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第十章 二元一次方程组 单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型讲解
一.二元一次方程(组)定义
【题型解读】此种题主要是根据二元一次方程(组)的概念，会识别，会求字母的取值或取
值范围.
例1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x+2=1 B．x2+2y=2 C．y2+ y=4 D．x+5 y=0
例2．已知方程mx−5 y=5x+ny−1化简后是关于x，y的二元一次方程，则m，n的取值
范围分别是（ ）
A．m≠0,n≠0 B．m≠n C．m≠5,n≠5 D．m≠5,n≠−5
例3．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
例4已知方程组¿是关于x，y的二元一次方程组，则m= ．
对应练习：
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．x+ y=2 B．x2+ y=0 C．xy=2 D．x−y=2z
2. 下列选项是二元一次方程的是（ ）
x+2y 2 1
A．x+ y2=2 B． =0 C．x− =1 D．x+ y
3 y 21 x−2 3
3．下列方程：① 3x+ =8；② +2y=4；③3x+ =1；④ x2=5 y+1；⑤
3 3 y
y=x．其中是二元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若3xm+1+2y2n−3=−5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m=0,n=2 B．m=0,n=−2 C．m=2,n=−2 D．m=−2,n=1
5.若 是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（ ）
x|2m−3|+(m−2)y=6
A．1或2 B．1 C．2 D．3
6．若 是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（ ）
x|2m−6|+(m−2)y=8
A．1 B．3.5 C．2 D．3.5或2.5
7．若方程 是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
(a−5)x|a|−4+5 y=1
A．−5 B．±5 C．±4 D．5
8．若方程 是关于x，y的二元一次方程，则a的值为
(a+3)x|a|−2+3 y=1
A．－3 B．±2 C．±3 D．3
【解法提炼】
根据定义，通过未知数的次数为1，未知数系数不等于0，建立方程求字母的取值
二. 解二元一次方程组
【题型解读】此种题型主要考查选择适当的方法求解二元一次方程组
例1． 解方程组
(1)¿
(2)¿
(3)¿
(4)¿对应练习：
1.解方程组(1)8−3(2x−4)=2(x+2)；
3 y−1 5 y−7
(2) −1= ；
4 6
(3)¿；
(4)¿．
2．解方程组：
(1)¿
(2)¿
3．解下列方程组：
(1)¿
(2)¿
【解法提炼】1.当相同未知数的系数相等或互为相反数时，首选加减消元；2.当位置数系数为±1时，可选择代入消元；
3.当未知数系数较大，直接用两种消元法解题较为麻烦，可先通过加减减小未知数的系数
再适当的选取方法.
三.特殊加减法解二元一次方程组
【题型解读】系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，
那么计算量很大，且易出现运算错误.
例1．解方程组¿
对应练习：
1.解方程组¿；
2.解方程组 ¿
3.解方程组¿；
4.求关于x，y的方程组¿的解【解法提炼】主要通过两个方程加减，将未知数的系数变小或化成±1,以达到简化计算的
目的
四. 整体法求二元一次方程组的解
【题型解读】此类题型两个方程组的未知数系数相同或者两个方程中有相同的整体部分.
例1． 若关于x，y的方程组¿的解为¿，则方程组¿的解为 ．
例2．解方程组¿
例3. 解方程组¿
对应练习：
1．已知关于x，y的二元一次方程组¿的解为¿，则关于x，y的二元一次方程组¿的解为
．
2．已知关于 x，y 的方程组¿的解为¿，则关于x，y的方程组¿的解为 ．
3．若方程组¿的解为¿，则方程组¿的解为 ．
4. 解方程组¿5.解方程组¿
6.已知¿，求3x+5 y+z的值．
7.解二元一次方程组¿；
8. 解方程组：¿
9. 解方程组¿ ．【解法提炼】1.将两个方程组相同未知数构造为一样，然后整体替换未知数部分
2.两个方程中构造相同整体，整体代入解题
3.构造相同整体，整体换元求解
五.利用整体思想求代数式的值
【题型解读】这种一般是两个不含参的二元一次方程组，常规做法是直接解方程，但一
般不是最优方法，一般是构造整体解决问题.
例1． 已知二元一次方程组¿，则x−y的值为（ ）
A．2 B．−2 C．4 D．−4
对应练习：
1．已知x，y满足方程组¿，则x+ y的值为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
2.已知二元一次方程组¿，则x+ y的值为 ．
3.已知二元一次方程组¿，则x−y的值为_______
【解法提炼】此种题一般是通过加减法构造代数式整体求值
六.二元一次方程组同解问题
【题型解读】这种一般是两个含参二元一次方程组.
例1 .方程组¿和方程组¿的解相同，则ab=
对应练习：
1．已知方程组 与方程组 的解相同，求 的值．
¿ ¿ (2a+b) 20252．关于 的方程组 与 有相同的解，求 的值
x,y ¿ ¿ (−a) b
3．已知关于 、 的方程组 和 的解相同，求 的值
x y ¿ ¿ (3a+b) 2025
4．若关于x，y的两个方程组¿与¿有相同的解，则(a,b)在第_______象限
【解法提炼】通过联立不含参方程求解未知数的值，然后再求字母的取值
七. 二元一次方程组错解问题
【题型解读】这类题型一般涉及两个人，因为看错系数而错解引发的问题
例1 .甲、乙两人同时解方程组¿；甲看错了b，求得的解为¿；乙看错了a，求得的解为¿；
你能求出原题中正确的a，b吗？对应练习：
1.甲、乙两人共同解方程组¿由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为¿，乙看错了方
程②中的b，得到方程组的解为¿，则10a+b的值 ．
2．甲，乙两名同学解方程组¿．甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为¿；乙看错了方
程②中的b，得到方程组的解为¿．
(1)求a，b的值；
(2)求(1 a ) 2024 −2b2023 的值．
2
3．甲乙两人同时解方程组¿ ，甲正确解得¿ ；乙因为抄错c的值，解得¿ ．求a，b，c的
值．
【解法提炼】将方程组得解代入未看错得方程中求解八.含参二元一次方程组
【题型解读】一般是三个方程，分为两种情况①一个含参方程②两个含参方程
例1如果方程组¿的解是二元一次方程3x−5 y−32=0的一个解，那么m的值为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
对应练习：
1．已知¿是关于x，y的方程组，则x+ y的值为（ ）
A．2 B．5 C．13 D．-1
2．若关于x、y的二元一次方程组¿的解x、y互为相反数，则m=
3．已知关于x、y的方程组¿的解x，y的和为6，则k的值为 。
4．关于x，y的方程组¿，若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为 ．
【解法提炼】
① 构造整体
② 联立不含参方程
③ .解含参方程
④消参
九.二元一次方程组与行程问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决行程问题.
例1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑
自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小
伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．求A、B两地间的距离
对应练习：
1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时
出发．如果相向而行，两人0.5h后相遇；如果同向而行，两人2h后相遇；求甲从A地到B
地需要多少时间．2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的
磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动
车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，求这对轮胎最多可以行驶多少公里．
3.（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h的速度
走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达景区，共用了1.5h；返回时，他先以12km/h的
速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min，求从出发点到
景区的路程．
【解法提炼】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意找到等量关系是解题的
关键．主要利用路程=速度×时间
十.二元一次方程组与工程问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决工程问题.
例1．（24-25七年级下·全国·课后作业） 某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为
某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天
后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天施工多少米．
对应练习：
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙
再加入合作，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零
件未完成．求甲、乙每天生产多少个零件．
2.（24-25七年级下·全国·课后作业）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车
的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．
该制造厂生产这批电动车的预定期限是多少天，计划生产多少辆电动车．3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两
家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙
公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一
家公司单独完成．
(1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？
(2)如果从节约开支的角度考虑呢？
【解法提炼】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意找到等量关系是解题的
关键．主要利用工作量=工作效率×时间
十一.二元一次方程组与销售问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决销售问题.
例1．某商场积极落实增收减支．具体目标是：今年总销售额比去年增加20%，总支出比
去年减少20%．设该商场去年总销售额为x亿元，总支出为y亿元．
(1)请用含x，y的代数式填表：（不用化简）
年
总销售额/亿元 总支出/亿元
份
去
x y
年
今
年(2)已知该商场去年的利润为2亿元．要确保今年的利润比去年增加1亿元，则该商场今年
的总销售额和总支出分别为多少亿元？（注：利润=总销售额−总支出）
对应练习：
1．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮
妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一
个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元．
(1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
(2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是40%，
求一个“妮妮”的售价 ( 利润 )
. 利润率= ×100%
进价2．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
类
进价 售价
型
A款 m元 120元
B款 n元 90元
若商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；
该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可
获利多少元？3．“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉
灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸
器共需1950元．
(1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元；
(2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器
在进价的基础上加价30%进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出
后共可获利多少元．【解法提炼】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意找到等量关系是解题的
关键．主要利用利润=售价−进价，总售价=售价×数量，总进价=进价×数量
十二.二元一次方程组与几何问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决几何问题..
例1．（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）把10个相同的长方形拼接成一个大长方形（尺寸
如图所示），这个小长方形的宽为 cm．
对应练习：
1．（22-23七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那
样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八
凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为1mm的小正
方形！”设这些小长方形的长和宽分别为xmm和ymm，则依题意可列二元一次方程组为
．2．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成
正方形，4个矩形纸片围成如图①的正方形，其阴影部分的面积为25；8个矩形纸片围成
如图②的正方形，阴影部分的面积为16；12个矩形纸片围成如图③的正方形，求其阴影部
分的面积．
3．（24-25七年级上·福建三明·期末）问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒
的制作”实践活动．
(1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘
米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知AB=3AD，求该长方体纸盒的体积；
(2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明
想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，
求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
【解法提炼】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意找到等量关系是解题的
关键．主要利用小长方形边长与大长方形边长之间关系建立等式
十三.二元一次方程组与方案问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决方案问题.
例1．（24-25七年级下·全国·单元测试） 某中学准备去采购A、B
两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都
不变），如表：
A（件） B（件） 金额（元）
第一次 20 10 1100
第二次 25 20 1750
(1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？
(2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？对应练习：
1．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）解答：
设计烟花采购方案
为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长
已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟
素材1
花需要950元．
某烟花厂提供产品信息如下：
（1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发．
素材2 （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发．
（3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为
40s）
素 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花．
材
（2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常
3 绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间．
问题解决
任 确定单
求A、B型烟花每箱多少元？
务1 价
任
确定方 若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？
案①确定方 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采
务2
案② 购使得燃放时间最长？．
2．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世
界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是
他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题．
“阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表
奖项设
设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案．
置
已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520
成本
元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本．
预算 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且a<30
