文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将集合 中的式子通分成分母为3的式子，然后可判断出答案.
【详解】由题意得， ，
而 表示整数， 表示被3除余2的整数，
故 ，则 ，
故选：B．
2．已知 ， 是关于x的方程 的两个根.若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由 ， 是关于x的方程 的两个根，由韦达定理求出 ，再由复数的模长公式求解
即可.
【详解】法一：由 ， 是关于x的方程 的两个根，得 ，
所以 ，所以 .
法二：由 ， 是关于x的方程 的两个根，得 ，
所以 ，所以 .故选：C.
3．“ ”是“方程 表示的曲线是椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据椭圆标准方程的特征，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】若方程 表示的曲线是椭圆，则 ， ，且 ，
所以 且 ．故“ ”是“方程 表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
故选：C
4．已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用排除法，结合函数性质可得正确选项.
【详解】由图像可知 ，而D选项中 ，∴排除D选项；
又图像不关于原点对称，∴ 不是奇函数，
若 ，函数定义域为R， ， 为奇函数，排除A
选项；
，是奇函数，∴排除C选项.
故选：B．5．如图，正方形 中， 是线段 上的动点，且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据给定图形，用 表示向量 ，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得.
【详解】正方形 中， ，则 ，
而 ，则 ，
又点 共线，于是 ，即 ，而 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：C
6．“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线
这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕
而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这
样的：正方形 的边长为4，取正方形 各边的四等分点 ， ， ， ，作第2个正方形，然后再取正方形 各边的四等分点 ， ， ， ，作第3个正方形 ，依此方法一
直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形 边长为 ，后续各正方形边长依次为 ， ，
…， ，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形 面积为 ，后续各直角三角形面积依次为 ， ，
…， ，…．下列说法错误的是（ ）
A．从正方形 开始，连续3个正方形的面积之和为
B．
C．使得不等式 成立的 的最大值为4
D．数列 的前 项和
【答案】C
【分析】找到规律，得到 ，推导出等比数列，求出通项公式，判断B选项，进而得到从正方形
ABCD开始，连续3个正方形的面积之和，判断A选项，得到 的通项公式，解不等式，判断C选项，
利用等比数列前n项和公式进行判断D选项.【详解】由题可得 ， ， ，……，
，
则 ，所以数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，则 ，显然B正确；
由题意可得： ，即 ， ，……，
于是 ，为等比数列，
对A：连续三个正方形面积之和 ，A正确；
对C：令 ，则 ，而 ，C错误；
对D： ，D正确．
故选：C.
7．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数， 表示事件“第一次正面朝
上的点数为1”， 表示事件“第二次正面朝上的点数为3”， 表示事件“两次正面朝上的点数之和为8”，
表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，则下列说法错误的是（ ）
A． 与 相互独立 B． 与 互斥
C． D．
【答案】D
【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，再结合独立事件、互斥事件与条件概率公
式即可得解.
【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：
，共36个．
依题意，易得 ，
事件 包括 ，共5个， ，
事件 包括 ，共6个， ，
对于A，事件 只有结果 ，则 ，A与D相互独立，故A正确；
对于B，由事件 的基本事件可知，其中不包含“第一次正面朝上的点数为1”的事件，故 与 互斥，故
B正确；
对于C，事件 表示“第二次正面朝上的点数不为3”，事件 同时发生的有 ，共
4件，
所以 ， ，故C正确；
对于D，事件 同时发生的有 ，共1件，所以 ，
，故D错误.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用古典概型的概率公式求得各事件的概率，从而得解.
8．函数 和 的定义域均为 ，且 为偶函数， 为奇函数，对 ，
均有 ，则 （ ）
A．575 B．598 C．621 D．624【答案】C
【分析】由题知 的图象关于直线 对称， 的图像关于点 对称，进而得
、 、 ，从而得到 ，结合 的值，再解方程即可得答
案.
【详解】因为 为偶函数，即 ，
所以， 的图象关于直线 对称，
因为 为奇函数，即 ，
所以 的图象关于点 对称.
因为对于 ，均有 ，
所以 ，
因为 关于直线 对称，所以 ，
因为 关于点 对称，所以 ，
所以， ，
又 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．在研究成对数据的相关关系时，线性相关关系越强，相关系数 越接近于1
B．样本数据：27，30，37，39，40，50的第30百分位数与第50百分位数之和为68C．已知随机变量 ，若 ，则
D．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 和 ， ，
若 ，则总体方差
【答案】ABC
【分析】A由相关系数的实际意义判断；B由百分位数定义求出对应分位数判断；C根据正态分布对称性
判断；D由分层抽样中样本、总体间的均值、方差关系判断.
【详解】A：由成对数据相关性中相关系数实际意义知：相关系数 越接近于1，线性相关关系越强，反
之也成立，对；
B：由 ，则第30百分位数与第50百分位数分别为 ，故和为68，对；
C：由 ，故 ，
根据正态分布对称性： ，对；
D：由题意，总体均值为 ，若两层样本容量依次为 ，
则 ，
当且仅当 时 ，错.
故选：ABC
10．有下列说法，其中错误的说法有（ ）
A．在 中，有 ，则 是钝角三角形.
B．若两条直线 与 没有公共点，则 // .
C．对于任意的向量 ， ， ，都有 .
D．若直线 与平面 内的一条直线平行，则直线 //平面 .
【答案】BCD【分析】利用正弦定理角化边后利用余弦定理可以得到 ,进而判定A;对于空间的两条直线，考虑到
在空间可能有异面的情况，从而判定B;根据向量的数量积的意义和向量的数乘运算的意义可以判定C;对照
考虑到直线a有可能在平面α内，从而判定D.
【详解】在 中，有 ，由正弦定理角化边得： ,由余弦定理得
,所以角 为钝角，故 正确；
若两条直线 与 没有公共点，直线 与 可能是异面直线，故B错误；
对于任意的向量 ， ， ， 都是向量的数量积，结果都是实数，故 等号左边是
与向量 共线的向量，右边是与向量 共线的向量，一般情况下是不相等的，故C错误；
若直线 与平面 内的一条直线平行，则直线 有可能在平面 内，故D错误.
故选：BCD.
11．如图，等边三角形 的边长为4， 为边 的中点， 于 .将 沿 翻折至
的位置，连接 .那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ）
A．
B．四棱锥 的体积的最大值是
C．存在某个位置，使
D．在线段 上，存在点 满足 ，使 为定值【答案】ABD
【分析】由线面垂直的判定及性质判断A；首先确定平面 平面 时，四棱锥 的体积
最大，再由线面垂直的判定找到四棱锥底面 上的高，最后应用棱锥体积公式求体积判断B；假设存
在某个位置，使得 ，连接 ，根据线面垂直的判定、性质证得 ，进而有 得
到矛盾判断C；取 的中点 ，连接 ，由线面垂直的性质得 ，结合已知求 判断D.
【详解】A：因为 ，即 ， ，
因为 ， 面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，正确；
B：当平面 平面 时，四棱锥 的体积最大.
由A易知 为二面角 的平面角，此时 .
即 ， ， ， 面 ，
此时 平面 ，即 为四棱锥底面 上的高，
四棱锥 的体积的最大值为： ，正确；
C：假设存在某个位置，使得 ，连接 ，由正三角形性质得 ，
因为 ， 面 ，所以 平面 ，由 平面 ，所以 ，由A知 ，
因为 ， 面 ，所以 平面 ，
由 平面 ，所以 ，则 ，与题设矛盾，假设不成立，错误；
D：由题设，点 在线段 上，且 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
由底面三角形 的边长为4，则 ， ， ，
因为 平面 ，所以 面 ， 面 ，所以 ，
所以 为直角三角形，且 ， ，故 为定值，正确.
故选：ABD.
12．已知 ，点 为圆 上一动点，过点 作圆 的切线，切点分别为 ，
下列说法正确的是（ ）
A．若圆 ，则圆 与圆 有四条公切线
B．若 满足 ，则
C．直线 的方程为
D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】先由两圆位置关系得到公切线条数，再由圆上的点的三角表示求出 的取值范围，再由切
线求出切点最后得到切点弦方程，最后应用阿氏圆转化为两点间线段最短即可.
【详解】圆 的圆心为 ， ，
对于A：圆 的圆心为 ，半径 ，所以 ，所以两个圆外离，所以有4条公切线，A正确；
对于B：因为 满足 ，所以 是圆 上的点，
所以可令 ，其中 ，
此时 ，B正确；
对于C：若过点 的直线斜率不存在，此时直线为 ，不是圆 的切线，
所以圆 的切线斜率存在，设为 ，则切线方程为 ，
圆心到直线的距离为 ，解得 或者 ，
所以切线方程为 和 ，
联立 ，解得 ，联立 ，解得 ，
所以 （或者 ），
所以 ，直线 ，C错误；
对于D：设 轴上存在点 使得圆上任意的一点点 满足 ，
即 ，解得 ，
所以 ，解得 ，所以存在点 在圆内使得 ，
所以 ，D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：若能熟练掌握圆的切点弦方程和阿氏圆逆定理则能快速判断CD选项.第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在数列 中，若 ，前 项和 ，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题意，求得 ，得到 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由数列 中，因为 ，且 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
则 为 的二次函数，对称轴为 ，故当 或6时取得最大值，
又由 ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
14．已知 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 .
【答案】
【分析】求出展开式有几项，并写出 的展开式的通项，即可得到展开式中的常数项.
【详解】由题意，
在 中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，
∴ ，解得： ，
因此 的展开式的通项为： ，故 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
15．已知 是正数,且函数 在区间 上无极值,则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】辅助角公式化简到 ，只需要满足 在区间 上单调即可.
【详解】∵函数 ，
∴ ，
∵函数 在区间 上无极值，
∴ 在区间 上为单调函数．
若 在区间 上为单调增函数，则 ，解得 ， ．
∵ 是正数，∴ ．
若 在区间 上为单调减函数，则 ，
解得 ， ．
∵ 是正数，∴ ．
综上所述， 或 ．
故答案为： ．
【点睛】这个题考查了三角函数的化一公式，两角和差公式，三角函数的最值极值，是一道比较好的题目.值得一提的是，解题的思想：正难，则反的思想，对于三角函数的最值和零点问题，多数是应用图像的整
体思想，来解决，将相位看作一个整体，放到 中，相当于 的位置去考虑．
16．已知函数 ，若有且仅有两个整数 ，满足 ，则实数a
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先对 全分离，即 ，构造新函数 ，求导求单调性判断最值点，
若有且仅有两个整数使得不等式成立，只需 大于 最小值点附近的两个整数处的函数值，且小于等于
该整数处相邻的整数点处函数值，列出不等式，解出即可.
【详解】解：若 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，记 ，
故只需有且仅有两个整数 使得 成立即可，
所以 ，
记 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，
在 上 ，即 ， 单调递减，
在 上 ，即 ， 单调递增，所以 有最小值 ，
因为 ，且 ，，而 ，
若使 有且仅有两个整数 ，
只需 即可，解得 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：该题考查函数与导数的综合应用，属于难题，关于不等式成立问题的方法有：
（1）对不等式进行全分离，使分母较简单或容易判断正负，以便少分类讨论；
（2）构造新函数，求导求单调性，判断极值点，在草稿纸上画出草图；
（3）根据题意转化为数学语言，建立不等式，解出即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，18^22每题12分.解答应写出必要的文字说明、证明
过程及验算步骤。
17．已知数列 满足： ， .请从① ；② 中选出一个条件，
补充到上面的横线上，并解答下面的问题：
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由 同除以 数列 为等差数列，由 得
得 为等差数列，即可由等差数列的通项求解，（2）根据 得 ，进而由裂项求和可求解.
【详解】（1）若选①，则由 同除以 得， ，
所以数列 为公差为1，首项为 的等差数列，
故 ，故 ，
若选②，则由 得 ，
所以 为公差为2，首项为3的等差数列，
故 ，故
（2）由（1）知 ，所以 ，
，
，
故
18．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边BC上，且点D是靠近C的三等分点，
．
(1)若 ， 的面积为1，求b；
(2)求 的值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式可求得 ，再求得 的值，利用余弦定理可求得 的值；
（2）在 中，利用正弦定理以及诱导公式化简可得出 的值.
【详解】（1）如图，
因为 ， ， ，
则 为等腰直角三角形，且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
则 ， ，
，
在 中，由余弦定理可得:
，
故 .
（2）在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，即 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，即 .
19．如图，在四棱柱 中，底面 和侧面 都是矩形， ，
.
(1)求证： ；
(2)若平面 与平面 所成的角为 ，求三棱锥 的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得出AD⊥CD，AD⊥ ，即可证明AD⊥平面 ，再由线面垂直的判定定理
即可证明；
（2） 取 的中点 ，以 为正交基底建系，设 ，写出各点坐标，分别求出
平面 与平面 的法向量，根据它们所成的锐二面角的大小为 ，利用夹角公式列出方程可求出
，再由体积公式结合等体积法即可得出答案..
【详解】（1）证明：因为底面ABCD和侧面 都是矩形，
所以AD⊥CD，AD⊥ ，又CD∩ ＝D，CD， 平面 ，
⊂
所以AD⊥平面 ，又 平面 ，
⊂
所以 .
（2）取 为 的中点，连接 ，因为AD⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ，
⊂
又因为 ，所以 ，
又AD∩ ＝D，AD， 平面 ，
⊂
所以 平面 ，
取 的中点 ， 为 的中点，底面 是矩形，
所以 ,以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示:
设 ，则 ， ， ， ， ，
，设平面 的法向量 ， ， ．
由 可得： ，令 可得 ， ，所以 ，
设平面 的法向量 ， ， ．
由 可得， ，令 可得 ，所以
由于平面 与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，
所以 ，
可得： ，则 ，
解得 ．
因为AD⊥平面 ， ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以
.
20．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产——腊排骨，并通过该网购平
台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入. 年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户
中随机抽取了 户，统计了他们 年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以
下五组： 、 、 、 、 ，统计结果如下表所示：
所获纯利润（单位：万元）
农户户数（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润 （单位：万元）近似地服
从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .若该县有 万户农户在该
网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润 在区间 内的户数.（每区间数据用该区间的中间值表
示）
（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有 次抽奖
机会，每次抽奖的中奖率均为 .每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，
每次中奖的奖金都为 元.求参与调查的某农户所获奖金 的数学期望.
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
.
【答案】（1） ；（2） 元.
【分析】（1）将频率分布表中每组的中点值乘以对应组的频率，将所得结果全部相加可得出 ，结
合 可得出 ， ，结合参考数据可计算出 的值，再乘以 可
得结果；
（2）设中奖次数为 ，则 的可能取值为 、 、 、 、 、 ，则 ，
由此利用错位相减法可计算得出 的数学期望.
【详解】（1）由题意知：
中间值
频率
样本的平均数为 ，
所以 ，所以 ，而 .
故 万户农户中， 落在区间 内的户数约为 ；
（2）设中奖次数为 ，则 的可能取值为 、 、 、 、 、 ，
则 ，
所以 .
令 ，①
，②
由① ②得： ，
，
所以 （元）.
所以参与调查的某农户所获奖金 的数学期望为 元.
【点睛】本题考查正态分布在指定区间概率的计算，同时也考查了随机变量数学期望的计算，考查了错位
相减求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.
21．设圆 的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过
B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明 为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求
1 1
四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) .【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．
试题解析：（Ⅰ）因为 ， ，故 ，
所以 ，故 .
又圆 的标准方程为 ，从而 ，所以 .
由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：
（ ）.
（Ⅱ）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ， ， .
由 得 .
则 ， .
所以 .
过点 且与 垂直的直线 ： ， 到 的距离为 ，所以
.故四边形 的面积
.
可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 .
当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 的面积为12.综上，四边形 面积的取值范围为 .
【考点】圆锥曲线综合问题
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个
很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多
的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
22．已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
【答案】(1) 在 ， 上单调递增，在 上单调递减
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导后，根据 的正负可确定 的单调性；
（2）（i）将问题转化为 与 有两个不同交点的问题，利用导数可求得 的单调性
和最值，从而得到 的图象，采用数形结合的方式可确定 的范围；
（ii）设 ，根据： ， ，采用取对数、两式作差整理的方式可得 ，通过
分析法可知只需证 即可，令 ，构造函数 ，利用导数可求得 单调性，从而得到 ，由此可证得结论.
【详解】（1）当 时， ，则 ；
令 ，解得： 或 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）（i）由 得： ，
恰有 个正实数根 ， 恰有 个正实数根 ，
令 ，则 与 有两个不同交点，
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
当 从 的右侧无限趋近于 时， 趋近于 ；当 无限趋近于 时， 的增速远大于 的增速，则
趋近于 ；
则 图象如下图所示，当 时， 与 有两个不同交点，
实数 的取值范围为 ；
（ii）由（i）知： ， ，
， ，
，
不妨设 ，则 ，
要证 ，只需证 ，
， ， ，则只需证 ，
令 ，则只需证当 时， 恒成立，
令 ，
，
在 上单调递增， ，
当 时， 恒成立， 原不等式 得证.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本
题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量 ，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数
的方式证明关于 的不等式恒成立.
