文档内容
专题 02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间.................2
题型二：已知函数 在区间 上单调求参数...............3
题型三：已知函数 在区间 上存在单调区间求参数.......5
题型四：已知函数 在区间 上不单调求参数.............7
题型五：已知函数 在单调区间的个数...................9
三、专项训练.............................................11
一、必备秘籍
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
2、已知函数 的递增（递减）区间为
， 是 的两个根
3、已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
4、已知函数 在区间 上存在单调区间
学科网（北京）股份有限公司①已知 在区间 上存在单调递增区间 ， 有解.
②已知 在区间 上单调递区间减 ， 有解.
5、已知函数 在区间 上不单调 ，使得 （且 是变号零点）
二、典型题型
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若 在 和 处有极值，则函数
的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，依题意 且 ，即可得到方程组，从而求出
、 的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为 ，所以 ，
由已知得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，所以函数 的单调递增区间是 .
故选：C．
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导，再由 求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：因为 ，
所以 ，
由 ，即 ，
解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故选：D
3．（2024·北京·模拟预测）已知函数 ，则函数 的单调增区间为
.
【答案】
【分析】根据导函数求单调区间即可.
【详解】函数 的定义域为R， ，令 ，解得 ，所以
函数 的单调递增区间为 .
故答案为： .
4．（2024·广西·模拟预测）函数 的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】先确定函数定义域，利用导数与函数单调性的关系求单调增区间.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
由 得 或 （因为 ，故舍去），
所以 在区间 上单调递增．
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司题型二：已知函数 在区间 上单调求参数
1．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数 在区间 上单调递减，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为 恒成立问题，从而得解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 在区间 上单调递减，
所以 ，即 ，则 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，故 .
故选：A.
2．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数 （ 且 ）在区间 上单
调递增，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数求导后， 在区间 上单调递增，转化为 在区间
上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得.
【详解】由函数 （ 且 ）在区间 上单调递增，
得 在区间 上恒成立，
又 在区间 上恒正，只需满足 在区间 上恒成立即可，
令 ，
若 ，则 ，则一次函数 在区间 上单调递减，不可能恒
正；
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，则一次函数 在区间 单调递增，
所以只需 ，即 ，解得 ，
故答案为： .
3．（22-23高二下·全国·课后作业）函数 在 上的单调递增区间为
.
【答案】
【分析】直接利用导数求递增区间即可.
【详解】由题意得 ，则 ，又 ，
解得 ，所以函数的单调递增区间为 ，
故答案为： .
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数 的图象在区间 上单调
递增，则实数 的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用函数的单调性转化为 在区间 上恒成立，
构造函数 ，利用导数求最小值即可求得 即 .
【详解】因为 ，所以 ．
由 的图象在区间 上单调递增，
可知不等式 即 在区间 上恒成立．
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
故要使 在 上恒成立，只需 ．
由 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司故实数a的取值范围为 ，则a的最小值为 ．
故答案为：
题型三：已知函数 在区间 上存在单调区间求参数
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数 在 上存在单调递
增区间，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在 ，使 成立，即存在 ，使
成立，构造函数 ， ，求出 的最值即可解决问题.
【详解】因为函数 在 上存在单调递增区间，
所以存在 ，使 成立，即存在 ，使 成立，
令 ， ， 变形得 ，因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， ，所以 ，
故选：D．
2．（2023高三·全国·专题练习）若函数 存在单调递减区间，则实
数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先计算出 ,由 存在单调递减区间知 在 上有解即可得
出结果.
【详解】函数 的定义域为 ，且其导数为
学科网（北京）股份有限公司．由 存在单调递减区间知 在 上有解，即
有解．因为函数 的定义域为 ，所以 ．要使
有解，只需要 的最小值小于 ，所以 ，即 ，所以实数 的取值范围是
．
故选:B．
3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数 存在单调递减区间，则
实数 的取值范围为是 .
【答案】
【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可.
【详解】 ，
因为函数 存在单调递减区间，
所以存在 ，使得 小于零，
所以导函数的判别式 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为是 ，
故答案为： .
4．（2024高二·全国·专题练习）若函数 存在增区间，则实数 的取值范
围为 .
【答案】
【分析】由题意知，存在 使得 ，利用参变量分离法得出 ，利用基
本不等式在 时的最小值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】 ，定义域为 ， ，
由题意可知，存在 使得 ，即 .
当 时， ，
所以， ，因此，实数 的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
题型四：已知函数 在区间 上不单调求参数
1．（2024高三下·全国·专题练习）若函数 在 上不是单调函
数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】先将问题转化成求 或 在 上恒成立，注意到 ，从
而转化成 在 上恒成立，从而求得 ，再求其补集，即可解决问题.
【详解】若 在 上单调函数，则 或 在 上恒成立，
由题意， ，注意到 ，所以只能 恒成立，即
在 上恒成立，
所以 ，解得： ，
因为 在 上不是单调函数，所以 的取值范围是 .
故答案为： .
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数 在区间 上不是单
调函数，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】求导，根据导函数的正负与单调性的关系将问题转化为 在区间 上
有解，即可分类讨论求解.
【详解】函数的导数
，
若 在区间 上不是单调函数，
则 在区间 上有解，
由 在区间 上有解，
即 在区间 上有解，
学科网（北京）股份有限公司若 ，显然不符合题意；
若 ，即 ，即
此时 ，
若 在区间 上有解，
则 ，平方得 ，即 ，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
3．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数 在其定义域的一个子区间
上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解.
【详解】由题意 单调递增，且 ，
所以若函数 在其定义域的一个子区间 上，不是单调函数，
则 ，解得 .
故答案为： .
4．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 在 上不是单
调函数，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数 在 内存在极值点，根据导函数 在 上单调递
增可得出关于实数 的不等式组，解之即可.
【详解】因为 ，则 ，
因为函数 在 上不是单调函数，则函数 在 内存在极值点，
又因为函数 在 上是增函数，
所以， ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
题型五：已知函数 在单调区间的个数
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数 恰有三个单调区间，则实数
a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.
【详解】由题意得函数 的定义域为 ， ，
要使函数 恰有三个单调区间，
则 有两个不相等的实数根，∴ ，解得 且 ，
故实数a的取值范围为 ，
故选：C.
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）若函数 有三个单调区间，则实数
a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 有两个不相等的实数根求得 的取值范围．
【详解】 ，
由于函数 有三个单调区间，
∴ 有两个不相等的实数根，∴ ．
故选：C．
3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 在 上有三
个单调区间，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】BD
【分析】将问题等价于 在 有两个不同的实数根，进一步转化为
在 有唯一不为1的根，构造函数 ，求导得单调性即可求解.
【详解】由题意可知函数在 上有三个单调区间，等价 在 有两
个不同的根. ，令 ，则 ，
即 在 有唯不为1的一根，则有 有唯一不为1的根，
令 ，则 ，故当 单调递增，
当 单调递减，且
即 ，
故选：BD
4．（23-24高三·全国·对口高考）设函数 恰有三个单调区间，试确定a的取
值范围．
【答案】 .
【分析】根据导数与函数的单调性的关系，分 和 讨论结合条件即得.
【详解】由题可知 的定义域为R， ，
若 ，则 恒成立，此时 在R上单调递增，即只有一个单调区间，
不符题意；
若 ，由 解得 ，
由 解得 或 ，
此时 在 上单调递增，在 与 上单调递减，共有
三个单调区间，符合题意；
所以a的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司三、专项训练
1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数 ，则 的单调递增
区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调
递增区间．
【详解】由 得： ，即 的定义域为 ；
因为 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以 的单调递增区间为 ．
故选：A.
2．（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知 在 上单调递增，则 的取值范围
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 在 上恒成立，分离参数，结合函数的单调性，
即可求得答案.
【详解】由 在 上单调递增，
得 在 上恒成立，
即 ， 恒成立，而 在 上单调递增，即 ，
故 ，
故选：A
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 在定义域内单调递增，则实
数 的取值范围为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 在 上恒成立，即 在
上恒成立．利用二次函数的性质求出 在 上的最大值即可得答案.
【详解】解： 的定义域为 ，且 在定义域内单调递增，
在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
令 ，
，
，
即实数 的取值范围为 ．
故选：B
4．（23-24高二下·广东清远·期中）已知函数 ，则 的单调递减
区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数求导，求得导函数的零点，结合函数定义域，由 即可求得.
【详解】由 求导得， ，
因 ，由 可得 ，即 的单调递减区间是 .
故选：B.
5．（23-24高二下·重庆·期中）若函数 在区间 上单调递增，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据函数的区间单调性，将问题化为 在 上恒成立，即可求参数的
取值范围.
【详解】由 得 ，
当 在区间 上单调递增时，即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
对应函数 在 上单调递减，则 ，故 .
故选：A
6．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）若函数 在其定义域内的一个子区
间 内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数求出函数的单调区间，然后列不等式求解即可
【详解】 ，故 ，
且 ．
由 ， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
若 在 内不是单调函数，则 解得 ，
故选：C．
7．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数 在区间 内存在单
调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 在 有解，结合参变分离，即可求得参数范围.
【详解】 ，若 在区间 内存在单调递增区间，
则 在 有解，故 有解，
而 在 递增， ，故 .
故选：A.
8．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 在区间 上单调递
减，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可知，对任意的 ， ，由参变量分离法可得 ，利用导数求出
函数 在 上的值域，即可得出实数 的最小值.
【详解】由 得 ，
因为函数 在区间 上单调递减，则对任意的 ， ，
可得 ，
令 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，当 时， ，
即 ，所以， ，故 的最小值为 .
故选：B.
9．（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数 ，
若 在区间 上单调递减，则 可以取到的整数值有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据条件，将问题转化成 在区间 上恒成立，构造函数 ，
求出 的最小值，即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
由题知 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
令 ，则 在区间 上恒成立，
即 在区间 上单调递增，所以 ，故 ，即 ，
故选：AB.
10．（多选）（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数 在区间 上存在
单调递减区间，则 可能的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】CD
【分析】求得 ，根据题意，转化为即 在 有解，设
，利用导数求得函数 的最小值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
因为函数 在区间 上存在单调递减区间，
即 在 有解，即 在 有解，
设 ，可得 ，
所以函数 单调递增，所以 ，即 ，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
11．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数 ，若 在区间
上单调递减，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求得 的导函数，进而求得函数 的单调递减区
间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于 的不等式组，求解不等式组即可
学科网（北京）股份有限公司求得实数m的取值范围.
【详解】因为 ，
令 ，可得 ，
所以要使函数 在区间 上单调递减，
则区间 是区间 的子区间，
所以 ，求解不等式组可得： ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故答案是： .
12．（2024高三下·全国·专题练习）若函数 在区间 上单调
递增， 则 的最小值为 .
【答案】
【分析】由函数 在区间 上单调递增，转化为
对 恒成立，求参数的取值范围即可.
【详解】因为函数 在区间 上单调递增，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
与目标式 比较，令 ，得 ，
因此令 (等比例赋值法),
则 . ( 时等号成立).
所以 的最小值为 .
故答案为：
13．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数 在 上存在单
调递增区间，则实数 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】函数 在 上存在单调递增区间，转化为 在 上有解，利用
二次函数的性质求实数 的取值范围．
【详解】函数 在 上存在单调递增区间，
由 ，则 在 上有解．
令 ，因为 ，所以只需 或 ，
即 或 ，解得 ．
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
14．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数 在区间[1,2]上存在单调
递增区间，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】 在区间 上存在单调递增区间转换成 在 上能成立，分离参数
得 ，转换成求函数 最小值，从而得实数 的取值范围.
【详解】因为 ， ， ，
若 在 上存在单调递增区间，则 在 上有解，
即 在 上有解， ，
又 ， ，则 的取值范围是： .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
