征，也不利于有关信息的挖掘．因 此，人们在呈现有关结果时，往往会对数据进行整理，并用合适的图表来形 象化地表示有关数据． 
  ２０１５年７月６日的 《中国青年报》报道： “根据调查，有担当 （７６．３％）和踏 实 （７４．５％）的年轻人最被受访者欣赏．奋进 （５４．７％）、坚毅 （５４．１％）、有梦想 （５０．２％）、有闯劲儿 （４０．１％）、沉稳 （３６．７％）、直率 （３４．６％）、幽默 （３３．４％）、 活泼 （２７．２％）、庄重 （２０．３％）、洒脱 （２０．０％）也是受访者欣赏的品质．” 你能将这一调查结果用图表进行形象化表示吗？ 我们知道，柱形图 （也称为条形图）可以形象地比较各种数据之间的数 量关系，因此上述情境与问题中的结果可以用柱形图表示，如图５１７ 所示． 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%                   图５１７ 一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上 对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的． ５．１ 统计 ７１
3  国家统计局网站显示，２０１１—２０１５年高中在校学生数信息如下． 年份 ２０１１年 ２０１２年 ２０１３年 ２０１４年 ２０１５年 高中在校学生数／万 ２４５４．８２ ２４６７．１７ ２４３５．８８１７ ２４００．４７２３ ２３７４．３９９２ 你能形象地表示上述数据，以便发现这几年高中在校学生数的变化趋势吗？ 可以用折线图来表示上述情境与问题中的数据，如图５１８所示． 2 480 2 460 2 440 2 420 2 400 2 380 2 360 2011 2012 2013 2014 2015 图５１８ 一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据 用折线图来表示．当然，折线图也可以用在其他合适的情形中． 
  ２０１６年１２月１７日至２１日，北京市空气质量呈现重度及以上污染水平，经北 京市政府批准，１２月１６日２０时至２１日２４时，北京市启动了空气重污染红色预 警，这期间实行了机动车 “单双号”限行等措施．《中国青年报》社会调查中心联合 问卷网，对２００２人进行了调查，得到了以下数据：６４７人非常支持，８９１人支持， ３４８人态度一般，１１６人不支持． 如果你是 《中国青年报》的记者，你会怎样整理和报道这些数据？ 不难看出，如果直接呈现上述情境与问题中的调查结果，读者将难以看 出其中的规律，包括四种态度的人数之间的比例关系等，为了避免出现这种 ７ ２ 第五章 统计与概率情况，我们可以将原有的结果转化为表格，并计算每一类型数据的百分比， 如下表所示． 态度 非常支持 支持 一般 不支持 人数 ６４７ ８９１ ３４８ １１６ 所占比例 ３２．３％ ４４．５％ １７．４％ ５．８％ 事实上，《中国青年报》的报道原文是：“民调显示，７６．８％的受访者支 持此次单双号限行，其中３２．３％的受访者非 常支持．态度一般和不支持的分别占１７．４％  和５．８％．” 5.8 更进一步，我们还可以用扇形图 （也称   为饼图、饼形图）来形象地表示这一结果， 17.4 如图５１９所示． 32.3 不难看出，扇形图可以形象地表示出各 44.5 部分数据在全部数据中所占的比例情况．扇 形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都 与这一部分表示的数据大小成正比． 图５１９ 
8 A( 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下： 甲：１２，１５，２４，２５，３１，３１，３６，３６，３７，３９，４４，４９，５０； 乙：８，１３，１３，１４，１６，２３，２６，２９，３３，３５，３８，３９，５１． 这两组数据可以用图５１１０来表示． 甲 乙 ０ ８ ５ ２ １ ３ ３ ４ ６ ５ ４ ２ ３ ６ ９ ９ ７ ６ ６ １ １ ３ ３ ５ ８ ９ ９ ４ ４ ０ ５ １ 图５１１０ 你能说出上述图是怎样构造出来的吗？由图中可以得出甲、乙两名运动员得分 的哪些信息？ ５．１ 统计 ７３类似图５１１０的图称为茎叶图，其名称的由来是因为它的中间像植物 的茎，两边像植物茎上生长的叶子．图５１１０中，中间的数字表示两位运 动员得分的十位数，两边的数字表示得分的个位数． 一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列．茎 叶图也可以只表示一组数． 将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小 （或从小 到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特 征．例如，从图５１１０中可以看出：甲得分的最大值是５０，最小值是１２， 中位数为３６；乙得分的最大值是 ，最小值是 ，中位数为  ． 另外，从茎叶图中还可以看出一组数的分布情况，从而可能可以得到一 些额外的信息．例如，从图５１１０中可以看出：甲的得分大多数集中在 ［３０，４０），而且小于３１分和大于３９分的次数相差不多，因此可以估计出甲 的平均数应该在区间 ［３０，４０）内；类似地，可以估计出乙得分的平均数应 该在区间 内． 从图５１１０中我们还可以估计出甲得分和乙得分的方差的相对大小， 因为甲得分的数据比较集中，乙得分的数据比较分散，两者的数据个数相 等，所以可以得出：甲得分的方差小于乙得分的方差． 
M, M(,  以下是某学校全体学生一次政治考试的成绩． ７６ ８３ ８８ ８９ ７２ ６７ ８８ ８５ ９０ ８７ ７４ ６５ ８６ ７１ ８８ ９０ ８２ ９０ ８１ ７８ ７６ ７５ ７８ ８６ ７９ ７１ ７３ ８２ ７６ ９０ ７７ ８１ ８３ ７７ ９３ ９４ ８４ ７０ ７７ ８９ ８３ ８４ ６８ ７４ ５９ ７７ ８６ ８９ ７８ ８６ ７６ ８５ ８３ ６９ ８１ ８４ ９０ ８５ ７６ ７９ ８０ ８２ ７４ ６４ ８９ ８４ ８８ ７３ ７０ ８４ ９２ ８８ ８２ ７３ ８６ ６９ ８４ ６８ ７０ ７３ ８２ ８４ ８２ ６６ ６８ ８２ ７５ ７２ ７４ ７９ ８２ ６７ ７０ ８１ ７７ ８９ ７７ ８９ ７６ ７３ ７９ ７９ ７２ ８３ ８８ ６９ ７８ ７０ ７４ ７４ ７６ ７５ ７７ ８８ ９２ ８０ ８６ ８４ ８５ ７１ ６７ ８０ ６５ ８２ ７８ ８３ ８８ ６４ ８３ ８５ ７９ ９１ ８０ ７７ ９０ ８１ ８２ ６３ ８７ ７０ ７５ ８２ ７４ ９１ ６６ ８０ ６７ ６０ ９０ ８１ ７６ ８１ ９０ ６８ ６８ ８８ ８８ ８２ ７６ ９１ ９０ ７２ ６６ ８２ ８５ ７ ４ 第五章 统计与概率７０ ７０ ８２ ７６ ８２ ８４ ８３ ８０ ６９ ８３ ９０ ６１ ７４ ６９ ７９ ８０ ６１ ６８ ８８ ６９ ８４ ７４ ８２ ６２ ８６ ７９ ６７ ７９ ９１ ８０ ７７ ８３ ７９ ８９ ８９ ７６ ７０ ８０ ６９ ７１ ７３ ７６ ８５ ９０ ８７ ７３ ８６ ６６ ８０ ８１ ８５ ８８ ６６ ８７ ９１ ７１ ８１ ９１ ６３ ７４ ７７ ８４ ７６ ８６ ８４ ７２ ８８ ７５ ８０ ９２ ８６ ７４ ７２ ７５ ７８ ９０ ７６ ８６ ８８ ８６ （１）能否直接用前面提到过的图来表示上述数据？为什么？ （２）怎样才能直观地表示出上述数据的大致分布情况 （比如指出哪个分数段的 分数比较多，哪个分数段的分数比较少）？ 前面给出的数据直观表示中，都直接用到了每一个数的具体值．然而， 在很多情况下，所得数据的个数比较多，如果要在图中体现每一个数字的大 小，既麻烦也无必要． 此时，怎样才能直观地表示出这组数的大致分布情况 （比如显示出哪些 范围内的数比较多，哪些范围内的数比较少），并得到有关的信息呢？一个 自然的想法是，将数据按照一定的方式进行 “压缩”，然后再用图来直观地 表示压缩后的数据． 因为我们关心的是数据的大致分布情况，所以可以事先确定出几个区 间，然后统计落在每一个区间内的数的个数，最后将统计的结果用图示 表示． 类似的操作我们在初中学习直方图的知识时就进行过，下面以情境与问 题中的数据为例进行详细说明． （１）找出最值，计算极差 上述成绩的最小值是５９，最大值是９４，因此极差为３５． （２）合理分组，确定区间 数据共有２４５个，可以分为８～１２组，这里取８组，并且按照从５５分 开始，组距为５确定计数区间，即区间为 ［５５，６０），［６０，６５），…，［８５， ９０），［９０，９５］． （３）整理数据 逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数 （称为区间对应的频数）， 并求出频数与数据个数的比值 （称为区间对应的频率），如下表所示 （频率 精确到０．０１）． ５．１ 统计 ７５分组区间 个数累计 频数 频率 ［５５，６０） 一 １ ０．００ ［６０，６５） 正 ８ ０．０３ ［６５，７０） 正正正正正 ２５ ０．１０ ［７０，７５） 正正正正正正正 ３８ ０．１６ 一 ［７５，８０） 正正正正正正正正正 ４６ ０．１９ ［８０，８５） 正正正正正正正正正正正 ５８ ０．２４ 一 ［８５，９０） 正正正正正正正正正 ４６ ０．１９ ［９０，９５］ 正正正正 ２３ ０．０９ （４）作出有关图示 根据上述整理后的数据，可以作出频数分布直方图与频率分布直方图， 分别如图５１１１ （１）（２）所示．值得注意的是，频数分布直方图的纵坐标 是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标 频率 是 ，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等 组距 于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和 为１． 图５１１１中，还作出了频数分布折线图和频率分布折线图，作图的方 法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来．为了方便看图，折线 图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意 义的． N) N 4D 60 0.05 48 0.04 36 0.03 24 0.02 12  0.01  50556065707580859095100 50556065707580859095100 （１） （２） 图５１１１ 不难看出，虽然作频数分布直方图与频率分布直方图过程中，原有数据 被 “压缩”了，从这两种图中也得不到所有原始数据．但是，由这两种图可 以清楚地看出数据分布的总体态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情 况．比如，估计出平均数、中位数、百分位数、方差．当然，利用直方图估 计出的这些数字特征与利用原始数据求出的数字特征一般会有差异． ７ ６ 第五章 统计与概率为了了解学生的课业负担，甲、乙两所学校分别抽取了２００名在 
 校生，了解他们完成作业所需的时间，并分别作出了频数分布直方图如图 ５１１２ （１）（２）所示，其中分组的区间都为 ［０．５，１），［１，１．５）， ［１．５，２），［２，２．５），［２．５，３］．记甲学校所得数据的中位数为狓，乙学 校所得数据的中位数为狔，判断狓与狔的相对大小． N N 100 86 100 76 80 80 60 49 60 39 39 40 18 32 15 40 25 21 20 20 Lh Lh 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 （１） （２） 图５１１２ 由５１１２ （１）可以看出，狓∈［２，２．５）；由５１１２ （２）可以看  出，狔∈［１．５，２）．因此 狓＞狔． 某射击运动员一次射击训练 
 的成绩可以整理成图５１１３所示的统 N) 计图表，试计算这次成绩的平均数与 0.3 方差． 0.2 设运动员共射击了狀次，则由 0.1  5) 图可知，射中７环与１０环的次数为 7 8 9 10 ０．２狀，射中 ８ 环与 ９ 环的次数为 ０．３狀．因此平均数为 图５１１３ ０．２狀×７＋０．３狀×８＋０．３狀×９＋０．２狀×１０ 狀 ＝０．２×７＋０．３×８＋０．３×９＋０．２×１０ ＝８．５． 类似地，可以算出方差为 ０．２×（７－８．５）２＋０．３×（８－８．５）２＋０．３×（９－８．５）２＋０．２×（１０－８．５）２ ＝１．０５． ５．１ 统计 ７７
* E=) 4@ = 借助计算机软件，可以快捷地作出有关统计图表． 例如，本小节一开始的柱形图，在Ｅｘｃｅｌ中输入有关数据后，就可以用 有关作图命令画出来，而且可以方便地改变呈现形式，请读者自行尝试． 在ＧｅｏＧｅｂｒａ软件中，利用表格区输入数据，然后利用 “单变量分析”， 可以得到数据的直方图等信息，而且各种参数都可以自行设定．例如，前面 提到的频数分布直方图与折线图可用ＧｅｏＧｅｂｒａ作出，如图５１１４所示． 图５１１４ " ?２０１７年１月，《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于 “二十四节气”的调查，请选择合适的图表分别表示以下调查结果： （１）全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道 “二十四节气”日期 的受访者分别占１２．６％、４９．０％、３４．６％和３．８％； （２）调查显示，受访者最敏感的节气是立春 （５０．９％）、冬至 （４６．４％）和清明 （４３．９％）．其 他 依 次 为：立 冬 （３２．２％）、 立 秋 （３２．１％）、 立 夏 （２９．６％）、夏 至 （２８．５％）、大 暑 （２０．７％）、惊 蛰 （１８．８％）、春 分 （１８．７％）、雨 水 （１８．７％）、大 寒 （１６．４％）、大 雪 （１５．３％）、秋 分 （１４．８％）、小 暑 （１４．０％）、芒 种 （１２．２％）、小 满 （１１．６％）、处 暑 （１１．６％）、白露 （１１．３％）、霜降 （１０．７％）和小雪 （１０．５％）．最不敏感 的节气是谷雨 （１０．４％）、小寒 （９．７％）和寒露 （７．９％）． ７ ８ 第五章 统计与概率? 某次 “讲文明、树新风”答题竞赛中，２０名选手答对的题目数分别如下：３０， ２６，２３，２１，１８，２７，２８，２６，２３，３０，２６，２８，２７，２４，２１，１９，２７，２８， ２６，２９．作出这组数的茎叶图． ? 设一组观测数据有狀个不同的结果狓，狓，…，狓，每一个结果对应出现的频 １ ２ 狀 率分别为狆，狆，…，狆，试用求和符号写出这组观测数据的平均数与方差的 １ ２ 狀 计算公式 （方差计算公式中，可以出现平均数符号狓珚）． # ? 已知甲、乙两组数的茎叶图如下，分别计算这两组数的平均数． 甲 乙 ０ ８ ５ ２ １ ３ ３ ４ ６ ５ ４ ２ ３ ６ ９ ９ ７ ６ ６ １ １ ３ ３ ５ ８ ９ ９ ４ ４ ０ ５ １ （第１题） ? 已知甲、乙两组数可分别用图 （１）（２）表示，分别比较这两组数的平均数的相 对大小，以及方差的相对大小． N N 6 6 5 5 3 3 2 2 10 20 30 40 10 20 30 40   （第２题） ? 从标准质量为５００ｇ的一批洗衣粉中，随机抽查了５０袋，测得的质量数据如下 （单位：ｇ）： ４９４ ４９８ ４９３ ４９４ ４９６ ４９２ ４９０ ４９０ ５００ ４９９ ４９４ ４９５ ４８２ ４８５ ５０２ ４９３ ５０５ ４８５ ５０１ ４９１ ４９３ ５００ ５０９ ５１２ ４８４ ５０９ ５１０ ４９４ ４９７ ４９８ ５０４ ４９８ ４８３ ５１０ ５０３ ４９７ ５０２ ４９８ ４９７ ５００ ４９３ ４９９ ５０５ ４９３ ４９１ ４９７ ５１５ ５０３ ４９８ ５１８ ５．１ 统计 ７９（１）找出这组数的最值，求出极差； （２）以 ［４８０．５，４８７．５）为第一个分组的区间，作出这组数的频率分布直方图． ? 甲、乙两人某次飞镖游戏中的成绩如下： 甲：８，６，７，７，８，１０，９，８，７，８； 乙：９，１０，６，７，９，９，１０，８，９，１０． 其中甲的成绩可用如图 （１）所示的打点图 （或点状图）表示，每个成绩上面的 点的个数表示这个成绩出现的次数．在图 （２）中作出乙的成绩的打点图，并由 图写出关于甲、乙成绩比较的两个统计结论． 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10   （第４题） ５１ ８ ２６  ［２０，３０） 5.1.4    
* +'@+'  以下是某学校高一年级９８位学生的身高 （单位：ｃｍ）： １６１ １６８ １６６ １６８ １５２ １５２ １６３ １６４ １７０ １６７ １４３ １６６ １５３ １６５ １６８ １６７ １６３ １５７ １６０ １５９ １５３ １６９ １７２ １７５ １６５ １６１ １５８ １７２ １４７ １６４ １７１ １４９ １５８ １５５ １６９ １５０ １７３ １７０ １６２ １５７ １５２ １８０ １７８ １５８ １６２ １６４ １７２ １６５ １６５ １５５ １６３ １７８ １５９ １６８ １６１ １５１ １６６ １６８ １６５ １５８ １６２ １６５ １６３ １６６ １７４ １６３ １６３ １７５ １６５ １６０ １６１ １７７ １６３ １７０ １５５ １５６ １６１ １６９ １６７ １５１ １５６ １５８ １６５ １７９ １６１ １７６ １６２ １６８ １５３ １６９ １５５ １６５ １６３ １６６ １７２ １６０ １７３ １６４ ８ ０ 第五章 统计与概率已知这组数的总体平均数为１６３．５，总体方差为５６．３． 用简单随机抽样的方法从总体中抽取容量为１０的样本３次，分别计算样本平均 数与样本方差，并与总体对应的值进行比较． 一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征 能够反映总体的特征．特别地，样本平均数 （也称为样本均值）、方差 （也 称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大． 例如，上述数据中，如果用简单随机抽样抽得的序号分别为９０，３５， ６３，６８，６６，９，３０，５６，５０，４９，则对应的样本为 １６９，１６９，１６３，１７５，１６３，１７０，１６４，１５１，１５５，１６５， 容易算出，样本均值为１６４．４，样本方差为４５．８４，它们与总体对应的值差 别都不大． 这就说明，在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估 计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等． 另外，有时候总体的数字特征不可能获得，比如质监部门想知道市场上 节能灯的平均使用寿命，不可能把所有节能灯都拿来检测，此时只能用样本 的数字特征去估计总体的数字特征． 需要强调的是，估计一般是有误差的．例如，如果总体平均数记为 μ ，样 本均值记为狓珔，一般来说， μ＞狓珔， μ＝狓珔， μ＜狓珔都有可能．但是，大数定律可 以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大． 一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特 征即可． 下面我们来讨论一种稍微复杂一点的情况：假设样本是用分层抽样的方 法得到的，而且我们知道了每一层样本的数字特征，该怎样估计总体的数字 特征呢？ A( 在考察某中学的学生身高时，如果采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平 均数为１７０，方差为１６；女生身高的平均数为１６５，方差为２５． （１）如果没有其他信息，怎样估计总体的平均数与方差？ （２）如果知道抽取的样本中，男生有２０人，女生有１５人，怎样估计总体的平 均数与方差？ 作为估计来说，我们当然可以选择男生 （或女生）样本的平均数与方差 ５．１ 统计 ８１作为总体对应值的估计，但这样的选择没有充分利用已有的数据，显然不够 好；另外一种估计的办法是取每一层样本数字特征的算术平均值作为总体的 估计，即估计总体平均数为 １７０＋１６５ ＝１６７．５， ２ 类似地，总体方差可估计为 ． 但第二种估计方法也还不太理想，因为对于分层抽样来说，每一层所 抽取的个体数目一般来说是不相等的，简单的求数字特征的算术平均值体 现不出这一点．怎样才能体现这一点呢？尤其是，当我们把各层中得到的 个体放在一起作为一个样本时，样本均值与样本方差该如何计算呢？此 时，当然可以把各层数据集中在一起来重新计算，但也可以去考虑整个样 本的数字特征与每一层的数字特征之间的关系来实现，后者在大数据时代 的并行计算中经常使用． 我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有犿个数，分别为狓， １ 狓，…，狓 ，平均数为狓珚，方差为狊２；第二层有狀个数，分别为狔，狔， ２ 犿 １ ２ …，狔，平均数为狔 珔，方差为狋２．则 狀 狓珚 ＝ １ ∑犿 狓，狊２＝ １ ∑犿 （狓－狓珚）２， 犿 犻 犿 犻 犻＝１ 犻＝１ 狔 珔 ＝ ，狋２＝ ． 如果记样本均值为犪珔，样本方差为犫２，则可以算出 犪珔 ＝ １ （∑犿 狓＋ ∑狀 狔 ） ＝ 犿狓珚 ＋狀狔 珔 ， 犿＋狀 犻 犻 犿＋狀 犻＝１ 犻＝１ 犿狊［２＋（狓珚 －犪珔）２］＋狀狋［２＋（狔 珔 －犪珔）２］ 犫２＝ 犿＋狀 ［ ］ １ 犿狀 ＝ （犿狊２＋狀狋２）＋ （狓珚 －狔 珔）２ ． 犿＋狀 犿＋狀 依照上述公式可以算出，前述尝试与发现 （２）中总体的平均数可以估 计为１６７．８６，总体的方差可以估计为２５．９８． 
* + @+ 前面我们已经看到，总体的数字特征可以用样本的数字特征来估计，那 么，总体的分布是否也可以用样本的分布来近似刻画呢？这是接下来要讨论 的问题． ８ ２ 第五章 统计与概率A( 通过对某中学１２５７名高一学生期中考试的数学成绩 （具体数据参见这一小节 的附录）进行整理，可以得到如下数据，并由此可作出频率分布直方图和折线图， 如图５１１５所示． 分组 频数 频率 N) 4D ［４０，５０） ７ ０．０１ 0.04 ［５０，６０） ６５ ０．０５ 0.03 ［６０，７０） ２７６ ０．２２ 0.02 ［７０，８０） ４８０ ０．３８ 0.01 ［８０，９０） ３３０ ０．２６  30 40 50 60 70 80 90 100 110 ［９０，１００］ ９９ ０．０８ 图５１１５ 从附录的数据中抽取容量为１００的样本，整理类似的表格，并制作频率分布直 方图． 同前面一样，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布 与总体分布会差不多．特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会 太大． 例如，如果从上述尝试与发现中提到的数据中，抽取两个容量为１００的 样本 （分别记为样本Ａ，样本Ｂ，具体数据参见这一小节的附录），则可以 得到如下频数、频率对应表，它们的频率分布直方图分别如图５１１６ （１） （２）所示． 总体 样本Ａ 样本Ｂ 分组 频数 频率 频数 频率 频数 频率 ［４０，５０） ７ ０．０１ ０ ０ ０ ０ ［５０，６０） ６５ ０．０５ ５ ０．０５ ８ ０．０８ ［６０，７０） ２７６ ０．２２ ２３ ０．２３ ２１ ０．２１ ［７０，８０） ４８０ ０．３８ ３７ ０．３７ ４３ ０．４３ ［８０，９０） ３３０ ０．２６ ２７ ０．２７ １９ ０．１９ ［９０，１００］ ９９ ０．０８ ８ ０．０８ ９ ０．０９ 这就说明，同前面一样，如果容许有一定误差，则可以用样本的分布去 估计总体的分布．而且，在总体的分布不可能获得时，只能用样本的分布去 估计总体的分布． 同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差．如果总体在每一个 分组的频率记为π，π，…，π，样本在每一组对应的频率记为狆，狆， １ ２ 狀 １ ２ ５．１ 统计 ８３N) N) 4D 4D 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01   3 0 4 0 50 60（１70）8 0 90 10 0 1 10 3 0 40 50 6 0 7（0２）80 90100 110 图５１１６ …，狆，一般来说， 狀 １ ∑狀 １ （π－狆）２＝ ［（π－狆）２＋（π－狆）２＋…＋（π－狆）２］ 狀 犻 犻 狀 １ １ ２ ２ 狀 狀 犻＝１ 不等于零．同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小 的可能性将越来越大． 为了快速了解某学校学生体重 （单 
 位：ｋｇ）的大致情况，随机抽取了１０名学 






























 生称重，得到的数据整理成茎叶图如图５１ 














 




 １７所示．估计这个学校学生体重的平均数 和方差． 图５１１７ 将样本中的每一个数都减去５０，可得  －５，－１，－３，－１，－４，－４，１，８，９，１０， 这组数的平均数为 －５－１－３－１－４－４＋１＋８＋９＋１０ ＝１， １０ 方差为 ６２＋２２＋４２＋２２＋５２＋５２＋０２＋７２＋８２＋９２ ＝３０．４． １０ 因此可估计这个学校学生体重的平均数为５１，方差为３０．４． 我国是世界上严重缺水的 
 国家之一，某市为了制定合理的节水 N) 4D 方案，对家庭用水情况进行了调查， 0.36 通过抽样，获得了某年１００个家庭的 0.22 a 月均用水量 （单位：ｔ），将数据按 0.12 + "Gt 照 ［０，１），［１，２），［２，３），［３， 0 1 2 3 4 5 ４），［４，５］分成５组，制成了如图 图５１１８ ５１１８所示的频率分布直方图． ８ ４ 第五章 统计与概率（１）求图中犪的值； （２）设该市有１０万个家庭，估计全市月均用水量不低于３ｔ的家庭数； （３）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家 庭月均用水量的平均数． （１）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为１，所以  （０．１２＋０．２２＋０．３６＋犪＋０．１２）×１＝１， 解得犪＝０．１８． （２）抽取的样本中，月均用水量不低于３ｔ的家庭所占比例为 （犪＋０．１２）×１＝０．３＝３０％， 因此估计全市月均用水量不低于３ｔ的家庭所占比例也为３０％，所求家庭 数为１０００００×３０％＝３００００． （３）因为 ０．１２×０．５＋０．２２×１．５＋０．３６×２．５＋０．１８×３．５＋０．１２×４．５＝２．４６， 所以估计全市家庭月均用水量的平均数为２．４６． KA 用样本估计总体的失败案例 我们已经知道，用样本估计总体是有可 杂志社所得到的样本不能反映总体的情况． 能会犯错误的．下面是美国总统选举中的两 ２０１６年美国总统选举前，一个很擅长数 个估计失败的案例． 据分析的网站，给出了基于民意调查的两位 １９３６年美国总统选举前，一家很有名的 候选人获胜概率预测，如下图所示． 杂志社，通过电话簿和各种俱乐部信息等抽 然而，这一次的选举最后以特朗普获胜 取了约２４０万人，调查他们的选举意向．根 告终．实际上，这次选举绝大多数的预测都 据调查数据，这家杂志社给出了预测得票 是错误的！原因都与样本的代表性有关． 率，但选举结果与预测结果相差很大，如下 失败案例的存在是不是意味着用样本估 表所示． 计总体不科学呢？不是！这只是说明，在用 候选人 预测得票率 实际得票率 样本估计总体时，要保证抽样方案科学合 罗斯福 ４３％ ６２％ 理．实际上，美国总统选举的绝大多数预测 兰顿 ５７％ ３８％ 都是正确的，即使是上述两年所说的选举， 事实上，在１９３６年的美国，一般只有 也有调查机构根据民意调查正确地预测了 富人才拥有电话、能参加俱乐部，因此这家 结果．    
    
             ５．１ 统计 ８５

0 随着数据收集以及数据存储技术的不断进步，现在人们能够以非常便捷 的方式、非常低廉的成本、非常快的速度，收集规模非常宏大的数据集合． “大数据”时代已经悄然来临． “大数据”的出现，让人们对 “数据”本身有了许多新的认识．除了传统 的数值数据外，文本、图像、音频、视频等都可以被 “数据化”．网民的搜索 行为和浏览记录、法律判决文书、病人的就诊病例和ＣＴ影像 （即计算机层析 成像）、聊天语音、视频监控录像等信息都可以被记录下来并且被 “数据化”． 凡是可以被 “数据化”的信息载体都可以看成数据．信息载体包括的数据量 达到一定的规模或者达到一定的复杂程度，都可以被认为是 “大数据”． “大数据”的出现，让人们认识到了数据本身的价值：根据网民的搜索 行为和浏览记录所反映出来的个人偏好，可以用于精准推送合适的新闻或商 品；分析法律判决文书的历史信息，有助于准确识别虚假诉讼、实现案件繁 简分离、提高审判效率；将病人的就诊病例、ＣＴ影像数据等与医生的诊断 结果结合后，可以用于训练精确的统计模型，实现优质医疗资源共享；准确 识别后的语音信息，可以非常快速、便捷地转换为操作指令，提高工作效 率；视频监控录像可以为警察破案提供非常重要的线索…… “大数据”的价值远远不止于此．事实上，“大数据”作为信息资源，与 土地、劳动力和资本等生产要素一样，正在成为促进经济增长和社会发展的 基本要素．“大数据”已被普遍认为是非常重要的国家战略资源．未来，作 为重要生产要素和国家战略资源的 “大数据”资源，将渗透至我们的日常生 活、社会经济活动以及政府管理决策之中，进一步提高我们的生活质量，改 进企业的生产效率，提升政府部门快速响应和合理决策的能力，等等． " ? 我国古代数学名著 《数书九章》有 “米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来 米１５３４石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得２５４粒内夹谷２８粒．估计这 批米内所夹的谷有多少石． ? 代课教师为了了解某班级学生的数学成 N) 4D 绩，随机抽查了５位学生的成绩，得到的 0.6 数据为９２，７８，５６，７５，６２．试估计该班 0.4 学生数学成绩的平均数与方差． 0.2 ? 某学校为了了解高中学生用手机上网的时 5 Lh 间，随机抽查了若干位学生进行调查，收 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 （第３题） ８ ６ 第五章 统计与概率集到的日平均上网时间 （单位：ｈ）都在区间 ［０，３］内，且频率分布直方图 如图所示．分别估计这所学校学生中，日平均上网时间不到１ｈ和超过了２ｈ 的学生所占的百分比． # ? 为了考察某地６月份最高气温的情况，随机抽取了５天，所 










 得数据 （单位：℃）可以绘制成如图所示茎叶图．估计该地 















 ６月份最高气温的平均值与方差． （第１题） ? 为了了解上、下班时段的交通情况，某市抽取了１２辆机动 车行驶的时速，得到了如下数据 （单位：ｋｍ／ｈ）． 上班时段：３０ ３３ １８ ２７ ３２ ４０ ２６ ２８ ２１ ２８ ３５ ２０ 下班时段：２７ １９ ３２ ２９ ３６ ２９ ３０ ２２ ２５ １６ １７ ３０ 用茎叶图表示这些数据，并分别估计出该市上、下班时段机动车行驶的平均 时速． ? 某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙３个班中，按分 层抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间 （单位：ｈ），数据如下． 甲 ６ ６．５ ７ ７．５ ８ 乙 ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 丙 ３ ４．５ ６ ７．５ ９ １０．５ １２ １３．５ （１）求三个班中学生人数之比； （２）估计这个学校高一年级学生中，一周的锻炼时间超过１０ｈ的百分比； （３）估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间． ? 在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个 容量为１０的样本，并算得样本的平均数为５，方差为９；乙同学抽取了一个 容量为８的样本，并算得样本的平均数为６，方差为１６．已知甲、乙两同学抽 取的样本合在一起组成一个容量为１８的样本，求合在一起后的样本均值与样 本方差． ? 记总体在每一个分组的频率为π，π，…，π，样本在每一组对应的频率记为 １ ２ 狀 ∑狀 狆，狆，…，狆，求证： （π－狆）＝０． １ ２ 狀 犻 犻 犻＝１  １６＋２５ ＝２０．５  １ ∑狀 狔  １ ∑狀 （狔－狔 珔）２ ２ 狀 犻 狀 犻 犻＝１ 犻＝１ ５．１ 统计 ８７附录 某中学１２５７名高一学生期中考试的数学成绩 ６９ ６６ ７８ ７８ ４５ ７２ ８９ ６７ ６３ ７１ ６１ ７４ ７７ ８５ ６３ ７６ ８５ ６７ ５９ ６４ ７０ ７９ ７６ ７９ ６２ ８３ ７１ ６５ ７４ ８１ ９８ ９０ ７３ ８９ ８０ ８９ ７８ ８２ ６９ ７８ ６２ ７５ ７０ ７６ ６７ ６６ ７３ ６１ ８０ ６９ ８４ ５８ ８０ ９０ ７８ ６９ ６８ ８１ ６７ ７９ ６８ ７６ ７４ ７１ ７２ ８５ ８０ ７８ ８７ ９７ ６２ ７２ ６９ ７５ ７７ ６７ ６６ ８３ ８０ ７９ ７５ ８７ ８０ ７６ ７４ ８０ ７４ ５３ ８４ ８２ ７２ １００ ９０ ７６ ９４ ７３ ７３ ６７ ７９ ８２ ８７ ８０ ６８ ６０ ８１ ６４ ７７ ７２ ６９ ８１ ８０ ５８ ８０ ９２ ５８ ６７ ６４ １００ ８６ ６１ ６４ ７２ ８３ ６０ ７４ ５９ ７４ ９１ ８１ ７０ ７２ １００ ９０ ５７ ９７ ７４ ８２ ６４ ６８ ９７ ７７ ８９ ８２ ６９ ６７ ７７ ７１ ６９ ７３ ８７ ８３ ８８ ６７ ７８ ６５ ７８ ７２ ７３ ８０ ７４ ７７ ６６ ８０ ７１ ５１ ７５ ７７ ８６ ６０ ８４ ８１ ７９ ７３ ６９ ７５ ７０ ８２ ６８ ７６ ７６ ９２ ６８ ７７ ８９ ８５ ７５ ７３ ６９ ６９ ７７ ７５ ７９ ６４ ８０ ７９ ５５ ７４ ７２ ８２ ６７ ７３ ７０ ９４ ７７ ６４ ７５ ７８ ７３ ７４ ７８ ８４ ６８ ５９ ７９ ９７ ８６ ８１ ７４ ７０ ７６ ８２ ８２ ７５ ５４ ７６ ８５ ８１ ８１ ７９ ７６ ６３ ７６ ９５ ６５ ８３ ６６ ７９ ８３ ５４ ７３ ６２ ８６ ５９ ９６ ７１ ６４ ８０ ７２ ７２ ８９ ８２ ６３ ５８ ９３ ６９ ８９ ８２ ７２ ７１ ６０ ６６ ６０ ６４ ６５ ７４ ８２ ８５ ７３ ６１ ８３ ７８ ９１ ９８ ７４ ７４ ７６ ８５ ８６ ７２ ５１ ８５ ８２ ８０ ９５ ８６ ５８ ５０ ９０ ９１ ７６ ６５ ９１ ８５ ６７ ９０ ７７ ９１ ８０ ７６ ７８ ７６ ７１ ７２ ８２ ９４ ８０ ７９ ８２ ６６ ６５ ４９ ８５ ８２ ６９ ７６ ８５ ９５ ８２ ７４ ７１ ８８ ６５ ６８ ８２ ８６ ６７ ６９ ７１ ８９ ８１ ８５ ７６ ９８ ９４ ９１ ６８ ７８ ６８ ８３ ８７ ７８ ７８ ７１ ８０ ５５ ７３ ６３ ７７ ７３ ８５ ７３ ７０ ７３ ８１ ７９ ６３ ６７ ６７ ８０ ６１ ５７ ６６ ８３ ８２ ８９ ７４ ７２ ６７ ８３ ９２ ７３ ８８ ８１ ７３ ４６ ７６ ８４ ９０ ６２ ６３ ７７ ６１ ７２ ７２ ４９ ７５ ７３ ９０ ９０ ８１ ６３ ７２ ７６ ６５ ７３ ７０ ７８ ８０ ６２ ９０ ６８ ８９ ８２ ７７ ７３ ８４ ８２ ７５ ７４ ６９ ７７ ８４ ６７ ８３ ９３ ７２ ７１ ７５ ７１ ５４ ７４ ８７ ６６ ７０ ７２ ６２ ９１ ８８ ６２ ７９ ８２ ６４ ７５ ７７ ６２ ７７ ８１ ９５ ７８ ７１ ８１ ８４ ８６ ８１ ７１ ７９ ７１ ７８ ６７ ８０ ８３ ９０ ８２ ６２ ６２ ５９ ７９ ６８ ７３ ８５ ８７ ７５ ６７ ７１ ８８ ５８ ８２ ８４ ６３ ７１ ６８ ９５ ８４ ８０ ６０ ８１ ７５ ８６ ７１ ８６ ８１ ６４ ６８ ７０ ８３ ７７ ８４ ８９ ７３ ８７ ５３ ７７ ８２ ７５ ７０ ７３ ７３ ７５ ６６ ６３ ８１ ７６ ７０ ７０ ５９ ７７ ７８ ７１ ７４ ７４ ８３ ８１ ６３ ７９ ９０ ８２ ７５ ８８ ６２ ８１ ８３ ７８ ６７ ７８ ７８ ６４ ６８ ９６ ７５ ７２ ７７ ６０ ７７ ９０ ７７ ８４ ７９ ６２ ８８ ６６ ７８ ７８ ８１ ８４ ８０ ７８ ６１ ７７ ８７ ５５ ７０ ８０ ７１ ８５ ７０ ７５ ６８ ６２ ６８ ７２ ７０ ７０ ８３ ８８ ７３ ７９ ９３ ７６ ７０ ６３ ７９ ７６ ５０ ７４ ５７ ８６ ７５ ６８ ７７ ７４ ７１ ７８ ８３ ９３ ８４ ７０ ７２ ８０ ７０ ６７ ８４ ９５ ８２ ８１ ７７ ７２ ６１ ８０ ７９ ６６ ６８ ６８ ７９ ７６ ７３ ７５ ８２ ７７ ５６ ６６ ７８ ８４ ６０ ７２ ９３ ６５ ６７ ８０ ９３ ７１ ８６ ７３ ６８ ８１ ６６ ６２ ６２ ５３ ９４ ９５ ８３ ７７ ８２ ７９ ９１ ７７ ７７ ８４ ６４ ８５ ６８ ９６ ５６ ８４ ６８ ８５ ８ ８ 第五章 统计与概率７１ ９０ ４８ ７９ ８６ ７２ ８６ ７６ ６７ ８１ ７３ ７５ ８０ ６７ ７１ ７６ ９３ ７８ ６７ ８７ ７８ ８２ ７９ ７０ ７９ ８０ ８２ ６９ ６７ ８８ ８１ ６２ ７７ ８４ ６８ ５７ ５９ ８１ ７７ ７８ ９２ ８９ ９１ ７０ ８５ ８３ ７８ ７２ ８６ ６３ ８３ ７５ ６３ ６８ ９５ ８０ ８１ ７６ ８５ ６８ ６３ ７９ ６９ ７４ ６１ ７７ １００ ８０ ８４ ７２ ６９ ８２ ６７ ８７ ６９ ７４ ８８ ７５ ７１ ６７ ７５ ７６ ６６ ７９ ８０ ７９ ７２ ４８ ６９ ８２ ６８ ７０ ６５ ６９ ６６ ７６ ７１ ８８ ７４ ７５ ６９ ７９ ８９ ８２ ８０ ６６ ６３ ７６ ７７ ７９ ６８ ７９ ８０ ７３ ８８ ５７ ８１ ７８ ７７ ６９ ７０ ６６ ６９ ７７ ６８ ５４ ６５ ８９ ６６ ８４ ８０ ７６ ８４ ８８ ７１ ７３ ９２ ６７ ７７ ６３ ９０ ７８ ６９ ８１ ６６ ８３ ６７ ７２ ７０ ９３ ８２ ８１ ６４ ８０ ７３ ９２ ７４ ８９ ８７ ６８ ６２ ８９ ８４ ７０ ７６ ７１ ７８ ７２ ７８ ６２ ６７ ７４ ７８ ７２ ６４ ８３ ８０ ８５ ７７ ８８ ６９ ６４ ７０ ８０ ７４ ５７ ８０ ８５ ８２ ８３ ７９ ６９ ６７ ７５ ８１ ６４ ６５ ６４ ６１ ６７ ８８ ７２ ９８ ７６ ７５ ８１ ８４ ８６ ８８ ８０ ７０ ８７ ６７ ７９ ７８ ７０ ７０ ８７ ７４ ８１ ６７ ６５ ９５ ６８ ６３ ６５ ７４ ８２ ７８ ６０ ６７ ８３ ７２ ８５ ６８ ７９ ８５ ８１ ７８ ９２ １００ ７９ ６２ ６７ ８５ ７５ ６９ ９５ ６９ ７４ ７６ ６９ ８６ ８７ ７８ ６１ ７０ ８３ ７３ ９７ ７４ ６３ ７６ ８２ ７９ ６７ ７９ ７６ ６２ ８３ ８１ ８０ ７９ ５６ ８４ ９２ ７５ ６６ ９９ ８４ ８４ ７３ ７１ ７９ ７３ ７８ ７７ ９３ ７５ ７６ ７３ ５９ ７９ ７０ ７９ ９２ ６４ ７７ ７９ ６０ ７４ ７５ ５６ ７０ ９０ ５９ ７３ ７２ ６８ ７９ ８３ ８３ ６５ ８０ ８６ ９３ ６２ ７５ ７３ ７４ ７３ ７８ ８７ ７５ ５４ ５１ ７３ ８１ ８２ ９５ ８９ ８５ ７７ ９３ ６３ ５４ ８３ ５８ ６８ ６８ ８０ ７７ ６８ ５５ ６８ ７５ ８３ ７９ ７７ ９６ ７３ ７１ ８７ ６０ ６９ ７８ ８４ ６７ ８３ ８９ ８１ ７８ ７７ ７５ ６７ ６２ ７１ ９５ ８３ ６２ ７８ ９０ ７１ ８７ ８１ ７７ ５８ ５５ ６７ ６８ ８８ ７６ ７８ ６７ ６２ ７０ ８０ ５３ ６４ ７１ ８４ ６７ ８６ ６３ ５１ ７５ ７６ ７３ ７１ ６７ ９０ ７８ ６４ ７２ ５９ ７３ ８４ ９３ ６７ ７３ ８４ ６４ ７３ ７５ ６４ ８１ ７７ ７１ ７２ ８３ ７３ ７６ ９３ ７７ ９４ ６９ ８８ ５９ ７３ ８３ ６２ ６４ ６０ ７２ ６２ ７５ ７６ ７６ ６２ ７０ ８４ ７７ ８６ ７６ ７１ ５９ ９６ ７２ ８３ ８７ ７４ ７６ ６９ ６０ ７３ ７８ ６５ ７４ ８５ ８８ ７７ ７４ ９４ ７２ ７４ ７０ ７９ ９２ ６８ ６９ ４７ ８９ ８５ ８７ ７４ ７５ ７０ ７６ ８０ ６９ ６８ ８７ ６３ ８０ ８３ ５６ ６４ ８２ ８０ ８０ ５５ ５９ ８５ ８３ ７３ ６４ ７５ ６７ ７６ ７２ ８１ ７９ ７８ ９０ ８２ ７５ ７９ ８５ ７９ ６８ ６３ ７０ ８２ ８２ ８２ ５７ ７９ ７９ ７１ ９８ ９６ ７８ ７４ ８３ ７０ ６５ ７３ ７０ ６８ ７５ ５９ １００ ８０ ５５ ５７ ６５ ８０ ７６ ７４ ５５ ７２ ７４ ７０ ５２ ８７ ８５ ８１ ６４ ６８ ６８ ９０ ７０ ７１ ６２ ７２ ６０ ６５ ７８ ７５ ８１ ７３ ６９ ５９ ７５ ７１ ７５ ７０ ６９ ７７ ８０ ５７ ８１ ９３ ８３ ７１ ８７ ７４ １００ ７０ ６０ ６６ ７０ １００ ７６ ８９ ６４ ９４ ７７ ６５ ７４ ７４ ７１ ７７ ５７ ９３ ８１ ７８ ７９ ８６ ８２ ８２ ８７ ７８ ８４ ７２ ５４ ８４ ６０ ５６ ８７ ６９ 样本Ａ的１００个数据 ６６ ７２ ７１ ９０ ８０ ７６ ８７ ８３ ８７ １００ ７３ ８７ ７７ １００ ９１ ６５ ７３ ７７ ７３ ６８ ７６ ８９ ８６ ８０ ８２ ６５ ６９ ９５ ８２ ７３ ６２ ７２ ７８ ８１ ８４ ７８ ８３ ６７ ７５ ８４ ７８ ６１ ５５ ７０ ８８ ７１ ６７ ６６ ６８ ６２ ７７ ５．１ 统计 ８９５６ ７１ ８１ ７７ ７８ ６３ ７２ ６９ ８９ ６６ ５７ ８０ ９２ ８３ ６５ ７９ ６３ ８３ ６８ ６２ ６９ ７６ ７７ ５６ ８０ ７８ ７５ ７１ ８１ ７７ ８０ ６４ ７３ ５９ ７４ ８５ ７４ ６４ ７２ ９０ ８２ ７４ ８３ ６８ ８３ ７４ １００ ７１ ７７ 样本Ｂ的１００个数据 ７０ ７５ ６７ ７３ ７７ ６７ ５９ ８１ ７４ ７７ ８９ ７３ ８７ ６５ ７４ ５１ ８２ ７５ ６９ ７９ ７０ ９４ ６３ ６０ ５１ ９５ ７６ ８６ ７１ ７８ ８７ ６６ ９０ ７７ ６８ ９３ ７５ ７２ ８１ ７１ ８７ ５８ ６３ ７８ ８０ ７１ ７５ ７６ ７７ ７２ ７７ ９３ ７１ ９４ ６８ ７９ ６７ ７９ ７９ ５９ ８１ ８９ ８３ ８４ ７２ ８８ ８１ ８４ ６７ ８７ ６２ ７８ ６４ ７９ ６２ ５４ ６８ ７７ ６８ ８３ ７７ ９０ ６７ ７６ ９０ ５９ ７２ ９４ ７５ ７０ ７８ ８３ ６４ ７５ ５７ ６２ ７８ ７５ ７３ ６４ " ? 已知总体是由编号为０１，０２，…，１９，２０的２０个个体组成．利用下面的随 机数表选取５个个体，选取方法是从随机数表第１行的第５个数字开始，由 左到右依次选取两个数字．写出选取的５个个体编号． ７８１６６５７２０８０２６３１４０７０２４３６９９７２８０１９８ ３２０４９２３４４９３５８２００３６２３４８６９６９３８７４８１ ? 已知某地区有小学生１２０００人，初中生１１０００人，高中生９０００人，现在要 了解该地区学生的近视情况，准备抽取３２０人进行调查，那么应该抽取小学 生、初中生、高中生各多少人？ ? 《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对２０００名１８～３５岁青年进行的一 项调查显示，在平时生活中，１８．５％的受访青年经常会阅读或学习古典诗词， ６１．０％的受访青年偶尔会，１７．９％的受访青年很少会，仅２．６％的受访青年表 示从不接触古典诗词．选择合适的统计图表表示上述调查结果． ? 截至２０１５年年底，我国部分省市区自然保护区的数量可用下图表示，写出图 中所涉及的这组数的极差和中位数． 384 251 200 182 168 159 128 124 105 104 92 88 78 77 60 60 57 51 49 47 46 44 35 33 31 30 20 14 11 8 4 （第４题） ９ ０ 第五章 统计与概率# ? 某单位共有５００名职工，其中不到３５岁的有１２５人，３５～４９岁的有犪人，５０ 岁及以上的有犫人，现用分层抽样的方法，从中抽出１００名职工了解他们的 健康情况： （１）求不到３５岁的职工要抽取的人数； （２）如果已知３５～４９岁的职工抽取了５６人，求犪的值，并求５０岁及以上的 职工要抽取的人数． ? 已知狓，狓，…，狓 的平均数为１０，标准差为３，且狔＝狓＋２，犻＝１，２， １ ２ 狀 犻 犻 …，狀．求狔，狔，…，狔 的平均数与方差． １ ２ 狀 ? 某科技攻关青年团队共有２０人，他们的年龄分布如下表所示． 年龄 ２８ ２９ ３０ ３２ ３６ ４０ ４５ 人数 １ ３ ３ ５ ４ ３ １ （１）求这２０人年龄的众数、极差、平均数、方差、２５％分位数、７５％分 位数； （２）用茎叶图表示这２０人的年龄． ? ２０１５年，３１个省会城市中，区域声环境质量达到一级的城市为１个，达到二 级的城市为２２个，达到三级的城市为８个．选择合适的统计图表表示这组 数据． ? 某学校调查了２０个班中有网上购物经历的人 










 数，得到了如图所示的茎叶图，以 ［０，１０）， 






























 



































 ［１０，２０），［２０，３０）， ［３０，４０］为分组，作 

























 出这组数的频率分布直方图，并说明频率分布 （第５题） 直方图与茎叶图之间的关系． ? 下图是２００４—２０１４年我国二氧化硫年排放量 （单位：万吨）的柱形图，据此 评价这些年来我国二氧化硫排放的治理效果． 2 700 2 600 2 500 2 400 2 300 2 200 2 100 2 000 1 900 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 （第６题） ５．１ 统计 ９１$ ? 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生 大规模群体感染的标志为 “连续１０日，每天新增疑似病例不超过７人”．过 去１０日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为３，中位数为４； 乙地：总体平均数为１，总体方差大于０； 丙地：中位数为２，众数为３； 丁地：总体平均数为２，总体方差为３． 则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有哪些？ ? 如图所示是某商家根据去年Ａ，Ｂ两种产品的月销售额 （单位：万元）作出 的统计图 （称为雷达图），根据图中信息，写出关于Ａ，Ｂ两种产品销售额比 较的两个统计结论．           "      #       （第２题） ? 已知 ∑１０ ∑１０ ∑１０ 狓＝２０， 狔＝１０， 狓狔＝２０， 犻 犻 犻犻 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ∑１０ 求 （狓－３）（狔－２）的值． 犻 犻 犻＝１ ? 在分层抽样时，如果总体分为犽层，而且第犼层抽取的样本量为狀，第犼层 犼 的样本均值为狓珚，样本方差为狊２，犼＝１，２，…，犽．记狀＝ ∑犽 狀．求证：所 犼 犼 犼 犼＝１ 有数据的样本均值和方差分别为 狓珚 ＝ １ ∑犽 （狀狓珚），狊２＝ １ ∑犽 ［狀狊２＋狀（狓珚 －狓珚）２］． 狀 犼犼 狀 犼犼 犼 犼 犼＝１ 犼＝１ ９ ２ 第五章 统计与概率． ! #!$%&’()* +,-./0#1$2345 
"53>! 日常生活中，为了方便管理，人们经常会对人或物进行连续编号 （即编 号为００１，００２，００３，…）．例如，有些班级学生的学号最后两位是连续编 号的，各种会员卡的卡号一般是连续编号的，一个团体 （包括学校）在进行 资产管理时，会给所涉及的资产一个编号，这个编号的最后几位一般来说也 是连续编号的． 当对人或物进行连续编号后，知道编号的最大值就能方便地知道总数是 多少．例如，如果班级学生的学号最后两位是连续编号的，且最后两位最大 的编号是３３，那就意味着这个班级有３３名学生． 在很多情况下，得到最大的编号并不容易，但可以得到一些编号的样 本．此时，能不能根据编号样本的信息，利用有关统计的知识，估计出人或 物的总数呢？ 类似问题在实际生活中有时是有战略意义的．例如，第二次世界大战期 间，德军生产的坦克是连续编号的，盟军从战场上缴获了一些德军坦克，因 此获得了一些坦克编号，盟军希望能根据这些样本数据估计出德军所生产的 坦克数量．后来统计学家们圆满地解决了这一问题，而且，如下表所示，当 时统计学家们的估计比情报部门的估计误差小很多！ 时间 统计估计／辆 情报估计／辆 实际／辆 １９４０年６月 １６９ １０００ １２２ １９４１年６月 ２４４ １５５０ ２７１ １９４２年８月 ３２７ １５５０ ３４２ 请与其他同学分工合作，寻找生活中有连续编号的实例，获取适当容量 的编号样本，在此基础上讨论估计总数的多种办法，并用模拟的办法验证估 计方法的准确度，将活动过程记录在下表中． ５．２ 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 ９３由编号样本估计总数活动记录表 活动开始时间： （１）成员与分工 姓 名 分 工 （２）待估计总数的、有连续编号的实例 （３）获取的编号样本 （４）估计总数的方法以及计算过程 （５）采用模拟的方法以及估计结果的验证 （６）活动总结 （包括活动感受等） 活动结束时间： 
". 要完成的任务可以简述为：假设已有的编号样本从小到大依次为 狓，狓，…，狓 ， １ ２ 犿 由这些样本怎样去估计总数狀． 最大值估计：狀的值一定不会小于编号中的最大值，所以可以用编号中 的最大值作为狀的一个估计，即 狀≈狓 ． 犿 ９ ４ 第五章 统计与概率平均值估计：考虑到样本的平均数与总体的平均数应该相差不大，因此 可用样本平均数来给出狀的一个估计．记 狓＋狓＋…＋狓 狓珚＝ １ ２ 犿， 犿 １＋２＋…＋狀 狀＋１ 狀＋１ 又因为 ＝ ①，所以有 ≈狓珚，从而可以用大于或等于 狀 ２ ２ ２狓珚－１的最小整数作为狀的估计． 值得注意的是，这种方法得到的狀的估计与狓 的相对大小是不确定 犿 的，因此有可能出现狀＜狓 的情况．当然，此时我们可以用狓 作为狀的估 犿 犿 计值． 你能想出其他的估计方法吗？你能猜出第二次世界大战期间统计学家采 用的方法吗？感兴趣的读者请自行查阅有关资料进行了解． 估计的模拟可以借助计算机来进行． 例如，首先在Ｅｘｃｅｌ表格中设定一个总数狀，然后用随机数函数产生几 个编号样本，最后算出估计值，观察误差． 如图５２１所示即为验证示意图． 图５２１ 图５２１中，Ｂ３：Ｊ５有数据的单元格，输入的都是 “＝ＲＡＮＤＢＥＴＷＥＥＮ（１，＄Ｂ＄１）”， Ｌ３中输入的是 “＝ＭＡＸ（Ｂ３：Ｊ３）”， Ｍ３中输入的是 “＝ＲＯＵＮＤＵＰ（２ＡＶＥＲＡＧＥ（Ｂ３：Ｊ３）－１，０）”． ① 这个式子可以通过归纳的方法得出． ５．２ 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 ９５． ! "! "# 5.3.1  A( 如果要你将以下日常生活中的现象进行分类，你会依据什么来分？分类的结果 是怎样的？ （１）练习投篮５次，命中３次； （２）早晨太阳从东边升起； （３）一个小时内接到１０个电话； （４）将一石块抛向空中，石块掉落下来； （５）走到一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯； （６）实心铁球丢进水里，铁球会沉到水底； （７）买一张福利彩票，没中奖． 我们日常生活中的现象，根据结果是否可以准确预测，可以分为两类， 即随机现象和必然现象．一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是 随机现象 （或偶然现象），发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象 （或确定性现象）．也就是说，对于随机现象而言，如果在同一条件下进行多 次观察，每次观察的结果不一定相同，事先很难确定哪种结果会出现． 上述尝试与发现中，是随机现象的序号为 ． 
% /K 为了方便起见，我们把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验 称为随机试验 （简称为试验）．例如，抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等， 都可以看成随机试验． ９ ６ 第五章 统计与概率 书书书值得注意的是，虽然每次随机试验的结果是不能确定的，但在多次重复 的试验中，其试验结果会呈现出一定的规律性．例如，我们已经知道，抛一 枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，在一次试验中，结果不能准确预 测，但是如果重复多次，就有正面出现次数与反面出现次数大致相当的规 律性． 我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样 本点组成的集合称为样本空间 （通常用大写希腊字母Ω表示）． 例如，抛一枚硬币，如果样本点记为 “出现正面”“出现反面”，则样本 空间为 Ω＝｛出现正面，出现反面｝； 再例如，掷一个骰子，如果样本点用朝上的面的点数表示，则其样本空 间为 Ω＝ ． 先后抛出两枚硬币，观察正反面出现的情况，选择合适的方法表 
 示样本点，并写出样本空间． 考虑到有先后顺序，可以用 表示第１枚硬币  出现正面，第２枚硬币出现反面，其他样本点用类似的方法表示，则样本 空间为 Ω＝ ． 
K  如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件犃是Ω的一个非空真子集． 而且：若试验的结果是犃中的元素，则称犃发生 （或出现等）；否则，称犃 不发生 （或不出现等）．随机事件也可用自然语言描述． 例如，掷一个骰子，观察朝上的面的点数，则样本空间 Ω＝｛１，２，３，４，５，６｝． 此时：若犃＝｛１，３，５｝，则犃就是一个随机事件，而且犃可以用自然语言 描述为 “出现的点数为奇数”；若犅表示随机事件 “出现的点数为偶 数”，则 犅＝ ． 如果掷骰子得到的点数为３，则可知上述随机事件犃发生且随机事件犅不 发生． 显然，任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生． 另外，任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此 ５．３ 概率 ９７可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集不 包含任何样本点，所以可以认为每次试验中一定不发生，从而称为不可 能事件． 一般地，不可能事件、随机事件、必然事 件都可简称为事件，通常用大写英文字母犃， Ω 犅，犆，…来表示事件．因为事件一定是样本 A 空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来 直观地表示事件，如图５３１所示．特别地， 只含有一个样本点的事件称为基本事件． 图５３１ 事件既可以用集合表示，也可以用自然语言描述，在今后的学习中，要 特别注意两者之间的相互转化．仍以上述掷一个骰子的试验为例，若记 犃：出现的点数小于７，犅：出现的点数等于９， 则不难看出犃＝Ω，是必然事件；犅＝，是不可能事件． 张华练习投篮１０次，观察张华投篮命中的次数，写出对应的样 
 本空间，并用集合表示出事件犃：投篮命中的次数不少于７次． 样本空间为  Ω＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０｝， 所要表示的事件为 犃＝ ． 从含有３件次品的１００件产品中任取５件，观察其中次品数，写 
 出对应的样本空间，并说明事件犃＝｛０｝的实际意义． 样本空间为  Ω＝ ． 事件犃＝｛０｝表示的实际意义是：抽取的５件产品中，没有次品． 
K *+ ( 在小学和初中我们就已经知道，事件发生的可能性大小可以用该事件发 生的概率 （也简称为事件的概率）来衡量，概率越大，代表越有可能发生． 事件犃发生的概率通常用犘（犃）表示． 我们将不可能事件发生的概率规定为０，将必然事件Ω发生的概率规 定为１，即 犘（）＝０，犘（Ω）＝１． ９ ８ 第五章 统计与概率A( 在这样规定的前提下，你认为任意事件发生的概率应该满足什么条件？说明理由． 对于任意事件犃来说，显然应该有犘（）≤犘（犃）≤犘（Ω），因此犘（犃） 应该满足不等式  ． 日常生活与应用中，概率值也经常用百分数表示，例如 “明天下雨的概 率为７０％”等． KA ７２ !"# $%&’()* 当地震等地质灾害发生后，在媒体上经 的，那么生还的概率为２０％～３０％．这就意 常可以看到 “黄金７２小时”这几个字．你 味着，当地震等地质灾害发生后，应该 “与 知道它表示的是什么意思吗？ 时间赛跑”，利用各种手段和机会尽可能早 医学研究和统计表明，在没有食物尤其 地发现被困人员． 是没有水的条件下，生命的存续期一般不会 需要注意的是，概率描述的只是事件 超过３天．国际救援界认为，在地震等地质 发生的可能性大小，发生的可能性小 （即 灾害发生后的７２小时内，被救出人员的存 概率小）并不代表不会发生．统计数据表 活率随时间的消逝呈递减趋势：第一天 （即 明，地震六天后，被埋人员生还的概率几 ２４小时内），存活率约为９０％；第二天，存活 乎为零．但是这样的事例并不是没有：２００５ 率为５０％～６０％；第三天，存活率为２０％～ 年巴基斯坦７．６级地震中，一名青年被埋２７ ３０％．再往后的话，存活率将进一步减少． 天后获救生还；２００８年我国汶川地震中，一 这里的存活率可以用概率来理解：被救 位６０岁的老人被困１１天后获救生还；等等． 出的人员，如果是在２４小时内被发现的， 因此，几乎所有的救援工作，在 “黄金７２ 那么该人员生还的概率为９０％；如果是在第 小时”之外都会继续，以便发现更多生命的 ２４～４８小时内被发现的，那么生还的概率为 奇迹． ５０％～６０％；如果是第４８～７２小时内发现 先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数． 
 （１）写出对应的样本空间； （２）用集合表示事件犃：点数之和为３，事件犅：点数之和不超过３； （３）从直观上判断犘（犃）和犘（犅）的大小（指出犘（犃）≥犘（犅）或 犘（犃）≤犘（犅）即可）． （１）用 （１，２）表示第一次掷出１点，第二次掷出２点，其他的  样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成 （犻，犼）的形 ５．３ 概率 ９９式，其中犻，犼都是１，２，３，４，５，６中的数． 因此，样本空间 Ω＝｛（犻，犼）｜１≤犻≤６，１≤犼≤６，犻∈犖，犼∈犖｝①． （２）不难看出 犃＝｛（１，２），（２，１）｝， 犅＝｛（１，１），（１，２），（２，１）｝． （３）因为犃事件发生时，犅事件一定发生，也就是说犅事件发生的 可能性不会比犃事件发生的可能性小，所以直观上可知犘（犃）≤犘（犅）． " ? 选择合适的表示方法，写出下列试验的样本空间： （１）种下一粒种子，观察是否发芽； （２）甲、乙两队进行一场足球比赛，观察比赛结果 （可以是平局）． ? 掷一个骰子，观察朝上的面的点数，写出下列事件的集合表示： （１）犃：出现奇数点； （２）犅：点数大于３． ? 从含有５件次品的１００件产品中任取３件，观察其中的次品数． （１）选择合适的表示方法，写出样本空间； （２）写出事件犃：“取到的３件产品中没有次品”的集合表示； （３）说明事件犅＝｛０，１｝所表示的实际意义． ? 某同学得出随机事件犃发生的概率为犘（犃）＝１．２，这可能吗？为什么？ # ? 从０，１，２这３个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对 （狓， 狔），其中狓为第１次取到的数字，狔为第２次取到的数字． （１）写出样本空间； （２）写出 “第１次取出的数字是２”这一事件的集合表示． ? 按先后顺序抛三枚硬币，观察正反面出现的情况，选择合适的方法表示样本点， 并写出样本空间． ? 先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，用集合表示事件犃：点数 之和为６，犅：点数之和不超过６，并从直观上判断犘（犃）和犘（犅）的大小 （指 出犘（犃）≥犘（犅）或犘（犃）≤犘（犅）即可）． ? 如果随机试验的样本空间是Ω，且犃是一个必然事件，犅是一个不可能事件． （１）写出犃与Ω的关系； （２）写出犅与的关系． ① 这一结果也经常简写为Ω＝｛（犻，犼）｜犻，犼＝１，２，３，４，５，６｝． １ ００ 第五章 统计与概率? 观察一个日光灯的寿命： （１）用适当的符号表示这个试验的样本空间，并写出其中含有的样本点个数； （２）用集合表示事件犃：寿命大于５０００ｈ，犅：寿命小于１０００ｈ．  （１）（３）（５）（７）  ｛１，２，３，４，５，６｝  （Ｚ，Ｆ）  ｛（Ｚ，Ｚ），（Ｚ，Ｆ），（Ｆ，Ｚ），（Ｆ，Ｆ）｝①  ｛２，４，６｝  ｛７，８，９，１０｝  ｛０，１，２，３｝ ０≤犘（犃）≤１ 5.3.2   某班数学建模课分成５个小组 （编号为１，２，３，４，５）采用合作学习的方式进 行，课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示． 不难看出，这一试验的样本空间可记为 Ω＝ ． 记事件 犈＝｛１｝，犉＝｛１，２｝，犌＝｛１，３｝，犎＝｛１，２，３｝，犐＝｛４，５｝， 说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系． 前面我们在事件与集合之间建立了对应关系，从而可用集合的一些术 语、符号去描述事件之间的关系与运算． 
+ ,0 前述情境与问题中，如果事件犈发生，那么事件犉一定发生．即如果 教师选择了第１组，那么 “选择了第１组或者第２组”也就一定发生了． 一般地，如果事件犃发生时，事件犅一定发生，则称 “犃包含于犅” （或 “犅包含犃”），记作犃犅（或犅犃），这一关系可用图５３２表示． ① 的填法不唯一，比如也可填：正反；｛正正，正反，反正，反反｝． ５．３ 概率 １０１犃犅也可用充分必要的语言表述为：犃 发生是犅发生的 ，犅发生是犃发 Ω 生的 ． B 如果犃犅，根据定义可知，事件犃发生 A 的可能性不比事件犅发生的可能性大，直观上 我们就能得到 图５３２ 犘（犃）≤犘（犅）． 此外，如果事件犃发生时，事件犅一定发生；而且事件犅发生时，事 件犃也一定发生，则称 “犃与犅相等”，记作犃＝犅． 不难看出 犃＝犅犃犅且犅犃． 犃＝犅也可用充分必要的语言表述为：犃发生是犅发生的 ． 显然，当犃＝犅时，应该有 犘（犃）＝犘（犅）． 
+ UU 给定事件犃，犅，由所有犃中的样本点与 犅中的样本点组成的事件称为犃与犅的和 （或 Ω 并），记作 A B 犃＋犅（或犃∪犅）． 事件犃与犅的和可以用如图５３３所示的阴影 部分表示． 图５３３ 按照定义可知，事件犃＋犅发生时，当且 仅当事件犃与事件犅中至少有一个发生． 前述情境与问题中，犎＝犉＋犌． 另外，不难看出，犃（犃＋犅）且犅（犃＋犅），因此 犘（犃）≤犘（犃＋犅）且犘（犅）≤犘（犃＋犅）， 而且，直观上可知犘（犃＋犅）与犘（犃）＋犘（犅）的大小关系为  ． 
+/UU 给定事件犃，犅，由犃与犅中的公共样本点组成的事件称为犃与犅的 １ ０２ 第五章 统计与概率积 （或交），记作 犃犅（或犃∩犅）． Ω 事件犃与犅的积可以用如图５３４所示的阴影 A B 部分表示． 按照定义可知，事件犃犅发生时，当且仅 当事件犃与事件犅都发生． 图５３４ 前述情境与问题中，犈＝犉犌． A( 类比前面的情况，得出犘（犃犅）与犘（犃）的大小关系，以及犘（犃犅）与犘（犅）的 大小关系： 犘（犃犅） 犘（犃），犘（犃犅） 犘（犅）． 事件的和、积可以类似地推广到有限多个的情形，这里不再赘述． 
+/ 给定事件犃，犅，若事件犃与犅不能同时 发生，则称犃与犅互斥，记作 Ω 犃犅＝ （或犃∩犅＝）， A B 这一关系可用图５３５表示． 不难看出：任意两个基本事件都是互斥的， 与任意事件互斥． 直观上可以看出，当犃与犅互斥 （即犃犅＝ 图５３５ ）时，有 犘（犃＋犅）＝犘（犃）＋犘（犅）， 这称为互斥事件的概率加法公式． 一般地，如果犃，犃，…，犃 是两两互斥的事件，则 １ ２ 狀 犘（犃＋犃＋…＋犃）＝犘（犃）＋犘（犃）＋…＋犘（犃）． １ ２ 狀 １ ２ 狀 前述情境与问题中，互斥的事件有 ． Ω 给定样本空间Ω与事件犃，则由Ω中所有 A A 不属于犃的样本点组成的事件称为犃的对立事 件，记作犃珡，用集合的观点来看，犃珡是犃在Ω 中的补集，如图５３６所示．如果犅＝犃珡，则称 图５３６ ５．３ 概率 １０３犃与犅相互对立． 按照定义可知，每次随机试验，在事件犃与犃珡中，有一个发生，而且 只有一个发生．注意到必然事件的概率为１，因此 犘（犃）＋犘（犃珡）＝ ． 前述情境与问题中，相互对立的事件是▉ ． A( 不难看出，互斥与相互对立是有区别的，试用自己的语言总结出它们之间的关 系，并举例说明． 事实上，如果犃与犅相互对立，则犃与犅互斥，但反之不成立，即 “犃与犅相互对立”是 “犃与犅互斥”的充分不必要条件． 
+# D0 前面实际上我们给出了事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件 的积，求一个事件的对立事件．因为事件运算的结果仍是事件，所以可以进 行事件的混合运算，例如 （犃犅珚）＋（犃珡犅）， 这表示的是犃犅珚与犃珡犅的和，实际意义是：犃发生且犅不发生，或者犃不 发生且犅发生，换句话说就是犃与犅中恰有一个发生． 同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我 们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此 （犃犅珚）＋（犃珡犅）可简写为 犃犅珚＋犃珡犅． 设犃，犅为两个事件，试用犃，犅表示下列各事件： 
 （１）犃，犅两个事件中至少有一个发生； （２）犃事件发生且犅事件不发生； （３）犃，犅两个事件都不发生． （１）按照定义有犃＋犅．  （２）因为犅不发生可以表示为犅珚，所以可以写成犃犅珚． （３）按照定义有犃珡犅珚． 已知数学考试中，李明成绩高于９０分的概率为０．３，不低于６０ 
 分且不高于９０分的概率为０．５，求： （１）李明成绩不低于６０分的概率； （２）李明成绩低于６０分的概率． １ ０４ 第五章 统计与概率记事件犃：李明成绩高于９０分，犅：李明成绩不低于６０分且不高  于９０分，则不难看出犃与犅互斥，且 犘（犃）＝０．３，犘（犅）＝０．５． （１）因为 “李明成绩不低于６０分”可表示为犃＋犅，由犃与犅互斥可知 犘（犃＋犅）＝犘（犃）＋犘（犅）＝０．３＋０．５＝０．８． （２）因为 “李明成绩低于６０分”可表示为犃＋犅，所以 犘（犃＋犅）＝１－犘（犃＋犅）＝１－０．８＝０．２． 任意给定两个事件犃，犅，考虑 犘（犃＋犅），犘（犃），犘（犅），犘（犃犅） 之间的等量关系，得出一般的关系式． " ? 甲、乙两人各投一次篮，分别记事件犃：甲投中，犅：乙投中，试用犃，犅表 示下列事件： （１）甲投中但乙没投中； （２）甲和乙都没投中． ? 已知事件犃与犅互斥，且犘（犃）＝０．２，犘（犅）＝０．１，求犘（犃＋犅）． ? 已知某次比赛中，学校足球队赢的概率为０．７，打平的概率为０．２，求学校足球 队不输的概率． # ? 设犃，犅为两个事件，试用犃，犅表示下列各事件： （１）犃，犅两个事件中至多有一个发生； （２）犃，犅两个事件中至少有一个发生． ? 先后掷一个骰子两次，观察出现的面的点数，记事件犃：点数之和等于５，事件 犅：最大点数为４，试用集合表示事件犃，犅，犃＋犅，犃犅． ? 已知三个事件犃，犅，犆两两互斥，且犘（犃）＝０．３，犘（犅珚）＝０．６，犘（犆）＝０．２， 求犘（犃＋犅＋犆）． ? 已知事件犃与犅互斥，判断犃珡与犅的关系，以及犃与犅珚的关系． ? 设犃，犅，犆为三个事件，说明下列各式所表示的意义： （１）犃珡犅犆； （２）犃＋犅＋犆； （３）犃犅珚犆珚＋犃珡犅犆珚＋犃珡犅珚犆． ５．３ 概率 １０５ ｛１，２，３，４，５｝  充分条件  必要条件  充要条件 犘（犃＋犅）≤犘（犃）＋犘（犅）  ≤  ≤ 犈与犐，犉与犐，犌与犐，犎与犐 １ ▉犎与犐 5.3.3   前面我们已经了解了随机试验的样本空间、事件等概念，并且知道了描 述事件发生的可能性大小———概率的一些性质，还学习了事件之间的关系以 及对应的概率关系等． 但是，到目前为止，除了必然事件和不可能事件外，对于其他事件，我们 还没有讨论该怎样确定其发生的概率，这就是本小节和下一小节要学习的内容． A( （１）抛一枚均匀的硬币，观察落地后哪一面朝上．这个试验的样本空间可以记为 Ω＝｛正面向上，反面向上｝． １ 记事件犃：正面向上，你认为犘（犃）应该是多少？理由是什么？ （２）掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数．这个试验的样本空间可记为 Ω＝｛１，２，３，４，５，６｝． ２ 记事件犅：出现的点数不超过４，你认为犘（犅）应该是多少？理由是什么？ 由以上两个实例，你能总结出一般规律吗？ 尝试与发现中的抛硬币试验，因为样本空间含有２个样本点，而且因为 硬币是均匀的，所以可以认为每个样本点出现的可能性相等，又因为事件犃 包含１个样本点，所以 １ 犘（犃）＝ ； ２ 类似地，掷均匀骰子的试验中，因为样本空间共有６个样本点，而且因为骰 子是均匀的，所以可以认为每个样本点出现的可能性相等，又因为事件犅 包含 个样本点，所以 犘（犅）＝ ． 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的 （简称 为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件 （即基本事件）发 １ ０６ 第五章 统计与概率生的可能性大小都相等 （简称为等可能性），则称这样的随机试验为古典概 率模型，简称为古典概型． 古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到：假设样本空间含 有狀个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都 相等，又因为必然事件发生的概率为 ，所以由互斥事件的概率加法 １ 公式可知每个基本事件发生的概率均为 ．此时，如果事件犆包含有犿个 狀 样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知 犿 犘（犆）＝ ． 狀 不难看出，古典概型是一种理想化的概率模型．历史上，利用古典概型 确定事件发生的概率的方法在１７世纪与１８世纪得到了长足的发展，而且它 现在也是一种非常重要的确定事件发生的概率的方法． 一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型 的两个特征———有限性与等可能性．因此，并不是所有的随机试验都能归结 为古典概型．例如，抛一个瓶盖，观察落地后的状态 （如图５３７所示）， 就不能归结为古典概型；在一定的条件下，种下一粒种子，观察种子是否发 芽，一般也不能归结为古典概型．    图５３７ 某中学举行高一广播体操比赛，共１０个队参赛，为了确定出场 
 顺序，学校制作了１０个出场序号签供大家抽签，高一（１）班先抽，求他们 抽到的出场序号小于４的概率． 考虑高一（１）班从１０个出场序号签中随机抽一个签的试验，其样本  空间可记为 Ω＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０｝， 共包含１０个样本点． 记犃：抽到的出场序号小于４，则不难看出 犃＝｛１，２，３｝， ３ 犃包含的样本点个数为３，所以犘（犃）＝ ． １０ ５．３ 概率 １０７按先后顺序抛两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况，求至少 
 出现一个正面的概率． 这个试验的样本空间可记为  Ω＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝， 共包含４个样本点． 记犃：至少出现一个正面，则 犃＝｛（正，正），（正，反），（反，正）｝， ３ 犃包含的样本点个数为３，所以犘（犃）＝ ． ４ 注意，古典概型中的概率也具有前面我们所说的概率的性质．假设古典 概型对应的样本空间含狀个样本点，事件犃包含犿个样本点，则： 犿 （１）由０≤犿≤狀与犘（犃）＝ 可知 狀 ０≤犘（犃）≤１； （２）因为犃珡中包含的样本点个数为狀－犿，所以 狀－犿 犿 犘（犃珡）＝ ＝１－ ＝１－犘（犃）， 狀 狀 即犘（犃）＋犘（犃珡）＝１； （３）若事件犅包含有犽个样本点，而且犃与犅互斥，则容易知道犃＋ 犅包含犿＋犽个样本点，从而 犿＋犽 犿 犽 犘（犃＋犅）＝ ＝ ＋ ＝犘（犃）＋犘（犅）． 狀 狀 狀 因此，例２也可用如下方法来解：因为犃珡＝｛（反，反）｝，所以犘（犃珡）＝ １ ，从而 ４ １ ３ 犘（犃）＝１－犘（犃珡）＝１－ ＝ ． ４ ４ 从含有两件正品犪，犪 和一件次品犫的３件产品中，按先后顺 
 １ ２ 序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件 次品的概率． 按照题意，取产品的过程可以用图５３８所示的树形图直观表示．  1! a a b 1 2 1! a b a b a a 2 1 1 2 图５３８ １ ０８ 第五章 统计与概率 书书书因此样本空间可记为 Ω＝｛（犪，犪），（犪，犫），（犪，犪），（犪，犫），犫（，犪），犫（，犪）｝， １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ 共包含６个样本点． 用犃表示 “取出的两件中，恰好有一件次品”，则 犃＝｛（犪，犫），（犪，犫），犫（，犪），犫（，犪）｝， １ ２ １ ２ ４ ２ 犃包含的样本点个数为４，所以犘（犃）＝ ＝ ． ６ ３ 值得注意的是，如果把例３中的条件 “每次取出后不放回”换成 “每次 取出后放回”，其余不变，则所求事件发生的概率将有所变化． 事实上，此时树形图将有所变化，且样本空间应记为 Ω＝｛（犪，犪），（犪，犪），（犪，犫），（犪，犪），（犪，犪）， １ １ １ ２ １ ２ １ ２ ２ （犪，犫），犫（，犪），犫（，犪），犫（，犫）｝， ２ １ ２ 共包含９个样本点．而事件 犃＝ ． 犃包含的样本点个数为４，所以犘（犃）＝ ． 甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，假设两人都随机出 
 拳，求： （１）平局的概率； （２）甲赢的概率； （３）甲不输的概率． 因为甲有３种不同的出拳方法，乙同样也有３种不同的出拳方法，  因此一次出拳共有３×３＝９种不同的可能． 因为都是随机出拳，所以可以看成古 典概型，而且样本空间中共包含９个样本 + K   点，样本空间可以用图５３９直观表示． K

因为锤子赢剪刀，剪刀赢布，布赢锤  

 子，所以若记事件犃为 “平局”，犅为  

“甲赢”．则： （１）事件犃包含３个样本点 （图５３９ 图５３９ ３ １ 中的△），因此犘（犃）＝ ＝ ； ９ ３ （２）事件犅包含３个样本点 （图５３９中的※），因此犘（犅）＝ ３ １ ＝ ； ９ ３ （３）因为犃＋犅表示 “甲不输”，且犃，犅互斥，所以所求概率为 ２ 犘（犃＋犅）＝犘（犃）＋犘（犅）＝ ． ３ ５．３ 概率 １０９例４中的图也可以用树形图来表示，而且 （３）还有其他解法，请读者 自行尝试． 先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件犃：点数 
 之和为７，犅：至少出现一个３点，求犘（犃），犘（犃珡），犘（犅），犘（犃犅）． 用数对 （狓，狔）来表示抛掷结果，则样本空间可记为  Ω＝｛（犻，犼）｜犻，犼＝１，２，３，４，５，６｝， 而且样本空间可用图５３１０直观表示． 样本空间中，共包含３６个样本点． y 6 不难看出， 5 犃＝｛（６，１），（５，２），（４，３）， 4 （３，４），（２，５），（１，６）｝， 3 犃包含６个样本点 （即图５３１０中橙 2 ６ １ 1 色框中的点），因此犘（犃）＝ ＝ ． ３６ ６ O 1 2 3 4 5 6 x 由对立事件概率之间的关系可知 １ ５ 图５３１０ 犘（犃珡）＝１－犘（犃）＝１－ ＝ ． ６ ６ 类似地，可以看出，图５３１０中绿色框中的点可以代表事件犅，因 １１ 此犅包含１１个样本点，从而犘（犅）＝ ． ３６ 不难知道，犃犅＝｛（４，３），（３，４）｝，因此 犘（犃犅）＝ ． 人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的． 
 生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因 （记为Ｂ），另一种是隐性基因 （记为ｂ）；基因总是成对出现 （如ＢＢ， ｂＢ，Ｂｂ，ｂｂ），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一 定是双眼皮 （也就是说，“单眼皮”的充要条件是 “成对的基因是ｂｂ”）； 如果不发生基因突变的话，成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母 亲，但父母亲提供基因时都是随机的． 有一对夫妻，两人成对的基因都是Ｂｂ，不考虑基因突变，求他们的 孩子是单眼皮的概率． 我们用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个  字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因． 由图５３１１所示的树形图可知，样本空间中共含有４个样本点，即 Ω＝｛ＢＢ，Ｂｂ，ｂＢ，ｂｂ｝． １ １０ 第五章 统计与概率孩子要是单眼皮，成对的基因只能是ｂｂ，因此 １ 所求概率为 ． B ４ B b 例６中，若我们考虑的样本空间为Ω＝｛ＢＢ，Ｂｂ， B ｂｂ｝，那么事件 “他们的孩子是单眼皮”只包含Ω中 b b 的一个样本点ｂｂ，但由此并不能得出该事件发生的概 图５３１１ １ 率为 ，因为样本空间Ω＝｛ＢＢ，Ｂｂ，ｂｂ｝中的各个 ３ 基本事件不具有等可能性．因此，用古典概型求概率时，要选择合适的方式 表示样本点及样本空间，以使得基本事件具有等可能性，并且使所考察的事 件能表示为样本空间的子集． " ? 一般来说，火车上的座位都标有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｆ，其中Ａ，Ｆ这两个座位是靠 窗的，如果随机买一张火车票，则买到靠窗的座位的概率是多少？ ? 某选修课共有５１人想学，但是因为场地有限，只能容许３６人选课，学校打算 用抽签的方式决定哪些人上这门选修课，则想学的５１人中，任何一人能上这门 课的概率为多少？ ? 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，求取出的两件中恰有一件次品 的概率． # ? 从１，２，３，…，３０中任意选一个数，分别求下列事件的概率： （１）取出的数是偶数； （２）取出的数能被３整除； （３）取出的数是偶数且能被３整除； （４）取出的数是偶数或能被３整除． ? 把一个体积为６４ｃｍ３的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成６４个体积为１ｃｍ３ 的小正方体，从中任取一块，求取到的小正方体只有一面涂有红漆的概率． ? 从２，３，８，９中任取两个不同的数，分别记为犪，犫，求使ｌｏｇ犫为整数的 犪 概率． ? 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌 的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下 等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场 双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获胜．求田忌获胜的概率． ５．３ 概率 １１１? 甲、乙两校各有３名教师报名支教，其中甲校２男１女，乙校１男２女． （１）若从甲校和乙校报名的教师中各任选１名，用合适的符号写出样本空间， 并求选出的２名教师性别相同的概率； （２）若从报名的６名教师中任选２名，用合适的符号写出样本空间，并求选出 的２名教师来自同一学校的概率． ４ ２ ４  ＝ １  ｛（犪，犫），（犪，犫），犫（，犪），犫（，犪）｝ ６ ３ １ ２ １ ２ ４ ２ １   ＝ ９ ３６ １８ 5.3.4   
*M(@ ( 我们已经知道，利用古典概型能够方便地确定出有关随机事件的概率． 但是，因为并不是所有的随机试验都能归结为古典概型，所以还要寻求其他 的确定随机事件概率的方法．  （１）《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对２０００名１８～３５岁的青年进 行的一项调查显示，在生活节奏加快的今天，７０．０％的受访青年表示仍要培养古典 诗词爱好，１５．５％的人认为不需要，１４．５％的人表示不好说． 随机选取一名１８～３５岁的青年，这名青年认为仍要培养古典诗词爱好的概率为 多少？ （２）随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态 （参见上一小节的图５３７），怎样 确定瓶盖盖口朝下的概率？ 情境与问题中的两个问题，如果用古典概型来确定概率，显然是不太合 适的，但是我们可以利用有关统计数据得出事件发生的概率的估计值． 例如，可以重复做抛瓶盖试验若干次 （设为狀次），然后观察盖口朝下的 １ １２ 第五章 统计与概率犿 次数 （设为犿次），最后用盖口朝下的频率 作为盖口朝下的概率的估计值． 狀 A( 你觉得利用频率来估计概率的办法可靠吗？怎样检验这种方法的可靠性？ 为了验证这种确定事件发生的概率的方法的可靠性，历史上很多学者做 过成千上万次抛均匀硬币的试验，得到的结果如下表所示． 犿 试验者 抛掷次数狀 正面向上次数犿 正面向上频率 狀 棣莫弗 ２０４８ １０６１ ０．５１８１ 布丰 ４０４０ ２０４８ ０．５０６９ 费勒 １００００ ４９７９ ０．４９７９ 皮尔逊 １２０００ ６０１９ ０．５０１６ 皮尔逊 ２４０００ １２０１２ ０．５００５ 抛均匀硬币观察朝上的面时，利用古典概型可算得正面朝上的概率为 １ ，不难看出，以上学者们所得到的频率值，都可以较好地作为正面朝上的 ２ 概率的近似值． 事实上，大数定律能够保证，在大量重复的试验过程中，一个事件发生 的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概 率之间差距很小的可能性越大． 犿 一般地，如果在狀次重复进行的试验中，事件犃发生的频率为 ，则 狀 犿 当狀很大时，可以认为事件犃发生的概率犘（犃）的估计值为 ．不难看出， 狀 此时也有 ０≤犘（犃）≤１， 而且，可以验证，此时两对立事件的概率和为１以及互斥事件的概率加法公 式等概率的性质也成立． 这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率，在实践中人们经常采 用这种方法来估计事件发生的概率． 为了确定某类种子的发芽率，从一大批这类种子中随机抽取了 
 ２０００粒试种，后来观察到有１８０６粒发了芽，试估计这类种子的发芽率． ５．３ 概率 １１３因为  １８０６ ＝０．９０３， ２０００ 所以估计这类种子的发芽率为０．９０３． 不难看到，在用频率估计概率时，不同的试验结果可能会产生不同的估 计值．例如，如果例１中观察到了１８１０粒种子发了芽，那么得到种子发芽 率的估计值将为 １８１０ ＝０．９０５． ２０００ 需要注意的是，这种现象是正常的．这就像给定一条线段，谁也不会怀疑它 有一个 “客观”的长度，但这个长度是多少呢？我们可以用精确度不同的尺 或仪器去测量，也可以由不同的人去测量，但不论尺或仪器多么精确，测量 的人多么认真，测得的数值可能不会完全相同，但一定都是 “客观”长度的 近似值． 需要注意的是，即使我们估计出了发芽率为０．９０３ （或０．９０５），我们也 不能指望下一次种１００００粒种子时，得到发芽的种子正好为９０３０ （或 ９０５０）粒，而只能说发芽的种子接近９０３０粒 （或９０５０粒）． ２０１３年，北京地区拥有科普人员４８８００人，其中，科普专职人 
 员７７２７人，其余均为科普兼职人员．２０１３年９月的科普日活动中，到某 大学附属中学宣讲科普知识的是科普人员张明，估计张明是科普专职人员 的概率 （精确到０．０１）． 可以算得，２０１３年北京地区科普专职人员占所有科普人员的比  例为 ７７２７ ≈０．１６， ４８８００ 因此张明是科普专职人员的概率可估计为０．１６． 某女篮运动员统计了她最近几次参加比赛投篮的得分情况，得到 
 的数据如下表所示． 投篮次数 投中两分的次数 投中三分的次数 ７５ ４５ １２ 注：每次投篮，要么得两分，要么得三分，要么没投中． 记该女篮运动员在一次投篮中，投中两分为事件犃，投中三分为事件 犅，没投中为事件犆，试估计犘（犃），犘（犅），犘（犆）． 因为  ４５ １２ ＝０．６， ＝０．１６， ７５ ７５ １ １４ 第五章 统计与概率所以可以估计 犘（犃）＝ ，犘（犅）＝ ． 注意到犆＝犃＋犅，而且犃与犅互斥，因此估计 犘（犆）＝１－犘（犃＋犅） ＝１－犘（犃）－犘（犅） ＝ ． 例３中，犘（犆）还有其他算法，请读者自行尝试． 为了了解某次数学考试全校学生的得分情况，数学老师随机选取 
 了若干名学生的成绩，并以 ［５０，６０），［６０，７０），…，［９０，１００］为分 组，作出了如图５３１２所示的频率分布直方图．从该学校中随机选取一 名学生，估计这名学生该次数学考试成绩在 ［９０，１００］内的概率． N) 4D 0.04 0.03 0.02 0.01  50 60 70 80 90 100 110 图５３１２ 由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中，在 ［９０，  １００］内的频率为 ０．０１×（１００－９０）＝０．１． 因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学得分在 ［９０，１００］内的频率可以估计为 ． 根据用频率估计概率的方法可知，随机选取一名学生，这名学生该次 数学考试成绩在 ［９０，１００］内的概率可以估计为 ． １ 已知某彩票的中奖概率为 ，这是否意味着买了１０００张彩票就一定能中奖？ １０００ 试分析各种可能的情况 （例如彩票总数正好为１０００和超过１０００等），给这个 问题一个比较完善的解答． ５．３ 概率 １１５
* - O 利用计算机软件生成随机数的函数，可以模拟抛均匀硬币和掷均匀骰子 的试验，从而可以帮助我们更好地理解用频率估计概率的合理性． 例如，如果用１表示出现正面，０表示出现反面，则在Ｅｘｃｅｌ中可用函 数ＲＡＮＤＢＥＴＷＥＥＮ来模拟抛均匀硬币．图５３１３是模拟的结果，其中产 生数据的每个单元格输入的都是 “＝ＲＡＮＤＢＥＴＷＥＥＮ（０，１）”． 用ＲＡＮＤＢＥＴＷＥＥＮ也可以模拟掷均匀骰子的试验，只不过在每个单 元格输入的公式应为 “＝ＲＡＮＤＢＥＴＷＥＥＮ（１，６）”． 当然，用类似方法可以模拟生活中的随机试验，从而得到相关随机事件 发生的概率． 图５３１３ " ? 学生甲在用频率估计事件犃发生的概率时，算得事件犃发生的概率犘（犃）＝ １．１，学生乙看了后说：“你一定算错了！”乙的依据是什么？ ? 从一堆苹果中任取１０个，称得它们的质量如下 （单位：ｇ）： １２５，１２０，１２２，１０５，１３０，１１４，１１６，９５，１２０，１３４． 从这一堆苹果中，随机抽出一个，则得到的苹果质量落在 ［１１４．５，１２４．５］内的 概率可估计为多少？ １ １６ 第五章 统计与概率? 某篮球运动员的投篮命中率是９０％，有同学的理解是：这名运动员如果投篮 １００次，则一定有９０次投中，１０次没投中．这种理解对吗？为什么？ ? 抛一枚均匀的硬币，连续５次都是正面朝上，小华认为抛下一次时，反面朝上 １ 的概率大于 ，你同意吗？为什么？ ２ ? 统计全班同学的生日所在的月份，将数据填入下表： 月份 １月 ２月 ３月 ４月 ５月 ６月 ７月 ８月 ９月 １０月 １１月 １２月 合计 频数 频率 由此你能得到什么结论？ # ? 从用频率估计概率的方法说明： （１）不可能事件的概率是０； （２）必然事件的概率是１． ? 某射击手在同一条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数狀 １０ ２０ ５０ １００ ２００ ５００ 击中靶心次数犿 ８ １９ ４４ ９２ １７８ ４５５ 犿 击中靶心频率 狀 （１）求出表中击中靶心的各个频率值； （２）这个射击手射击一次，击中靶心的概率可估计为多少？ ? 将一个均匀的骰子掷６００次，则出现的点数大于２的次数大约为多少？一定会 出现这么多次吗？ ? 某盒子内装有三种颜色的玻璃球，一位同学每次从中随机拿出一个玻璃球，观 察颜色后再放回，重复了５０次，得到的信息如下：观察到红色２６次、蓝色１３ 次．如果从这个盒子内任意取一个玻璃球，估计： （１）这个球既不是红色也不是蓝色的概率； （２）这个球是红色或者是蓝色的概率． ０．６ ０．１６ ０．２４ ０．１ ０．１ ５．３ 概率 １１７5.3.5   A( 五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学 准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天．记事件犃：甲选 的是第一天，犅：乙选的是第一天． （１）直觉上，你觉得犃事件是否发生会影响犅事件发生的概率吗？ （２）求出犘（犃），犘（犅），犘（犃犅）的值，观察这三个值之间的关系． 尝试与发现中，如果用 （犻，犼）表示甲选的是第犻天，乙选的是第犼 天，则样本空间可以记为 Ω＝｛（１，１），（１，２），（２，１），（２，２），（３，１），（３，２）｝， 共包含６个样本点． 又因为 犃＝｛（１，１），（１，２）｝， 犅＝ ， 所以，可以算出 犘（犃）＝ ，犘（犅）＝ ，犘（犃犅）＝ ． 一般地，当 犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅） 时，就称事件犃与犅相互独立 （简称独立）．事件犃与犅相互独立的直观 理解是，事件犃是否发生不会影响事件犅发生的概率，事件犅是否发生也 不会影响事件犃发生的概率． 可以证明，如果事件犃与犅相互独立，则犃珡与犅，犃与犅珚，犃珡与犅珚也 相互独立． 甲、乙两人各掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 
 犃：甲得到的点数为２，犅：乙得到的点数为奇数． （１）求犘（犃），犘（犅），犘（犃犅），判断事件犃与犅是否相互独立； （２）求犘（犃珡犅）． 如果用 （犻，犼）表示甲得到的点数为犻，乙得到的点数为犼，则样  本空间可以记为 Ω＝｛（犻，犼）｜犻，犼＝１，２，３，４，５，６｝， １ １８ 第五章 统计与概率而且这个样本空间可用图５３１４直 观表示．  （１）不难看出，图 ５３１４ 中， 6 5 橙色框中的点代表事件犃，绿色框中 4 的点代表事件犅． 3 因此，可以算出 2 ６ １ １８ １ 犘（犃）＝ ＝ ，犘（犅）＝ ＝ ． 1 ３６ ６ ３６ ２ 又因为犃犅＝｛（２，１），（２，３）， O 1 2 3 4 5 6  （２，５）｝，所以 图５３１４ ３ １ 犘（犃犅）＝ ＝ ． ３６ １２ 因为犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅），所以犃与犅相互独立． （２）由犃与犅相互独立可知，犃珡与犅也相互独立，因此 （ １） １ ５ 犘（犃珡犅）＝犘（犃珡）犘（犅）＝［１－犘（犃）］犘（犅）＝ １－ × ＝ ． ６ ２ １２ 因为 “犃与犅相互独立”是 “犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅）”的充要条件，所 以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得 到它们同时发生的概率．在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事 件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互 独立． 已知甲运动员的投篮命中率为０．７，乙运动员的投篮命中率为０．８． 
 （１）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？ （２）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？ （１）记事件犃：甲投中，犅：乙投中，因为犃与犅相互独立，所以  犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅）＝０．７×０．８＝０．５６， 即都命中的概率为０．５６． （２）记事件犃：甲第犻次投中，其中犻＝１，２，则 犻 犘（犃）＝犘（犃）＝０．７． １ ２ 恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次 没投中且第二次投中，即 犃犃＋犃犃， １ ２ １ ２ 注意到犃 与犃 相互独立，且犃犃 与犃犃 互斥，因此 １ ２ １ ２ １ ２ 犘（犃犃＋犃犃）＝犘（犃犃）＋犘（犃犃） １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ ＝犘（犃）犘（犃）＋犘（犃）犘（犃） １ ２ １ ２ ５．３ 概率 １１９＝犘（犃）［１－犘（犃）］＋［１－犘（犃）］犘（犃） １ ２ １ ２ ＝０．７×（１－０．７）＋（１－０．７）×０．７ ＝０．４２． 两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即 “犃，犃，…， １ ２ 犃 相互独立”的充要条件是 “其中任意有限个事件同时发生的概率都等于 狀 它们各自发生的概率之积”．多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质． 例如，如果犃，犃，犃 相互独立，则犃珡 ，犃，犃 也相互独立等． １ ２ ３ １ ２ ３ 某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都 
 １ 随机选了一个答案，且每道题他猜对的概率均为 ． ４ （１）求该同学三道题都猜对的概率； （２）求该同学至少猜对一道题的概率． 记事件犃：该同学第犻题猜对了，其中犻＝１，２，３，则  犻 １ 犘（犃）＝犘（犃）＝犘（犃）＝ ． １ ２ ３ ４ （１）三道题都猜对可以表示为犃犃犃，又因为犃，犃，犃 相互独 １ ２ ３ １ ２ ３ 立，所以 １ １ １ １ 犘（犃犃犃）＝犘（犃）犘（犃）犘（犃）＝ × × ＝ ． １ ２ ３ １ ２ ３ ４ ４ ４ ６４ （２）“至少猜对一道题”的对立事件是 “三道都猜错”，后者可以表示 为犃犃 犃 ，所以 １ ２ ３ （ １） ２７ 犘（犃犃 犃 ）＝犘（犃）犘（犃）犘（犃）＝ １－ ３＝ ， １ ２ ３ １ ２ ３ ４ ６４ 因此所求概率为 ２７ ３７ １－犘（犃犃 犃 ）＝１－ ＝ ． １ ２ ３ ６４ ６４ 应当注意的是，例３的 （２）也可不借助对立事件来求，但那样的话 会比较烦琐，请读者自行尝试． " ? 掷一个均匀的骰子，设事件犃为 “掷出的点数小于４”，犅为 “掷出１点或６ 点”，判断事件犃与犅珚是否独立． ? 已知甲运动员的投篮命中率为０．７，若甲投篮两次，则其两次都没投中的概率为 多少？ ? 俗话说 “三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，从数学角度解释这句话的含义． １ ２０ 第五章 统计与概率# ? 从一副不含大小王的５２张扑克牌中，任意抽出一张来，设事件犃为 “抽到黑 桃”，犅为 “抽到Ｑ”，判断犃珡与犅珚是否相互独立． ? 已知甲运动员的投篮命中率为０．７，若甲投篮两次，则其至少投中一次的概率为 多少？ ? 用定义与概率的性质证明，当事件犃与犅相互独立时，犃珡与犅也独立．（提示： 犘（犅）＝犘（（犃珡＋犃）犅）＝犘（犃珡犅＋犃犅）＝犘（犃珡犅）＋犘（犃犅）．） ? 已知某人做某件事，成功的概率只有０．１．用计算器计算，如果他尝试１０次， ! 而且每次是否成功都相互独立，则他至少有一次成功的概率为多少 （精确到 ０．０１）？如果他尝试２０次呢？如果要保证至少成功一次的概率不小于９０％，则 他至少要尝试多少次？ １ １ １  ｛（１，１），（２，１），（３，１）｝    ３ ２ ６ " ? 从２０位同学中随机抽取一名，已知抽到男生的概率为０．３，求这２０位同学中 有多少男生． ? 从１，２，３，４，５这５个数字中，任取两个数． （１）用合适的符号写出样本空间； （２）求两个数都是奇数的概率． ? 将下列说法用概率的知识表达： （１）一位工程师说，他们厂制造的节能灯，１０００个中平均有９５０个寿命不小 于１００００ｈ； （２）一位老农民说，十有八九要下雨了． ? 某同学参加科普知识竞赛，需回答３个问题．假设这名同学答对第一、二、 三个问题的概率分别为０．８，０．７，０．６，且各题答对与否相互之间没有影响． 求这名同学答对第一题、第三题且答错第二题的概率． ? 已知某一天甲地降雨的概率是０．２，乙地降雨的概率是０．３，假定这一天两地 是否降雨相互之间没有影响，求： （１）甲乙两地都降雨的概率； （２）甲乙两地都不降雨的概率． ５．３ 概率 １２１１ ２ ? 已知事件犃，犅相互独立，且犘（犃）＝ ，犘（犅）＝ ，求犘（犃犅珚 ）及犘（犃珡犅珚 ）． ２ ３ # ? 某市公租房的房源位于甲、乙两个片区．设每位申请人只申请其中一个片区 的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，现该市有３位申请人在 申请公租房： （１）用合适的符号写出样本空间； （２）求没有人申请甲片区房源的概率； （３）求每个片区的房源都有人申请的概率． ? 从１，２，３，４，５，６这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两 次．设事件犃为 “第一次取出的数字为４”，犅为 “两次取出的数字之和等于７”． （１）用合适的符号写出样本空间； （２）判断犃与犅是否相互独立． ? 掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数．求点数之和为多少时概率最大． ? 某商场为了吸引大家，规定：购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券 上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．已知甲有 一张该商场的奖券，且每次兑奖活动的中奖概率都是０．０５，求： （１）甲中两次奖的概率； （２）甲中一次奖的概率； （３）甲不中奖的概率． １ ９ ? 已知事件犃，犅相互独立，且犘（犃犅）＝ ，犘（犃珡犅）＝ ，求犘（犃），犘（犅）． ４ １６ $ ? 已知事件犃，犅相互独立，若事件犃发生的概率为狆，事件犅发生的概率为 １－狆，试求犃与犅同时发生的概率的最大值． ? 有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图 1 所示．从这四张卡片中任抽一张，令事件犃： 2 1 2 3 犻 3 “抽到卡片上有数字犻”，犻＝１，２，３，试判断 （第２题） 犃，犃，犃 是否相互独立． １ ２ ３ １ ２２ 第五章 统计与概率． ! #! $%&"#’() 利用统计和概率的知识，可以解决日常生活和其他学科中的一些难题， 下面我们举例说明．  我国是一个人口众多、人均能源资源非常匮乏的国家．近些年来，随着经济的 持续快速发展，能源的需求越来越大，电力消费也每年都在增长． 我国长期以来实行的是低电价政策，这有效地减轻了人们的负担．然而，另外 一方面，“５％的高收入家庭消费了约２４％的电量，这就意味着低电价政策的福利更 多地由高收入群体享受．这既不利于社会公平，无形中也助长了电力资源的浪费”． 因此，“建立 ‘多用者多付费’的阶梯价格机制，将有助于形成节能减排的社会共 识，促进资源节约型、环境友好型社会的建设”． 某市准备实行阶梯电价，要求约７５％的居民用电量在第一阶梯内，约２０％的居 民用电量在第二阶梯内，约５％的居民用电量在第三阶梯内．该怎样确定阶梯电价 的临界点呢？ 不难知道，为了确定临界点，最理想的是首先获取该市所有居民的用电 量，然后再将用电量按照从小到大的顺序排列，最后求出这组数的７５％分 位数、９５％分位数即可． 当然，一般情况下，要获取所有居民的用电量并不容易，此时，我们可 以采用随机抽样和用样本估计总体的办法来解决问题． 例如，假设从该市抽取了２００户居民的用电量 （单位：ｋＷ·ｈ），所得 数据按从小到大排序如下． ８ １８ ２２ ３１ ４２ ４８ ４９ ５０ ５１ ５６ ５７ ５７ ６０ ６１ ６１ ６１ ６２ ６２ ６３ ６３ ６５ ６６ ６７ ６９ ７０ ７０ ７１ ７２ ７２ ７４ ７６ ７７ ７７ ７８ ７８ ８０ ８０ ８２ ８２ ８２ ８３ ８４ ８４ ８８ ８８ ８９ ９０ ９１ ９３ ９３ ９４ ９５ ９６ ９６ ９６ ９７ ９８ ９８ ９８ ９９ １００ １００ １００ １０１ １０１ １０１ １０５ １０６ １０６ １０６ ５．４ 统计与概率的应用 １２３１０７ １０７ １０７ １０７ １０８ １０８ １０９ １０９ １１０ １１０ １１０ １１１ １１２ １１３ １１３ １１４ １１５ １１６ １１８ １２０ １２０ １２０ １２１ １２３ １２４ １２７ １２７ １２７ １３０ １３０ １３０ １３１ １３１ １３２ １３２ １３２ １３３ １３３ １３４ １３４ １３４ １３５ １３５ １３５ １３５ １３６ １３７ １３７ １３８ １３９ １３９ １４０ １４１ １４２ １４４ １４６ １４６ １４７ １４８ １４９ １５１ １５２ １５４ １５６ １５９ １６０ １６２ １６３ １６３ １６４ １６５ １６７ １６９ １７０ １７０ １７２ １７４ １７４ １７７ １７８ １７８ １８０ １８２ １８２ １８７ １８９ １９１ １９１ １９２ １９４ １９４ ２００ ２０１ ２０１ ２０２ ２０３ ２０３ ２０６ ２０８ ２１２ ２１３ ２１４ ２１６ ２２３ ２２４ ２３７ ２４７ ２５０ ２５０ ２５１ ２５３ ２５４ ２５８ ２６０ ２６５ ２７４ ２７４ ２８３ ２８８ ２８９ ３０４ ３１９ ３２０ ３２４ ３３９ ４６２ ４９８ ５３０ ５４２ ６２６ 因为 ２００×７５％＝１５０， 所以７５％分位数可取为第１５０个数与第１５１个数的算术平均值，即 １７８＋１７８ ＝１７８． ２ 又因为 ２００×９５％＝１９０， 所以９５％分位数可取为第１９０个数与第１９１个数的算术平均值，即 ２８９＋３０４ ＝２９６．５． ２ 根据计算结果和用样本估计总体的思想可知，用电量数值在 （０，１７８］ 内为第一阶梯，在 （１７８，２９６．５］内为第二阶梯，在 （２９６．５，＋∞）为第 三阶梯．  为了更好地做好鱼食的采购，某池塘的负责人想知道自己的池塘里大概有多少 条鱼，你有什么好办法吗？ 作为模拟，我们可以思考一个类似的问题：已知一个盒子里装有若干个 小玻璃球，在不容许将玻璃球一一拿出来数的情况下，怎样才能估计出玻璃 球的个数？ 利用统计与概率的知识，可以这样来估计． 再往盒子里放入犿个带有标记的玻璃球，充分搅拌盒子里的玻璃球之 １ ２４ 第五章 统计与概率后，从盒子里取出狀个玻璃球，数出其中带有标记的球的个数，记为犽．由 此可知，从搅拌后的盒子中随机取出一个球，得到的是有标记的球的概率可 犽 以估计为 ． 狀 另外，如果设盒子中原有的玻璃球个数为狓，则从搅拌后的盒子中随机 犿 取出一个球，得到的是有标记的球的概率为 ． 狓＋犿 由 犿 犽 ≈ 狓＋犿 狀 可得 （狀 ） 狓≈犿 －１ ． 犽 上述情境中的问题也可以用类似的办法解决，请读者自行叙述解决 过程．  人们在接受问卷调查时，通常并不愿意如实回答较为敏感的问题．例如，对于 问题 “捡到东西后是否有留下来的行为”，有些人会有说了实话会被人看不起的顾 虑；再比如，直接问运动员们是否服用过兴奋剂，一般也难以得到真实的数据．怎 样才能让人们打消顾虑如实回答敏感问题呢？你能想出好办法吗？ 下面是一种能解决此类问题的问卷样式． 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选答 案；如果得到反面，请按照问题二勾选答案．（友情提示：为了不泄露您的隐私， 请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码倒数第二个数是奇数吗？ 问题二：捡到东西后是否有留下来的行为？ 是 否 ! ! 你看出了这个问卷的特别之处吗？因为只有答题人自己知道其回答的是 哪个题，所以答题人就不会有顾虑了！ 对于收集数据的人来说，如果收回的２００份问卷里，有６２份答 “是”， 那么有多少人回答了问题二？其中又有多少人答 “是”呢？ １ 由于抛硬币得到正面的概率为 ，因此可估计出回答问题一的人数为 ２ ５．４ 统计与概率的应用 １２５ 书书书１ ２００× ＝１００； ２ １ 又因为身份证号码倒数第二个数是奇数与是偶数的概率都可认为是 ，所以 ２ １ 回答了问题一的人中，答 “是”的人数可估计为１００× ＝５０．由此可得， ２ 大约有１００人回答了问题二，其中约有６２－５０＝１２人答 “是”．也就是说， 捡到东西后有留下来的行为的比例约为１２％． 一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子 （一张卡片的两面都是绿 
 色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝 色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙 随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果 朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输． 乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果 朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面 １ １ 要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为 ，我赢的概率也是 ， ２ ２ 怎么不公平？” 分析这个游戏是否公平． （方法一）把卡片六个面的颜色记为  Ｇ ，Ｇ ，Ｇ ，Ｂ，Ｂ，Ｂ， １ ２ ３ １ ２ ３ 其中，Ｇ表示绿色，Ｂ表示蓝色；Ｇ 和Ｂ 是两面颜色不一样的那张卡片 ３ ３ 的颜色． 游戏所有的结果可以用如图５４１表示． ,M G G G B B B 1 2 3 1 2 3 ,M G G B B B G 2 1 3 2 1 3 图５４１ 不难看出，此时，样本空间中共有６个样本点，朝上的面与朝下的面 ２ １ 颜色不一致的情况只有２种，因此乙赢的概率为 ＝ ． ６ ３ 因此，这个游戏不公平． （方法二）把三张卡片分别记为 Ｇ，Ｂ，Ｍ， １ ２６ 第五章 统计与概率其中，Ｇ表示两面都是绿色的卡片，Ｂ表示两面都是蓝色的卡片，Ｍ表示 一面是绿色另一面是蓝色的卡片． 考虑乙抽取到的卡片只有三种可能，而且只有抽到 Ｍ乙才能赢，所 １ 以乙赢的概率为 ． ３ 因此，这个游戏不公平． 某厂家声称自己的产品合格率为９５％，市场质量管理人员抽取 
 了这个厂家的３件产品进行检验，发现３件都不合格，厂家所声称的合格 率可信吗？ 如果产品合格率为９５％，则随机抽取一件产品，不合格的概率应  为１－９５％＝５％． 此时，随机抽取３件，都不合格的概率为 ５％×５％×５％＝０．０１２５％． 也就是说，如果厂家所声称的产品合格率可信，那么就发生了一件可 能性只有０．０１２５％的事！但是，一件概率只有０．０１２５％的事是不太可能 发生的，因此有理由怀疑，厂家所声称的合格率是不可信的． 人的卷舌与平舌 （指是否能左右卷起来）同人的眼皮单双一样， 
 也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作Ｄ，隐性基因记作 ｄ；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是卷舌的 （这就是说， “卷舌”的充要条件是 “基因对是ＤＤ，ｄＤ或Ｄｄ”）．同前面一样，决定 眼皮单双的基因仍记作Ｂ （显性基因）和ｂ （隐性基因）． 有一对夫妻，两人决定舌头形态和眼皮单双的基因都是ＤｄＢｂ，不考 虑基因突变，求他们的孩子是卷舌且单眼皮的概率．（有关生物学知识表 明：控制上述两种不同性状的基因遗传时互不干扰．） （方法一）根据题意，这对夫妻孩子的决定舌头形态和眼皮单双的  基因的所有可能可以用图５４２表示． 8(,8 D d 8!,8 D d D d 8(,-, B b B b B b B b 8!,-, B b B b B b B b B b B b B b B b 图５４２ 不难看出，样本空间中共包含１６个样本点，其中表示卷舌且单眼皮 ５．４ 统计与概率的应用 １２７的是 ＤＤｂｂ，Ｄｄｂｂ，ｄＤｂｂ， ３ 因此，所求概率为 ． １６ D D （方法二）先考虑孩子是卷舌的概率． d 所有的情况可用图５４３表示，由图可以看出， D d d ３ 孩子是卷舌的概率为 ． ４ 图５４３ ３ ３ １ 同理，孩子是双眼皮的概率为 ，因此是单眼皮的概率为１－ ＝ ． ４ ４ ４ 由于不同性状的基因遗传时互不干扰，也就是说是否为卷舌与是否为 单眼皮相互独立，因此是卷舌且单眼皮的概率为 ３ １ ３ × ＝ ． ４ ４ １６ " ? 某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下． 分位数 ５０％分位数 ７０％分位数 ８０％分位数 ９０％分位数 用电量／（ｋＷ·ｈ） １６０ １７６ ２１５ ２３０ 如果要求约７０％的居民用电量在第一阶梯内，约２０％的居民用电量在第二 阶梯内，该怎样确定阶梯电价的临界点？ ? 某盒子中有若干白色的围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将１００ 颗黑色的围棋子放入了其中，充分搅拌后随机抽出了３０颗，数得其中有６ 颗黑色的围棋子，试根据这些信息估计白色围棋子的数目． ? 某厂家声称自己的产品合格率为９９％，市场质量管理人员抽取了这个厂家 的２件产品进行检验，发现都不合格，厂家所声称的合格率可信吗？ ? 某水产试验场实行某种鱼的人工孵化，１００００个鱼卵孵出了８５１３尾鱼苗， 据此解答下列问题： （１）这种鱼卵的孵化概率可估计为多少？ （２）３００００个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？ （３）要孵化５０００尾鱼苗，大概得备多少鱼卵 （精确到百位）？ ? 已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为０．８，０．７，０．５，如果他们三人每 人投篮一次，则： （１）三人都命中的概率是多少？ （２）恰有一人命中的概率是多少？ １ ２８ 第五章 统计与概率# ? 某险种的基本保费为犪（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保 人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下． 上年度出险次数 ０ １ ２ ３ ４ ≥５ 保费 ０．８５犪 犪 １．２５犪 １．５犪 １．７５犪 ２犪 随机调查了该险种的２００名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表． 上年度出险次数 ０ １ ２ ３ ４ ≥５ 频数 ６０ ５０ ３０ ３０ ２０ １０ （１）记犃：一续保人本年度的保费不高于基本保费，求犘（犃）的估计值； （２）记犅：一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 １６０％，求犘（犅）的估计值． ? 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是，甲队只要再赢一局就获得冠军，乙 队需要再赢两局才能获得冠军．若两队的水平相当，求甲队获得冠军的概率． ? 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一 轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问 ４ ３ ２ １ 题的概率分别为 ， ， ， ，且各轮问题能否回答正确互不影响． ５ ５ ５ ５ （１）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （２）求该选手至多进入第三轮考核的概率． ? 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件 １ 是一等品且乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件 ４ １ 是一等品且丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，甲、丙两台机床加 １２ ２ 工的零件都是一等品的概率为 ． ９ （１）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （２）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的 概率． ? 学校要从甲、乙、丙三名同学中选取两名去参加物理竞赛，因为他们的水 平相当，所以准备采取抽签的方式决定．学校制作了三个签，其中两个写 有 “参赛”，一个写有 “不参赛”．抽签时，由甲先抽，然后乙抽，最后丙 抽．记事件犃：甲抽中 “参赛”，犅：乙抽中 “参赛”，判断犃，犅是否相 互独立，并说明理由． ５．４ 统计与概率的应用 １２９    本章的统计部分我们首先了解了有关抽样的知识，包括简单随机抽样、分层抽 样，并学习了数据的数字特征，包括最值、平均数、方差、中位数、百分位数、众 数、极差等，还了解了用图表表示统计数据的方法，以及用样本估计总体的方法． 概率部分了解了样本空间、事件以及事件发生的概率，包括事件之间的运算以 及对应的概率之间的关系，还探讨了确定随机事件发生的概率的方法，即通过古典 概型来计算概率或用频率来估计概率，最后学习了事件的独立性及有关概率的计算． 由此可作出本章的知识结构图主干部分如下．请按照自己的理解，填写更多细 节的内容吧！   
                当然，我们也可作出其他形式的知识结构图，请大家自己尝试．   （１）统计与概率虽然联系紧密，但是它们的发展史并不相同．实际上，统计起 源于团体的管理，而概率论发源于赌博问题的研究． 查阅有关资料，了解统计与概率的发展史，写成演讲材料，并与同学交流． （２）习惯上，由古典概型计算得到的概率称为古典概率，由频率估计得到的概 率称为经验概率，这两种概率统称为客观概率． 我们已经知道，要得到古典概率，必须首先有古典概型；要得到经验概率，得 做多次试验或者利用已有的经验数据．然而，对于有一些随机事件而言，既不能建 １ ３０ 第五章 统计与概率立古典概型，也没有相关的经验数据可用，更不可能重复做多次试验，这时，可以 怎样确定这些随机事件的概率呢？ 在这种情况下，有人提出，可以充分利用已有的所有观点和信息，给出随机事 件概率的一个估计值———也就是主观上相信该事件会发生的程度的数字度量，这样 得到的概率通常称为主观概率． 例如，在参加特定的考试之前，你往往能够根据自己平常的表现，以及对考试 难度的了解，来给出通过考试的概率值，这个概率值就是主观概率． 又如，一个人如果认为存在外星人的概率为０．００００１，那么这个概率也是主观 概率，它表示的是这个人很不相信外星人存在，但也没有绝对否认外星人的存在． 查阅书籍和网络，了解更多有关主观概率的内容，并整理成小论文，与同学一 起交流．   犃组 １有参加夏令营的５００名学生，他们的编号分别为００１，００２，…，５００，这５００ 名学生住在三个营区，其中００１～２００在第一营区，２０１～３５０在第二营区，３５１～５００ 在第三营区．若准备采用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为５０的样本， 求每个营区应抽取的人数． ２某小卖部记录的一周内卖出的不同品牌饮料的销售量如下表所示，选择合适 的统计图表表示这组数． 饮料品牌 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 销售量／瓶 ５６ ２０ ６７ ７３ １２ ３２０１５年，我国共有３２１个地级及以上城市开展了昼间区域声环境质量监测． 其中，昼间区域声环境质量达到一级的城市为１３个，占４．０５％；二级的城市为２２０ 个，占６８．５４％；三级的城市为８４个，占２６．１７％；四级的城市为３个，占０．９３％； 五级的城市为１个，占０．３１％．说明上述信息可以用什么统计图表直观表示． ４已知狓，狓，…，狓 的平均数为３，标准差为２，求５狓＋２，５狓＋２，…， １ ２ 狀 １ ２ ５狓＋２的平均数与方差． 狀 ５农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙 两种麦苗的两块试验田中各抽取６株麦苗测量株高，得到的数据如下 （单位：ｃｍ）： 甲：９，１０，１１，１２，１０，２０； 本章小结 １３１乙：８，１４，１３，１０，１２，２１． （１）选择合适的统计图表表示上述数据； （２）分别计算两组数据的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势 情况． ６已知甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拔赛中所得的平均环数狓珚及方差狊２ 如下表所示，如果只能选一人参加决赛，你认为最佳人选是谁？为什么？ 选手 甲 乙 丙 丁 狓珚 ８ ９ ９ １０ 狊２ ６．３ ６．３ ７ ８．７ ７随机地排列数字１，５，６，得到一个三位数： （１）写出样本空间； （２）求所得的三位数大于４００的概率； （３）求所得的三位数是偶数的概率． ８某金融公司投资失败的概率只有５％，如果这家公司连续投资５次，且每次 是否成功相互独立，求这５次投资都成功的概率． 犅组 １已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎   叶图，分别求这两组数的中位数、２５％分位数、７５％
















 分位数、平均数、方差．

































































 ２某班级某次数学测试的成绩可制成如下的频率 
























 分布表，请根据该表估计出此次数学测试的平均分，
















 （第１题） 并说明你的估计方法． 分组 ［６０，７０） ［７０，８０） ［８０，９０） ［９０，１００］ 人数 ５ １５ ２０ １０ 频率 ０．１ ０．３ ０．４ ０．２ ３如果狓，狓，…，狓 的平均数为狓珚，即狓珚 ＝ １ ∑狀 狓，求证： １ ２ 狀 狀 犻 犻＝１ ∑狀 （狓－狓珚）２＝ ∑狀 狓２－狀狓珚 ２． 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ ４在一次读书活动中，一位同学从３本不同的科技书和２本不同的文艺书中任 选２本，求所选的书中既有科技书又有文艺书的概率． １ ３２ 第五章 统计与概率５现有８名奥运会志愿者，其中志愿者 Ａ ，Ａ ，Ａ 通晓日语，Ｂ，Ｂ，Ｂ通 １ ２ ３ １ ２ ３ 晓俄语，Ｃ，Ｃ 通晓韩语．从中随机选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各１名， １ ２ 组成一个小组． （１）求 Ａ 被选中的概率； １ （２）求Ｂ 和Ｃ 不全被选中的概率． １ １ ６一种电路控制器在出厂时，每３件一等品应装成一箱．工人装箱时，不小心 将２件二等品和１件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，对该箱中的产 品逐件进行测试．假设检测员不知道该箱产品中二等品的具体数量，求： （１）仅测试２件就找到全部二等品的概率； （２）测试的第２件产品是二等品的概率； （３）到第３次才测试出全部二等品的概率． ７近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回 收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放 情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计１０００ｔ生活垃圾．数据统计如下 （单 位：ｔ）． “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 ４００ １００ １００ 可回收物 ３０ ２４０ ３０ 其他垃圾 ２０ ２０ ６０ （１）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （２）试估计生活垃圾投放错误的概率； （３）假设厨余垃圾在 “厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放 量分别为犪，犫，犮，其中犪＞０，犪＋犫＋犮＝６００，当数据犪，犫，犮的方差狊２ 最大时， 写出犪，犫，犮的值 （结论不要求证明），并求此时狊２ 的值． ８已知Ａ，Ｂ两组各有７位病人．他们服用某种药物后的康复时间 （单位：天） 记录如下： Ａ组：１０，１１，１２，１３，１４，１５，１６； Ｂ组：１２，１３，１５，１６，１７，１４，犪． 假设所有病人的康复时间相互独立．从Ａ，Ｂ两组随机各选１人，Ａ组选出的人 记为甲，Ｂ组选出的人记为乙． （１）求甲的康复时间不少于１４天的概率； （２）如果犪＝２５，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （３）写出犪为何值时，Ａ，Ｂ两组病人康复时间的方差相等 （结论不要求证明）． 本章小结 １３３９甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直 １ 到有人获胜或每人都已投球３次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每 ３ １ 次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响． ２ （１）求乙获胜的概率； （２）求投篮结束时，乙只投了２个球的概率． 犆组 １甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭２０次，三人的测试成绩如 下表所示． 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 ７ ８ ９ １０ 环数 ７ ８ ９ １０ 环数 ７ ８ ９ １０ 频数 ５ ５ ５ ５ 频数 ６ ４ ４ ６ 频数 ４ ６ ６ ４ 用狊，狊，狊分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，将狊， １ ２ ３ １ 狊，狊按从小到大的顺序排列． ２ ３ ２甲、乙两人在１０天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下，中间一列的 数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数．记这１０天甲、乙 两人日加工零件的平均数分别为狓珚 与狓珚，求狓珚－狓珚 的值． １ ２ １ ２ 甲 乙 ９ ８ １ ９ ７ １ ０ １ ３ ２ ０ ２ １ ４ ２ ４ １ １ ５ ３ ０ ２ ０ （第２题） ３某中学调查了某班全部４５名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如 下表所示 （单位：人）． 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ８ ５ 未参加演讲社团 ２ ３０ （１）从该班随机选１名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （２）在既参加书法社团又参加演讲社团的８名同学中，有５名男同学 Ａ ，Ａ ， １ ２ Ａ ，Ａ ，Ａ ，３名女同学 Ｂ，Ｂ，Ｂ．现从这５名男同学和３名女同学中各随机 ３ ４ ５ １ ２ ３ 选１人，求 Ａ 被选中且 Ｂ未被选中的概率． １ １ １ ３４ 第五章 统计与概率

      
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L F 书书书你注意过吗？在描述天气的时候，温度和相对湿度都只要用一个 实数就可以确切地表达，而风的确切描述，除了用一个实数说明 “风 力”外，还要给出 “风向”，如图所示． 类似有这样差别的量还有很多．比如，房间的面积、一个储藏室 的容积、一个人的身高、一个人的年龄等，用一个实数就能确切地表 达；而物体的位移、物体运动的速度、作用在物体上的力等，这些量 除了要知道它们的大小外，还必须知道它们的方向，才能确切地描 述．后面这些量，在数学中已经被抽象为向量． 你参加过拔河比赛吗？你在逆风中骑过自行车吗？当你迷路时， 你如何走向目的地？在日常生活中，你会经常碰到向量，发现向量是 很有用的知识．向量除了在日常生活中有应用外，在数学的各个分 支，例如平面几何、平面直角坐标系等中也都有着重要的应用；向量 也是运动学、力学、电学、经济学等许多学科中不可缺少的数学 工具． 这一章，我们将带领大家从实例出发，一步一步地把既有大小又 有方向的量抽象为向量，并探究如何用数学符号确切地描述向量，再 探究向量的运算与应用． 书书书． ! "! "#$%&’()*+ 6.1.1  
/ F  我们在物理学中已经学过位移的有关知识，知道位移是表示物体位置变化的物理 量．如图６１１所示，当物体从犃运动到犅时，不管沿 着什么轨迹，它的位移都是一样的，即 “向北３００ｍ”． B （１）图６１１中，从犅到犃的位移是 “ ”，它与从犃到犅的位移有什么关系？ 100 m （２）怎样直观地表示位移？用你的方法表示出图 A C D ６１１中从犃到犅，从犃到犆，从犃到犇的位移，说 图６１１ 出这三个位移之间的关系． 位移被 “方向”和 “距离”唯一确定，其中 “距离”也称为位移的大 小．一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量 （也称为矢量）， 向量的大小也称为向量的模 （或长度）；只有大小的量称为标量，长度、面 积等都是标量． 我们知道，位移可以用带箭头的线段 （即有向线段）来直观地表示．类似 地，我们也用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的 大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向．而且，通常将有向线段不 带箭头的端点称为向量的始点 （或起点），带箭头的端点称为向量的终点．有 向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向．始点为犃终点为犅的 → → 有向线段表示的向量，可以用符号简记为犃犅，此时向量的模用 犃犅表示． ６．１ 平面向量及其线性运算 １３７→ → → 如图６１２中，向量犃犅与犆犇的方向相同，但是犈犉与它们的方向相 反；假设每一小格的边长为１①，则 → → → → ｜犃犅｜＝｜犌犎｜＝２槡２，｜犆犇｜＝｜犈犉｜＝ ． B E c H a d D F b A C G 图６１２ 除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母 来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如犪，犫，犮等来表示向 量 （如图６１２所示）；在书写时，用带箭头的小写字母如犪→，犫→，犮→ 等来表示 向量．此时，向量犪的模也用犪或犪→ 来表示． 始点和终点相同的向量称为零向量．零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉 伯数字零表示，即０；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即０→．不难 看出，零向量的模为０，即 ０ ＝０． 零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的．模不 为０的向量通常称为非零向量． 模等于１的向量称为单位向量．这就是说，如果犲是单位向量，则 犲＝１； 反之也成立．因此，犲是单位向量的充要条件是犲＝１． 指出图６１３中，哪些是单位向量． 
 B c C D b A a E F 图６１３ 不难看出  → 犮＝槡２，犈犉＝ ， 且其余向量的模均为１，因此单位向量有 ． ① 如不特别声明，本章图中每一小格的边长均默认为１，下同． １ ３８ 第六章 平面向量初步
F+,0=  上体育课时，当某一排同学整理好队形，并执行完老师的口令 “向前三步走，向 右看齐”之后，同学们位移的方向是否相同？位移的大小是否相等？能否认为同学们 的位移是相同的？ 可以认为，情境中同学们位移的方向和大小都相等，即位移相同． 我们已经知道，向量既有大小又有方向．一般地，把大小相等、方向相 同的向量称为相等的向量．向量犪和犫相等，记作 犪＝犫． A( 图６１４中，相等的向量有 → 犪＝犈犉， ． B F c A D d a b C E 图６１４ 如图６１５，已知四边形犃犅犆犇， 
 → → 则 “犃犅＝犇犆”是 “四边形犃犅犆犇为平 D C 行四边形”的什么条件？ → → 如果犃犅＝犇犆，那就表示这两个向  A B 量的方向相同而且大小相等，由图可知 图６１５ 犃犅瓚犇犆， 因此四边形犃犅犆犇为平行四边形． 反之，如果四边形犃犅犆犇为平行四边形，则犃犅瓚犇犆，因此由图可 → → 知犃犅＝犇犆． → → 综上，“犃犅＝犇犆”是 “四边形犃犅犆犇为平行四边形”的充要条件． 如图６１６所示，犗是正六边形犃犅犆犇犈犉的中心，以图中字母 
 → → → 为始点或终点，分别写出与向量犗犃，犗犅，犗犆相等的向量． 因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，所以  → → → → 犗犃＝犇犗＝犈犉＝犆犅， ６．１ 平面向量及其线性运算 １３９→ → → → 犗犅＝犈犗＝犉犃＝犇犆， → → → → 犗犆＝犉犗＝犈犇＝犃犅． F E 如果两个非零向量的方向相同或者相反， O 则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确 A D 定，所以通常规定零向量与任意向量平行．两 个向量犪和犫平行，记作犪∥犫．两个向量平 B C 行也称为两个向量共线． 图６１６ 如图６１７所示，找出其中共线的 
 向量，并写出共线向量模之间的关系． e b a c d f 图６１７ 不难看出  １ 犪∥犮且犪＝ 犮， ２ 犫∥犱且 ， 犲∥犳且 ． " ? 已知犃，犅是平面上两个不同的点，指出向量 → → A 犃犅，犅犃方向与大小之间的关系． ? 已知犇，犈，犉分别为△犃犅犆各边犃犅，犅犆，犆犃 D F 的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向 → → → 量犇犈，犈犉，犉犇相等的向量． B C E ? 已知犪，犫都是单位向量，那么犪＝犫一定成立吗？ （第２题） 为什么？ # ? 如图，某人上午从犃到达了犅，下 B 午从犅到达了犆，请在图上用有向 C 线段表示出该人上午的位移、下午 A 的位移以及这一天内的位移． （第１题） １ ４０ 第六章 平面向量初步? 如图，已知犪是单位向量，求出图中向量犫，犮，犱，犲的模． b a c d e （第２题） ? （１）“犪与犫平行”是 “犪与犫共线”的什么条件？ → → → → （２）犃犅＝犆犇是 犃犅＝犆犇 的什么条件？ （３）“犪与犫不平行”是 “犪与犫都不是零向量”的什么条件？ ? 已知犃，犅，犆是平面上三个不同的点： → → （１）如果犃犅∥犅犆，那么犃，犅，犆三点一定共线吗？ → → （２）如果犃犅与犅犆不平行，那么犃，犅，犆可能共线吗？ ? 已知犪∥犫，犫∥犮，那么犪∥犮一定成立吗？为什么？ → →  向南３００ｍ  槡２  ２  犃犅，犪，犫，犆犇 → → １ ５  犃犅＝犆犇，犫＝犮  犫＝ 犱  犲＝ 犳 ３ ２ 6.1.2  
F"+>"  如图６１８所示，假设某人上午从点犃到达了点犅， B 下午从点犅到达了点犆． （１）分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位 C 移以及这一天的位移； （２）这一天的位移与上午的位移、下午的位移有 A 什么联系？试从大小和方向两个角度加以阐述． 图６１８ ６．１ 平面向量及其线性运算 １４１→ → → 位移犃犆可以看成位移犃犅与犅犆的和． 一般地，平面上任意给定两个向量犪，犫，在该平面内任取一点犃，作 → → → → → 犃犅＝犪，犅犆＝犫，作出向量犃犆，则向量犃犆称为向量犪与犫的和 （也称犃犆 为向量犪与犫的和向量）．向量犪与犫的和向量记作犪＋犫，因此 → → → 犃犅＋犅犆＝犃犆． 当犪与犫不共线时，求它们的和可用图６１９所示．因为此时犪，犫， 犪＋犫正好能构成一个三角形，所以上述求两向量和的作图方法也常称为向 量加法的三角形法则． C b a+b b A a B a 图６１９ 当犪与犫共线时，求它们的和可用如图６１１０表示． a a b b a b a b A a+b B C A a+b C B （１） （２） 图６１１０ 值得注意的是，对任意向量犪，有 犪＋０＝０＋犪＝犪． 由上可看出，向量犪，犫的模与犪＋犫的模之间满足不等式 犪－犫 ≤犪＋犫≤犪＋犫． 已知犪＝３，犫＝４，求犪＋犫的最大值和最小值，并说明取 
 得最大值和最小值时犪与犫的关系． 由  犪＋犫≤犪＋犫 可知，犪＋犫的最大值为 犪＋犫＝３＋４＝７， １ ４２ 第六章 平面向量初步当且仅当犪与犫方向相同时取得最大值． 由 犪＋犫≥ 犪－犫 可知，犪＋犫的最小值为  ， 当且仅当犪与犫方向 时取得最小值． 
F"+= D"  从物理学中我们已经知道，力既有大小也有方向， B 因此力是向量． A 当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静 → 止的物体时，如图６１１１所示，物体会沿着力犃犅或 → 犃犆所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将 C 图６１１１ 是怎样的？ 我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则．因此，情境中的物 → → 体不会沿着犃犅或犃犆所在的方向运动，其会沿着以犃犅，犃犆为邻边的平 行四边形的对角线运动． 一般地，向量的加法也满足类似的法则，这就是说，当两个向量不共线 时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如图６１１２所示，平 → 面上任意给定两个不共线的向量犪，犫，在该平面内任取一点犃，作犃犅＝ → → 犪，犃犆＝犫，以犃犅，犃犆为邻边作一个平行四边形犃犅犇犆，作出向量犃犇， → → 因为犅犇＝犃犆，所以 → → → → → 犃犇＝犃犅＋犅犇＝犃犅＋犃犆． 这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则． 由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律， 即对于任意的向量犪，犫，都有 犪＋犫＝犫＋犪． ６．１ 平面向量及其线性运算 １４３C D b b a+b A a B a 图６１１２ 
 F, 从前面已经知道，两个向量的和还是一个向量，因此我们可以用得到的 和向量与另外一个向量相加．而且我们也已经知道，如同数与数的加法一 样，向量相加满足交换律，那么向量相加是否满足结合律呢？也就是说，三 个向量相加时，最后的结果是否与求和的顺序有关呢？ 如图６１１３所示，（１）中给出了三个向量犪，犫，犮；（２）中先作出了向 量犪＋犫，然后作出了向量 （犪＋犫）＋犮；（３）中首先作出了向量犫＋犮，然后 作出了向量犪＋（犫＋犮）． a c c c a+(b+c) b (a+b)+c b + c b a+b b a a （１） （２） （３） 图６１１３ 不难看出 （犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）， 即向量的加法运算满足结合律． 因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果 是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺 序．例如 （犪＋犫）＋（犮＋犱）＝犪＋［（犫＋犮）＋犱］ ＝［（犱＋犮）＋犪］＋犫， １ ４４ 第六章 平面向量初步因此，以上运算我们都可用犪＋犫＋犮＋犱来表示． 另外，由图６１１３可以看出，为了得到有限个向量的和，只需将这些 向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点 为终点的向量，就是这些向量的和，如图６１１４所示． d b 图６１１４中 b e c e c 的和，与向量相 a a 加的顺序有关吗？ d a+b+c+d+e 为什么？ 图６１１４ 化简下列各式： 
 → → → → → → → → （１）犃犅＋犆犇＋犅犆； （２）犃犅＋犉犃＋犅犇＋犇犈＋犈犉． → → → → → → → → → （１）犃犅＋犆犇＋犅犆＝（犃犅＋犅犆）＋犆犇＝犃犆＋犆犇＝犃犇．  → → → → → → → → → → （２）犃犅＋犉犃＋犅犇＋犇犈＋犈犉＝犃犅＋犉犃＋（犅犇＋犇犈＋犈犉） → → → ＝犃犅＋犉犃＋犅犉 → → → ＝（犃犅＋犅犉）＋犉犃 → → ＝犃犉＋犉犃 → ＝犃犃＝０． 在求作两个向量的和时，可以选择不同的始点． C C′ 想一想，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你 b a+b b a+b 可能认为，作出的向量和显然都是相等的．当然，这 a B a B′ 里你的 “显然”是对的，你能根据图６１１５说明这个 A A′ 结论的正确性吗？ 图６１１５ " ? 化简下列各式： → → → → → → （１）犕犖＋犖犘； （２）犃犅＋犅犇＋犆犇＋犇犆． → → → ? 已知犃，犅，犆是△犃犅犆的三个顶点，求犃犅＋犆犃＋犅犆． ? 已知犪＝２，犫＝３，求犪＋犫的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小 值时犪与犫的关系． ６．１ 平面向量及其线性运算 １４５# ? 如图： （１）以犃为始点，作出犪＋犫； （２）以犅为始点，作出犮＋犱＋犲； （３）假设犪为单位向量，写出犪＋犫，犮＋犱和犮＋犱＋犲． d b A c e B a （第１题） ? 已知犪为单位向量，求下列向量的模： （１）犪＋犪＋犪； （２）犪＋犪＋犪＋犪＋犪． ? 如图，平行四边形犃犅犆犇中，犗为对角线犃犆，犅犇的 D G C 交点，犈，犉，犌，犎分别是犃犅，犅犆，犆犇，犇犃的中 点．化简下列各式： H F O → → → → （１）犅犗＋犇犎＋犉犅＋犗犇； A B E → → → → （２）犃犎＋犃犈＋犗犉＋犗犌． （第３题） ? （１）已知犪与犫共线，那么犪＋犫＝犪＋犫一定成立吗？ （２）已知犪＋犫＝犪＋犫，那么犪与犫一定共线吗？ ? 已知犪＋犫＋犮＝犪＋犫＋犮，那么犪，犫，犮两两一定共线吗？  犪－犫 ＝ ３－４ ＝１  相反 6.1.3  A( B → → 已知向量犃犇是向量犃犅与向量狓的和，如图 A D ６１１６所示，你能作出表示向量狓的有向线段吗？ 图６１１６ １ ４６ 第六章 平面向量初步一般地，平面上任意给定两个向量犪，犫，如果向量狓能够满足犫＋狓＝ 犪，则称狓为向量犪与犫的差，并记作 狓＝犪－犫． → → → 不难看出，在平面内任取一点犗，作犗犃＝犪，犗犅＝犫，作出向量犅犃， → → → → → 注意到犗犅＋犅犃＝犗犃，因此向量犅犃就是向量犪与犫的差 （也称犅犃为向 量犪与犫的差向量），即 → → → 犗犃－犗犅＝犅犃． 当犪与犫不共线时，求犪－犫的差可用图６１１７表示，此时向量犪，犫， 犪－犫正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向 量减法的三角形法则． b B a − b b a O a A 图６１１７ 类似于３的相反数是－３，给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、 大小相等的向量称为它的相反向量，向量犪的相反向量记作－犪．因此， → → → → 犃犅的相反向量是－犃犅，而且－犃犅＝犅犃．因为零向量的始点与终点相同， 所以－０＝０． 不难看出，任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即 → → 犪＋（－犪）＝０，犃犅＋（－犃犅）＝ ． 如同在数的运算中，减法可以看成加法 的逆运算，即狓－狔＝狓＋（－狔）一样，不难 b a − b 看出，向量的减法也可以看成向量的加法的 a 逆运算，即 a+(−b) − b 犪－犫＝犪＋（－犫）， 图６１１８ 也就是：一个向量减去另一个向量，等于第 一个向量加上第二个向量的相反向量．这一结论也可从图６１１８中看出来． → → 已知平行四边形犃犅犆犇中，犃犅＝犪，犃犇＝犫，用犪，犫分别表 
 → → 示向量犃犆，犇犅． 如图６１１９所示，由向量加法的平行四边形法则可知  → → → 犃犆＝犃犅＋犃犇＝犪＋犫． ６．１ 平面向量及其线性运算 １４７按照减法的定义可知 → → → 犇犅＝犃犅－犃犇＝犪－犫． D C 已 知 犪 ＝１， 犫 ＝２，求 b 
 犪－犫的取值范围． A B a 当犪与犫不共线时，由向量减法的 图６１１９  三角形法则可知，犪，犫，犪－犫正好是一个三角形的三条边，从而 ｜犪－犫｜＜犪－犫＜犪＋犫， 因此１＜犪－犫＜３． 当犪与犫共线时，不难看出： 如果犪与犫方向相同，有 犪－犫＝｜犪－犫｜＝１； 如果犪与犫方向相反，有 犪－犫＝犪＋犫＝ ． 综上有 １≤犪－犫≤ ． " ? 化简下列各式： → → （１）犕犘－犕犖； → → → （２）（犗犃－犗犅）－犅犆． → → → → ? 已知四边形犃犅犆犇是矩形，犃犅＝犪，犃犇＝犫，用犪，犫分别表示向量犃犆，犇犅． ? 如果犪，犫都是单位向量，求犪－犫的最大值． # ? 如图： （１）以犃为始点，作出犫－犪； （２）以犅为始点，作出犮－犱； （３）假设犪＝２，写出犫－犪，犮－犱． B b c d A a （第１题） １ ４８ 第六章 平面向量初步 书书书→ → → ? 求证：犃犗－犅犗＝犃犅． → → ? 已知四边形犃犅犆犇为平行四边形，设犃犅＝犪，犃犇＝犫，试用犪，犫表示： → → （１）犆犇，犆犅； → → （２）犅犇，犆犃． ? 已知犪＝５，犫＝２，求犪－犫的取值范围． ? 说明向量犪，犫的模与犪－犫的模之间满足不等式 犪－犫 ≤犪－犫≤犪＋犫， 并说明什么时候取等号．  ０  ３  ３ 6.1.4  F 我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量．特别地，给定一个向 量犪，３个犪相加犪＋犪＋犪的结果，是一个模为３犪、方向与犪相同的向 量，如图６１２０ （１）所示，通常这个向量简记为３犪，即 犪＋犪＋犪＝３犪； ３个－犪相加 （－犪）＋（－犪）＋（－犪）的结果，是一个模为３犪、方向与犪 相反的向量，如图６１２０ （２）所示，通常这个向量简记为－３犪，即 （－犪）＋（－犪）＋（－犪）＝－３犪． a a 3a 3a   图６１２０ A( 你能根据上述实例，给出实数λ与任意一个向量犪的乘积λ犪的定义吗？ ６．１ 平面向量及其线性运算 １４９一般地，给定一个实数λ与任意一个向量犪，规定它们的乘积是一个向 量，记作λ犪，其中： （１）当λ≠０且犪≠０时，λ犪的模为｜λ｜犪，而且λ犪的方向如下： ① 当λ＞０时，与犪的方向相同； ② 当λ＜０时，与犪的方向相反． （２）当λ＝０或犪＝０时，λ犪＝０． 上述实数λ与向量犪相乘的运算简称为数乘向量．由定义不难看出，数 乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线 （平行），即λ犪∥ 犪；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．特别 地，一个向量的相反向量可以看成－１与这个向量的乘积，即－犪＝（－１）犪． 当λ和 μ 都是实数，且犪是向量时： μ犪是向量，λ（ μ犪）也是向量；λμ 是实数，但 （λμ ）犪是向量．可以看出 λ（ μ犪）＝（λμ ）犪． 例如， ３×（４犪）＝（３×４）犪＝１２犪， （－２）×（－犪）＝［（－２）×（－１）］犪＝２犪． 由此可知，（３×４）犪写成３×４犪也不会产生歧义．以后我们常将（λμ ）犪简单 地写成λμ犪． 数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得犫＝λ犪，则犫∥犪． 已知犪＝３犲，犫＝－２犲，其中犲为非零向量，判断犪与犫是否平行， 
 并求犪∶犫的值． １ ３ 由犫＝－２犲得犲＝－ 犫，代入犪＝３犲得犪＝－ 犫．  ２ ２ ３ 因此犪∥犫，且犪＝ 犫，即犪∶犫＝３∶２． ２ → → 利用数乘向量，可以方便地研究三点共线的情形．例如，当犃犅＝犅犆 → → 时，犃，犅，犆三点一定共线，而且点犅为线段犃犆的中点；当犖犕＝２犗犖 时，犕，犖，犗三点共线，而且犖为线段犗犕的一个三等分点，如图６１２１ 所示． A B C O N M 图６１２１ １ ５０ 第六章 平面向量初步→ → → → 一般地，如果存在实数λ，使得犃犅＝λ犃犆，则犃犅与犃犆平行且有公 共点犃，从而犃，犅，犆三点一定共线． → → 已知犃犅＝－犲，犃犆＝５犲，其中犲为非零向量，判断犃，犅，犆 
 三点是否共线．如果共线，求出犃犅∶犃犆． 由已知可得  → → 犃犆＝ 犃犅， 因此犃，犅，犆三点共线，且犃犆＝ 犃犅，即 犃犅∶犃犆＝ ． " → → ? 写出向量犪与３犪的方向之间的关系，以及向量－３犃犅与犃犅的长度之间的 关系． ? 化简下列各式： （ ） １ １ １ （１） ×４犪； （２） ×２×９犪； （３）６× － 犪． ２ ３ ２ ? 判断命题λ犪＝λ犪的真假． ? 分别指出以下各题中犃，犅，犆三点是否一定共线．如果共线，指出线段犃犅 与犅犆的长度之比． → → → １→ （１）犃犆＝－２犅犆； （２）犃犆＝ 犃犅． ２ # ? 已知犪是非零向量，实数λ≠０，判断下列命题的真假： （１）λ犪与犪的方向一定相同； （２）λ犪与犪的方向相反的充要条件是λ＜０． ? 当犕，犖，犗三点共线，而且犗为线段犕犖的最靠近点犕的五等分点时，写 出下列向量之间的关系： → → → → （１）犗犕，犗犖； （２）犕犖，犖犗． ? 已知犪＝２，用犪表示出与犪方向相同的单位向量，以及与犪方向相反的单位 向量． → → ? 已知四边形犃犅犆犇为平行四边形，犃犆与犅犇相交于犗，设犃犅＝犪，犃犇＝犫， → → 试用犪，犫表示犃犗，犗犅．  －５  ５  １∶５ ６．１ 平面向量及其线性运算 １５１6.1.5 F+3D0 
F+" F+# D0 向量的加法运算、数乘向量运算，它们的结果都是向量，这就是说，这两 者可以进行混合运算．例如，对于任意向量犪，式子 （６犪）＋（２犪）是有意义的． 一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数 乘向量，再算向量加法．因此，（６犪）＋（２犪）可以简写成６犪＋２犪．另外，不 难看出６犪＋２犪＝８犪． 一般地，对于实数λ与 μ ，以及向量犪，有 λ犪＋μ犪＝（λ＋μ ）犪． 这可以通过对λ， μ 以及λ＋μ 的符号进行讨论得到．例如，当λ， μ 都 是正数时，不难看出λ犪＋μ犪和 （λ＋μ ）犪的方向都与犪的方向相同，而且模 都等于 （λ＋μ ）犪，所以此时λ犪＋μ犪＝（λ＋μ ）犪． 如图６１２２所示，下面我们来考虑３犪＋３犫与３（犪＋犫）之间的关系． F C 3a+3b a+b b 3b A a B D 3a E 图６１２２ → → → 在图６１２２中，犇犈＝３犪，犈犉＝３犫，犇犉＝３犪＋３犫．注意到∠犇犈犉＝ → → → → ∠犃犅犆，｜犇犈｜＝３犃犅，｜犈犉｜＝３犅犆，所以△犇犈犉∽△犃犅犆，因此 → → → → → 犇犉∥犃犆，且｜犇犉｜＝３犃犆，从而有犇犉＝３（犪＋犫），即 ３犪＋３犫＝３（犪＋犫）． 一般地，对于任意实数λ，以及向量犪与犫，有 λ（犪＋犫）＝λ犪＋λ犫． 化简：５犪＋犫＋２（犪＋犫）． 
 原式＝５犪＋犫＋２犪＋２犫＝５犪＋２犪＋犫＋２犫  ＝（５＋２）犪＋（１＋２）犫＝７犪＋３犫． １ ５２ 第六章 平面向量初步
F+3D0 不难看出，向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算．向 量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行 计算，若有括号，要先算括号内各项．因此， ［犪－（２犫）］＋（６犪）可以简单 地写成犪－２犫＋６犪． 另外，由于向量的加法满足交换律与结合律，减去一个向量可以看成加 上这个向量的相反向量，因此 犪－２犫＋６犪＝犪＋（－２犫）＋６犪＝犪＋６犪＋（－２犫） ＝７犪＋（－２犫）＝７犪－２犫． 事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式 运算中拆括号的方式来去掉其中的括号，例如 －（犪－２犫）＝－犪＋２犫． 化简下列各式： 
 （１）２（犪＋犫）－２（犪－犫）； （２）－（犪＋犫－犮）＋２（犪－犫＋犮）； １ １ （３）２犪－ ×３犫＋ ×４犪； （４）（λ＋μ ）（犪－犫）＋（λ－μ ）（犪＋犫）． ３ ２ （１）原式＝２犪＋２犫－２犪＋２犫＝２犪－２犪＋２犫＋２犫＝４犫．  （２）原式＝－犪－犫＋犮＋２犪－２犫＋２犮＝犪－３犫＋３犮． （３）原式＝２犪－犫＋２犪＝４犪－犫． （４）原式＝（λ＋μ ）犪－（λ＋μ ）犫＋（λ－μ ）犪＋（λ－μ ）犫 ＝［（λ＋μ ）＋（λ－μ ）］犪＋［（λ－μ ）－（λ＋μ ）］犫 ＝２λ犪＋（－２μ ）犫 ＝２λ犪－２μ犫． → ２→ 如图６１２３所示，已知犃犇＝ 犃犅， 
 ３ C → ２→ → ２→ 犃犈＝ 犃犆，求证：犇犈＝ 犅犆． E ３ ３ 由已知得  → → → ２→ ２→ A B 犇犈＝犃犈－犃犇＝ 犃犆－ 犃犅 D ３ ３ ＝ ２ （犃  犆 → －犃  犅 → ） 图６１２３ ３ ＝ ． ６．１ 平面向量及其线性运算 １５３已知犕为线段犃犅的中点，且犗为任意一点，求证： 
 → １ → → 犗犕＝ （犗犃＋犗犅）． ２ → → 由犕为线段犃犅的中点可知犃犕＝犕犅，因此  → → → → 犗犕－犗犃＝犗犅－犗犕， → → → 从而有２犗犕＝犗犃＋犗犅，即 → １ → → 犗犕＝ （犗犃＋犗犅）． ２ → １ → → 已知犗犕＝ （犗犃＋犗犅），求证：犕为线段犃犅的中点． ２ 
 → １ → → → → → 由犗犕＝ （犗犃＋犗犅）可知２犗犕＝犗犃＋犗犅，因此  ２ → → → → 犗犕－犗犃＝犗犅－犗犕， → → 从而有犃犕＝犕犅，即犕为线段犃犅的中点． 例４与例５的结果说明，犕为线段犃犅中点的充要条件是 → １ → → 犗犕＝ （犗犃＋犗犅）． ２ → → 已知犃，犅，犆是三个不同的点，犗犃＝犪－犫，犗犅＝２犪－３犫， 
 → 犗犆＝３犪－５犫．求证：犃，犅，犆三点共线． 因为  → → → 犃犅＝犗犅－犗犃＝（２犪－３犫）－（犪－犫）＝犪－２犫， → → → 犃犆＝犗犆－犗犃＝（３犪－５犫）－（犪－犫）＝ ， → → 所以犃犆＝ 犃犅，因此犃，犅，犆三点共线． " ? 化简下列各式： （１）３（犪＋犫）－２（犪－犫）； （２）２（犪－犫＋犮）＋３（犪＋犫－犮）； → → → → → → → → （３）犘犃＋犇犆－犘犅－犇犃； （４）犗犆＋犇犅－犗犅＋犆犇． ? 已知犲是单位向量，且犪＝３犲，犫＝－２犲，求犪，犫，犪－３犫． ? 已知犪＝犲＋犲，犫＝－２犲－２犲，求证：犪与犫共线． １ ２ １ ２ # → → ? 已知犕犘＝４犲＋２犲，犘犙＝２犲＋犲．求证：犕，犘，犙三点共线． １ ２ １ ２ ? 已知犪＝３，犫＝４，求 ２犪－３犫的最大值和最小值，并说明取得最大值和最 小值时犪与犫的关系． １ ５４ 第六章 平面向量初步→ → → ? 已知３犗犃＝犗犅＋２犗犆，求证：犃，犅，犆三点共线． → １→ → １→ → → ? 已知△犃犅犆与△犇犈犉中，犃犅＝ 犇犈，犃犆＝ 犇犉，求犅犆与犈犉的关系，并 ３ ３ 求出△犃犅犆与△犇犈犉的面积之比． ２→  犅犆  ２犪－４犫  ２ ３ " ? 化简下列各式： → → → → （１）犗犃－犗犅； （２）犅犃－犅犆； → → → → （３）犃犅＋犅犆； （４）犆犇＋犇犈． D C ? 如图，已知犃犅犆犇是平行四边形，化简下列各式： → → （１）犃犅＋犃犇； A B → → → （２）犃犅＋犃犇＋犆犇． （第２题） → → → → １→ ? 任作一非零向量犗犃，然后作出犗犅＝３犗犃，犗犆＝－ 犗犃． ２ ? 把下列向量犪表示为数乘向量犫的形式： ３ ２ （１）犪＝３犲，犫＝－６犲； （２）犪＝ 犲，犫＝－ 犲． ４ ３ ? 化简： １ １ （１）２（犪－犫）＋３（犪＋犫）； （２） （犪＋犫）＋ （犪－犫）． ２ ２ # ? 分别根据下列条件判断四边形犃犅犆犇的形状： → → （１）犃犇＝犅犆； → → → → （２）犃犇∥犅犆，并且犃犅与犆犇不平行； → → → → （３）犃犅＝犇犆，并且 犃犅＝ 犃犇 ． ? 化简下列各式： → → → → → → → （１）犃犅＋犅犆＋犆犇； （２）犃犅＋犕犅＋犅犗＋犗犕； → → → → → → （３）犃犅＋犅犆－犃犆； （４）犃犅－犃犇－犇犆． ? 已知犪与犫不共线，作图验证： １ １ （１）－（犪＋犫）＝－犪－犫； （２） （犪＋犫）＋ （犪－犫）＝犪． ２ ２ ６．１ 平面向量及其线性运算 １５５? 解关于向量狓的方程： １ （１）２（犪＋犫）＝３（犫－狓）； （２） （犪－２狓）＝３（狓－犪）． ２ １ ? 已知犪＝３犲＋犲，犫＝犲＋ 犲，判断犪，犫是否共线，并说明理由． １ ２ １ ３ ２ → → → ? 已知犪与犫为非零向量，犗犃＝犪＋犫，犗犅＝２犪－犫，犗犆＝３犫．求证：犃，犅， 犆三点在一条直线上． $ ? 已知点犈，犉，犌，犎分别是平面四边形犃犅犆犇的边犃犅，犅犆，犆犇，犇犃的 → → 中点，求证：犈犉＝犎犌． ? 已知三个非零向量犪，犫，犮满足条件犪＋犫＋犮＝０，表示它们的有向线段是否 一定能构成三角形？如果不一定，那么犪，犫，犮满足什么条件才能构成三 角形？ ? 已知犕，犖分别是线段犃犅和犆犇的中点，求证： → １ → → 犕犖＝ （犃犇＋犅犆）． ２ １ ５６ 第六章 平面向量初步． ! #! $%,-./0$%123 6.2.1 F ) 
3 F ) 前面我们已经看到，当存在实数λ，使得犫＝λ犪时，犫∥犪．那么，这个 结论反过来是否成立呢？ 如图６２１所示，判断向量犫，犮，犱，犲是否可以写成数与向量犪 
 相乘．如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由． d a b c e 图６２１ 因为犫与犪的方向相同，而且犫＝２犪，所以犫＝２犪；  因为犮与犪的方向相同，而且犮＝ ，所以犮＝ ； 因为犱与犪的方向相反，而且 ，所以 ； 因为犲与犪不平行，所以犲不能写成数与向量犪相乘． 一般地，有如下共线向量基本定理： 如果犪≠０且犫∥犪，则存在唯一的实数λ，使得犫＝λ犪． 在共线向量基本定理中： （１）犫＝λ犪时，通常称为犫能用犪表示． （２）其中的 “唯一”指的是，如果还有犫＝μ犪，则有λ＝μ．这是因为： 由λ犪＝μ犪可知 （λ－μ ）犪＝０，如果λ－μ≠０，则犪＝０，与已知矛盾，所以 λ－μ＝０，即λ＝μ． 由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知，如果犃，犅，犆是三 ６．２ 向量基本定理与向量的坐标 １５７→ → 个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得犃犅＝λ犃犆． A( 如果犪＝０且犫∥犪，什么时候存在实数λ，使得犫＝λ犪？这样的λ有多少个？ 什么时候不存在这样的实数λ？ 可以看出，此时只有犫＝０时才存在实数λ，使得犫＝λ犪，而且这样的λ 可以是任意实数． 
L F )  共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他 向量都可以用这个向量表示出来．那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ 从前面我们已经看到，如图６２２所示，在 → → D C 平行四边形犃犅犆犇中，如果犃犅＝犪，犃犇＝犫， b → → 则犃犆＝犪＋犫，犇犅＝犪－犫．也就是说，向量 → → A B 犃犆和犇犅都写成了向量犪，犫的线性运算． a 图６２２ A( 如图６２３所示，已知犪，犫，犮，犱，犲，犳的始点相同，你能分别将犮，犱，犲， 犳写成向量犪，犫的线性运算吗？ c b a f d e 图６２３ 不难看出，犮＝犪＋犫，犱＝５犪－２犫，犲＝－２犪－２犫，犳＝－３犪． 一般地，有如下平面向量基本定理： 如果平面内两个向量犪与犫不共线，则对该平面内任意一个向量犮，存 １ ５８ 第六章 平面向量初步在唯一的实数对 （狓，狔），使得 犮＝狓犪＋狔犫． 上述实数对 （狓，狔）可以用如下方式找到：如图６２４所示，将向量犪 → → 与犫的始点平移到一起，假设犗犃＝犪，犗犅＝犫，将向量犮的始点也平移到犗 点，以犗犃，犗犅所在的直线为相邻的边，以犗犆为对角线作平行四边形犗犇犆犈． a C E B c b b c a D O A 图６２４ → 因为犪与犫不共线，所以犪≠０且犫≠０．又因为犗犇∥犪，所以由共线 → 向量基本定理可得，存在唯一的狓，使得犗犇＝狓犪；同理，存在唯一的 → → → 狔，使得犗犈＝狔犫．又由向量加法的平行四边形法则可知犗犆＝犗犇＋ → 犗犈，从而 犮＝狓犪＋狔犫． 如图６２５所示，用犲与犲表示犪，犫，犮，犱，犳． 
 １ ２ e 2 d c a b f e 1 图６２５ 由图不难看出  ２ 犪＝２犲＋犲，犫＝犲－ 犲，犮＝ ， １ ２ １ ３ ２ 犱＝ ，犳＝ ． 平面向量基本定理中，当犪与犫不共线时，“唯一的实数对”指的是犮 用犪，犫表示时，表达式唯一，即如果 犮＝狓犪＋狔犫＝狌犪＋狏犫， 那么狓＝狌且狔＝狏． 这是因为由狓犪＋狔犫＝狌犪＋狏犫可知 （狓－狌）犪＝（狏－狔）犫，如果狓－狌≠ ６．２ 向量基本定理与向量的坐标 １５９０，则 狏－狔 犪＝ 犫， 狓－狌 从而可知犪，犫共线，与已知矛盾，因此狓－狌＝０即狓＝狌．同理可得狔＝狏． 特别地，当犪与犫不共线时，因为０＝０犪＋０犫，所以对于狓犪＋狔犫来 说，当狓≠０或狔≠０时，必定有狓犪＋狔犫≠０．也就是说，当犪与犫不共线 时，狓犪＋狔犫≠０的充要条件是狓与狔中至少有一个不为０． 平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量犪与犫不共线时，任 意一个向量犮，都可以写成犪与犫的线性运算 （简称为用犪与犫表示向量 犮），而且表达式唯一．因此，平面内不共线的两个向量犪与犫组成该平面上 向量的一组基底，记为 ｛犪，犫｝，此时如果犮＝狓犪＋狔犫，则称狓犪＋狔犫为犮 在基底 ｛犪，犫｝下的分解式． 已知犪与犫不共线，而且犪－狓犫与３犪＋２犫共线，求狓的值． 
 因为犪与犫不共线，所以３犪＋２犫≠０，因此由已知可得存在实数  狋，使得 犪－狓犫＝狋（３犪＋２犫）， 烄１＝３狋， ２ 即犪－狓犫＝３狋犪＋２狋犫，从而 烅 解得狓＝－ ． 烆－狓＝２狋， ３ 如图６２６所示，已知平面上点犗 
 是直线犾外一点，犃，犅是直线犾上给定的两 l A 点，求证：平面内任意一点犘在直线犾上的 B 充要条件是，存在实数狋，使得 P → → → O 犗犘＝（１－狋）犗犃＋狋犗犅． 先证必要性．设点犘在直线犾上， 图６２６  则由共线向量基本定理知，存在实数狋，使 → → 犃犘＝狋犃犅， → → → → 因此犗犘－犗犃＝狋（犗犅－犗犃），所以 → → → → → → 犗犘＝犗犃＋狋犗犅－狋犗犃＝（１－狋）犗犃＋狋犗犅． → → → 再证充分性．如果犗犘＝（１－狋）犗犃＋狋犗犅，则 → → → → 犗犘＝犗犃－狋犗犃＋狋犗犅， → → → → → → 从而犗犘－犗犃＝狋犗犅－狋犗犃，即犃犘＝狋犃犅，因此犘，犃，犅三点共线， 即犘在直线犾上． １ 在例４中，如果令狋＝ ，则可得点犘是线段犃犅中点的充要条件为 ２ → １ → → 犗犘＝ （犗犃＋犗犅）， ２ １ ６０ 第六章 平面向量初步这与前面我们得到的结论是一致的． 在平行四边形犃犅犆犇中，犃犆与犅犇交于点犗，犈是线段犗犇的 
 → → 中点，犃犈的延长线与犆犇交于点犉．若犃犅＝犪，犃犇＝犫，试用基底 ｛犪，犫｝分别表示下列向量： → → （１）犃犈； （２）犃犉． （１）如图６２７所示，由已知有  F → １→ D C 犇犈＝ 犇犅，从而 ４ b E O → → → → １→ 犃犈＝犃犇＋犇犈＝犃犇＋ 犇犅 A a B ４ 图６２７ → １ → → ＝犃犇＋ （犃犅－犃犇） ４ １→ ３→ １ ３ ＝ 犃犅＋ 犃犇＝ 犪＋ 犫． ４ ４ ４ ４ （２）因为△犇犈犉∽△犅犈犃，而且 犇犉 犇犈 １ ＝ ＝ ， 犅犃 犅犈 ３ １ 从而犇犉＝ 犃犅，于是 ３ → → → → １→ １ 犃犉＝犃犇＋犇犉＝犃犇＋ 犃犅＝犫＋ 犪． ３ ３ " ? 如图，判断向量犫，犮，犱，犲是否可以写成数与向量犪相乘．如果可以，写出表 达式；如果不可以，说明理由． a d e b c （第１题） ? 已知向量犪，犫不共线，且２犪＋狔犫＝狓犪－３犫，求狓，狔的值． → → ? 如图，在平行四边形犃犅犆犇中，犃犅＝犪，犃犇＝犫，犈 E D C 为犇犆上一点，且犇犈＝２犈犆，试用基底｛犪，犫｝表示 b → → 犃犈，犅犈． A a B （第３题） ６．２ 向量基本定理与向量的坐标 １６１# ? 如图所示，用犻与犼表示犪，犫，犮，犱，并用犪，犫表示犮，犱． b a d c j i （第１题） ? 已知犪与犫不共线，而且犿＝３犪＋２犫，狀＝犪－犫，狆＝７犪－３犫，试用犿，狀表示狆． ? 已知｛犪，犫｝是平面向量的一组基底，下列哪些能组成平面向量的一组基底？哪 些不能？说明理由． （１）｛犪－犫，犪｝； （２）｛３犪＋４犫，犫｝； （３）｛犪－犫，－犪＋犫｝； （４）｛２犪＋３犫，２犪－３犫｝． ? 已知犪与犫不共线，那么狊犪＋犫与犪－狋犫一定不共线吗？其中狊，狋都为实数． ? 如图，已知向量犪与犫共线： （１）写出向量犮用犪，犫表示的两种方法； （２）向量犱能否用犪，犫表示？为什么？ c d b a （第５题） ?犪－犫与犪＋犫可能共线吗？请说明理由． １ １ ３ ３ １  犪  犪  犱＝ 犪 犱＝－ 犪  － 犲－２犲 ２ ２ ２ ２ ２ １ ２ ３ ２ ５  － 犲＋ 犲  － 犲 ２ １ ３ ２ ２ １ 6.2.2 ,3 F+ D0 本小节我们考察所有始点与终点都在同一条直线上的向量．我们约定， 直线上的向量特指始点与终点都在这条直线上的向量． １ ６２ 第六章 平面向量初步
,3 F+ 给定一条直线犾以及这条直线上一个单位向量犲，由共线向量基本定理 可知，对于直线犾上的任意一个向量犪，一定存在唯一的实数狓，使得 犪＝狓犲， 此时，狓称为向量犪的坐标． 值得注意的是，如果直线上向量犪的坐标为狓，则狓既能刻画犪的模， 也能刻画向量犪的方向．事实上，此时 犪＝狓犲＝狓 犲＝狓； 而且：当狓＞０时，犪的方向与犲的方向相同；当狓＝０时，犪是零向量；当 狓＜０时，犪的方向与犲的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量 之后，直线上的向量完全被其坐标确定． 直线上向量的坐标还可以按如下方式来直观理解：如图６２８所示，在 直线犾上指定一点犗作为原点，以犲的方向为正方向，犲的模为单位长度建 立数轴，对于犾上的任意一个向量犪，如果我们把它的始点平移到原点犗， 那么犪的终点对应的数就是向量犪的坐标． a e O 1 x 图６２８ 图６２８中，向量犪的坐标为－４．特别地，犲的坐标为１． 为了方便起见，以后谈到直线上向量的坐标时，总是默认为已经按照上 述方式指定了单位向量犲，并建立了数轴；而且，谈到数轴时，也默认为已 经指定了与数轴正方向同向的单位向量犲．此时：如果数轴上一点犃对应的 → 数为狓（记为犃（狓），也称点犃的坐标为狓），那么向量犗犃对应的坐标为 狓；反之，这一结论也成立． 因此，为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： （１）将向量用单位向量表示出来； （２）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． 如图６２９所示，求出直线上向量犪，犫的坐标． 
 a b O 1 x 图６２９ ６．２ 向量基本定理与向量的坐标 １６３因为犪的始点在原点，所以由犪的终点坐标可知犪的坐标  为 ． 因为犫＝－３犲，所以犫的坐标为 ． 
,3 F+D0 +2 A( 直线上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什 么关系？ 假设直线上两个向量犪，犫的坐标分别为狓，狓，即 １ ２ 犪＝狓犲，犫＝狓犲． １ ２ 当犪＝犫时，有狓犲＝狓犲，由犲是单位向量可知狓＝狓；反之，结论 １ ２ １ ２ 也成立．这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等． 另外，因为 犪＋犫＝狓犲＋狓犲＝（狓＋狓）犲， １ ２ １ ２ 所以犪＋犫的坐标是狓＋狓，这就是说，直线上两个向量和的坐标等于两个 １ ２ 向量的坐标的和． 类似地，可以得出，如果狌，狏是两个实数，那么狌犪＋狏犫的坐标为 狌狓＋狏狓，狌犪－狏犫的坐标为 ． １ ２ 已知直线上向量犪的坐标为－２，犫的坐标为５，求下列向量的坐标： 
 １ （１）犪＋犫； （２） 犫； （３）－２犪－３犫． ５ （１）犪＋犫的坐标为－２＋５＝３．  １ １ （２） 犫的坐标为 ×５＝１． ５ ５ （３）－２犪－３犫的坐标为 （－２）×（－２）－３×５＝－１１． 利用上述直线上向量的运算与坐标之间的关系，由数轴上任意两点的坐 标，我们可以求出它们之间的距离，以及它们中点的坐标． → 事实上，设犃（狓），犅（狓）是数轴上两点，犗为坐标原点，则犗犃＝狓犲， １ ２ １ → 犗犅＝狓犲，因此 ２ → → → 犃犅＝犗犅－犗犃＝狓犲－狓犲＝（狓－狓）犲， ２ １ ２ １ 所以不难看出 → 犃犅＝ 犃犅＝狓－狓 ． ２ １ １ ６４ 第六章 平面向量初步这就是数轴上两点之间的距离公式． 另外，假设犕（狓）是线段犃犅的中点，则 → １ → → 狓犲＋狓犲 狓＋狓 犗犕＝ （犗犃＋犗犅）＝ １ ２ ＝ １ ２犲， ２ ２ ２ → 又因为犗犕＝狓犲，所以 狓＋狓 狓＝ １ ２． ２ 这就是数轴上的中点坐标公式． 设数轴上两点犃，犅的坐标分别为３，－７，求： 
 → （１）向量犃犅的坐标，以及犃与犅的距离； （２）线段犃犅中点的坐标． → → → （１）由题意得犗犃的坐标为３，犗犅的坐标为－７，又因为犃犅＝  → → → 犗犅－犗犃，所以犃犅的坐标为－７－３＝－１０，而且 → 犃犅＝ 犃犅＝ －１０ ＝１０． （２）设线段犃犅中点的坐标为狓，则 ３＋（－７） 狓＝ ＝－２． ２ " ? 已知犲是直线犾上的一个单位向量，向量犪与犫都是直线犾上的向量，分别在下 列条件下写出犪与犫的坐标： １ （１）犪＝３犲，犫＝－６犲； （２）犪＝－ 犲，犫＝２犲． ４ ? 写出数轴上零向量的坐标． ? 设数轴上两点犃，犅的坐标分别为－１，３，求： → （１）向量犃犅的坐标，以及犃与犅的距离； （２）线段犃犅中点的坐标． # ? 已知犲是直线犾上的一个单位向量，直线犾上向量犪对应的坐标为狓，判断下列 命题是否正确： （１）犲＝１； （２）犪＝狓． ２ ? 已知犲是直线犾上的一个单位向量，犪与犫都是直线犾上的向量，且犪＝ 犲， ３ ５ 犫＝－ 犲，求犪，犫，犪＋犫， ２犪－３犫． ６ → ? 已知犃，犅都是数轴上的点，犃（３），且犃犅的坐标为－５，求点犅的坐标． ６．２ 向量基本定理与向量的坐标 １６５ ２  －３ 狌狓－狏狓 １ ２ 6.2.3 L F+ D0 
L F+ 平面上的两个非零向量犪与犫，如果它们所在的直线互相垂直，我们就 称向量犪与犫垂直，记作犪⊥犫．为了方便起见，规定零向量与任意向量都 垂直． 我们已经从平面向量基本定理知道，给定平面内两个不共线的向量 （即 给定一组基底）后，平面内的任意一个向量都能用这两个向量表示． 如果平面向量的基底犲｛ ，犲｝中，犲⊥犲，就称这组基底为正交基底； １ ２ １ ２ 在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． A( 如图６２１０所示，已知犲，犲 是平面内两个相互垂直的单位向量，将图中的 １ ２ 向量犪与犫都用犲，犲表示． １ ２ e 2 a b e 1 图６２１０ 可以看出，犪＝２犲＋２犲，犫＝３犲－２犲． １ ２ １ ２ 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量犲，犲，对于平面内的向 １ ２ 量犪，如果 犪＝狓犲＋狔犲， １ ２ 则称 （狓，狔）为向量犪的坐标，记作犪＝（狓，狔）． 因此，图６２１０中犪的坐标为 （２，２），犫的坐标为 ． 平面上向量的坐标也可以按照如下方式来直观理解：如图６２１１所示， １ ６６ 第六章 平面向量初步在平面上指定一点犗作为原点，以犲 的方向为狓轴的正方向，以犲 的方 １ ２ 向为狔轴的正方向，以犲 （或犲）的模为单位长度建立平面直角坐标系， １ ２ 对于平面上任意一个向量犪，如果我们把它的始点平移到原点犗，那么犪的 终点对应的坐标就是向量犪的坐标． y a e 2 O e 1 x b 图６２１１ 图６２１１中，犪＝（４，２），犫＝ ．特别地，犲＝（１，０）， １ 犲＝ ． ２ 为了方便起见，以后谈到平面上向量的坐标时，总是默认为已经按照上述 方式指定了单位向量犲，犲，并建立了平面直角坐标系；同时，谈到平面直角坐 １ ２ 标系时，默认为已经指定了与狓轴及狔轴的正方向同向的两个单位向量．此时： → 如果平面上一点犃的坐标为 （狓，狔）（通常记为犃（狓，狔）），那么向量犗犃对 → 应的坐标也为 （狓，狔），即犗犃＝（狓，狔）；反之，这一结论也成立． 因此，为了求出平面上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： （１）将向量用单位向量犲，犲表示出来； １ ２ （２）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． 如图６２１２所示，写出向量犪，犫的坐标． 
 y b O x a 图６２１２ 因为犪的始点在原点，所以由犪的终点坐标可知  犪＝（５，－１）． 又因为犫＝－４犲＋犲，所以犫＝ ． １ ２ ６．２ 向量基本定理与向量的坐标 １６７
L F+D0 +2 A( 平面上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什 么关系？ 假设平面上两个向量犪，犫满足犪＝（狓，狔），犫＝（狓，狔），也就 １ １ ２ ２ 是说 犪＝狓犲＋狔犲，犫＝狓犲＋狔犲． １ １ １ ２ ２ １ ２ ２ 则当犪＝犫时，有狓犲＋狔犲＝狓犲＋狔犲，由犲，犲是相互垂直的单位向 １ １ １ ２ ２ １ ２ ２ １ ２ 量可知狓＝狓 且狔＝狔；反之结论也成立．这就是说，平面上两个向量相 １ ２ １ ２ 等的充要条件是它们的坐标对应相等． 另外，因为 犪＋犫＝狓犲＋狔犲＋狓犲＋狔犲＝（狓＋狓）犲＋（狔＋狔）犲， １ １ １ ２ ２ １ ２ ２ １ ２ １ １ ２ ２ 所以 犪＋犫＝（狓＋狓，狔＋狔）． １ ２ １ ２ 类似地，可以得出，如果狌，狏是两个实数，那么 狌犪＋狏犫＝（狌狓＋狏狓，狌狔＋狏狔）， １ ２ １ ２ 狌犪－狏犫＝ ． 已知犪＝（－２，３），犫＝（３，－３），求下列向量的坐标： 
 １ （１）犪＋犫； （２）２犪－５犫； （３） 犫． ３ （１）犪＋犫＝（－２，３）＋（３，－３）＝（－２＋３，３－３）＝（１，０）．  （２）２犪－５犫＝２（－２，３）－５（３，－３） ＝（－４，６）－（１５，－１５）＝（－１９，２１）． １ １ （３） 犫＝ （３，－３）＝（１，－１）． ３ ３ 由平面上向量的坐标还能得到向量的模． 事实上，如果向量犪＝（狓，狔），当犪与犲，犲 都不共线时，若犪的始 １ ２ 点在原点，则过犪的终点分别作狓轴与狔轴的垂线，可以构造出一个边长 分别为狓与狔的矩形，而犪正好等于矩形的对角线长，因此 犪＝槡狓２＋狔２． 当犪与犲或犲共线时，上述结论显然也成立． １ ２ １ ６８ 第六章 平面向量初步已知犪＝（槡３，１），犫＝（－２槡３，２），求犪，犫． 
 由已知可得  犪＝槡（ 槡３ ） ２＋１２＝２，犫＝槡（ －２槡３ ） ２＋２２＝槡１６＝４． KA 向量的推广与应用 我们已经知道，平面向量可以用两个实数 一上学期期中考试的五门课程成绩可以用 组成的有序实数对 （犪，犪）表示．以后我们 ３０个５维向量表示，即 １ ２ 还将学习空间向量，空间向量可用三个实数组 犪＝（犪，犪，犪，犪，犪）， 犻 犻１ 犻２ 犻３ 犻４ 犻５ 成的有序实数组 （犪，犪，犪）来表示． 犻＝１，２，…，３０， １ ２ ３ 在实际问题中，我们还会遇到一些需要用 其中犪 表示成绩，犻不同表示不同的同学， 犻犼 更多的实数才能表示的量．例如，期中进行了 犼不同表示不同的课程． 五门考试，每个学生的考试成绩情况要用五个 为了得到期中考试每门课程的平均分， 实数组成的有序实数组才能表示；在汽车生产 我们只需要将这３０个向量全部加起来，然 线上，如果对装配好的汽车进行制动距离、最 １ 后再乘以 ，即只要算出 ３０ 高车速、每千米油耗量、滑行距离、噪声、废 （ １ １ １ 气排放量等六项指标的测试，那么每辆新车质 ∑３０犪＝ ∑３０犪， ∑３０犪， ３０ 犻 ３０ 犻１ ３０ 犻２ 量要用由六个实数组成的有序实数组才能表 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ） １ １ １ 示．这些量都可以抽象为向量． ∑３０犪， ∑３０犪， ∑３０犪 ３０ 犻３ ３０ 犻４ ３０ 犻５ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 由狀个实数组成的有序实数组 （犪， １ １ 即可，其中 ∑３０犪 为第犼门课程的平均 犪，…，犪）称为狀维向量，它是平面向量 ３０ 犻犼 ２ 狀 犻＝１ 与空间向量的推广．给定狀维向量，我们可 成绩． 以建立与平面向量类似的线性运算，并且可 如今是计算机普及的时代，上述计算不 以用它们来解决生活中的一些问题． 再令人生畏，向计算机输入数据，计算机能 例如，假设某班共有３０位同学，则高 在很短的时间内完成计算任务． 
L,> 2%K+C.%  利用平面向量坐标的知识，我们可以得到平面直角坐标系内两点之间的 距离公式与中点坐标公式． 事实上，设犃（狓，狔），犅（狓，狔）为平面直角坐标系中的两点，则 １ １ ２ ２ → → 犗犃＝（狓，狔），犗犅＝（狓，狔）， １ １ ２ ２ 所以 → → → 犃犅＝犗犅－犗犃＝（狓，狔）－（狓，狔）＝（狓－狓，狔－狔）， ２ ２ １ １ ２ １ ２ １ 因此 ６．２ 向量基本定理与向量的坐标 １６９→ 犃犅＝｜犃犅｜＝槡（狓－狓）２＋（狔－狔）２． ２ １ ２ １ 这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式． → 另外，设线段犃犅中点为犕（狓，狔），则犗犕＝（狓，狔），又因为 → １ → → １ （狓＋狓 狔＋狔） 犗犕＝ （犗犃＋犗犅）＝ （狓＋狓，狔＋狔）＝ １ ２， １ ２ ， ２ ２ １ ２ １ ２ ２ ２ 所以 狓＋狓 狔＋狔 狓＝ １ ２，狔＝ １ ２． ２ ２ 这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式． 已知犃（－２，１），犅（１，３），求线段 
 犃犅的中点犕与三等分点犘，犙的坐标 （如图 y B ６２１３所示）． M Q 显然 P  A → １ → → １ 犗犕＝ （犗犃＋犗犅）＝ ［（－２，１）＋（１，３）］ O x ２ ２ （ １ ） 图６２１３ ＝ － ，２ ． ２ 因为 → → → 犃犅＝犗犅－犗犃＝（１，３）－（－２，１）＝（３，２）， → １→ → → １→ 又因为犃犘＝ 犃犅，所以犗犘－犗犃＝ 犃犅，因此 ３ ３ → → １→ １ （ ５） 犗犘＝犗犃＋ 犃犅＝（－２，１）＋ （３，２）＝ －１， ． ３ ３ ３ 类似地，有 → → ２→ ２ （ ７） 犗犙＝犗犃＋ 犃犅＝（－２，１）＋ （３，２）＝ ０， ． ３ ３ ３ （ １ ） （ ５） （ ７） 因此犕 － ，２ ，犘 －１， ，犙０， ． ２ ３ ３ 已知平行四边形犃犅犆犇的三个顶点犃（－２，１），犅（２，２）， 
 犆（３，４），而且犃，犅，犆，犇按逆时针方向排列，求： （１）犃犅，犃犇； （２）犇点的坐标． （１）不难看出  犃犅＝槡［２－（－２）］２＋（２－１）２＝槡１７． 又因为犃犇＝犅犆，所以 犃犇＝犅犆＝槡（３－２）２＋（４－２）２＝槡５． １ ７０ 第六章 平面向量初步→ → → → → → （２）由题意知犃犅＝犇犆，所以犗犅－犗犃＝犗犆－犗犇，因此 → → → → 犗犇＝犗犃＋犗犆－犗犅＝（－２，１）＋（３，４）－（２，２）＝（－１，３）， 从而犇（－１，３）． 
F=+ =. 设犪＝（狓，狔），犫＝（狓，狔），下面我们来考察这两个向量平行时， １ １ ２ ２ 它们的坐标应该满足的条件． 当犪∥犫时： 如果犪≠０，由共线向量基本定理可知存在λ，使得犫＝λ犪，即 （狓，狔）＝λ（狓，狔）＝（λ狓，λ狔）， ２ ２ １ １ １ １ 烄狓＝λ狓， 烄狓狔＝λ狓狔， 因此 烅 ２ １ 从而 烅 ２ １ １ １ 所以狓狔＝狓狔； 烆狔＝λ狔， 烆狓狔＝λ狓狔， ２ １ １ ２ ２ １ １ ２ １ １ 如果犪＝０，即 （狓，狔）＝（０，０），狓狔＝狓狔 显然也成立． １ １ ２ １ １ ２ 反过来，当狓狔＝狓狔 时： ２ １ １ ２ 狓 狔 烄狓＝λ狓， 如果狓≠０且狔≠０，则有 ２＝ ２，设这个比值为λ，则有 烅 ２ １ 从 １ １ 狓 １ 狔 １ 烆狔＝λ狔， ２ １ 而 （狓，狔）＝（λ狓，λ狔）＝λ（狓，狔），即犫＝λ犪，因此犪∥犫； ２ ２ １ １ １ １ 狔 如果狓＝０且狔≠０，则有狓＝０，设λ＝ ２，同样有 （狓，狔）＝λ（狓， １ １ ２ 狔 ２ ２ １ １ 狔），即犫＝λ犪，因此犪∥犫； １ 狓 类似地，如果狓≠０且狔＝０，设λ＝ ２，同样有犫＝λ犪，因此犪∥犫； １ １ 狓 １ 如果狓＝０且狔＝０，则犪＝０，因此犪∥犫． １ １ 从而，不管哪种情况都有犪∥犫． 综上有 犪∥犫狓狔＝狓狔． ２ １ １ ２ → → 已知犃犅＝（２，５），犪＝（１，狔），犃犅∥犪，求狔的值． 
 → ５ 因为犃犅∥犪，所以１×５＝２×狔，解得狔＝ ．  ２ 在平面直角坐标系中，已知犃（－２，－３），犅（０，１），犆（２，５）， 
 求证：犃，犅，犆三点共线． 由已知得  → 犃犅＝（０，１）－（－２，－３）＝（２，４）， → 犃犆＝（２，５）－（－２，－３）＝（４，８）． ６．２ 向量基本定理与向量的坐标 １７１因为２×８＝４×４，所以 → → 犃犅∥犃犆， 因此犃，犅，犆三点共线． " ?已知犲，犲是平面内两个相互垂直的单位向量，且 １ ２ 犪＝－２犲＋犲，犫＝３犲－槡２犲，犮＝－槡３犲， １ ２ １ ２ １ 求犪，犫，犮的坐标． ? 写出平面直角坐标系中零向量的坐标． ? 已知犪＝（３，１），犫＝（－２，１），求犪＋犫和－３犪＋２犫． → → ? 已知犃（－１，－３），犅（０，－１），犆（１，１），求向量犃犅，犃犆，并判断犃，犅， 犆三点是否共线． ? 已知平行四边形犃犅犆犇的三个顶点犃（－１，－２），犅（３，－１），犆（４，２），而 且犃，犅，犆，犇按逆时针方向排列，求： （１）犃犅，犃犇； （２）犇点的坐标． # ? 已知犪＝（槡３，１），分别求与犪方向相同及相反的单位向量的坐标． ? 已知犪＝（－３，－４），犫＝（２，狔），并且犪∥犫，求狔． ? 已知犃（－５，７），犅（－３，１），且犆与犃关于点犅对称，求犆的坐标． ? 已知犃（３，－６），犅（－５，２），犆（６，狔）三点共线，求狔的值． ? 已知平面直角坐标系中，犃（１，１），犅是狓轴上的点，且犃犅＝２，求犅的坐标．  （３，－２）  （－３，－１）  （０，１）  （－４，１）  （狌狓－狏狓，狌狔－狏狔） １ ２ １ ２ " ? 如图，平行四边形犃犅犆犇的两条对角线相交于点 D C → → 犗，且犃犅＝犪，犃犇＝犫．试用基底｛犪，犫｝表示 b → → → → O 犗犃，犗犅，犗犆，犗犇． A B a （第１题） １ ７２ 第六章 平面向量初步１ → ? 在△犃犅犆中，犇，犈是犃犅，犃犆上一点，犇犈∥犅犆且犃犇＝ 犃犅，设犃犅＝ ３ → → 犪，犃犆＝犫，试用基底｛犪，犫｝表示向量犇犈． ? 已知犪＝（１，２），犫＝（２，３），实数狓，狔满足等式狓犪＋狔犫＝（３，４），求狓，狔． ? 已知点犃（０，１），犅（１，０），犆（１，２），犇（２，１），求证：犃犅∥犆犇． → １→ → １→ → ? 已知犃（５，１），犅（１，３），犗犃＝ 犗犃，犗犅＝ 犗犅，求犃犅 的坐标和模． １ ３ １ ３ １ １ # → → → ? 如图，已知点犆是直线犃犅上一点，且犃犅＝２犅犆．用犃犅分别表示犃犆，犆犅． A B C （第１题） → → → → ? 已知点犆是直线犃犅上一点，且犃犆＝２犅犆．若犃犆＝λ犅犆，求λ的值． ? 已知｛犪，犫｝是平面向量的一组基底，实数狓，狔满足 ３狓犪＋（１０－狔）犫＝（４狓＋７）犪＋２狓犫． 求狓，狔的值． ? 已知犪＝（１，２），犫＝（－３，２），当犽为何值时，犽犪＋犫与犪－３犫平行？ ? 如图，已知犕，犖，犘分别是△犃犅犆三边犅犆，犆犃， A 犃犅上的点，且 P → １→ → １→ → １→ 犅犕＝ 犅犆，犆犖＝ 犆犃，犃犘＝ 犃犅， ４ ４ ４ N → → 如果犃犅＝犪，犃犆＝犫，试用基底｛犪，犫｝表示向量 B C M → → → 犕犖，犖犘，犘犕． （第５题） $ ? 已知向量犲，犲，犮在正方形网格 １ ２ 中的位置如图所示，试用向量犲， １ 犲表示向量犮． ２ e 1 e 2 c ? 在平行四边形犃犅犆犇中，犈，犉 → 分别为犇犆，犅犆中点，犃犈＝犪， （第１题） → → → 犃犉＝犫，试用基底｛犪，犫｝表示向量犃犅，犃犇． ６．２ 向量基本定理与向量的坐标 １７３． ! $! "#$%()*+145 
F L+* 在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平 面几何中的应用．实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、 平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题． 如图６３１所示，犕犖是△犃犅犆的中 
 位线，求证： A １ 犕犖∥犅犆且犕犖＝ 犅犆． M N ２ 因为犕，犖分别是犃犅，犃犆边上的 B C  → １→ → １→ 中点，所以犃犕＝ 犃犅，犃犖＝ 犃犆，因此 图６３１ ２ ２ → → → １→ １→ １ → → １→ 犕犖＝犃犖－犃犕＝ 犃犆－ 犃犅＝ （犃犆－犃犅）＝ 犅犆， ２ ２ ２ ２ １ 从而可知犕犖∥犅犆且犕犖＝ 犅犆． ２ 例１的结论是大家非常熟悉的三角形中位线定理，初中的时候我们是利 用平行四边形的性质来证明的，但这里只用到了平面向量的线性运算． 如图６３２所示，已知平行四边 
 形犃犅犆犇中，犈，犉在对角线犅犇上， A D 并且犅犈＝犉犇． F E 求证：四边形犃犈犆犉是平行四边形． B C 由已知可设  → → → → 犃犅＝犇犆＝犪，犅犈＝犉犇＝犫， 图６３２ 则 → → → → → → 犃犈＝犃犅＋犅犈＝犪＋犫，犉犆＝犉犇＋犇犆＝犫＋犪． 又因为犪＋犫＝犫＋犪，所以 → → 犃犈＝犉犆， 因此犃犈瓚犉犆，从而可知四边形犃犈犆犉是平行四边形． 例２用初中的三角形全等也能证明，但是我们这里还是只用到了平面向 １ ７４ 第六章 平面向量初步量的线性运算． 如图６３３所示，已知△犃犅犆中，犈， 
 犉分别是犃犅，犅犆的中点，犃犉与犆犈相交于 B 点犗，求犃犗∶犗犉与犆犗∶犗犈的值． E O F 因为  → → → → → A C 犃犆＝犃犗＋犗犆＝犃犅＋犅犆， 又因为犈，犉都是中点，所以 图６３３ → → → → → → → 犃犗＋犗犆＝犃犅＋犅犆＝２犈犅＋２犅犉＝２犈犉． → → → → → → → → → 另外，犈犉＝犈犗＋犗犉，所以犃犗＋犗犆＝２犈犗＋２犗犉．设犃犗＝狊犗犉， → → → → → → 犆犗＝狋犗犈，则有狊犗犉－狋犗犈＝２犈犗＋２犗犉，即 → → （狊－２）犗犉＝（狋－２）犗犈． 从而由共线向量基本定理可知狊＝狋＝ ，因此 犃犗∶犗犉＝犆犗∶犗犈＝ ． 例３中的犗点是△犃犅犆的重心．同样，我们这里是利用平面向量的线 性运算得到了三角形重心的一个性质，这个性质如果用相似三角形等知识来 证明，需要添加辅助线． 
F ')+* 我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速 度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成． 例如，从物理学中我们知道，同一个 力犉可以分解成无数对大小、方向不同的 F 分力．从数学上来说，这是因为对于同一 条对角线，可以有无数个平行四边形，如 图６３４所示． 图６３４ 又如，如果一个质点犗处于平衡状 态，而且受到多个力的作用，那就是说这些力的合力为零．特别地，如果两 个力犉，犉 的合力为零，则 １ ２ 犉＋犉＝０， １ ２ 也就是说，这两个力互为相反向量，如图６３５ （１）所示；如果三个力犉， １ 犉，犉 的合力为零，则 ２ ３ 犉＋犉＋犉＝０， １ ２ ３ 也就是说，其中任意两个力的合力是另外一个力的相反向量，如图６３５ （２）所示． ６．３ 平面向量线性运算的应用 １７５F + F F 1 2 2 F 2 F 1 F O O 1 F 3 （１） （２） 图６３５ 如图６３６所示，一个物体被两根轻 
 质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受 F 2 F 1 的重力大小为５０Ｎ，求每条绳上的拉力大小． o o 45 45 因为物体处于平衡状态，所以犉＋犉  １ ２ 是重力的相反向量，因此犉＋犉 ＝５０Ｎ． １ ２ 图６３６ 又由图与向量加法的平行四边形法则可 知，犉＋犉 的方向是竖直向上的，且 １ ２ 犉＋犉 ＝２犉 ｓｉｎ４５°＝２犉 ｓｉｎ４５°， １ ２ １ ２ 所以 ５０Ｎ 犉 ＝犉 ＝ ＝２５槡２Ｎ． １ ２ ２ｓｉｎ４５° 因此，每条绳上的拉力为２５槡２Ｎ． 如图６３７ （１）所示，把一个物体放在倾角为３０°的斜面上，物 
 体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力犌，沿着斜面向上的摩擦 力犉，垂直斜面向上的弹力犉．已知犌＝１００Ｎ，求犉，犉 的大小． １ ２ １ ２ F F 2 2 F F 1 1 x 30 o G 30 o G y （１） （２） 图６３７ 建立如图６３７ （２）所示的平面直角坐标系，则  犉＝（－犉 ，０），犉＝（０，－犉 ）． １ １ ２ ２ 又由已知可得 犌＝（１００ｓｉｎ３０°，１００ｃｏｓ３０°）＝（５０，５０槡３）， 且犌＋犉＋犉＝０，所以 １ ２ （５０，５０槡３）＋（－犉 ，０）＋（０，－犉 ）＝（０，０）， １ ２ １ ７６ 第六章 平面向量初步从而可知 犉 ＝ Ｎ，犉 ＝ Ｎ． １ ２ " ? 如图，已知四边形犃犅犆犇的两条对角线相交于点 D C 犕，犃犕＝犕犆，犇犕＝犕犅．用平面向量证明四边形 M 犃犅犆犇是平行四边形． A B → １→ → １→ （第１题） ? 在△犃犅犆中，已知犃犕＝ 犃犅，犃犖＝ 犃犆．用平 ３ ３ １ 面向量证明犕犖∥犅犆且犕犖＝ 犅犆． ３ → → ? 已知向量犗犉＝（２，２），犗犉＝（－２，３）分别表示力犉，犉，求犉＋犉 的大小． １ ２ １ ２ １ ２ # ? 已知点犃（－１，１），犅（０，－２），犆（３，０），犇（２，３），求证：四边形犃犅犆犇是 平行四边形． ? 已知犃（７，５），犅（２，３），犆（６，－７），求证：△犃犅犆是直角三角形． ? 在△犃犅犆中，犃犇，犅犈，犆犉分别是中线，求证： → → → 犃犇＋犅犈＋犆犉＝０． ? 在梯形犃犅犆犇中，犃犅∥犇犆，犘，犙分别是犃犆，犅犇的 F 2 中点，用平面向量证明犘犙∥犃犅． F 1 ? 如图所示，把一个物体放在倾角为３０°的斜面上，物体处 于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力犌，沿着斜 o 30 G 面向上的摩擦力犉，垂直斜面向上的弹力犉．已知 （第５题） １ ２ 犉 ＝３０Ｎ，求犌，犉 的大小． １ ２ $ ? 已知点犗为△犃犅犆的重心，求证： → → → 犗犃＋犗犅＋犗犆＝０． ? 已知△犃犅犆的三个顶点坐标分别为犃（狓，狔），犅（狓，狔），犆（狓，狔）， １ １ ２ ２ ３ ３ 求证：这个三角形重心犌的坐标为 （狓＋狓＋狓 狔＋狔＋狔） １ ２ ３， １ ２ ３ ． ３ ３  ２  ２∶１  ５０  ５０槡３ ６．３ 平面向量线性运算的应用 １７７    本章我们学习了一个新的数学对象———向量，并研究了向量之间的加、减与数 乘运算，得到了共线向量基本定理与平面向量基本定理．值得注意的是，我们是从 几何 （有向线段）与代数 （坐标）两个角度来学习有关内容的． 由此可作出本章的知识结构图如下． G G, M G  G-1 G,>4  G @# > E# D C C uuur uuur uuur # AB+BC=AC a+b b a+b b A a B A a B  @# M F 1 B G uuur uuur uuur # OA−OB=BA a − b b O a A  G λaPa|λa|=|λ||a|  4 G * M G * * 9a=(x, y )b=(x , y ) 1 1 2 2 a=b ⇔x =x y = y aPb⇔x y =x y 1 2 1 2 1 2 2 1 a±b=(x ±x , y ±y ) λa=(λx, λy) |a|= x2+y2 1 2 1 2 1 1 1 1 你能作出不同于上图的知识结构图吗？自己动手试一试吧！ １ ７８ 第六章 平面向量初步  大家已经看到，我们这一章里所学习的平面向量与物理有千丝万缕的联系，位 移、力、速度、加速度等都可以用向量来表述，平行四边形法则、三角形法则等在 物理中也接触过． 另外，大家可能也注意到了，数学与物理中的向量使用存在细微的差别．比如， 数学中经常要用到向量的坐标表示，而物理中用得比较多的是向量的有向线段表示． 与其他同学合作，回忆本章内容和所学习过的物理知识，整理数学与物理中对 于向量处理方式的相同点，以及各自的侧重点等，并写成小论文．   犃组 １化简下列各式： → → → → → → （１）犕犅＋犃犆＋犅犕； （２）犃犅＋犅犆－犃犇； → → → → → → → （３）犃犅＋犕犅＋犅犗＋犗犕； （４）犗犃－犗犇＋犃犇； → → → → → → → （５）犃犅－犃犇－犇犆； （６）犃犅－犃犆＋犅犇－犆犇． ２求下面方程组中的向量狓，狔： 烄５狓＋２狔＝犪， 烅 烆３狓－狔＝犫． → → → ３已知△犃犅犆中，犇为犅犆的中点，设犃犅＝犪，犃犆＝犫，用犪，犫表示犅犇， → → 犆犇，犃犇． → → ４在正方形犃犅犆犇中，设犈为边犃犅的中点，且犃犅＝犪，犃犇＝犫．试用基底 → → ｛犪，犫｝表示犆犈，犇犈． → → → ５设犪，犫是两个不共线的向量，犃犅＝２犪－犫，犅犆＝犪＋犫，犆犇＝犪－２犫，求 证：犃，犅，犇三点共线． ６已知犪＝（３，－５），犫＝（９，１１），犮＝（８，１３），求： （１）－２犪＋３犫－４犮； （２）１５犪－６犫＋７犮． ７已知点犃（－２，３），犅（３，５），分别求点犃，犅关于点犕（１，１）的对称点 → → 犃′，犅′的坐标，并说明犃′犅′＝－犃犅． ８已知向量犪，犫，犮在正方形网格中的位置如图所示， b c λ 若犮＝λ犪＋μ犫（λ， μ∈犚），求 的值． a μ （第８题） 本章小结 １７９犅组 １ １已知犈，犉分别是△犃犅犆边犃犅，犃犆上的点，且犈犉∥犅犆，犃犈＝ 犃犅． ３ → → → → → → 如果犃犈＝犪，犃犉＝犫，试用向量犪，犫表示犅犆，犅犉，犈犆，犆犉． → → → ２设犘是△犃犅犆所在平面内的一点，犅犆＋犅犃＝２犅犘，则 （ ）． → → → → （Ａ）犘犃＋犘犅＝０ （Ｂ）犘犆＋犘犃＝０ → → → → → （Ｃ）犘犅＋犘犆＝０ （Ｄ）犘犃＋犘犅＋犘犆＝０ → → → → ３如图所示，已知 犗犃 ＝ 犗犅 ＝１， 犗犆＝槡３，犗犆⊥ C B → → → → 犗犅，∠犃犗犆＝３０°，用犗犃与犗犅表示犗犆． o 90 ４已知犲，犲不共线，向量犪＝３犲－４犲，犫＝６犲＋犽犲， 30 o １ ２ １ ２ １ ２ O A 且犪∥犫，求犽的值． （第３题） → → ５已知犪，犫不共线，犃犅＝λ犪＋犫，犃犆＝犪＋μ犫，其中 λ， μ∈犚，那么犃，犅，犆三点共线的充要条件为 （ ）． （Ａ）λ＋μ＝２ （Ｂ）λ－μ＝１ （Ｃ）λμ＝－１ （Ｄ）λμ＝１ ６已知犪＝（１，３）与犫＝（－１，λ）共线，求实数λ的值． ７已知犪＝（１，２），犫＝（－３，２），且犽犪＋２犫与２犪－４犫平行，求实数犽的值． ８已知犪，犫不平行，分别求满足下列各条件的实数犿，狀的值： （１）３犪＋４犫＝（犿－１）犪＋（２－狀）犫； （２）向量（犿－狀）犪＋（犿＋狀）犫以｛犲，犲｝为基底的分解式为２犲＋３犲，其中犪＝ １ ２ １ ２ 犲＋犲，犫＝犲－犲． １ ２ １ ２ → → ９已知犃（－１，１），犅（３，２），犇（０，５），犅犆＝犃犇，犃犆与犅犇相交于点犕， 求点犆，犕的坐标． 犆组 １已知犪是非零向量，犪∥犫且犪∥犮，求证：犫∥犮． ２设犗是正五边形犃犅犆犇犈内任意一点，求证： → → → → → → → → → 犃犅＋犆犅＋犆犇＋犈犇＋犈犃＝２（犇犅＋犆犗＋犗犇＋犈犇）． C → → ３如图所示，△犃犅犆中，犃犅＝犪，犃犆＝犫，犇为犃犅中点， F 犈为犆犇上一点，且犇犆＝３犈犆，犃犈的延长线与犅犆的交点 E b 为犉． → （１）用向量犪与犫表示犃犈； → （２）用向量犪与犫表示犃犉，并求出犃犈∶犈犉和犅犉∶犉犆 A B a D 的值． （第３题） １ ８０ 第六章 平面向量初步后 记 本套教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学教材实验研究组依据教育部 《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，经国家教材委员会专家委员会2019年审核 通过． 本套教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004 年版《普通高中课程标准实验教科书 数学（B版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验的 教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集 体智慧． 我们衷心感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书 数学（B版）》的所有编写 人员，尤其是因为种种原因未能参加此次教材修订的专家、学者：丁尔陞、江守礼、房艮 孙、张润琦、高尚华、万庆炎、魏榕彬、邱万作、陈研、段发善、李冱岸、陈亦飞、刘长 明、郭鸿、王池富…… 本套教科书在编写过程中，得到了《普通高中数学课程标准（2017年版）》制定组、 国家教材委员会专家委员会等的大力支持．借此机会，向所有制定组成员、专家委员会成 员以及其他为我们教材编写提供过帮助的专家表示衷心的感谢！ 我们感谢对本套教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的所有同仁和社会 各界朋友：王跃飞、胡细宝、邵丽云、王晓声、曹付生、侯立伟、王中华、王光图、王秀 梅、卞文、邓艳强、田媛、史洪波、付一博、吕希、吕晶、朱明鲜、刘超、闫旭、池洪 清、阮征、孙国华、牟柏林、李刚、李广勤、李洪岩、何艳国、张伟、张羽、张明、张文 刚、张春青、张晶强、金永涛、郑继平、常丽艳、潘戈、薛达志、郑海军、赵争鸣、吴晖 湘、戴莉、金盈、舒凤杰、李祥广、胡文亮、王玉洁、杨长智、徐会吉、尹玉柱、尹燕 花…… 本套教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作 者进行了联系，得到了他们的大力支持．对此，我们表示衷心的感谢！同时也向为本书提 供照片的单位表示感谢！ 后记 01我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本套教科书的过程中提出宝贵意见．我 们将集思广益，不断修订，以使教科书日臻完善． 本书责任编辑：龙正武；美术编辑：史越；插图绘制：郑海军． 联系方式 电话：010-58758532，010-58758866 电子邮箱：mathb@pep.com.cn，jcfk@pep.com.cn 人民教育出版社 课程教材研究所 中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组 2019年4月普 通 高 中 教 科 书 数学 必 修 必 第二册 普 ® 通 高 中 教 科 书 数 学 PUTONG GAOZHONG JIAOKESHU SHUXUE 修 第 二 册 绿色印刷产品 B 版 未命名-17 1 19-8-1 下午3:01