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第十章 二元一次方程组的计算必考六大类型（50 题）
【人教版2024】
【类型1 用指定的方法解方程组】..........................................................................................................................1
【类型2 用适当的方法解方程组】..........................................................................................................................8
【类型3 解三元一次方程组】................................................................................................................................16
【类型4 换元法解二元一次方程组】...................................................................................................................21
【类型5 整体代入法解二元一次方程组】...........................................................................................................30
【类型6 叠加叠减法解系数较大的方程组】.......................................................................................................35
【类型1 用指定的方法解方程组】
1．按要求解下列方程组．
{5x−y=3
)
（1） （用代入法）；
3x+2y=7
{2x+3 y=1)
（2） （用加减法）．
3x−2y=8
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法：代入消元法解方程组即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法：加减消元法解方程组即可．
{5x−y=3①)
【解答】解：（1） ，
3x+2y=7②
由①得，y＝5x﹣3③，
把③代入②得：3x+2（5x﹣3）＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入③得：y＝5﹣3＝2，
{x=1)
则方程组的解为 ；
y=2
{2x+3 y=1①)
（2） ，
3x−2y=8②
①×2+②×3，得13x＝26，
解得：x＝2，
把x＝ 2代入①，得4+3y＝1，解得：y＝﹣1，
{ x=2 )
∴方程组的解为 ．
y=−1
2．用指定的方法解方程组
{ x+ y=2 )
（1） （代入消元法）；
3x+2y=4
{2x−5 y=−21)
（2） （加减消元法）．
4x+3 y=23
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
{ x+ y=2① )
【解答】解：（1） ，
3x+2y=4②
由①得：y＝2﹣x③，
将③代入②，得：3x+2（2﹣x）＝4，
解得：x＝0，
将x＝0代入③得：y＝2，
{x=0)
∴原方程组的解是 ；
y=2
{2x−5 y=−21①)
（2） ，
4x+3 y=23②
①×2﹣③，得：13y＝65，
解得：y＝5，
将y＝5代入①，得：x＝2，
{x=2)
∴原方程组的解是 ．
y=5
3．用指定的方法解方程组：
{ y=2x−1① )
（1）用代入法解： ；
2x+3 y=−7②
{2x−y=−5①)
（2）用加减法解： ．
6x+3 y=3②
【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
{ y=2x−1① )
【解答】解：（1） ，
2x+3 y=−7②把①代入②，得2x+3×（2x﹣1）＝﹣7，
1
解得：x=− ，
2
1 1
把x=− 代入①，得y=2×(− )−1=−2，
2 2
{ x=− 1 )
∴方程组的解为 2 ；
y=−2
{2x−y=−5①)
（2） ，
6x+3 y=3②
①×3，得6x﹣3y＝﹣15③，
②+③，12x＝﹣12，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，得2×（﹣1）﹣y＝﹣5，
解得：y＝3，
{x=−1)
∴方程组的解为 ．
y=3
4．按要求解方程组：
{x−y=−5)
（1） （代入法）；
2x+3 y=5
{3x−4 y=10)
（2） （加减法）．
5x+6 y=42
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法，用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法，用加减消元法解二元一次方程组即可．
{x−y=−5①)
【解答】解：（1） ，
2x+3 y=5②
由①，得x＝y﹣5③，
把③代入②，得2（y﹣5）+3y＝5，
解得：y＝3，
把y＝3代入③可得：x＝﹣2，
{x=−2)
所以该方程组的解为： ；
y=3
{3x−4 y=10①)
（2） ，
5x+6 y=42②①×3，得9x﹣12y＝30③，
②×2，得10x+12y＝84④，
③+④，得19x＝114，
解得：x＝6，
把x＝6代入①，得3×6﹣4y＝10，
解得：y＝2，
{x=6)
所以该方程组的解为： ．
y=2
5．解二元一次方程组：
{ x+ y=5① )
（1） （代入法）；
4x−2y=2②
{2x−4 y=14①)
（2） （加减法）．
3x+2y=5②
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可．
{ x+ y=5① )
【解答】解：（1） ，
4x−2y=2②
由①，得x＝5﹣y③，
把③代入②，得4（5﹣y）﹣2y＝2，
去括号，得20﹣4y﹣2y＝2，
解得：y＝3，
把y＝3代入③，得x＝5﹣3＝2，
{x=2)
∴方程组的解为 ；
y=3
{2x−4 y=14①)
（2） ，
3x+2y=5②
②×2，得6x+4y＝10③，
①+③，得8x＝24，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得2×3﹣4y＝14，
解得：y＝﹣2，
{ x=3 )
∴方程组的解为 ．
y=−26．解方程组：
{ y−x=2 )
（1）（用代入法） ；
4 y+2x=14
{ 2x+ y=3 )
（2）（用加减法） ．
4x+3 y=3
【分析】（1）先根据①得到y＝x+2③，再把③代入②中求出y，进而求出x即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
{ y−x=2① )
【解答】解：（1） ，
4 y+2x=14②
由①得：y＝x+2③，
把③代入②得：4（x+2）+2x＝14，解得x＝1，
把x＝1代入③得：y＝3，
{x=1)
∴方程组的解为 ；
y=3
{ 2x+ y=3①)
（2） ，
4x+3 y=3②
②﹣①×2得：y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①得：2x﹣3＝3，解得x＝3，
{ x=3 )
∴方程组的解为 ．
y=−3
7．解方程组
{3x+2y=14)
（1）用代入法解： ．
x= y+3
{4x+3 y=5)
（2）用加减法解： ．
2x−y=−5
【分析】（1）利用代入消元法解出方程；
（2）利用加减消元法解出方程．
{3x+2y=14①)
【解答】解：（1） ，
x= y+3②
由②代入①得3（y+3）+2y＝14，
解得，y＝1，
把y＝1代入②得，x＝1+3＝4，
{x=4)
∴原方程组的解为 ；
y=1{4x+3 y=5①)
（2） ，
2x−y=−5②
由②×3+①得：10x＝﹣10，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入②得：2×（﹣1）﹣y＝﹣5，
解得：y＝3，
{x=−1)
∴原方程组的解为： ．
y=3
8．用指定的方法解下列方程组：
{2x−5 y=14①)
（1） （代入法）；
y=−x②
{2x+3 y=9①)
（2） （加减法）．
3x+5 y=16②
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）把②代入①得：2x+5x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入②，得：y＝﹣2，
{ x=2 )
则原方程组的解是 ；
y=−2
（2）①×3得：6x+9y＝27③，
②×2得：6x+10y＝32④，
④﹣③得：y＝5，
把y＝5代入①得：2x+15＝9，
解得：x＝﹣3，
{x=−3)
则原方程组的解是 ．
y=5
9．解下列方程组：
{ y=2x−3①)
（1） （用代入消元法）；
3x+2y=8②
{ x+ y=5① )
（2） （用加减消元法）．
2x+3 y=11②
【分析】（1）运用代入消元法，把①式代入②式，可求出x＝2，把x＝2代入①式得y＝1，由此即可求解；
（2）运用加减消元法，②﹣①×2得：y＝1，把y＝1代入②式，即可求解．
{ y=2x−3①)
【解答】解：（1） ，
3x+2y=8②
把①式代入②式，得：3x+2（2x﹣3）＝8，
解得，x＝2，
把x＝2代入①式得y＝1，
{x=2)
所以原方程组的解为： ；
y=1
{ x+ y=5① )
（2） ，
2x+3 y=11②
②﹣①×2得：y＝1，
把y＝1代入②式，得：x＝4，
{x=4)
所以原方程组的解为： ．
y=1
10．解方程组：
{2x−y=5
)
（1） （用代入消元法）；
3x+4 y=2
{3(x−2y)+8 y=4
)
（2） x y （用加减消元法）．
+ =2
3 2
【分析】（1）利用代入消元法进行求解即可；
（2）先整理方程组，再利用加减消元的方法进行求解即可．
{2x−y=5①)
【解答】解：（1） ，
3x+4 y=2②
由①，得y＝2x﹣5③，
把③代入②，得3x+4（2x﹣5）＝2，
3x+8x﹣20＝2，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
{ x=2 )
所以原方程组的解为 ；
y=−1{3(x−2y)+8 y=4
)
（2） x y ，
+ =2
3 2
{3x+2y=4①)
整理得 ，
2x+3 y=12②
①×2﹣②×3得：﹣5y＝﹣28，
28
解得：y= ，
5
28 28
把y= 代入①得3x+2× =4，
5 5
12
解得：x=− ，
5
12
{x=− )
5
所以原方程组的解为 ．
28
y=
5
【类型2 用适当的方法解方程组】
11．用适当的方法解下列方程组．
{ x=1−y )
（1） ；
2x−y=−4
{ x +1= y )
（2） 3 ．
2(x+1)−y=6
【分析】（1）（2）分别利用代入法求解即可．
{ x=1−y① )
【解答】解：（1） ，
2x−y=−4②
将①代入②，得2（1﹣y）﹣y＝﹣4，
解得y＝2③，
将③代入①，得x＝﹣1，
{x=−1)
∴原方程组的解为 ．
y=2{ x +1= y① )
（2） 3 ，
2(x+1)−y=6②
x
将①代入②，得2（x+1）﹣（ +1）＝6，
3
解得x＝3③，
将③代入①，得y＝2，
{x=3)
∴原方程组的解为 ．
y=2
12．解下列方程组：
{2x−5 y=7)
（1） ；
4x−3 y=7
{ x+ y + x−y =6 )
（2） 3 2 ．
3(x+ y)−2(x−y)=2
【分析】（1）加减消元法解二元一次方程组；
（2）将原方程组进行化简然后用代入消元法解二元一次方程组即可．
{2x−5 y=7①)
【解答】解：（1） ，
4x−3 y=7②
①×2﹣②得：﹣7y＝7，
∴y＝﹣1，
代入①得：2x+5＝7，
∴x＝1，
{ x=1 )
∴ ；
y=−1
{ x+ y + x−y =6 )
（2） 3 2 ，
3(x+ y)−2(x−y)=2
{5x−y=36①)
变形可得： ，
x+5 y=2②
由①得y＝5x﹣36③，
把③代入②得：x+5（5x﹣36）＝2，解得：x＝7，
代入③得：y＝﹣1，
{ x=7 )
∴ ．
y=−1
13．解下列方程组：
{3x+ y=8)
（1） ；
2x−y=7
{ x−1 = y+1 )
（2） 2 3 ．
2(x−y)=8−3 y
【分析】（1）先利用加减消元法求出x，再利用代入法求出y，从而得到方程组的解；
{3x−2y=5①)
（2）先把原方程组整理为 ，再利用加减消元法求出x，然后利用代入法求出y，从而
2x+ y=8②
得到原方程组的解．
{3x+ y=8①)
【解答】解：（1） ，
2x−y=7②
①+②得5x＝15，
解得x＝3，
把x＝3代入①得9+y＝8，
解得y＝﹣1，
{ x=3 )
所以方程组的解为 ；
y=−1
{3x−2y=5①)
（2）原方程组整理为 ，
2x+ y=8②
②×2+①得7x＝21，
解得x＝3，
把x＝3代入②得6+y＝8，
解得y＝2，
{x=3)
所以原方程组的解为 ．
y=2
14．解下列方程组：
{3x+2y=14)
（1） ；
2x−y=7{ x+ y + x−y =1 )
（2） 2 3 ．
4(x+ y)−5(x−y)=−38
【分析】（1）运用代入消元法求解即可；
（2）先将方程组整理后，再运用代入法求解即可．
{3x+2y=14①)
【解答】解：（1） ，
2x−y=7②
由方程②得，y＝2x﹣7③，
把方程③代入①得，3x+4x﹣14＝14，
7x＝28，
∴x＝4，
把x＝4代入方程③得，y＝2×4﹣7＝1，
{x=4)
∴ ；
y=1
{ x+ y + x−y =1① )
（2） 2 3 ，
4(x+ y)−5(x−y)=−38②
由①得，5x+y＝6③，
由②得，﹣x+9y＝﹣38④，
由④得x＝9y+38⑤，
将⑤代入③得，46y＝﹣184，
解得y＝﹣4，
把y＝﹣4代入⑤，得x＝2，
{ x=2 )
∴ ．
y=−4
15．解下列方程组：
{ 2x−y=1，① )
（1） ；
4x+3 y=27；②
{4(x−y−1)=3(1−y)−2，①
)
（2） x y ．
+ =2．②
2 3
【分析】（1）由①得，y＝2x﹣1，再代入计算解答即可；{ 4x−y=5，① )
（2）将原方程变为 ，再利用代入法进行解答即可．
3x+2y=12，②
【解答】解：（1）由①得，y＝2x﹣1，③
把③代入②得，4x+3（2x﹣1）＝27，
解得x＝3，
把x＝3代入③得，y＝5，
{x=3)
所以原方程组的解为 ；
y=5
{ 4x−y=5，① )
（2）原方程组可变为 ，
3x+2y=12，②
由①得，y＝4x﹣5，③
把③代入②得，3x+2（4x﹣5）＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入③得，y＝8﹣5＝3，
{x=2)
所以原方程组的解为 ．
y=3
16．解方程组：
{3x+4 y=16)
（1） ；
6x+9 y=25
{ 2x−3 y+5=0 )
（2） 6 y−4x+3 ．
=2y+1
7
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减代入消元法求解即可．
{3x+4 y=16①)
【解答】解：（1） ，
6x+9 y=25②
①×2﹣②，解得y＝﹣7．
将y＝﹣7代入①，得3x﹣28＝16，
3x＝44，
44
解得x= ．
3
{ x= 44 )
∴原方程组的解为： 3 ；
y=−7{ 2x−3 y+5=0① )
（2） 6 y−4x+3 ，
=2y+1②
7
①×2可得，4x﹣6y+10＝0③，
将③整体代入②，
10+3
可得 =2y+1，
7
13＝14y+7，
14y＝6，
3
解得y= ，
7
3
代入①可得2x−3× +5=0，
7
9
2x− +5＝0，
7
26
2x=− ，
7
13
解得x=− ，
7
13
{x=− )
7
∴原方程组的解为 ．
3
y=
7
17．解二元一次方程组：
{x−y=7
)
（1） ；
3x+ y=5
{2(3x−4)−3(2y−1)=1
)
（2） x y ．
+ =1
3 2
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
{x−y=7①)
【解答】解：（1） ，
3x+ y=5②
①+②得：4x＝12，解得：x＝3，
将x＝3代入①得：3﹣y＝7，
解得：y＝﹣4，
{ x=3 )
故原方程组的解为 ；
y=−4
{ x−y=1① )
（2）原方程组整理得 ，
2x+3 y=6②
①×3+②得：5x＝9，
解得：x＝1.8，
将x＝1.8代入①得：1.8﹣y＝1，
解得：y＝0.8，
{x=1.8)
故原方程组的解为 ．
y=0.8
18．解下列的二元一次方程组：
{5x+2y=8)
（1） ；
3x−y=7
{4(x−y−1)=3(1−y)−2
)
（2） x y ．
+ =2
2 3
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程，再利用加减消元法解方程组即可．
{5x+2y=8①)
【解答】解：（1） ，
3x−y=7②
①+②×2得：11x＝22，解得x＝2，
把x＝2代入①得：10+2y＝8，解得y＝﹣1，
{ x=2 )
∴方程组的解为 ；
y=−1
{4(x−y−1)=3(1−y)−2
)
（2） x y ，
+ =2
2 3
{ 4x−y① )
整理得
3x+2y=12②
①×2+②得：11x＝22，解得x＝2，把x＝2代入①得：8﹣y＝5，解得y＝3，
{x=2)
∴方程组的解为 ．
y=3
19．解二元一次方程组：
1
{ 2x−4(y− )=3 )
4
（1） ；
(x+3) 2y+3 1
− =
5 3 15
{x+ y
=
0.3x+0.4 y
)
（2） 0.02 0.3 ．
x+ y=2
【分析】（1）先整理原方程，然后利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程，然后利用加减消元法解方程组即可．
1
{ 2x−4(y− )=3 )
4
【解答】解：（1） ，
(x+3) 2y+3 1
− =
5 3 15
{2x−4 y=2①)
整理得 ，
3x−10 y=7②
①×3﹣②×2得：8y＝﹣8，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：2x﹣4×（﹣1）＝2，
解得：x＝﹣1，
{x=−1)
∴方程组的解为 ；
y=−1
{x+ y
=
0.3x+0.4 y
)
（2） 0.02 0.3 ，
x+ y=2
{147x+146 y=0①)
整理得 ，
x+ y=2②
①﹣②×146得x＝﹣292，
把x＝﹣292代入②得：﹣292+y＝2，解得：y＝294，
{x=−292)
∴方程组的解为 ．
y=29420．解方程组：
{4(x−1)−3(y+2)=−8)
（1） ；
3x−2y=3
{x+4 y
−6=
5 y−1
)
（2） 3 2 ．
5x+7 y=9
【分析】（1）按照用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤解方程组即可；
（2）按照用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤解方程组即可．
{4(x−1)−3(y+2)=−8)
【解答】解：（1） ，
3x−2y=3
{4x−3 y=2①)
整理得： ，
3x−2y=3②
①×3﹣②×4，得：﹣y＝﹣6，
系数化为1，得：y＝6，
将y＝6代入①，得：4x﹣3×6＝2，
4x＝2+3×6，
4x＝20，
解得：x＝5，
{x=5)
∴方程组的解是： ；
y=6
{x+4 y
−6=
5 y−1
①)
（2） 3 2 ，
5x+7 y=9②
对于①，去分母，得：2（x+4y）﹣6×6＝3（5y﹣1），
2x+8y﹣36＝15y﹣3，
2x+8y﹣15y＝﹣3+36，
2x﹣7y＝33，
{2x−7 y=33①)
原方程组化为 ，
5x+7 y=9②
①+②，得：7x＝42，
解得：x＝6，
将x＝6代入①，得：2×6﹣7y＝33，
﹣7y＝33﹣2×6，
﹣7y＝21，解得：y＝﹣3，
{ x=6 )
∴方程组的解是： ．
y=−3
【类型3 解三元一次方程组】
{x−4 y+z=−3，①
)
21．解三元一次方程组 2x+ y−z=18，② ．
x−y−z=7，③
【分析】①+②求出x﹣y＝5，②﹣③求出x+2y＝11，组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，
把求出的x、y的值代入③求z即可．
【解答】解：①+②，得3x﹣3y＝15，
即x﹣y＝5，④
②﹣③，得x+2y＝11，⑤
{x+2y=11)
由④和⑤组成一个二元一次方程组
x−y=5
解得：x＝7，y＝2，
再把x＝7，y＝2代入③，得z＝﹣2．
{
x=7
)
所以方程组的解为 y=2 ．
z=−2
{
x+2y−z=1
)
22．解方程组： 3x−3 y+z=2 ．
2x+3 y+z=7
【分析】①+②得出4x﹣y＝3④，①+③得出3x+5y＝8⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，
求出方程组的解，再求出z即可．
{ x+2y−z=1 ① )
【解答】解： 3x−3 y+z=2 ② ，
2x+3 y+z=7 ③
①+②，得4x﹣y＝3④，
①+③，得3x+5y＝8⑤，
由④和⑤组成一个二元一次方程组：
{4x−y=3)
，
3x+5 y=8
{x=1)
解得： ，
y=1{x=1)
把 代入①，得1+2﹣z＝1，
y=1
解得：z＝2，
{x=1
)
所以方程组的解是 y=1 ．
z=2
{
2x+3 y−z=11
)
23．解方程组： 2x+ y−5z=8 ．
−2x+7 y+z=19
【分析】利用加减消元法求解即可．
{
2x+3 y−z=11①
)
【解答】解： 2x+ y−5z=8② ，
−2x+7 y+z=19③
①+③，得：10y＝30，
解得y＝3，
②+③，得：8y﹣4z＝27④，
3
将y＝3代入④，得：z=− ，
4
3 5
将z=− ，y＝3代入②，得：x= ，
4 8
5
{ x= )
8
∴原方程组的解为 y=3 ．
3
z=−
4
{
x+3 y+2z=3
)
24．解方程组： 2x−3 y−z=−2 ．
4x+3 y−3z=−2
【分析】先消去y，把三元一次方程组变成二元一次方程组，解二元一次方程组即可求解．
{
x+3 y+2z=3①
)
【解答】解： 2x−3 y−z=−2② ，
4x+3 y−3z=−2③
①+②得3x+z＝1④，
（②+③）÷2得3x﹣2z＝﹣2⑤，
{ 3x+z=1④ )
④与⑤组成方程组得 ，
3x−2z=−2⑤{x=0)
解得 ，
z=1
{x=0)
把 代入①得，0+3y+2＝3，
z=1
1
∴y= ，
3
x=0
{ )
1
∴方程组的解为 y= ．
3
z=1
{
x−y−z=−1，
)
25．解方程组： 3x+5 y+7z=11，
4x−y+2z=−1.
【分析】③﹣①得出3x+3z＝0，求出x+z＝0④，②+③×5得出23x+17z＝6⑤，由④和⑤组成一个
二元一次方程组，求出方程组的解，再求出y即可．
{ x−y−z=−1 ① )
【解答】解： 3x+5 y+7z=11 ② ，
4x−y+2z=−1 ③
③﹣①得：3x+3z＝0，
x+z＝0④，
②+③×5得：23x+17z＝6⑤，
{ x+z=0 )
由④和⑤组成一个二元一次方程组： ，
23x+17z=6
{ x=1 )
解得： ，
z=−1
{ x=1 )
把 代入①得：1﹣y+1＝﹣1，
z=−1
解得：y＝3，
{
x=1
)
所以方程组的解是 y=3 ．
z=−1
4x+9 y−12=0①
{ )
3 y−2z−1=0②
26．解三元一次方程组： ．
19
7x+5z− =0③
4
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．4x+9 y−12=0①
{ )
3 y−2z−1=0②
【解答】解： ，
19
7x+5z− =0③
4
②×3得：9y﹣6z﹣3＝0④，
①﹣④得：4x+6z﹣9＝0⑤，
③×4得：28x+20z﹣19＝0⑥，
⑤×7得：28x+42z﹣63＝0⑦，
⑦﹣⑥得：22z﹣44＝0，
解得：z＝2，
把z＝2代入②得：3y﹣4﹣1＝0，
5
解得：y= ，
3
5
把y= 代入①得：4x+15﹣12＝0，
3
3
解得：x=− ，
4
3
{x=−
)
4
∴原方程组的解为： 5 ．
y=
3
z=2
{x+ y
=
z+x
=
y+z
)
27．设线段x、y、z满足 2 3 4 ，求x、y、z的值．
x+ y+z=18
x+ y z+x y+z 9
【分析】设 = = = k，从而可得x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，进而可得x+y+z = k，然后
2 3 4 2
根据x+y+z＝18，求出k的值，从而求出x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，最后进行计算即可解答．
x+ y z+x y+z
【解答】解：设 = = = k，
2 3 4
∴x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，
∴x+y+z+x+y+z＝9k，
∴2x+2y+2z＝9k，
9
∴x+y+z= k，
2∵x+y+z＝18，
9
∴ k＝18，
2
∴k＝4，
∴x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，
∴z＝10，y＝6，x＝2，
{x=2
)
∴原方程组的解为： y=6 ．
z=10
28．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝﹣2：当x＝2时，y＝7．
（1）求a，b，c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
【分析】（1）根据题设条件，得到关于a，b，c的三元一次方程组，利用加减消元法解之即可，
（2）结合（1）的结果，得到关于x和y的等式，把x＝﹣3代入，计算求值即可．
{ a+b+c=0 ① )
【解答】解：（1）根据题意得： a−b+c=−2 ② ，
4a+2b+c=7 ③
①+②得：a+c＝﹣1④
③+②×2得：2a+c＝1⑤，
⑤﹣④得：a＝2，
把a＝2代入④得：2+c＝﹣1，
解得：c＝﹣3，
把a＝2，c＝﹣3代入①得：2+b﹣3＝0，
解得：b＝1，
{
a=2
)
方程组的解为： b=1 ；
c=−3
（2）根据题意得：y＝2x2+x﹣3，
把x＝﹣3代入得：y＝2×（﹣3）2﹣3﹣3＝12，
即y的值为12．
{x−4
=
y+1
=
z+2
)
29．解方程组： 3 4 5 ．
x−2y+3z=30
【分析】设第一个方程的值为k，表示出x、y、z，然后代入第二个方程求出k值，从而得解．{x−4
=
y+1
=
z+2
①)
【解答】解： 3 4 5 ，
x−2y+3z=30②
x−4 y+1 z+2
由①可设 = = =k，
3 4 5
x＝3k+4，y＝4k﹣1，z＝5k﹣2，
代入方程②得，3k+4﹣2（4k﹣1）+3（5k﹣2）＝30，
去括号得，3k+4﹣8k+2+15k﹣6＝30，
解得k＝3，
所以x＝3×3+4＝13，
y＝4×3﹣1＝11，
z＝5×3﹣2＝13，
{x=13
)
因此，这个方程组的解是 y=11 ．
z=13
{2x−3 y+5z=5
)
30．解方程组： 3x+ y−2z=9 ．
5x−2y+z=12
【分析】①+②×3得出11x﹣z＝32④，②×2+③得出11x﹣3z＝30⑤，由④和⑤组成一个二元一次
方程组，求出方程组的解，再求出y即可．
{2x−3 y+5z=5 ①
)
【解答】解： 3x+ y−2z=9 ② ，
5x−2y+z=12 ③
①+②×3，得11x﹣z＝32④，
②×2+③，得11x﹣3z＝30⑤，
由④和⑤组成一个二元一次方程组：
{11x−z=32
)
，
11x−3z=30
{x=3)
解得： ，
z=1
{x=3)
把 代入②，得9+y﹣2＝9，
z=1
解得：y＝2，{x=3
)
所以方程组的解是 y=2 ．
z=1
【类型4 换元法解二元一次方程组】
31．阅读材料，解答问题：
{3(x+ y)−(x−y)=2
)
材料：解方程组 ，我们可以设 x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为
5(x+ y)+3(x−y)=8
{3a−b=2
)
{a=1) {x+ y=1) {x=1)
，解得 ，将a、b转化为 ，再解这个方程组得 ．这种解方程的过
5a+3b=8 b=1 x−y=1 y=0
程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．
{3(x+ y)−2(x−y)=1)
请用换元法解方程组： ．
(x+ y)+(x−y)=7
{3a−2b=1) {a=3)
【分析】设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为 ，用加减消元法解得 ，再解
a+b=7 b=4
{x+ y=3)
方程组 即可求解．
x−y=4
{3a−2b=1)
【解答】解：设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为 ，
a+b=7
{a=3)
用加减消元法解得 ，
b=4
{x+ y=3)
再将a、b转化为 ，
x−y=4
7
{ x= )
2
解得 ．
1
y=−
2
32．阅读探索
（1）知识积累
{(a−1)+2(b+2)=6)
解方程组 ．
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6)
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为 ，
2x+ y=6{x=2)
解方程组，得 ．
y=2
{a−1=2)
即 ，
b+2=2
{a=3)
所以有 ．
b=0
此种解方程组的方法叫换元法．
a b
{ ( −1)+2( +2)=4)
3 5
（2）拓展提高运用上述方法解方程组： ．
a b
2( −1)+( +2)=5
3 5
a b {m+2n=4) a b
【分析】设 −1=m， +2=n，则原方程组可变为 ，解方程组得到 −1=2， +2=1
3 5 2m+n=5 3 5
，据此求解即可．
【解答】解：设
a
−1=m，
b
+2=n，则原方程组可变为
{m+2n=4)
，
3 5 2m+n=5
{m=2)
解得 ，
n=1
a b
∴ −1=2， +2=1，
3 5
{ a=9 )
∴ ．
b=−5
33．阅读探索：
{(a−1)+2(b+2)=6)
材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6)
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为 ，
2x+ y=6
{x=2) {a−1=2) {a=3)
解得 ，即 ，解得 ．
y=2 b+2=2 b=0
{4x+10 y=6①)
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
8x+22y=10②
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，
{ x=4 )
则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： ．
y=−1根据上述材料，解决下列问题：
a b
{ ( −1)+2( +2)=4)
4 3
（1）运用换元法解求关于a，b的方程组： 的解；
a b
2( −1)+( +2)=5
4 3
（ 2 ） 若 关 于 x ， y 的 方 程 组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的 解 为
{x=10)
， 求 关 于 m ， n 的 方 程 组
a x+b y=c y=6
2 2 2
{5a (m−3)+3b (n+2)=c )
1 1 1
的解．
5a (m−3)+3b (n+2)=c
2 2 2
{3x−2z+12y=47①)
（3）已知x、y、z，满足 ，试求z的值．
2x+z+8 y=36②
a b
【分析】（1）用换元法替换 −1和 +2，解方程组即可；
4 3
（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；
3 7
（3）仿照题意将方程①变形为 (2x+z+8 y)− z=47③，然后把将方程②代入③得到关于z的方
2 2
程，解方程即可．
a b
【解答】解：（1）设 −1=x， +2= y，
4 3
{x+2y=4①)
∴原方程可以化为 ，
2x+ y=5②
用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，
把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，
{x=2)
∴方程组的解为 ，
y=1
a
{ −1=2)
4
即 ，
b
+2=1
3
{a=12)
解得 ，
b=−3{a=12)
∴原方程组的解为 ；
b=−3
{5(m−3)=x)
（2）解：设 ，
3(n+2)= y
{a x+b y=c
)
1 1 1
则方程化为： ，
a x+b y=c
2 2 2
{5(m−3)=10)
即 ，
3(n+2)=6
{m=5)
解得 ；
n=0
（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，
3 7
变形为 (2x+z+8 y)− z=47③，
2 2
3 7
将方程②代入③得： ×36− z=47，
2 2
解得z＝2．
34．阅读下列材料，解答问题：
{5(x+ y)−3(x−y)=2)
材料：解方程组 ，若设 x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为
2(x+ y)+4(x−y)=6
{5m−3n=2) {m=1) {x+ y=1) {x=1)
，用加减消元法得 ，所以 ，在解这个方程组得 ，由此可以看
2m+4n=6 n=1 x−y=1 y=0
出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方
法叫换元法．
{ x+ y = x−y )
问题：请你用上述方法解方程组 2 3 ．
2(x+ y)−3x+3 y=25
【分析】设x+y＝A，x﹣y＝B，方程变形后，利用加减消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值
即可．
【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，{ A = B )
方程组变形得： 2 3 ，
2A−3B=25
{3A−2B=0①)
整理得： ，
2A−3B=25②
①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，即A＝﹣10，
把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，
{x+ y=−10)
∴ ，
x−y=−15
{x=−12.5)
解得： ．
y=2.5
35．先阅读下列材料；再解决相关问题：
{(a−1)+2(b+2)=6)
解方程组
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6)
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可转化为
2x+ y=6
{x=2) {a−1=2) {a=3)
解方程组得 ，即 ，所以 ．此种解方程组的方法叫换元法．
y=2 b+2=2 b=0
1 1
{ + =2，)
m n 1 1
（1）如果用换元法解方程组： ，可以设x＝ ，y＝ ，则该方程组可以转化
1 1 m n
− =7
m n
{x+ y=2)
为关于x、y的方程组： ；
x−y=7
a b
{2( −1)+3( +2)=7，)
3 5
（2）用换元法解方程组： ．
a b
5( −1)−2( +2)=8
3 5
1 1
【分析】（1）观察方程组的特点，可以设x= ，y= ，即可解决问题；
m n
a b
（2）设x= −1，y= +2，然后根据题目提供的解方程组的方法解答即可．
3 51 1
{ + =2，)
m n 1 1
【解答】解：（1）用换元法解方程组： ，可以设x= ，y= ，
1 1 m n
− =7
m n
{x+ y=2)
则该方程组可以转化为关于x、y的方程组 ；
x−y=7
1 1 {x+ y=2)
故答案为： ， ， ；
m n x−y=7
a b
（2）设x= −1，y= +2，
3 5
{2x+3 y=7)
则原方程组可以转化为关于x、y的方程组 ，
5x−2y=8
{x=2)
解这个方程组，得 ，
y=1
a
{ −1=2)
3
即 ，
b
+2=1
5
{ a=9 )
解得 ．
b=−5
36．【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
2x+3 y 2x−3 y
{ + =7)
4 3
解方程组 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较
2x+3 y 2x−3 y
+ =8
3 2
大，也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可
以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
m n
{ + =7)
4 3 {m=60 )
这时原方程组化为 ，解得 ，
m n n=−24
+ =8
3 2{m=60
)
把 代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．
n=−24
{ 2x+3 y=60 ) { x=9 )
得 解得 ．
2x−3 y=−24 y=14
{ x=9 )
所以，原方程组的解为
y=14
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
x+ y x−y
{ + =2 )
3 5
（1）解方程组 ；
x+ y x−y
− =−1
3 5
{ax+by=m) {x=3) {a(x+1)−by=m)
（2）已知方程组 的解是 ，求方程组 的解．
cx+dy=n y=2 c(x+1)−dy=n
x+ y x−y
【分析】（1）令m= ，n= ，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可；
3 5
（2）令e＝x+1，f＝﹣y，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可．
x+ y x−y
【解答】解：（1）令m= ，n= ，
3 5
{ m+n=2 )
原方程组可化为 ，
m−n=−1
1
{m= )
2
解得： ，
3
n=
2
x+ y 1
{ = )
3 2
∴ ，
x−y 3
=
5 2
{ x= 9 )
解得 2
y=−3{ x= 9 )
∴原方程组的解为 2 ；
y=−3
（2）令e＝x+1，f＝﹣y，
{ae+bf =m)
原方程组可化为 ，
ce+df =n
{e=3)
依题意，得 ，
f =2
{x+1=3)
∴ ，
−y=2
{ x=2 )
解得 ．
y=−2
{5(x+ y)−3(x−y)=2)
37．解方程组 若设（x+y）＝A，（x﹣y）＝B，则原方程组可变形为
2(x+ y)+4(x−y)=6
{5A−3B=2) {A=1) {x+ y=1) {x=1)
，解方程组得 ，所以 解方程组得 ，我们把某个式子看成一个
2A+4B=6 B=1 x−y=1 y=0
整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组
{ x+ y + x−y =6 )
2 3 ．
2(x+ y)−3x+3 y=24
【分析】设x+y＝A，x﹣y＝B，方程变形后，利用代入消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值
即可．
【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，
{ A + B =6 )
方程组变形得： 2 3 ，
2A−3B=24
{3A+2B=36①)
整理得： ，
2A−3B=24②
①×3+②×2得：13A＝156，即A＝12，
把A＝12代入②得：B＝0，
{x+ y=12)
∴ ，
x−y=0{x=6)
解得： ．
y=6
38．数学方法：
{3(2x+ y)−2(x−2y)=26)
解方程组： ，若设 2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为
2(2x+ y)+3(x−2y)=13
{3m−2n=26) {m=8 ) { 2x+ y=8 ) {x=3)
，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看
2m+3n=13 n=−1 x−2y=−1 y=2
成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
{ax+by=6) {x=−2)
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于m、n的
bx+ay=3 y=4
{a(m+n)+b(m−n)=6)
二元一次方程组 的解为： ．
b(m+n)+a(m−n)=3
{ x+ y − x−y =4 )
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组 2 3 ．
2(x+ y)+x−y=16
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组 {a 1 x+b 1 y=c 1 ) 的解为 { x=4 ) ，求关于x，y的方
a x+b y=c y=−3
2 2 2
{2a x+3b y=5c
)
1 1 1
程组 的解．
2a x+3b y=5c
2 2 2
{m+n=−2)
【分析】（1）设m+n＝x，m﹣n＝y，即可得 ，解方程组即可求解；
m−n=4
（2）设 x+ y =m， x−y =n，则原方程组可化为 { m−n=4 ) ，解方程组即可求解；
2 3 4m+3n=16
（3）设 2x =m， 3 y =n，则原方程组可化为 {a 1 m+b 1 n=c 1 ) ，根据 {a 1 x+b 1 y=c 1 ) 的解为 { x=4 )
5 5 a m+b n=c a x+b y=c y=−3
2 2 2 2 2 22x
{ =4 )
{m=4 ) 5
，可得 ，即有 ，则问题得解．
n=−3 3 y
=−3
5
{ax+by=6)
【解答】解：（1）设m+n＝x，m﹣n＝y，则原方程组可化为 ，
bx+ay=3
{ax+by=6) {x=−2)
∵ 的解为 ，
bx+ay=3 y=4
{m+n=−2)
∴ ，
m−n=4
{m=1
)
解得 ，
n=−3
{m=1
)
故答案为： ；
n=−3
x+ y x−y { m−n=4 )
（2）设 =m， =n，则原方程组可化为 ，
2 3 4m+3n=16
{m=4)
解得 ，
n=0
x+ y
{ =4)
2
即有 ，
x−y
=0
3
{x=4)
解得 ，
y=4
{x=4)
即：方程组的解为 ；
y=4
2x 3 y {5ma +5nb =5c )
（3）设 =m， =n，则原方程组可化为 1 1 1 ，
5 5 5ma +5nb =c
2 2 2
{a m+b n=c
)
1 1 1
化简，得 ，
a m+b n=c
2 2 2
∵关于x，y的二元一次方程组 {a 1 x+b 1 y=c 1 ) 的解为 { x=4 ) ，
a x+b y=c y=−3
2 2 22x
{ =4 )
{m=4 ) 5
∴ ，即有 ，
n=−3 3 y
=−3
5
{x=10)
解得： ．
y=−5
{x=10)
故方程组的解为： ．
y=−5
39．阅读与思考：
阅读下列材料，完成后面的任务．
2
{2(m+2)+3(n− )=1，)
3
善于思考的李同学在解方程组 时，采用了一种“整体换元”的解法．
2
7(m+2)+6(n− )=2
3
2 2
解：把m+2，n− 看成一个整体，设m+2＝x，n− = y．
3 3
{2x+3 y=1，)
{x=0，
)
{m+2=0，
) {m=−2，)
原方程组可化为 解得 1 ∴ 2 1 ，∴原方程组的解为
7x+6 y=2， y= ， n− = ， n=1.
3 3 3
任务：
{3x−2y=1，) {x=3，) {3(a+b)−2(a−b)=1，)
（1）方程组 的解是 ，则方程组 的解是
9x−2y=19 y=4， 9(a+b)−2(a−b)=19
．
{3(x+ y)−4(x−y)=4，
)
（2）仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组 x+ y x−y
+ =1.
2 6
{a+b=−1)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出 ，再解出这个方程组即可．
a−b=−2
{3m−4n=4
)
（2）根据题意所给材料可令m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组可化为 m n ，解出m，n，代入
+ =1
2 6
m＝x+y，n＝x﹣y，再解出关于x，y的方程组即可．{3x−2y=1
)
{x=3)
【解答】解：（1）∵方程组 的解是 ，
9x−2y=19 y=4
{a+b=3)
∴ ，
a−b=4
7
{ a= )
2
解得： ；
1
b=−
2
7
{ a= )
2
故答案为： ；
1
b=−
2
{3(x+ y)−4(x−y)=4
)
（2）对于 x+ y x−y ，
+ =1
2 6
令m＝x+y，n＝x﹣y，
{3m−4n=4
)
则原方程组可化为 m n ，
+ =1
2 6
28
{m= )
15
解得： ，
2
n=
5
28
{x+ y= )
15
∴ ，
2
x−y=
5
17
{x= )
15
解得： ．
11
y=
15
40．我们在解二元一次方程组{3(2x+ y)−2(x−2y)=26)时，若假设{2x+ y=m)，则原方程组可化为
2(2x+ y)+3(x−2y)=13 x−2y=n{3m−2n=26) {m=8 ) { 2x+ y=8 ) {x=3)
，解之得 ，即 ，解之得 ，在上面的解题过程中，我们把
2m+3n=13 n=−1 x−2y=−1 y=2
某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法．
{ax+by=6) {x=−2)
（1）已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，求关于m、n的二元一次方程组
bx+ay=3 y=4
{a(m+n)+b(m−n)=6)
的解；
b(m+n)+a(m−n)=3
{ x+ y − x−y =4 )
（2）请用上面的换元法解方程组 2 3 ．
2(x+ y)+x−y=16
{m+n=x) {m+n=−2)
【分析】（1）设 ，得到 ，然后解方程组即可；
m−n= y m−n=4
{x+ y=m) {3m−2n=24)
（2）设 ，得到 ，然后解方程组即可．
x−y=n 2m+n=16
{m+n=x)
【解答】解：（1）设 ，
m−n= y
{ax+by=6)
则原方程组可化为
bx+ay=3
{m+n=−2)
∴ ，
m−n=4
{m=1
)
解之得 ；
n=−3
{x+ y=m)
（2）设 ，
x−y=n
{ m − n =4 )
则原方程组可化为 2 3 ，
2m+n=16
{3m−2n=24)
化简整理得 ，
2m+n=16
{m=8)
解之得 ，
n=0
{x+ y=8)
∴ ，
x−y=0{x=4)
解之得 ．
y=4
【类型5 整体代入法解二元一次方程组】
41．先阅读材料，然后解方程组．
{ x+ y−2=0 ①)
材料：解方程组： ．
3(x+ y)−y=4 ②
由①，得x+y＝2．③
把③代入②，得3×2﹣y＝4，解得y＝2．
把y＝2代入③，得x＝0．
{x=0)
∴原方程组的解为 ．
y=2
这种方法称为“整体代入法”你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程
{ 3x−2y−1=0 ① )
组： 3x−2y+5 ．
+ y=2 ②
6
【分析】先根据方程①求出3x﹣2y的值，然后把所求的值代入②得到关于y的方程，解方程求出y，
再代入含有3x﹣2y的等式，求出x即可．
【解答】解：由①得：3x﹣2y＝1③，
把③代入②得：1+y＝2，
解得：y＝1，
把y＝1代入③得：x＝1，
{x=1)
∴原方程组的解为： ．
y=1
42．阅读材料并解决问题．
（1）观察发现；
{ x+ y=4① )
材料：解方程组
3(x+ y)+ y=14②
解：将①整体代入②，得3×4+y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝2，
{x=2)
所以 ．
y=2
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出{ x−y−1=0 )
的解为 ．
4(x−y)−y=5
{2x+ y=−3m+2①) 5
（2）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+ y＞− ，请求出满
x+2y=7② 6
足条件的m的所有正整数值．
{5x−2y=43) {x=9)
（3）迁移应用：若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则若关于a，b的二元
3x+4 y=31 y=1
{5a2−2b2=43)
二次方程组 的解是 ．
3a2+4b2=31
【分析】（1）由①求出x﹣y，再把x﹣y的值代入②求出y，然后把y的值代入x﹣y的值，求出x即
可；
{2x+ y=−3m+2①)
（2）把两个方程相加求出x+y，再根据关于x，y的二元一次方程组 的解满足
x+2y=7②
5
x+ y＞− ，列出不等式，求出m的取值范围，从而求出答案即可；
6
（3）根据已知条件，列出关于a和b的一元二次方程，解方程求出a，b即可．
{ x−y−1=0① )
【解答】解：（1） ，
4(x−y)−y=5②
由①得：x﹣y＝1③，
把③代入②得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③得：x＝0，
{ x=0 )
∴方程组的解为： ，
y=−1
{ x=0 )
故答案为： ；
y=−1
{2x+ y=−3m+2①)
（2） ，
x+2y=7②
①+②得：3x+3y＝9﹣3m，
∴x+y＝3﹣m，
5
∵x+ y＞− ，
6
5
∴3−m＞− ，
623
−m＞− ，
6
23
m＜ ，
6
∴满足条件的m的正整数值为1，2，3；
{5x−2y=43) {x=9)
（3）∵关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
3x+4 y=31 y=1
∴a2＝9，b2＝1，
解得：a＝±3，b＝±1，
{5a2−2b2=43) {a=±3)
∴关于a，b的二元二次方程组 的解为： ，
3a2+4b2=31 b=±1
{a=±3)
故答案为： ．
b=±1
43．【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方
{2x+5 y=3①)
程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组 ，首先将方程②变形得4x+10y+y＝
4x+11y=5②
5，即2（2x+5y）+y＝5③，其次把方程①代入③得：2×3+y＝5，即y＝﹣1，最后把y＝﹣1代入方程
{ x=4 )
①，得x＝4，所以方程组的解为 ．
y=−1
{3x+4 y=16①)
【解决问题】（1）请用“整体代入消元”的方法解方程组 ；
6x+10 y=25②
{ x+xy+3 y=10①)
（2）已知x、y满足方程组 ，求xy的值．
3x−xy+9 y=10②
{3x+4 y=16①)
【分析】（1）用“整体代入消元”的方法解方程组 即可；
6x+10 y=25②
（2）由①，可得x+3y＝10﹣xy③，把③代入②，求出xy的值即可．
{3x+4 y=16①)
【解答】解：（1） ，
6x+10 y=25②
由②可得6x+8y+2y＝25，即2（3x+4y）+2y＝25③，
把方程①代入③得：2×16+2y＝25，即y＝﹣3.5，
把y＝﹣3.5代入方程①，可得3x+4×（﹣3.5）＝16，
解得x＝10，{ x=10 )
∴方程组的解为 ．
y=−3.5
{ x+xy+3 y=10①)
（2） ，
3x−xy+9 y=10②
由①，可得x+3y＝10﹣xy③，
由②可得3x+9y﹣xy＝10，即3（x+3y）﹣xy＝10④，
把方程③代入④得：3（10﹣xy）﹣xy＝10，
∴30﹣4xy＝10，
解得xy＝5．
44．阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，通过查阅相关
{ 2x+ y=0①)
资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组 时，可以采用一种“整体代入”的解法．
4x+3 y=6②
解：将方程②变形为4x+2y+y＝6，即2（2x+y）+y③，
把方程①代入方程③，得：2×0+y＝6，解得y＝6，
把y＝6代入方程①得x＝﹣3，
{x=−3)
所以方程组的解为 ．
y=6
请你根据上述材料，解决以下问题：
{ 2x−y=5 )
（1）利用“整体代入”法解方程组 ；
7x−3 y=20
{x+2y=k−1)
（2）小明利用“整体代入”法解方程组 时，解得y＝﹣1，求k的值．
2x+3 y=k
【分析】（1）仿照阅读材料，用“整体代入”法解方程组即可；
（2）用整体代入”法消去x，再把y＝﹣1代入即可求出k的值．
{ 2x−y=5① )
【解答】解：（1） ，
7x−3 y=20②
把②变形为x+3（2x﹣y）＝20③，
把①代入③得x+3×5＝20，
∴x＝5，
把x＝5代入①得：
10﹣y＝5，
∴y＝5，{x=5)
∴方程组的解是 ；
y=5
{x+2y=k−1①)
（2） ，
2x+3 y=k②
把②变形得2（x+2y）﹣y＝k③，
把①代入③得2（k﹣1）﹣y＝k，
∵y＝﹣1，
∴2（k﹣1）﹣（﹣1）＝k，
解得k＝1，
∴k的值为1．
45．【材料阅读】
在“二元一次方程组”中，学习过用“代入法”和“加减法”解方程组，我们还可以巧用“整体代入
法”解方程组．例如：
{3x+2y=5)
解方程组： ；
6x+5 y=8
解：将6x+5y＝8，变形为6x+4y+y＝8，即2（3x+2y）+y＝8．
将3x+2y＝5代入，可得y＝﹣2．
将y＝﹣2代入3x+2y＝5，可得x＝3．
{x=3，)
所以，方程组的解为 ．
y=−2
【解决问题】：
{2x−5 y=−3)
（1）利用上述“整体代入法”解方程组： ；
4x−11y=2
（2）已知x，y满足方程组：
{ 2x2+xy−3 y2=5 ) ，不用求出x，y的具体值，求x2− 5 y2
的值．
2x2−2xy+ y2=−3 6
【分析】（1）将方程组第二个方程左边变形后，把第一个方程代入计算求出 y的值，进而求出x的
值，确定出方程组的解即可；
（2）方程组中第一个方程两边乘以2，与第二个方程左右两边相加，整理后求出所求．
【解答】解：（1）将4x﹣11y＝2，变形为4x﹣10y﹣y＝2，即2（2x﹣5y）﹣y＝2．
将2x﹣5y＝﹣3代入得：y＝﹣8，
将y＝﹣8代入2x﹣5y＝﹣3得：2x+40＝﹣3，43
解得：x=− ，
2
{ x=− 43 )
则方程组的解为 2 ；
y=−8
{4x2+2xy−6 y2=10)
（2）将方程组变形为 ，
2x2−2xy+ y2=−3
两方程相加，可得6x2﹣5y2＝7，
5 7
整理得：x2− y2= ．
6 6
【类型6 叠加叠减法解系数较大的方程组】
{32x+35 y=38 ①)
46．【阅读理解】在课堂上，大家探究方程组： 的不同解法．同学们发现：虽然这
30x+33 y=36 ②
个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加
减消元法来解出来的，小明带着这个问题查找了一些课外辅导资料，他发现采用下面的解法来消元更简
单：
①﹣②，得2x+2y＝2，所以x+y＝1③；
③×35﹣①，得3x＝﹣3．
{x=−1)
解得x＝﹣1，从而y＝2所以原方程组的解是 ．
y=2
【尝试应用】请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明发现的上述方法解这个方程组：
{2016x+2018 y=2020 ①)
．
2019x+2021y=2023 ②
【分析】结合题干中给出材料，用消元法解二元一次方程组．
【解答】解：②﹣①，得3x+3y＝3，
∴x+y＝1③，
③×2018﹣①得2x＝﹣2，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入③，得﹣1+y＝1，
解得y＝2，
{x=−1)
∴原方程组的解为 ．
y=247．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{14x+15 y=16①)
解方程组 时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、
17x+18 y=19②
加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
{x=−1①)
所以原方程组的解是
y=2②
{2022x+2023 y=2024)
（1）请你运用上述方法解方程组
2025x+2026 y=2027
{2077x−2078 y=2079)
（2）请你直接写出方程组 的解是 ；
2078x−2079 y=2080
{mx+(m+1)y=m+2)
（3）猜测关于x、y的方程组 （m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验
nx+(n+1)y=n+2
证．
【分析】（1）根据题干给定的方法求解即可；
（2）根据题干给定的方法求解即可；
（3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可．
{2022x+2023 y=2024①)
【解答】解：（1） ，
2025x+2026 y=2027②
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③，
③×2022得：2022x+2022y＝2022④，
①﹣④得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
{x=−1)
所以原方程组的解是： ；
y=2
{2077x−2078 y=2079①)
（2） ，
2078x−2079 y=2080②
②﹣①得：x﹣y＝1③，
③×2077得：2077x﹣2077y＝2077④，
①﹣④得：﹣y＝2，解得：y＝﹣2，把y＝﹣2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
{x=−1)
所以原方程组的解是： ；
y=−2
{x=−1)
故答案为： ；
y=−2
{x=−1)
（3）猜测： ，
y=2
当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边，
第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边，
{x=−1)
∴ 是原方程组的解．
y=2
{32x+35 y=38①)
48．解方程组 时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、
30x+33 y=36②
加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
解：①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．
③×35﹣①得3x＝﹣3，解得x＝﹣1，则y＝2．
{x=−1)
∴原方程组的解是
y=2
{1009x+1007 y=2019①)
请你运用上述方法解方程组：
1011x+1013 y=2021②
【分析】利用题干中的方法解答即可．
{1009x+1007 y=2019，①)
【解答】解：
1011x+1013 y=2021．②
①+②，得：
2020x+2020y＝4040，
即：x+y＝2 ③，
③×1007，得：
1007x+1007y＝2014 ④，
④﹣①得：
﹣2x＝﹣5，
解得：x＝2.5．
把x＝2.5代入③，得：y＝2﹣x＝2﹣2.5＝﹣0.5．
{ x=2.5 )
∴原方程组的解为 ．
y=−0.5
49．【阅读材料】
{10x+23 y=119①)
解二元一次方程组： ．
23x+10 y=145②
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数可以看
出，若先把两个方程相加可得到：33x+33y＝264，化简得x+y＝8，所以x＝8﹣y③．
把③代入方程①，得10（8﹣y）+23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
{x=5)
∴原方程组的解是 ．这样运算显得比较简单．
y=3
解答过程：由 ①+②，得33x+33y＝264，即x+y＝8．
∴x＝8﹣y③，把③代入①，得10（8﹣y）+23y＝119．
解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
{x=5)
∴原方程组的解是
y=3
【学以致用】
{x+3 y=5)
（1）填空：由二元一次方程组 ，可得x+y＝ ；
3x+ y=3
{2021x−2022y=2023①)
（2）解方程组： ；
2020x−2021y=2022②
【拓展提升】
1 {(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①)
（3）当m≠− 时，解关于x，y的方程组 ．
2 (m+3)x−(2−m)y=−5m−5②
【分析】（1）把两个方程相加得4x+4y＝8，两边除以4求x+y的值即可；
（2）用①﹣②得出x﹣y＝1，然后将x＝y+1代入②先求出y，再求x即可；
（3）用②﹣①得到x＝y﹣1，然后将x＝y﹣1代入①先求出y＝﹣2，然后将y＝﹣2代入x＝y﹣1中
求出x即可．
{x+3 y=5①)
【解答】解：（1） ，
3x+ y=3②
由①+②，得4x+4y＝8，
所以x+y＝2．
故答案为：2．{2021x−2022y=2023①)
（2） ，
2020x−2021y=2022②
由 ①﹣②，得x﹣y＝1，
∴x＝y+1③，
把③代入②，得2020（y+1）﹣2021y＝2022，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入③，得x＝﹣2+1＝﹣1，
{x=−1)
∴原方程组的解是 ；
y=−2
（3）由 ②﹣①，得x﹣y＝﹣1，
∴x＝y﹣1③，
把③代入①，得（m﹣1）（y﹣1）+（m+2）y＝﹣5m﹣1，
整理，得（2m+1）y＝﹣4m﹣2，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入③，得x＝﹣2﹣1＝﹣3．
{x=−3)
∴原方程组的解是 ．
y=−2
50．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{14x+15 y=16①)
解方程组 时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、
17x+18 y=19②
加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得3x+3y＝3．
x+y③．
③×14得14x+14y＝14④．
①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1．
{x=−1) {2015x+2016 y=2017)
原方程组的解是 （1）请运用上述方法解方程组 ；
y=2 2018x+2019 y=2020
{ 998x+999 y=1000 )
（2）请直接写出方程组 的解是 ；
9998x+9999 y=10000
{mx+(m+1)y=m+2)
（3）猜测关于x，y的方程组 （m≠n）的解，并加以验证．
nx+(n+1)y=n+2
【分析】（1）、（2）利用“加减消元”来解方程组；（3）先假设该方程组的解，然后代入原方程组验证即可．
{2015x+2016 y=2017①)
【解答】解：(1) ，
2018x+2019 y=2020②
②﹣①得：3x+3y＝3，
∴x+y＝1③，
③×2015得：2015x+2015y＝2015④，
①﹣④得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
{x=−1)
所以原方程组的解是： ．
y=2
{ 998x+999 y=1000 ①)
（2） ，
9998x+9999 y=10000 ②
②﹣①得，9000x+9000y＝9000，
∴x+y＝1③，
③×998得，998x+998y＝998④，
①﹣④得，y＝2，
将y＝2代入③得，x＝﹣1，
{x=−1)
所以原方程组的解是： ，
y=2
{x=−1)
故答案为： ，
y=2
{x=−1)
(3) ，
y=2
当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边；
第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边，
∴是原方程组的解．
