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第二十六章 反比例函数（6 大压轴考法 100 题专练）
目录
题型一：反比例函数的图象..............................................................................................1
题型二：反比例函数的性质............................................................................................12
题型三：反比例函数k的几何意义..................................................................................20
题型四：反比例函数的解析式........................................................................................38
题型五：反比例函数与一次函数综合............................................................................105
题型六：反比例函数与几何综合............................................................................171
题型一：反比例函数的图象
1．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，在并联电路中，电源电压为 ，根据“并联电路分流
不分压”的原理得到： ．已知 为定值电阻，当R变时，路电流 也会发
生变化，且干路电流 与R之间满足如下关系： ．
(1)【问题理解】
定值电阻 的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数 来探究函数 的图象
与性质．
①列表：下表列出 与R的几组对应值，请写出m的值： ________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以 相对应的值为纵坐标，描出相
应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】
观察图象发现：函数 的图象是由 的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】
若关于x的方程 在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
【答案】(1)
(2)① ；②见解析
(3)上；1
(4)0或 或
【分析】（1）由题意中 和 代入求值即可．
（2）①观察图表，利用 计算即可；②根据图表的数据，利用描点法画图即可．
（3）利用函数解析式的变化规律与函数图像的平移规律解答即可．
（4）利用函数与方程的关系，结合图像分析根的情况，最后利用一元二次方程根的判别式计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴
（2）①解：当 时，
∴ ，∴
②先描出点 ， ， ， ，再顺次连接这些点即可画出所求函数图象
（3）解：当 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
结合图像，所以函数 的图象是由 的图象向上平移1个单位．
（4）解：由函数与方程的关系可知，
当 时， 的函数图像在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当 时， 的函数图像在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当 时， 的图像恰好有两个交点．
∴ 或 或 ．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，利用函数与方程的关系解方程，掌握描点法画图以及函数与方程
的关系，根的判别式是解决本题的关键．
2．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”．
(1)判断下列函数是“五好函数”吗? 如果是，请在括号里打“ ”，如果不是则打“ ”；
， ；
(2)求出“五好函数” 的“五好距”；
(3)①已知“五好函数” 左侧的“五好点”位于 和 之间(含
A，B 两点),求 a 的取值范围；
②不论m取何值，不等式 恒成立，在①的条件下，函数
(b为常数)的最小值为 ，求b的值．
【答案】(1)① ；②
(2)4
(3) 或
【分析】（1）根据解析式判断函数图象与x轴的交点情况，再根据“五好函数”的定义进行判断；
（2）利用因式分解法求出 的两个根，即可求解；
（3）①由（2）可知函数G的图象与x轴的交点坐标，根据左侧的“五好点”的位置即可求解；②根据不
等式 恒成立，可得关于m的一元二次方程 没有实
数根，根据 求出b的取值范围，将 看作y关于a的二次函数，化为顶点式，分
和 两种情况，结合函数的对称轴和增减性即可进行解答．
【详解】（1）解： 的图象与x轴没有交点，不是“五好函数”；
中， ，
有两个不相等的实数根，
的图象与x轴有2个不同的交点，是“五好函数”，
故答案为：① ；② ．
（2）解： 是“五好函数”，
有两个不相等的实数根，
因式分解，得 ，
解得 ， ，
的图象与x轴的交点坐标为： ， ，“五好距”为 ；
（3）解：①由（2）知 的图象与x轴的交点坐标为： ， ，
左侧的“五好点”为 ，
左侧的“五好点”位于 和 之间(含 A，B 两点),
，
；
②令 ，
不论m取何值，不等式 恒成立，
该函数图象开口向上，与x轴没有交点，
关于m的一元二次方程 没有实数根，
，
解得 ，
函数 ，
该函数图象开口向上，
当 时，
此时 时，函数有最小值 ，
函数的最小值为 ，
，
解得 ；
当 时，
函数 的对称轴为直线 ，
当 时，y随a的增大而减小，当 时，y随a的增大而增大，
， ，
，
时，函数取最小值，
最小值为 ，
解得 或 （舍），
综上， 或 ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌
握二次函数图象与x轴交点坐标的求法，根据二次函数的对称轴分析增减性和最值．
3．（23-24九年级上·山东临沂·期末）小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中
放置一个物体，在右边托盘 （可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为 ．在容器中加入一
定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘 与点 的距离 ，记录容器中加入的水的
质量，得到下表：
托盘 与点 的距离
30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的 与 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，
得到如图所示的 关于 的函数图象．
(1)请在该平面直角坐标系中作出 关于 的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测 与 之间的函数关系，并求 关于 的函数表达式；
②求 关于 的函数表达式；
③当 时， 随 的增大而______（填“增大”或“减小”）， 随 的增大而______（填“增
大”或“减小”）， 的图象可以由 的图象向______（填“上”或“下”）平移得到．
(3)若在容器中加入的水的质量 满足 ，求托盘 与点 的距离 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)① 是 的反比例函数， ；② ；③减小，减小，下；
(3)【分析】本题主要考查了反比例函数及画图等．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象的画法，反比
例函数的性质，反比例函数图象的平移．
（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；
（2）①观察表格数据可知， 是x的反比例函数，设 ， 把 代入计算， 得到 ，
即可；②根据 与x成反比例函数，设 ， 即可得解；③根据图象上函数值随自变量
的变化情况作答即可；
（3）把 代入 计算即可．
【详解】（1）解：作出 关于 的函数图象如下：
（2）①观察表格可知， 是 的反比例函数，
设 ，
把 代入得： ，
∴ ，
∴ 关于 的函数表达式是 ；
②∵ ，
∴ ；
∴ ；
③观察图象可得，
当 时， 随 的增大而减小，
随 的增大而减小，
的图象可以由 的图象向下平移5个单位长度得到；
故答案为：减小，减小，下；（3）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．（24-25九年级上·重庆万州·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以每
秒2个单位的速度沿折线 运动，当它到达 点时停止运动；同时，点 从点 出发，以每
秒1个单位的速度沿射线 运动，过 点作直线 平行于 ，点 为直线 上的一点，满足 的面
积为2，设点 、点 的运动时间为 ， 的面积为 ， 的长度为 ．
(1)分别求出 ， 与 的函数关系，并注明 的取值范围；
(2)在坐标系中画出 ， 的函数图象，并写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当 时 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过 ）
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3) （右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9）
【分析】本题考查了函数的综合题，函数与动点问题，画函数图象，比较函数值的大小，正确理解图形中
的动点问题是解题的关键．
(1)根据三角形面积公式直接求解析式即可；
(2)利用描点法画出函数图象；
(3)当 时，即为 的图象在 图象的上方，观察图象，即可得到答案．
【详解】（1）解：当点 在线段 上时，当点 在线段 上时，
当点 在线段 上时，
综上所述，
的面积为2
（2）解：函数图象如图所示：
（3）解：观察图象可知 时， 的取值范围为： （右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9）．
5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）新定义：A是函数y的图象上一点，过A做一条直线l，如果函数y
的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l
叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．
(1)①若一次函数 的一个“和谐点”是 ，则过A的“和谐线”是直线 ；
②反比例函数 的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ；
③二次函数 的“和谐点”是点 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B，C均在坐标轴上， ，对角线 ， 相交于点D，已知函数 的图象经过点A，函数 的“和谐点”在矩形 的边 上，
若函数 的图象与直线 的另一个交点为点E，且 ，求a的取值范围．
【答案】(1)① ；② 和 ； ；③
(2)a的取值范围为 且 ．
【分析】（1）①求出“和谐线”与 轴的交点，再用待定系数法求“和谐线”解析式即可；②根据题意得，
反比例函数 的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点的对称轴，得到
“和谐线”是直线 ，再联立函数即可求出“和谐点”；③根据题意得，二次函数 的
“和谐点”是其图象的顶点，再将二次函数解析式化为顶点式即可解答；
（2）根据函数 的“和谐点”在矩形 的边 上，且图象经过点A，可得 ，
联立 和直线 解析式，得到方程 ，由根与系数的关系得到
，再结合 求解a的取值范围即可．
【详解】（1）解：①画出一次函数 及其“和谐线”，
设 与 轴交于点 ，“和谐线”与 轴交于点 ，
对于 ，令 ，则 ，
解得： ，
，
，
， ， ，
由题意得， ，即 ，
，
，解得： ，
，
设直线 的解析式为 ，
代入 和 得， ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
即过A的“和谐线”是直线 ；
②根据题意得，反比例函数 的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点
的对称轴，
“和谐线”是直线 ，
联立 ，
解得： 或 ，
反比例函数 的“和谐点”是点 和 ；
③根据题意得，二次函数 的“和谐点”是其图象的顶点，
，
二次函数 的顶点为 ，
即二次函数 的“和谐点”是点 ．
故答案为：① ；② 和 ； ；③ ．
（2） 矩形 对角线 ， 相交于点D，
，即点D是 的中点
，O(0,0)，
，函数 的“和谐点”在矩形 的边 上，
函数 的顶点在边 上，
，
，
函数 的图象经过点A，
代入 到 得， ，
，
函数 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
消去 整理得： ，
函数 的图象与直线 的另一个交点为点E，
方程 的两根为点A和点E的横坐标，记为 、 ，
由一元二次方程根与系数的关系得， ，
又 ，
，
，
，且点A、E、D共线，
，
，
解得： ，又 ，
，
解得： ，
综上所述，a的取值范围为 且 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，阅读与理解能力，求两函数的交点，二次函数与
一元二次方程的关系，勾股定理等知识，运算量较大，理解题意中的概念将“和谐点”转化为其图象与对
称轴的交点是解题的关键．
题型二：反比例函数的性质
6．（22-23八年级下·江苏南京·期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把
这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数 和 ，则函数 ， 的“和函
数” ．
(1)已知函数 和 ，这两个函数的“和函数”记为 ．
①写出 的表达式，并求出当x取何值时， 的值为 ；
②函数 ， 的图象如图①所示，则 的大致图象是______．
A． B． C． D．(2)已知函数 和 ，这两个函数的“和函数”记为 ．
①下列关于“和函数” 的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项）
A． 的图象与x轴没有公共点
B． 的图象关于原点对称
C．在每一个象限内， 随x的值增大而减小
D．当 时，随着x的值增大， 的图像越来越接近 的图象
②探究函数 与一次函数 （ 为常数，且 图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，
直接写出结论．
【答案】(1)① ， 或 ；②C；
(2)①BD；②当 且 且 时，公共点的个数为2；当 或 时，公共点的个数为1；当
时，公共点的个数为0
【分析】（1）①直接代入求解即可；
②通过求 在一三象限的最值确定函数图象；
（2）①根据函数 的性质依次判断即可；
②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解．
【详解】（1）①解：∵ ， ，
∴ ，
把 代入得： ，
两边同乘 ，得： ，
解得 ， ，经检验， ， 都是方程的解．
所以当 或 时， 的值为 ；
②由完全平方公式可知： ， ， ，即 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
∴ ， ，
观察四个函数图象，C选项符合题意，
故选：C；
（2）①解：∵ ， ，
∴ ，
A．当 时， ，所以图象与x轴有公共点，该选项错误；
B．任选 上的一点 ， ，P关于原点对称点 ，代入 得出
成立，故 在 上，所以 的图像关于原点对称，该选项正确；
C．当 时， ，当 时， ，此时y随x的增大而增大，该选项错误；
D． ，随着x的增大， 越趋近于0，即 和 的图象越接近，该选项正确，
故选：BD；
②解：根据题意可得： ，
即 ，该方程 ，
当 且 且 时，公共点的个数为2；
当 或 时，公共点的个数为1；
当 时，公共点的个数为0．
【点睛】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键．7．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它与直线
交于点 ， .
(1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求 的值；
(2)当 时，求函数值 的取值范围；
(3)观察图象，直接写出当 时，自变量 的取值范围.
【答案】(1)图见解析， ；
(2)当 时， ；
(3) 或 .
【分析】（1）根据反比例函数的图像关于原点对称即可画出另一支，将点 代入 中，得到反比
例函数解析式，再代入 ，即可求得m的值；
（2）直接根据反比例函数的增减性即可求解；
（3）画出一次函数的图象，根据图象即可解答．
【详解】（1）解：如图；将 代入 中，得 ，将 代入 中，得 ；
（2）解：当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ；
（3）解： 的图象与直线 交于点 ， ，作图如下：
由图可得：当 时自变量的取值范围： 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想是解
题的关键．
8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数 的图象上，且 ．
1 1 2 2
(1)直接写出 ， 的大小关系；
(2)如图，过点 作矩形 ， 为对角线 的交点，且 轴于 ，连接 ．①求证： 三点共线；
②若 ， ，求 的度数（用 的代数式表示）．
【答案】(1) ；
(2)①证明见解析；② ．
【分析】（ ）根据反比例函数的性质即可判断求解；
（ ）①由 ， ，四边形 为矩形，可得 ， ，设直线 的解析
式为 ，把 代入可得 ，再把 代入得 ，得到点 在直线 上，
即可求证；
②由矩形的性质可得 ， ，进而得 ，再由 轴于 ，得到 轴，即
得 ，即可得到 ，进而由三角形外角性质得到
，又由 可得 ，得到 ，最后根据角的和差
关系即可求解；
本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，正比例函数图象上点的坐标特征，平行的性质，等腰三角形
的性质，三角形外角性质，掌握反比例函数与正比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴在每一象限内， 的值随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ；
（2）解：①证明：∵ ， ，四边形 为矩形， 轴于 ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
∴ ，∴直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
∴点 在直线 上，
∴点 三点共线；
②解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 轴于 ，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
9．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）定义：平面直角坐标系 中，若点 ，点 ，其中
为常数，且 ，则称点 是点 的“ 级变换点”．例如，点 是点 的“ 级变换点”．
(1)函数 的图象上是否存在点 的“ 级变换点”？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；
(2)点A为直线 上的一点，它的“ 级变换点” 在直线 上，在 ， 上分别取点 ，
．若 ，求证： ；
(3)若关于 的二次函数 的图象上恰有两个点 ， ，这两
个点的“1级变换点”都在直线 上，并且同时满足：① ，② ，求 的取
值范围．
【答案】(1)存在，
(2)见解析
(3)【分析】（1）先求出 的“ 级变换点”的坐标，在代入反比例函数关系式，即可求得答案；
（2）设A的坐标为 ，则点 的坐标为 ，所以，点 在直线 上，得
， ，则 ，再由 即可求得 的最
小值；
（3）先求点 、 的“1级变换点”的坐标，然后代入 ，求得点A、 所在的直
线为 ，所以抛物线与直线 的交点为 ， ，再根据一元二次方程根与系
数的关系逐步求得 ，同时由 ， ，逐步推得 ，令 ，
进一步化简得 ，最后根据二次函数的最值求法，即可得到答案．
【详解】（1）存在，理由：由题意得， 的“ 级变换点”为 ，将 代入反比例函数表
达式得： ，
解得： ；
（2）证明：点A在直线 上，所以设A的坐标为 ，则由题意得，点 的坐标为
，所以，点 在直线 上，
则 ， ，
则 ，
∵ ，则 ，即 ；
（3）解：点 、 的“1级变换点”坐标为 、 ，
将 、 代入 得 ，
则 ，即点A在直线 上，同理可得，点 在直线 上，
即点A、 所在的直线为 ，
∴抛物线 与直线 交点为 ， ，
∴ 、 是一元二次方程 的两个根，
由 ， 可知， ， ，
∴ ，， ，
∴ ，
由 ， 可知， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
令 ，则 ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关
系，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
题型三：反比例函数k的几何意义
10．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，反比例函数 的图像与矩形 的边 、 分
别相交于点D、E，连接 、 ，直线 与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是
（ ）
①
②
③
④）若 ， ，则 ．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D【分析】本题考查反比例函数图像与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质等知识，运用数形结合
思想是解答的关键．根据相关知识逐个分析即可作出判断．
【详解】解：设 ，则 ， ，
①∵点D、E在反比例函数 的图像上，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，故②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，故③正确；
④由 得
，
则 ，又 ，
∴ （负值舍去），故④正确，
综上，正确的结论为①②③④，
故选：D．
11．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的对角线OB在x轴上，
顶点A在反比例函数 的图象上，若菱形 的面积为6，则k的值为（）A． B．6 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k
的几何意义是正确解答的前提．连接 交 于 ，由菱形的性质可知 ，根据反比例函数
中 的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出 的值．
【详解】连接 交 于 如图：
四边形 是菱形，
，
菱形的面积 ，
顶点 在反比例函数 的图象上，
解得∶ ．
故选∶D．
12．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在函数 的
图象上，点 在点 左侧，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 并延长，交 轴于
点 ，连接 ，若 ， ，则 的值为 ．【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数 值的几何意义，待定系数法求解析式，相似三角形的判定的性质，掌
握反比例函数图象的性质，比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键．
如图所示，过点 作 于点 ，作 轴于点 ，可得 ， ，设
，用含 的式子表示点 的坐标，由此可得直线 ， 的解析式， 从而求出 的
坐标，分别求出 的长，再根据
可求出 的值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，且在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，即点 的纵坐标为 ，∴点 的横坐标为 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，，整理得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴负半轴上，
函数 的图象经过顶点 和对角线 的中点 ，作 交y轴于点N，若 的面积
为6，则k的值为 ．
【答案】
【分析】解：本题考查了反比例函数的图象与菱形的综合问题，涉及三角形的面积、中线的性质、反比例
函数的几何意义等知识，先表示出直线表达式，由中线的性质和反比例函数的表达式即可得出答案，熟练
掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，延长 交y轴于点F，
∵点 是菱形对角线 的中点，
∴点 三点共线． 轴
设点 ，则 ，
故直线
故直线点 是 的中点，
故答案为： ．
14．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点B、C在第
一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数 （ ）的图象于点D，若 ，平行四边形
的面积为18，则k的值为 ．
【答案】40
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义．
过点D作 轴于N，过点B作 轴于M，可得 ，设 ， ，则 ，
根据 的面积为18表示出 的长度，从而表示出点C的坐标，由 得到 ，根据
求出 的长，从而表示出点D的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出．
【详解】过点D作 轴于N，过点B作 轴于M，∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴点C的坐标为
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴D点坐标分别为 ，
∵点 ， 都在反例函数 的图象上，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：40
15．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A，B分别在反比例函数 与 的
图像上，连接 ， ， ，且 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数 值的几何意义，以及相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点 作
轴于点 ，过点 作 轴于点 ，证明 ，根据 ，求出 ，
从而得到相似比，进而求出两个三角形面积比，得到 的值，即可解题．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
， ，
，
，
，
，
，
，即 ,设 ， ，则 ，
，
，
，
故答案为： ．
16．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点A，C分别在坐标轴上，且四
边形 是边长为3的正方形，反比例函数 的图像与 边分别交于E，D两点，
的面积为4，点P为y轴上一点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质
等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
由正方形 的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得 ， ，根据三角
形的面积列方程得到 ， ，作E关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于P，则 的长
的最小值，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵正方形 的边长是3，
∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，
∴ ， ，
， ，
∵ 的面积为4，，解得： 或 （舍去），
∴ ， ，
作E关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于P，则 的长 的最小值，
∴ ，
∴ ， ，
，即 的最小值为 ．
故答案为 ．
17．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，曲线l是由函数 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆
时针旋转 得到的，过点 ， 的直线与曲线l相交于点M，N，若 的面积
是 ，则k的值为 ．
【答案】5
【分析】由题意 ， 可知： ，建立新的坐标系： 为 轴， 为
轴，设 ， ，利用根与系数的关系和 的面积是3，可得结论．
【详解】解：连接 ， ，过A作 轴于 ，过 作 轴于 ，如图所示：点 ， ，
， ，
， ，
同理得： ， ，
，
，
函数 在第一象限内的图象绕坐标原点 逆时针旋转 ，
建立新的坐标系： 为 轴， 为 轴，
则旋转后的函数解析式为： ，
在新的坐标系中， ，B(4,0)，
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
设 ， ，
由 得： ，
， ，
，
整理得 ，
，
，，
，
；
故答案为：5．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，反比例函数的性质，一次函数，根与系数的关系，旋转的性质，解题的关键
是数形结合，建立新的坐标系．
18．（24-25九年级上·全国·期末）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 ，对于任意的函数值 ，
都满足 ，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的上确界．
例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是 ．
(1)分别判断函数 和 是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；
(2)如果函数 的上确界是 ，且这个函数的最小值不超过 ，求 的取值范围；
(3)如果函数 （其中 ）是以 为上确界的有上界函数，当 时，
求实数 的取值范围．
【答案】(1) 不是有上界函数； 是有上界函数，函数的上确界为 ；
(2)
(3)
【分析】（ ）根据有上界函数函数的定义和上确界定义分析即可；
（ ）根据函数的上确界和函数增减性得到 ，函数的最小值为 ，根据 ，函数的最小值不
超过 ，列不等式求解集即可；
（3）当 时， ，此时二次函数的对称轴为直线 ，且函数开口向下，可得当 时，最大值为1；当 时，函数的最大值即为 ；当 时，最大值为 ；当
时， ，此时二次函数的对称轴为直线 ，且函数开口向下，当
，即 时，最大值为 ；当 ，即 时，函数的最大值即为 ；当
，最大值为 ；据此可得当 时，函数 （其中 ）的最大值为
1，此时不满足函数是以 为上确界的有上界函数；当 时，函数 的最大值为
，函数 的最大值为 ，当 时，函数 的最大值为
，函数 的最大值为 ，当 时，函数 的最大值为 ，
函数 的最大为 ，三种情况结合函数是以 为上确界的有上界函数，且 建
立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数解析式为 ， ，
∴反比例函数 的图象经过第二象限，当 时， 的值随着 的增大而增大，
∴函数值没有上确界，
∴ 不是有上界函数；
∵一次函数解析式为 ， ，
∴ 的值随着 的增大而增大，
∴x<2时，函数值小于 ，
∴函数 是有上界函数，函数的上确界为 ；
（2）解：∵在 中， ，
∴ 随 的增大而减小，
∵ ，
∴函数的最大值为 ，最小值为 ，
∵函数 的上确界是 ，
∴ ，
∵这个函数的最小值不超过 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
综上所述， ；
（3）解：当 时， ，
∴此时二次函数的对称轴为直线 ，且函数开口向下，
当 时，则当 时，函数有最大值，最大值为1；
当 时，函数的最大值即为 ；
当 时，则当 时，函数有最大值，最大值为 ；
当 时， ，
∴此时二次函数的对称轴为直线 ，且函数开口向下，
当 ，即 时，则当 时，函数有最大值，最大值为 ；
当 ，即 时，函数的最大值即为 ；
当 ，即 时，则当 时，函数有最大值，最大值为 ；
∴当 时，函数 （其中 ）的最大值为1，此时不满足函数是以 为
上确界的有上界函数；
当 时，函数 的最大值为 ，函数 的最大值也为 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴此时 ；
当 时，函数 的最大值为 ，函数 的最大值为 ，
∵ ，
∴当 时，此时 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；当 时，函数 的最大值为 ，函数 的最大为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
综上所述， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，求不等式组的解集，一次函数和反比例
函数的增减性等等，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
19．（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数 上有两点 ，
， 轴交 轴于点 ， 轴交 轴于点 ，则 _____， _____， 与
的位置关系为：_________．
【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当 ， 是双曲线 同一支上任意两点，过 、
分别向 轴、 轴作垂线，交 轴于点 ，交 轴于点 ，连接 、 ．
①试探究 与 面积的关系并说明理由；
②试探究 与 之间的位置关系并说明理由．
【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点 ， 在反比例函数 的图像上，且 ，
则是反比例函数 第三象限内图像上的一动点，过点 作 轴，过点 作 轴，垂足分
别分为 、 ，若四边形 的面积为45，求点 的坐标；
【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数 的图像与过原点 的直线相交于 ， 两
点，点 是此函数第二象限内图像上的动点（点 在点 的右侧），直线 分别交于 轴、 轴于点 、
，连接 分别交 轴、 轴于点 、 ．若 ，求 的值？【答案】【感知】16，16，平行；【探究】①相等，②平行；【运用】 ；【拓展】 ．
【分析】【感知】如图，延长 ，交 延长线于 ，根据点 ， 坐标得出 ，
，利用三角形面积公式求出 、 的值，得出 和 都是等腰直角三角形，
可得 ，即可证明 ，可得答案；
【探究】①根据反比例函数 的几何意义即可得出 ；
②根据 得出对应高相等，可得四边形 是矩形，即可证明 ；
【运用】连接 ，设 ，根据 ， 可得
，根据点 在反比例函数图像上可求出 的长，进而求出 的值，即可得答
案；
【拓展】作 交 于 ，作 于 ，作 于 ，根据平行线分线段成比例得出
，根据反比例函数图像中心对称的性质得出 ，利用平行线分线段成比例即可得答案．
【详解】解：【感知】如图，延长 ，交 延长线于 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， 和 都是等腰直角三角
形，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的位置关系为：平行．
故答案为：16，16，平行【探究】①如图，连接 、 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ．
②过点 作 于 ，过点 作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ 边上的高相等，即 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
【运用】如图，连接 ，设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 ， 在反比例函数 的图像上，且 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．【拓展】如图，作 交 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是过原点的直线，点 ， 在反比例函数的图像上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、反比例函数 的几何意义、平行线的判定、等腰直角三角形的
判定及矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
题型四：反比例函数的解析式
20．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点 ， ，反比例函数 经过点 ，点 在线段
上，过点 作直线 与 轴平行，交反比例函数图像于点 ，再分别过点 和点 作 轴垂线，所形
成的矩形的面积的最大值是（ ）A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】将 代入 ，求得 ，待定系数法求直线 的解析式为 ，设 ，
则 ， ，则 ，矩形的面积为
，根据二次函数的图象与性质求最值即可．
【详解】解：将 代入 得， ，
解得， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴矩形的面积为 ，
∵ ， ，∴当 时，矩形的面积最大，最大为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数
解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例
函数解析式，一次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的一个顶点O在坐标原点，
且 ，反比例函数 的图象经过点B和点C，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点 坐标为 根据等角的余角相
等，可得 ，依据点 坐标，可得 ，再利用平移性质，可得点 坐标，点 、 同
在反比例函数图象上，建立关于 的方程 ，联立方程组得 、 值， 值即可算出．正确
表示点的坐标是解题的关键．
【详解】解：过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 ，
，
，
设点 ，
，，
四边形 是矩形，
点 可看作是由点 平移得到的，
点 可看作是点 向左平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度，
，
点 、 都在反比例函数图象上，
，即 ，
，
，
， ，
．
故选： ．
22．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，矩形 ，点 的坐标为 ，点 在 轴上，
， ．若反比例函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C．30 D．48
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，相似三角形的判定与性质，过点C作 轴于点E，
证明 ，可求出 从而可得 ，进一步得出 ．
【详解】解：如图，过点C作 轴于点E，在矩形 中， ，，
∵ ，
，
，
，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
，
，
，
，
，
∴点 的坐标为 ，
∵反比例函数 的图象过点 ，
故选：B．
23．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分
别交于A、B两点．正方形 的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数 的图象上．
若正方形 向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】过D、C分别作 轴， 轴，垂足分别为E、F， 交反比例函数的图象于G，易证
，则可求 ， ，确定函数解析式 ，点C向左平移n个单位
后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值．
【详解】解：过D、C分别作 轴， 轴，垂足分别为E、F， 交反比例函数的图象于G，
∵A，B为函数 与x轴、y轴的交点．
∴当 时， ；当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
∵ 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
在 和 中
∴ ，同理可证得： ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
把 ，代入 中，
解得： ，
把 代入 中，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，
给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键．
24．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，点A在双曲线 （ ， ）上，点B在直线l：
上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形 是菱形时，则k的值
为 ．
【答案】
【分析】设 交x轴于点D，在一次函数中， 时， ，得到 ， ，根据菱形性质
得到 ，根据轴对称性质，得到 ， ，根据勾股定理得到 ，得到
，推出 ．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，菱形的性质，轴对称
性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
【详解】设 交x轴于点D，如图，在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵A与B关于x轴对称，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
25．（23-24九年级上·四川成都·期末）新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该
三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，
在平面直角坐标系中， 为“鲲鹏三角形”， 为“鲲鹏边”，则 为“鲲鹏角”，其中A，B
两点在反比例函数 图像上，，且A点横坐标为 ，点C坐标为(0,3)，当 为直角三角形时，
．
【答案】 或
【分析】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨论．分别讨论当 或 时，设 ，分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点A和
点B坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求k即可．
【详解】解：如图，当 时，
分别过A，B作 轴于点D， 于点E，
设 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
由题意， ，
∴ ，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为(0,3)，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得，
（负舍），则 ，
∴
如图，当 时，
分别过A，B作 轴于点D， 于点F，
设 ，由题意， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为(0,3)，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴
故答案为： 或 ．
26．（23-24九年级上·四川成都·期末）综合与探究：如图，一次函数 与反比例函数 交于
A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为(1,4)，且满足 ．(1)求 ， 的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)在y轴上是否存在一点M，使得 与 相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性
质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形；
（1）过点 作 轴，交 轴于点 ，证明 ，求出 的长，进而得到 点坐标，待定
系数法求解析式即可；
（2）联立解析式，求出 点坐标，分割法求出 的面积，利用 ，求出点 的纵坐标，
进而求出点 的坐标即可；
（3）分 和 两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点 作 轴，交 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵A的坐标为(1,4)， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
把 代入 ，得： ；
把 ，代入 ，得：
解得： ，
（2）存在；理由如下：
∵ ，
∴当 时，
∴ ，
∴ ，
联立 ， ，
解得： 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，或
（3）存在；理由如下：
∵ ，
∴ ；
∴ ，
∴ ，
∴当 与 相似时，点 在 点上方， ，有两种情况，
① ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
27．（23-24九年级上·广东清远·期末）在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与等腰
直角三角形 相交， ， .
(1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过 的顶点B时，求反比例函数的表达式；
(2)在（1）的前提下，过点A作 交反比例函数的图象于点Q，连接 ，求 的面积和点Q
的坐标；
(3)如图2，若反比例函数的图象交 的边 于点C，且 ，点P是反比例函数图象上的一动点，满足 的面积是3，请直接写出点P的坐标.
【答案】(1)
(2) ，点Q的坐标为 ，
(3) 或
【分析】（1）过点B作 于点H，利用等腰直角三角形的性质求出点B的坐标，利用待定系数法
求出函数解析式即可；
（2）过点Q作 轴于点M，求出直线 的解析式是 和直线 的解析式为 ，与反比
例函数解析式联立得到点Q的坐标为 ，则 ，利用
即可得到答案；
（3）求出 ，过点C作 于点N，得到 ，过点P作 轴于点R，
求出反比例函数解析式为 ，由（2）可知， ，解方程即可得到m的值，即可得到
点P的坐标.
【详解】（1）解：过点B作 于点H，
∵ 是等腰直角三角形， ， .
∴ ，
∴点B的坐标为 ，
∵反比例函数的图象恰好经过 的顶点B，
∴ ，
解得 ，
∴反比例函数的表达式为 ；（2）过点Q作 轴于点M，
设直线 的解析式是 ，把点B的坐标代入得到，
，
解得 ，
∴直线 的解析式是 ，
∵ ，
∴可设直线 的解析式为 ，把点A的坐标 代入得到
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得到 ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴
；
（3）∵ 是等腰直角三角形， ， .
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
过点C作 于点N，则 ，过点P作 轴于点R，∴点C的坐标是 ，
∴ ，解得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
设点P的坐标为 ，
则 , ，
由（2）可知， ，
解得： （不合题意，舍去）或 或 或 （不合题意，舍去），
∴点P的坐标为(1,4)或
【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式，解分式方程、等腰直角
三角形的性质、一次函数和反比例函数图象交点问题等知识，数形结合是解题的关键.
28．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 （ ）的图象与反比
例函数 的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，过点A作 轴，垂
足为点D， ， ，点B的坐标为 ．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出使 成立的x的取值范围；
(3)形如 （a为常数， ）的解集为： 或 ，过点M 作垂直于x轴的直线 ，
直线 与双曲线 交于点 ，与直线 交于点 ，若
时，求n的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为： ，一次函数的解析式为： ；
(2) 或 ；
(3)n的范围为 或 ．
【分析】（1）由条件可求得 的长，即可得点A的坐标，从而求得反比例函数的解析式；由反比例函数
解析式可求得点B的坐标，从而用待定系数法即可求得一次函数的表达式；
（2）观察函数图象，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即为不等式的解集；
（3）由直线与反比例函数有两个交点，联立两个函数解析式，由判别式确定n的范围；分反比例函数图象
与直线 的交点在第二象限与第四象限两种情况考虑即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ，
把 代入 ，可得 ，
∴反比例函数的解析式为： ，
∵把 代入反比例函数 中，可得 ，
∴点B的坐标为 ，
将 和 代入 ，可得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为： ；
（2）解：根据图象，可知使 成立的x的取值范围是 或 ；（3）解：∵直线 与双曲线 有两个交点，
∴ 有两个实数解，
整理得 ，
∵ ，
∴ 或 ，
当反比例函数图象与直线 在第二象限相交于P、Q时，
∴ 时，n的范围为 ，
当反比例函数与直线 在第四象限相交于P、Q时，
当 时， ，则点 在点 下方，
∴ ，
∴ ，
∴ 时，n的范围为 ，
综上所述，n的范围为 或 ．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别
式，求不等式的解集等知识，有一定的综合性，注意数形结合与分类讨论思想的运用．
29．（23-24九年级上·广东河源·期末）综合应用
如图，反比例函数 的图象过点 和 两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点 是反比例函数的图象上在点 左侧的一个动点，连接 ， ，过点 作直线 的平行线交 轴
于点 ，交 轴于点 ．
①若 ，求点 的坐标和直线 的解析式；
②在①的条件下，在y轴上是否存在一点 ，使以C，E，P为顶点的三角形与 相似？若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点 的坐标为 ， ；②存在，点 的坐标为 或【分析】（1）将点 和 两点代入 ，即可求解；
（2）设直线 的解析式为 ，将点 代入可求解析式，①设点 的坐标为 ，过点
作 轴，与 交于点 ，可得 ，由三角形的面积得 ，求得点 的坐标
为 ，由两条平行直线 相等可设直线 的解析式为 ，从而可求解析式；②在直线
中，可求得点 ， ，设点 的坐标为 ，（ⅰ）当 时，
，由相似的性质得 ，即可求解；（ⅱ）当 时， ，
由相似的性质得 ，即可求解．
【详解】（1）解： 反比例函数 的图象过点 和 两点，
，
解得 ，
反比例函数的解析式为 ．
（2）解：由（1）知，点 的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，
则 ，
．
直线 的解析式为 ．
①设点 的坐标为 ，如图1，过点 作 轴，与 交于点 ．
则点 的坐标为 ，，
，
，
解得 （舍去）， ，
点 的坐标为 ．
直线 ，
设直线 的解析式为 ．
把点 代入直线 中，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
②在直线 中，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
解得 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
设点 的坐标为 ，
由题意可知 ， ，
（ⅰ）如图2，当 时， ．
， ， ，
，
即 ，
，点 的坐标为 ．
（ⅱ）如图3，当 时， ．
，
即 ，
，
．
点 的坐标为 ；
综上所述，在 轴上存在一点 的坐标为 或 ，使以C，E，P为顶点的三角形与 相似．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形相似的判定及性质，掌握解法
及性质，能根据对应点的不同进行分类讨论是解题的关键．
30．（23-24九年级上·山西太原·期末）综合与探究
如图1，平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 分别在反比例函数 与 的图象上，顶
点 在 轴正半轴上．已知顶点 的横坐标为1．
(1)直接写出点 ， 的坐标；
(2)求反比例函数 的表达式；
(3)如图2，点M是反比例函数 图象上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线交 的图象于点N，垂足为点E．连接 ， ，若 ，直接写出m的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)1或4或
【分析】（1）将 代入 ，得出 ，过点A，作x轴的垂线，垂足为点G，可得
，根据 得出 ，即可得出 ；
（2）过点A，C分别作x轴的垂线，垂足为点G，H，证明 ，根据全等三角形的性质，即
可求解；
（3）连接 ，当 时，得 ，根据 ，建立方程，解
方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点 的横坐标为1．矩形 的顶点 ， 分别在反比例函数 与
的图象上，
∴将 代入 ，得 ，则 ，
如图所示，过点A，作x轴的垂线，垂足为点G，
∵四边形 是矩形
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，∴ ， ；
（2）过点A，C分别作x轴的垂线，垂足为点G，H，
点A的坐标为 ，
， ．
四边形 是矩形，
， ，
，
，
．
， ．
，
．
点C的坐标为 ．
点 在反比例函数 的图象上，
，
解，得 ．
反比例函数 的表达式为 ．
（3）解：∵ ，
∴
∵
∴
连接 ，当 时， 则 ，
又∵
∴
∴
∴ 即
即
∴ 或
解得： 或 或 或 （舍去）
综上所述，m的值为1或4或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，正切的
意义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
31．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交
于A， 两点，一次函数 的图象交y轴于点B．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图，直线 交反比例函数图象一象限分支于点F，连接 ，作射线 轴．求证：射线 平分；
(3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将
三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，
则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数 一、三象限分支上的点，连接
、 、 ，若点B是 的“蓉心”，求点D的坐标．
【答案】(1) ，反比例函数的表达式为
(2)见解析
(3) 或
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数解析式，
（1）根据点 在 上，求出 的值，得到点C的坐标，根据点C在 上，即可
求得反比例函数解析式；
（2）根据 与 的交点求 点坐标，再求直线 解析式，根据经过 、 求直线
解析式，根据直线与 轴交点求得 ，再根据等腰三角形三线合一定理即可求解；
（3）根据新定义的含义先画出图形，再分类讨论：当 ，当 ，当 ，再利用函数
的交点坐标的含义建立方程组求解即可．
【详解】（1）解： 点 在 上，
，即 ，
点 在 上，
，即 ，
，反比例函数的表达式为 ．
（2）解： 点 是 与 的交点，
，
设直线 解析式为 ，经过 ，则 ，
直线 解析式为 ，
点 是 与 的交点，
∴ ，设直线 解析式为 ，经过 、 ，
，解得 ，
直线 解析式为 ，
设直线 与 轴交于点 ，则当 时， ，即 ，
设直线 与 轴交于点 ，则当 时， ，即 ，
设直线 与 轴交于点 ，
轴， ，
，
， ， ，
， ，即 ，
，即 ，
，
∴ ，
射线 平分 ．
（3）如图，∵ 为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 为 ，则 ，
解得： ，
∴ 为 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ 或 ，
当 ，且 平分 时，而 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： 为 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ ；
当 ，且 平分 时，同理可得： ，
直线 为 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ ；
如图，当 ，且 平分 时，
同理可得： ， 为 ，
此时不符合题意舍去
如图，当 ，且 平分 时，同理可得：同理可得： ，
直线 为 ，
此时不符合题意，舍去，
当 ， 都不符合题意，舍去，
综上： 或 ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，利用待定系数法求解函数解析式，函数的交点问题，锐角三角
函数的应用，清晰的分类讨论，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
32．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知点A是反比例函数 的图象与正比例函数图象在第三象限
的交点， 轴于点B，等腰直角三角形 的面积等于4．
(1)求反比例函数与正比例函数的表达式；
(2)直线： 图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若 ，求点M的坐
标；
(3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接 ，是否存在直线
，作 于点Q，使得 ？若存在求出 的表达式，若不存在请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为 ；正比例函数表达式为 ；(2)
(3) 或 ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形 的面积等于4可得 ，则 ，利用待
定系数法即可得反比例函数与正比例函数的表达式；
（2）直线： 图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点 、 ，可分两
种情况，由 可得 ，即可得点M的坐标；
（3）分点Q在点P的下方和点Q在点P的上方两种情况分别进行解答即可．
【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵等腰直角三角形 的面积等于4，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 在反比例函数 上，
∴ ，
∴反比例函数表达式为 ，
设正比例函数解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴正比例函数表达式为 ；
（2）解：∵点M在正比例函数表达式为 和直线： 的图象上，
∴设 ，则点N的横坐标为m，
若点 在 上方时，如图，∵点N在反比例函数 图象上，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得， （不符合题意，舍去），
若点 在 上方时，如图，
∵点N在反比例函数 图象上，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得， （不符合题意，舍去），∴ ；
（3）解：如图，
∵直线 与正比例函数 平行，
∴直线 正比例函数 图象，
过点M作 轴于点C，
∵点M的坐标为 ，
∴此时 交反比例函数于点P， ，
过点P作 于D，
∴ ，
在线段 上截取 ，则 ，
∵反比例函数的表达式为 ，正比例函数的表达式为 ，
∴ ，
∴ ， ，
当点Q在点P的下方时，
，
过点M作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
代入 得 ，
∴ ，
∴ 的表达式为 ．当点Q在点P的上方时， ，
∵ ， ，
∴ ，
代入 得 ，
解得 ，
∴ ，
综上可知， 的表达式为 或 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积
等知识，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
33．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 为 的
顶点， ，点C在x轴上．将 沿x轴水平向右平移a个单位得到 ，A，B两点的对
应点 ， 恰好落在反比例函数 的图象上．
(1)求a和k的值；
(2)作直线l平行于 且与 ， 分别交于M，N，若 与四边形 的面积比为 ，求
直线l的函数表达式；
(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以 ， 四个点为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在，点P、Q的坐标分别为 或 、 或 、
【分析】（1）由题意得，点 的坐标分别为： ，则 ，即可求
解；
（2）证明 均为等腰直角三角形，得到点 ，即可求解；（3）当 为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当 或 是对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：∵将 沿x轴水平向右平移a个单位得到 ，点 ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∵点 ， 正好落在第一象限反比例函数 的图象上．
∴ ，
解得： ， ．
（2）由（1）知点 的坐标分别为： 、 ，
设 的解析式为 ，
把 代入得，
，
解得， ，
∴ 的解析式为 ，即直线 所在的直线为二四象限的角平分线，
∵ ，则直线 和x轴正半轴的夹角为 ，
∵ ，
故设直线l的表达式为： ，
∵直线 ， 与四边形 的面积比为 ，
则 ，
过点 作y轴的平行线交直线l于点T，连接 ，
则 均为等腰直角三角形，
∵ ，
则 ，
设 ，则 ,
则 ，
解得： ，则 ，
则点 ，
将点M的坐标代入直线l的表达式得： ；
（3）解：设点P、Q的坐标分别为： ， ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得：
，
解得： ，
则点P、Q的坐标分别为： ；
当 或 是对角线时，
同理可得： 或 ，
解得： 或 ，
则点P、Q的坐标分别为： 、 或 、 ；
所以，点P、Q的坐标分别为 或 、 或 、
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质、等腰直角三角形的
性质等，分类求解是解题的关键．
34．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交
于 ，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点．(1)求反比例函数 的表达式及点B的坐标；
(2)在x轴上有一点E，反比例函数 的图象上有一点F，连接 ，若 且 ，求点E
的坐标；
(3)如图2，点D关于x轴的对称点为M，连接 ，P是y轴上一动点（不与点M重合），N是平面内一点，
连接 ， ，在点P的运动过程中始终有 ，且 ．点Q在反比例函数
图象上，连接 ，请直接写出 的最小值及当 为最小值时点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3) ，
【分析】（1）运用待定系数法即可解答；
（2）设 ，过点F作 轴于点H，过点A作 轴于点G，利用解直角三角形求得
， ，进而求得 ，建立方程求解即可；
（3）根据对称性可得 ，设设 ，则 ，由
可得 ，判断得出点在经过点D，且垂直 的直线上，可得直线
的解析式为 ，设经过点Q平行 的直线解析式为 ，当 最小时，直线 与
相切，在证 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，可求得 的最小值为 ，在利
用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．
【详解】（1）将 代入 中，得
，，
将 代入 中，
解得： ，
反比例函数的解析式为 ，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于 ，
，
解得： ，
点B的坐标为
（2）设 ，过点F作 轴于点H，过点A作 轴于点G，
一次函数 交x轴、y轴分别交于C，D两点，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
解得： ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
综上所述，点E的坐标为 或
（3） 点 关于x轴的对称点为M，
，
，
轴，
， ，
设 ，则
，
，
，
即 ，
，
，
点N在经过点D，且垂直 的直线上，
直线 的解析式为 ，
设经过点Q平行 的直线解析式为 ，
当 最小时，直线 与 相切，
联立得∶ ，整理得： ，
，
（负值舍去）
联立得∶ ，
解得： ，
，
令 ，则 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
的最小值是 ，
此时 ，
，
，
，
，即 ，
，
，
综上所述： 的最小值是 ，点P的坐标为 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性
质，解直角三角形等，熟练应用待定系数法求解析式，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题关
键；
35．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与 轴、 轴分别交于点 ，已知点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点 在 轴上，以 、 、 为顶点的三角形与 相似时，求点 的坐标；
(3)点 是直线 下方反比例函数 图象上一点，当 的面积为 时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 、
(3)点 的坐标为 、
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三
角形的面积，正确地求出函数的解析式是解题的关键．（1）把点 代入 得到反比例函
数的解析式为 ；把 代入 得到点 的坐标为 ，解方程组得到一次函数的解析式
为 ；（2）设 ，解方程得到 ， ，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）设点 的坐标为 ，当点 在第四象限时，当点 在第二象限时，根据三角形的面积列方程即
可得到结论．
【详解】（1）解：把点 代入 得 ，
反比例函数的解析式为 ；
把 代入 得 ，
点 的坐标为 ，
把 和点 代入 ，解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2）设 ，
在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，
， ，
，
以 、 、 为顶点的三角形与 相似，
，
，
，
， ， ，
，
解得 （不合题意舍去），
当 ， ，
，
轴，
，
即 ，
点 的坐标为 、 ；
（3）设点P的坐标为 ，
， ，
当点 在第四象限时， 的面积 ，
解得 （不合题意舍去），
当点 在第二象限时， 的面积 ，
解得 （不合题意舍去），综上所述，点 的坐标为 、 ．
36．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，
与反比例函数 的图象交于点 ， ．
(1)求一次函数 和反比例函数 的表达式；
(2)点 为 轴正半轴上一点，当 的面积为9时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线 向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点 ，交 轴于点 ．
点 为平面直角坐标系内一点，若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件
的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)反比例函数的解析式为 ；一次函数解析式为
(2)
(3) 点坐标为 或 或
【分析】（1）将 代入 ，可求 ，则反比例函数解析式为 ，将 代入
得， ，则 ，待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）当 时，求得 ，设 ， ，则 ，根据 ，
计算求解，然后作答即可；
（3）设直线 向上平移后的函数解析式为 ，将 代入 ，可求 ，将 代
入 得， ，则平移后的直线解析式为 ，进而可求 ，设 ，由题意知，
， ， ，分①当 为平行四边形的对角线时，则 的中点坐标为 ，
的中点坐标为 ，则 ， ，计算求解即可；②当 为平行四边形的对角线时，同理①求解即可；③当 为平行四边形的对角线时，同理①求解即可．
【详解】（1）解：将 代入 得， ，
解得， ，
∴反比例函数解析式为 ，
将 代入 得， ，
∴ ，
将 ， 代入 得， ，
解得 ，
一次函数解析式为 ；
（2）解：当 时， ，即 ，
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
（3）解：设直线 向上平移后的函数解析式为 ，
将 代入 得， ，即 ，
将 代入 得， ，
解得 ，
∴平移后的直线解析式为 ，
当 时， ，即 ，
设 ，由题意知， ， ， ，
①当 为平行四边形的对角线时，则 的中点坐标为 ， 的中点坐标为 ，
∴ ， ，
解得， ， ，∴ ；
②当 为平行四边形的对角线时，同理①可得， ，
解得， ， ，
∴ ；
③当 为平行四边形的对角线时，同理①可得， ，
解得， ， ，
∴ ；
综上， 点坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数图象的
平移，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质等知识．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，一次函
数解析式，反比例函数解析式，一次函数图象的平移，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质是解题
的关键．
37．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数图象 与反比例
函数的图象的一个交点为 ，另一个交点为点 ．
(1)求点 的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点 在反比例函数第一象限的图像上，且 的面积为 ，求点 的坐标；
(3) 是第二象限内一点，连接 ，以 为位似中心画 ，使它与 位似，相似比为 ．若点
恰好都落在反比例函数图象上，求出点 的坐标．
【答案】(1) ，反比例函数的表达式为 ；
(2) 或 ；
(3) ， 或 ， ．
【分析】（ ）求出点 坐标，利用待定系数法即可求解；（ ）设 ，过点 作 轴平行线交直线 于 ，根据 ，即可求解；
（ ）由题意可得 ， ，直线 的解析式为 ，点 ， ，
根据两点间距离公式求得 ，整理得 ，进而得到
，由点 恰好都落在反比例函数图象上得到 与反比例函数的交点方程为
，即 ，由根和系数的关系得 ，求出 的值即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
∴ ，
将 代入 得 ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：联立两个函数得 ，
解得 或 ，
∴ ，
设 ，过点 作 轴平行线交直线 于 ，
则点 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得 或 或 (已舍负值)，
∴点 的坐标为 或 ；
（3）解：∵点 ， ，
∴ ，
∵ 与 位似，相似比为 ，
∴ ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，点 ， ，
∴ ，
整理得， ，
∴ ，
∵点 恰好都落在反比例函数图象上，
∴ 与反比例函数的交点方程为 ，
即 ，
由根与系数的关系得， ，
解得 或，∴ ， ，或 ， ，
∴ ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性
质，正确作出图形是解题的关键．
38．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）坐标平面内，若点 满足 ，我们把点P称作“半分点”，
例如点 与 都是“半分点”．
(1)一次函数 的图象上的“半分点”是______；
(2)若双曲线 上存在“半分点” ，且经过另一点 ，求m的值；
(3)若关于x的二次函数 （常数 ）的图象上恰好有唯一的“半分点”P．
①当 时，求n的取值范围；
②当 时，过双曲线 （其中 ）上的“半分点”P作直线 轴，若二次函数的图象上存
在4个点到直线PQ的距离为d，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)m的值为2或
(3)① ；②
【分析】（1）根据半分点的含义可得 ，再代入函数解析式可得答案；
（2）根据半分点的含义可得半分点 ，先求解k的值，再建立方程求解m的值即可；
（3）①由半分点 在直线 上，联立 ，可得 ，则方程
有两个相等的实数根，从而可得答案；②当 时， ，可得抛物线解析式为：
，求解反比例函数 图象上的“半分点”为 ，可得平行于x轴
的直线 为 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，则 ，，
把 代入 ，
∴ ，
解得： ，∴ ．
（2）∵点 为反比例函数 图象上的“半分点”，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，
根据双曲线 经过 在上，
∴ ．
解得： ， ，
∴m的值为2或 ；
（3）①∵半分点 在直线 上，
联立 ，
则 ，
整理得： ，
∵抛物线 （m，n均为常数）上有且只有一个“半分点”，
∴方程 有两个相等的实数根，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ；
②当 时， ，
∴抛物线解析式为： ，
令 ，则 ，
∴此时抛物线的顶点坐标为： ，与y轴的交点坐标为(0,4)，
联立 ，
解得： ， ，∵ ，
∴ ，（舍去），
∴反比例函数 图象上的“半分点”为 ，
∴平行于x轴的直线 为 ，
∵抛物线上有四个点到直线 的距离为d，
∴在直线 下方的抛物线上必须有两点到直线 的距离为d，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的应用，函数的交点问题，新定义的含义，理解
题意是解本题的关键．
39．（23-24九年级上·湖南永州·期末）定义：若x，y满足 ， 且 （t为常数），则
称点 为“和谐点”．
(1)请直接判断点 是否为“和谐点”；
(2) 是“和谐点”，求m值；
(3)若双曲线 的图象上存在“和谐点”，求k的取值范围．
【答案】(1)点 是“和谐点”
(2)
(3) 的取值范围为
【分析】（1）由题意得， ，由 ，可得点 是“和谐点”；
（2）由题意知， ，即 ，计算求出满足要求的解即可；
（3）设点 为双曲线 （ ）上的“和谐点”，则 ， ， （
），即 ，可得 ，由 ，可得，且 ，然后利用二次函数的图象与性质求取值范围即
可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
点 是“和谐点”；
（2）解：∵ 是“和谐点”，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）
∴ ；
（3）解：设点 为双曲线 （ ）上的“和谐点”，
∴ ， ， （ ），
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ （ ），
∴ ，且 ，
∵ ，
∴图象开口向下，当 时， ，
当 时， ；
当 时， ；
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象与性质，平方差
公式，二次函数的最值，反比例函数解析式等知识．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，平
方差公式，二次函数的图象与性质是解题的关键．40．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，长方形 的边
分别在 轴、 轴上，点 的坐标为 ，双曲线 的图象经过线段 的中点 ．
(1)求 的值；
(2)若点P(x,y)在反比例函数的图象上运动（不与点 重合），过 作 轴于点 ，记 的面积
为 ，求 关于 的解析式，并写出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据长方形的性质得到点 的坐标，再代入到 即可求解；
（ ）由（ ）得到反比例函数解析式为 ，由反比例函数可得 ， ，分点 在
的上方和下方两种情况解答即可求解；
本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，掌握反比例函数的性质是解题的
关键．
【详解】（1）解：∵长方形 的边 分别在 轴、 轴上，点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴反比例函数解析式为 ，
∵点P(x,y)在反比例函数的图象上运动（不与点 重合），
∴ ，
当点 在 的上方运动时，如图 ，此时 ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴
∴ ；
当点 在 的上方运动时，如图 ，此时 ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；综上， ．
41．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）【建立模型】
（1）如图1，点B是线段 上的一点， ， ， ，垂足分别为C，B，D，
．求证： ；
【类比迁移】
（2）如图2，点 在反比例函数 图像上，连接 ，将 绕点O逆时针旋转 到 ，若反
比例函数 经过点B．
①求点B的坐标；
②求反比例函数 的解析式；
【拓展延伸】
（3）如图3，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，已知点
，连接 ，抛物线上是否存在点M，使得 ，若存在，求出点M的横坐标．
【答案】（1）证明详见解析；（2）① ；② ；（3）存在， 或 ．
【分析】（1）根据题意得出 ， ，证明 ，即可得证；
（2）①如图2，分别过点A，B作 轴， 轴，垂足分别为C，D．求解 ， ，
．利用 ，可得 ；②由反比例函数 经过点 ，可得 ，可得
答案；
（3）如图3，当M点位于x轴上方，且 ，过点Q作 ，交 于点D，过点D作
轴于点E．证明 ，可得 ， ，可得 ，求解 ，
令 ， 可得M的横坐标为 ；如图，当M点位于x轴下方，且 ，同理可得， 为 ．由 ，可得M的横坐标是 ．
【详解】证明：（1）如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
（2）①如图2，分别过点A，B作 轴， 轴，垂足分别为C，D．
将 代入 得： ，
∴ ， ， ．
同（1）可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
②∵反比例函数 经过点 ，
∴ ，
∴ ；
（3）存在；
如图3，当M点位于x轴上方，且 ，过点Q作 ，交 于点D，过点D作 轴
于点E．∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
令 ，得 ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
设 为 ，则
解得： ，
∴
令 ，得 ， (舍去)，
∴M的横坐标为 ；
如图，当M点位于x轴下方，且 ，同理可得 ， 为 ．
由 ，得 ， (舍去)
∴M的横坐标是 ．
综上：M的横坐标为 或 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的
解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．
42．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，点 是直线 上一点，过点 作 轴平行线，与反
比例函数 交于点 ，以 为边向下作 ，点 恰好在 轴上，且 ，
，若 的面积为 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由三角形面积求得点 的坐标，代入 即可
求得 的值，求得点 的坐标是解题的关键．
【详解】解：作 于点 ，轴，
轴， ，
设 ，则 ，
，
，
，
的面积为 ，
，
（负数舍去），
，
把 代入 得， ，
，
反比例函数 过点 ，
．
43．（23-24九年级上·山东济宁·期末）定义：在平面直角坐标系 中，函数图象上到两条坐标轴的距离
之积等于 的点，叫做该函数图象的“ 阶积点”．例如，点 为反比例函数 图象的“1
阶积点”， 为一次函数 图象的“ 阶积点”．
(1)若点 为 关于 的二次函数 图象的“ 阶积点”，则 的值等于_______， 的值等于
_______；
(2)若 关于 的反比例函数 的图象经过一次函数 图象的“2阶积点”，求 的值；
(3)若 关于 的一次函数 图象的“ 阶积点”恰好有3个，求 的值．
【答案】(1)
(2)(3) 或
【分析】（1）由题意知， ，将 代入 得， ，分别计算求解即可；
（2）设一次函数 图象的“2阶积点”为 ，则 ，一次函数 图象经过第
一、三、四象限．分当 在第一、三、四象限三种情况，分别求解即可；
（3）由题意知， ，过点 ．由 关于 的一次函数 图象上
存在“ 阶积点”，可得 ．则 ，且函数 过一、三象限，即 或
，由题意知，函数 与函数 的交点是三个，如图，联立 ，
整理得 ，且有两个相等的实数根，根据 ，计算求解，然后作答
即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
将 代入 得， ，
解得， ，
∴ 的值等于3， 的值等于 ；
（2）解：设一次函数 图象的“2阶积点”为 ，
∴ ，一次函数 图象经过第一、三、四象限．
①当 在第一象限时， ，
∴ ．
∵函数 图象的过(2,1)，
∴ ；
②当 在第三象限时， ，
∴ ．
∵函数 图象的过 ，
∴ ；
③当 在第四象限时， ，
∴ ，∵ ，
此时方程无解，该情况不存在．
综上， ；
（3）解：由题意知， ，
当 时， ．
∴ 过点 ．
又 关于 的一次函数 图象上存在“ 阶积点”，
∴ ．
∴ ，且函数 过一、三象限．
∴ 或 ．
由题意知，函数 与函数 的交点是三个，如图，
由图象可得，联立 ，得 ，整理得 ，
∴ 有两个相等的实数根．
∴ ，
∴ ，解得， 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的交点，
一次函数的图象与性质等知识．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，
反比例函数与一次函数的交点，一次函数的图象与性质是解题的关键．
44．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）已知 是自变量x的函数，当 时，称函数 为函数
的“k倍函数”．
例如：函数 ，当 时，则函数 是函数 的“3倍函
数”．
(1)函数 的“5倍函数”是 （直接填空）；
(2)求 的“k倍函数” 与x轴的交点坐标；
(3)如图①是函数 和它的“2倍函数”的图像，在 的“2倍函数”图像上有一点
A，作 轴于点D，交函数 图像于点E，作 轴于点B，交函数 图像于
点C，连接 ， ，求证： ；
(4)在平面直角坐标系中，函数 的图像如图②所示，若函数 的“k倍函数” 的
图像与函数 的图像交于P，Q两点，与函数 的“ 倍函数”的图像交于G，H
两点，且Q，H两点恰好位于x轴上方，当 时，求k的值．
【答案】(1)(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据“k倍函数”的定义进行解答即可；
（2）先求出 的“k倍函数”解析式，然后将 代入函数解析式求出与x轴的交点坐标即可；
（3）根据 的“2倍函数”解析式为 ，设点A的坐标为： ，得出 ，
，求出 ，得出 ，从而求出 ，即可
证明结论；
（4）先求出 的“k倍函数”解析式为： ，求出 ， ，再得出
的“ 倍函数”解析式为： ，求出 ，H点横坐
标为 ，根据 ，得出点Q为 的中点，根据中点坐标公式求出结果即可．
【详解】（1）解：函数 的“5倍函数”是 ；
（2）解： 的“k倍函数”解析式为： ，
把 代入 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的“k倍函数” 与x轴的交点坐标为 ；
（3）解：∵函数 的“2倍函数”解析式为 ，
∴设点A的坐标为： ，
把 代入 得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
（4）解： 的“k倍函数”解析式为： ，当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴函数 过定点 ，
，
由 得：
，
即 ，
∴ ， ，
把 代入 得： ，
∴ ， ，
又 的“ 倍函数”解析式为：
，
由 得： ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，H点横坐标为 ，
∴ 、G两个点重合，如图所示：当 时， ，
∴点Q为 的中点，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数和二次函数的交点
问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．
45．（22-23九年级上·广东清远·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 是矩形，且 ，
， ．反比例函数 （ ）的图象分别交 、 于点E、点F ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接 、 、 ，求 的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得 是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）根据题意得到点 的坐标为 ，根据待定系数法可得 的值，即可；
（2）求出点 与点 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出；
（3）设点 坐标为 ，求出点 与点 的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
， ，
，
， ，
所以点 的坐标为 ，
点 在反比例函数上，代入 ，得到 ，
故反比例函数解析式为 ；
（2）如图，
， ，
时， ，
，
即， ， ，
，；
（3）如图，
，
设所求点 坐标为 ，
， ，
，
，
，
当 时，
，
即， ，
解得， ，
故 ；
当 时，
，
即， ，
解得， ，
故 ，
综上所述；存在点 ，坐标为 ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系数法求函数解析
式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决最后一问的关键．46．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1， 的图像与y轴交于点B，与反比例函数
的图像交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点C是线段 上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连
接 ，当四边形 的面积等于24时，求点C的坐标；
(3)在（2）的前提下，将 沿射线 方向平移一定的距离后，得到 ，若点O的对应点 恰好
落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得 ，若存在，请
直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）直接利用待定系数法即可解答；
（2）设 ，则 ，根据四边形的面积构建方程求解即可；
（3）分两种情况：当点M位于 内部时，延长 交反比例函数于M；当点M位于 外部时，
分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可．
【详解】（1）解：把点 分别代入 和 中可得：
， ，解得：
∴ ， ．
（2）解：设 ，则 ，∴ ，
∵四边形 的面积等于24，
∴ ,即 ，
整理得： ，解得：
检验： 是原方程的解，
∵ ，
∴ ，则 ．
∴ ．
（3）解：由平移可得： ,
∴直线 的解析式为: ，
联立得： ，解得： 或 （不合题意，舍去）
经检验 是方程组的解，
∴点
∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到 ，
由 (2)可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图1，当点M位于 内部时，作 于N，延长 交反比例函数于M，∵ ，
∴ ,
∴ N为 的中点，
∴ ，即 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为: ，
联立得： ，解得： （舍弃负值）
经检验 是方程组的解，
∴ ；
如图，当点M位于 外部时，作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ 关于 对称， ，设直线 的解析式为: ,
将 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
设 ，则 的中点在直线 上，
∴ 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，整理得： ，解得: ，
∴ 或 ，
经检验，当 )时，直线 不垂直 ，故不符合题意，
∴ ，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为: ，联立得： ，解得： （舍弃负值）
经检验 是方程组的解，
∴ ．
综上所述，M的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、一次函数的应用、求函数解析式、点的平移、函数图像交点与
方程组等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题是解题的关键．
题型五：反比例函数与一次函数综合
47．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，直线 与双曲线 交于 两点，点 在 轴上，
连接 ，且 ，已知 的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点 为 ，求出 ，
根据点 和点 关于原点对称得到 ， ，由直角三角形的性质得到
，根据 ，得到关于 方程，解方程即可求解，解题的
关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
【详解】解：设点 ，则 ,
∵ ，
∴ ，
∵点 和点 关于原点对称，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
故选： ．
48．（23-24九年级上·广东河源·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于点A，过
点A作 ，交 轴于点 ；若 ， ， ， 都是等腰直角三角形，其中
点A， ， ， ， 都在反比例函数 的图像上，则点 的横坐标为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的
坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出 的横坐标即可．【详解】解：如图，过点A， ， ， ， 分别作 轴， 轴， 轴，
轴…，垂足分别为 …..．
∵直线 的关系式为 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
同理可得 ……都是等腰直角三角形，
设 ，
则点 ，点A在反比例函数的图象上，
∴ ，解得： （负值舍去），
∴点A的横坐标为1，
设 ,
则点 ，点A 在反比例函数 的图像上，
1
∴ ，解得： ，
∴点 的横坐标为
设 ，
则点 ，点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，解得： ，
∴点 的横坐标为
以此类推：点 横坐标为： ．
故答案为： ．
49．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系 中的图形M和直线m，给出如下定义：若
图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：
和直线 ： ，若图形C到直线l的“ 距点”只有2个，则n的取值范围是 ．【答案】 /
【分析】由直线 ： 可知 是等腰直角三角形，则 ，设点 为图形
到直线 的“ 距点”，作 交 于 ，则 ，作 轴交 于 ，则 ，
，则 是等腰直角三角形，先找图形 到直线 的“ 距点”只有1个时，即
只有1个解，亦即： 或 只有1个解，分两种情况来讨论可得当 ，
时， 为图形 到直线 的“ 距点”作出当 ， 时的草图，通过作图发现，当 时
图形 在直线 上方必定还有两个点到直线 的距离为 ，再根据这两个临界点求解即可．
【详解】解：令直线 ： 与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，
对于直线 ： ，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，则 ，
∴ 是等腰直角三角形，则 ，
设点 为图形 到直线 的“ 距点”，作 交 于 ，则 ，
作 轴交 于 ，则 ， ，
则 是等腰直角三角形，
∴ ，则 ，即： ，
先找图形 到直线 的“ 距点”只有1个时，
即： 只有1个解，
亦即： 或 只有1个解，
∵ ，则 ，
∴ ，
若 ，即 ，
则 ，解得： ，
此时， ，解得 ，即 为图形 到直线 的“ 距点”
若 ，即 ，
则 ，解得： ，
此时， ，解得 ，即 为图形 到直线 的“ 距点”
作出当 ， 时的草图，如下：
通过作图发现，当 时图形 在直线 上方必定还有两个点到直线 的距离为 ，
∴当 图形 到直线 的“ 距点”只有1个，当 图形 到直线 的“ 距点”只有3个，
则当图形 到直线 的“ 距点”只有2个时， 的取值范围 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作
出草图，找到满足条件的临界点是解决问题的关键．
50．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线 与函数 的图象 交于点 ，过
点 作 轴的平行线与函数 的图象交于点 ，直线 与图象 交于点 ，当 为直角三
角形时， 的值为 ．
【答案】 或 ．
【分析】设点 ，则 ，进而得点 ，由此可得直线 的表达式为 ，解方程组
，得点 ，再由两点间的距离公式得 ， ，
，当 为直角三角形时，有以下两种情况：①当 时，由勾股定理得
，则 ，由此解出 ，②当 时，
由勾股定理得 ，则 ，由此解出 ，综上所述
即可得出 的值．
【详解】解：设点 的横坐标为 ，
轴，
点 的横坐标为 ，
点 在直线 上，
点 ，
又 点 在反比例函数 的图象上，
，点 在反比例函数 的图象上，
点 ，
设直线 的表达式为： ，
，
，
直线 的表达式为： ，
解方程组： ，得 ， （不合题意，舍去），
点 ，
点 ，
， ， ，
，
当 为直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，由勾股定理得： ，
，
整理得： ，
即： ，
，
，
，
解得： ， （不合题意，舍去）；
②当 时，由勾股定理得： ，
，
整理得： ，，
，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
综上所述：当 为直角三角形时， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交，直角三角形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程等，
熟练掌握待定系数法求正比例函数解的析式，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，灵活
运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
51．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第二
象限内交于点 ， ， 为 轴正半轴上一点，连接 ， ， 的面积为6．
(1)求 的值及一次函数的表达式；
(2)求点 的坐标；
(3)若 为反比例函数图像上的一点， 为 轴上一点，是否存在点 ， ，使以 ， ， ， 为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，一次函数的表达式为
(2)
(3)
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式可求得 ，进而可得 ，再利用待定系数法
即可求得一次函数解析式；
（2）设 ，先求出一次函数与x轴的交点坐标 ，再根据 的面积为6建立方程求解即可；
（3）设 ， ，当点F在x轴负半轴上时， ， 为对角线，可得 ， 的中点相互重
合，据此建立方程组求解即可；当点F在x轴正半轴上时，推导出点E不在反比例函数图象上．【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，
反比例函数的表达式为 ，
将 代入 ，得 ，
，
将 和 分别代入 ，得
，
解得 ，
一次函数的表达式为 ；
（2）令 ，则 ，
一次函数 与x轴的交点坐标为 ，
设 ，
， ，
，
，
；
（3）设 ， ，又 ， ，
①如图，当点E在第四象限，点F在x轴负半轴上时，存在 ，此时 ， 为对角线，且 ，
的中点相互重合，
，即 ，
解得 ，
；②当点F在x轴正半轴上时，点E必须在直线 上（不与点B重合），
则点E不在反比例函数图象上，与题设矛盾，
故此时不存在 ；
综上所述，点 的坐标为 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，
解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解．
52．（23-24九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的
图象交于 ，B两点．
(1)求B点坐标；
(2)如图1，过点A的直线分别与x轴正半轴，y轴负半轴交于点M，N，若 ，连接 ，求
的面积；
(3)如图2，以 为边作平行四边形 ，点C在y轴负半轴上，点D在反比例函数 的
图象上，线段 与反比例函数 的图象交于点E，若 ，求k的值．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将 代入反比例函数 ，求出m的值，再将点A代入直线 ，求出直线
解析式，联立直线解析式与反比例函数解析式求解可得答案；
（2）过点A作 轴于P，利用 ，可得 的长，从而得出 的长，再计算
即可；
（3）设 ，利用平行四边形的性质可得 ，过D作x轴的平行线l，过点A、E作l的垂线，
垂足分别为G，H，根据 ，表示出点E的坐标，从而得出方程解决问题．
【详解】（1）解：当 时，反比例函数 ，
，
将点 代入 得， ，
∴一次函数的解析式为 ，
直线 与反比例函数 的图象交于 ，B两点，
，即
解得：
；
（2）解： ，
当 时， ，
，
，
过点A作 轴于P，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： ， ，
设 ，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
过D作x轴的平行线l，过点A、E作l的垂线，垂足分别为G，H，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
∴点 ，
∵点D、E都在反比例函数 上，
，
解得 ，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数
图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题
的关键．
53．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数
的图象交于 ，B两点，C为反比例函数图象第四象限上一动点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)当四边形 的面积为36时，求此时点C的坐标；
(3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的
C，D两点，使四边形 是“垂等四边形”，且 ？若存在，求出C，D两点的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】(1)根据直线 与反比例函数 的图象交于 ，B两点，可计算 的值，并确定
的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点 的坐标；
(2) 过点 作 轴，交 于 ，设点 的坐标为 ，求出直线 的解析式为
，进而得到 ，根据 列方程解题即可；
(3)如图 ，过点 作 轴于 ，过点 作 轴，过点 作( 于 ，证明
，根据正切的定义可得 ，可得 的解析式为 ，列方程可得点 的坐标，
证明 是等腰直角三角形，可得 也是等腰直角三角形，则 ，根据 列方程可得结
论．
【详解】（1）解：∵点 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
，
∴反比例函数的表达式为： ，
则 ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：如图 , 过点 作 轴，交 于 ，设点 的坐标为 ，∵ ，
∴ 的解析式为： ，当 时， ，
∴
设 的解析式为： ，
则 ，解得： ，
∴ 的解析式为: ，
，
∵四边形 的面积为 ，
，
即 ，
，
解得： ；
或 ；
（3）解：存在,
如图 , 过点 作 轴于 ，过点 作 轴，过点 作 于 ，在 中，当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是“垂等四边形”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ , 即 ，
，
∴ ，
设直线 的解析式为: ,将点 的坐标 代入得: ，
，
∴ 的解析式为: ，
，
解得: 或 (舍)，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 也是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
同理得： 的解析式为： ，设 ，
∵ ，
，
解得： (舍)，
∴ ．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，
正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键．
54．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数 与一次函数 的图象交于 两
点，已知 ．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)一次函数 的图象与 轴交于点 ，点 （未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若
，求点 的坐标：
(3)若点 是坐标轴上一点，点 是平面内一点，是否存在点 ，使得四边形 是矩形？若存在，
请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：
(2) 或
(3)存在，其坐标分别为
【分析】（1）把点 的坐标代入 ，得出反比例函数解析式；把点 的坐标代入 ，求出 的
值，得到一次函数的解析式；
（2）求出点 ，设 ，根据 可得 ，由点 是反比例函数图象上的一个动点，即
可得点 的坐标；
（3）分两种情况：①当点 在 轴上时，②当点 在 轴上时，根据矩形的性质分别求解即可．【详解】（1）解： 点 是反比例函数 与一次函数 的交点，
∴ ， ，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为： ， ；
（2）解：一次函数 中，当 时， ，
，
设 ，
，
∴ ，
，
点 在 上，
或1，
或 ；
（3）解：存在点 ， ，使得四边形 是矩形，理由如下：
①当点 在 轴上时，如图，设点 的坐标为 ，
过点 作 轴于点 ，
， ，
，
∴ ，
， ，
， ，
，
∴ ，，
∴点 的坐标为 ；
②当点 在 轴上时，过点 作 轴于点 ，如图，
设点 的坐标为 ， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
∴点 的坐标为 ，
∴存在点 ， ，使得四边形 是矩形，点 的坐标分别为 或 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，矩形的性质，相似三角形的
判定和性质，会利用待定系数法确定函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
55．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，直线 与坐标轴交于A、 两点，与双曲线
交于C、D两点，并且 ．(1)求反比例函数的解析式；
(2)若 ， 分别是第一、三象限内反比例函数图象上的两点，连接 ，当四边形 为平行四
边形时，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，将 所在的直线向上平移 个单位长度，平移后的直线与双曲线交于 ，R
两点，与直线 交于点 ，设 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，若 ， ， 满足等式
，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出 ，可得 ，过点D作 轴，交y轴于E，利用
证得 ，可求得D(1,4)，运用待定系数法即可求得答案；
（2）联立方程组可得： ，设 ，由平移得： ，代入 ，得
，即可求得答案；
（3）利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，平移后的直线为 ，与直线 的
解析式联立可求得 ，与反比例函数 联立，得 ，整理得：
，运用根与系数关系可得 ，根据题意建立方程求解即可得出
答案．
【详解】（1）解：（1）在 中，令 ，得 ，
∴ ，
令 ，得 ，
解得： ，
∴ ，∴ ，
过点D作 轴，交y轴于E，
则 ，
，
，
，
，
∴D(1,4)，
把D(1,4)代入 ，得 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：联立方程组，得 ，
解得： ， ，
∴ ，
设 ，
∵四边形 为平行四边形，，
∴由平移得： ，
把 代入 ，得 ，
解得： 或 （舍去），
；
（3）解：设直线 的解析式为 ，将 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
将 所在的直线向上平移 个单位长度，得到直线 ，
与直线 的解析式联立，得 ，
解得： ，
∴ ，
与反比例函数 联立，得 ，
整理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得：
，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数关系等，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，一元
二次方程根与系数的关系是解题的关键．
56．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知直线 与 轴、 轴交于点 ， ，与反比例函数
的图象交于 ， 两点，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．
(1)求直线 的表达式；
(2) 是线段 的中点，点 为反比例函数图象在第一象限上一点，连接 ， ， ，若 ，
求点 的坐标；
(3)点 为反比例函数图象在第三象限上一点，连接 ，过点 作 ，交反比例函数图象于点 ，
连接 ．若直线 经过点 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）设 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，根据三角形面积可得
，即可求解；
（3）过点 作 轴，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
由 ，可得 ，设 ，根据四边形 是矩形，分别求得
，进而根据 ，得出 的值，即可求解．
【详解】（1）
解：由反比例函数 经过点 ， 两点，且点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，把 ， 代入
得
解得：
直线的表达式为 ；
（2）
设 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
是 ， 的中点，
，
，
解得： (负值舍去)
（3）
如图，过点 作 轴，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
交 轴于点 ，
则 ，
，，
，
，
，
设 ，又 ，
则 ， ， ， ，
， ， ，
①
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，即 ②
联立①②，解得： (舍去)
， ，
， ，
，
．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形面积，相似
三角形的判定和性质等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形．57．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）定义：平面直角坐标系中有点 ， 若点 满足
且 ，则称点 为中心点，点 是点 的 “ 界环绕点”．例如：对于中心点
(1,0)，满足 且 的点，都是点(1,0)的“ 界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长
为 的正方形，中心点(1,0)是正方形的中心．
(1)点 的“ 界环绕点”所组成的图形面积为 ；
(2)直线y=kx+b(k≠0)经过点 ．
①在其图象上，点(2,3)的“ 界环绕点”组成的线段长为 ，求b的值；
②直线 与反比例函数 图象的交点横坐标为 ，求 的取值范围；
(3)关于 的二次函数 （ 是常数），将它的图象 绕原点 逆时针旋转 得曲线 ，若
与 上都存在 的“1界环绕点”，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或 或
(3)
【分析】（1）根据“ 界环绕点”的定义得到取值范围，再根据取值范围得到图形的边长进而得到图形的
面积；
（2）①根据题意得到点 的“ 界环绕点”的范围分两种情况，再利用一次函数的性质及图象即可解
答；②把 代入 得： ，即直线为 ，联立可得 ，利
用根于系数的关系得 ，得到取值范围即可；
（3）根据(1，2)的“ 界环绕点”的取值范围，再利用二次函数的性质及图象即可解答．
【详解】（1）解：①设点 的“ 界环绕点”为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴所组成的图形是边长为 的正方形，
∴点 的“ 界环绕点”所组成的图形面积是： ，
故答案为： ；
（2）①设点 的“ 界环绕点”为 ，， ，
①当直线 与左边界相交时，与y轴交于点
∵ ， ，
∴ ，
解得 ， ，
∴直线 不可能和下边界相交组成的线段长为 ．
②当直线 与上边界相交时，
∵点 ，点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
综上b的值为 或 或 ．
②把 代入 得： ，∴ ，
∴ ，
令 ，即 ，
由题可得： ， ，
∴
∵ ，
∴当 ，即 时， 有最小值，最小值为 ；
∴ ．
（3）解：设点(1，2)的“ 界环绕点”为 ，
∴ ， ，
∵x的二次函数 (h是常数)，将它的图象M绕原点O逆时针旋转90°得曲线L，M与L上都存
在(1，2)的“ 界环绕点”为 ，
∴由图象可知：抛物线x的取值在 之间时，M与L上都存在(1，2)的“ 界环绕点”为 ，
∴当抛物线经过点 时，h有最大值 ，
∵图象M绕原点O逆时针旋转90°得曲线L，
∴当抛物线经过点 时，h有最小值 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了新定义“t界密点”，反比例函数的性质，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形
的判定与性质，平面内点的坐标特征，掌握反比例函数的性质及二次函数的性质是解题的关键．
58．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象
相交于A，B两点（点A在点 的左侧），连接 并延长，交反比例函数的图象于点 ，连接 交 轴于点 ．
(1)若点 的纵坐标为6，求点 的坐标；
(2)在（1）的条件下，反比例函数图象上是否存在一点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐
标，若不存在，请说明理由；
(3)若 的面积为16，求反比例函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出A点坐标，从而确定函数的解析式，再求B点坐标即可；
（2）设直线 与y轴的交点为F，直线 与y轴的交点为H，过点H作 交于点G，求出直线
的解析式为 ，可得 ，设直线 与x轴的交点为M，直线 与x轴的交点为
N，证明 ，得到 ，再证明 ，得到 ，从而确定点 ，
通过求直线 的解析式为 ，可求点 ；
（3）设 ， ，当 时，根据根与系数的关系可知 ，则
，连接 ，则 的面积为8，通过求直线 的解析式为 ，
得到 ，再由面积 ，求出a的值，确定A点坐标后即可求函数的解析式．
【详解】（1）解：∵点A的纵坐标为6，
∴ ，
解得 ，
∴ ，将A点代入 中， ，
∴反比例函数的解析式为 ，
当 时，解得 或 ，
∴ ；
（2）解：存在点E，使得 ，理由如下：
设直线 与y轴的交点为F，直线 与y轴的交点为H，过点H作 交于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，B点与C点关于原点对称，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
设直线 与x轴的交点为M，直线 与x轴的交点为N，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时，解得 或 ，
∴ ；
（3）解：设 ， ，当 时，整理得 ，
∴ ，
∴ ，
∵B点与C点关于原点对称，
∴ ，
连接 ，∵ 的面积为16，则 的面积为8，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直角三角形的性质，等
腰三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
59．（23-24九年级上·山东泰安·期末）阅读下面的问题及其解决途径．
问题：将函数 的图像向右平移2个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途
径：
结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的空格．
问题：将函数 的图像向左平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：
(2)灵活应用
如图，已知反比例函数 的图像C与正比例函数 的图像l相交于点 和点B．将函数
的图像和直线AB同时向右平移 个单位长度，得到的图像分别记为 和 ．已知图像 经过
点 ．
①求出平移后的图像 对应的函数表达式；
②直接写出不等式 解集．
【答案】(1) ，y；
(2)① ；② 或 ．
【分析】（1）根据材料可得，将P(x,y)向右平移1个单位后， 坐标为 ，再将 坐标代入原函
数解析式；
（2）①直接把 点坐标代入 即可求出 的值，然后再把 点坐标代入 求出 的值，最后利用
反比例函数的图像与正比例函数的图像的交点关于原点对称确定 点坐标；根据题意得到函数 的图
像和直线 向右平移 个单位长度，得到的图像 的解析式为 和图像 的解析式，然后把点的坐标代入即可得到 的值，从而得到图像 的解析式和 的解析式；
②不等式 可理解为比较 和 的函数值，由于 和 为函数
的图像和直线 同时向右平移2个单位长度得到的图像；结合图像解不等式 得出解集．
【详解】（1）解：设变换后新的函数图像上任意点 的坐标为 ，
将P(x,y)向右平移1个单位后， 坐标为 ，
将 代入 得： ，
∴平移后的图像对应的函数表达式为： ．
故答案为： ， ； ；
（2）解：①把 代入 得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴反比例函数 的图像与正比例函数 的图像的交点关于原点对称，
∴ 点坐标为 ，
函数 的图像和直线 的图像向右平移 个单位长度，得到的图像 的解析式为 ，
图像 的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴图像 的解析式为 ， 的解析式为 ，
∴平移后的图像 对应的函数表达式为： ；
②由①得，函数 的图像和直线 同时向右平移2个单位长度，
∵平移之前 ， ，
∴平移以后两个函数图像的解析式为：图像 的解析式为 ， 的解析式为 ；平移后的两
个图像交点分别是 ， ，直线 与 轴的交点为(2,0)，∵不等式 ，
又∵ ，
即： ，
∴结合图像可知解集为： 或 ，
∴不等式 的解集为： 或 ．
【点睛】本题主要考查图形的几何变换，考查了反比例函数的综合应用，反比例函数图像上点的坐标特征，
会确定反比例函数与一次函数的交点坐标以及待定系数法确定解析式，用数形结合法解不等式．理解和掌
握通过图形的平移、旋转、对折确定点的坐标从而确定函数的表达式是解题的关键．
60．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)已知 为反比例函数 的图象上一点，满足 ，求点 的坐标．
(3)在第四象限反比例函数 的图象上是否存在点 ，使点 绕点 顺时针旋转 得到的对应点
恰好落在第二象限反比例函数 的图象上?若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；
(2)点 的坐标为 或 ；(3)存在这样的点 ，点 的坐标为 ．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用全等三角形性质是解答本题的关键．
（1）利用点 ， 先求出一次函数解析式，再利用解析式求出 值，根据点 的坐标得到反比例
函数解析式即可；
（2）先计算出 ，利用面积建立关于 的方程，解出 值即可得到点 的坐标；
（3）作 轴，垂足为 ，作 轴，垂足为 ，证明 可得 ，
，根据点 在反比例函数图象上列出方程求出 可得点 的坐标．
【详解】（1）解： 点 ， ， 在一次函数 图象上，
，
解得 ，
一次函数解析式为： ，
在一次函数图象上，
，
在反比例函数解析式上，
，
反比例函数解析式为： ；
（2）解：设点 的坐标为 ，
， ，
，
，
，
，
，
解得 或 ，点 的坐标为 或 ；
（3）解：如图，作 轴，垂足为 ，作 轴，垂足为 ，
设点 坐标为 ， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
若点 在反比例函数图象上，则有：
，
整理得： ，
解得 或 （舍去），
点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为： ，
答：存在这样的点 ，点 的坐标为 ．
61．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）我们定义：若点A在一个函数的图像上，且点A的横、纵坐标互为
相反数，则称点A为这个函数的“反点”．
(1)一次函数 的“反点”的坐标为______；
(2)已知反比例函数 与一次函数 有公共的“反点”，求k的值；(3)若点P为反比例函数 的“反点”，则点P到直线 上任意一点的最小距离为______；
(4)已知关于x的二次函数 对于任意的常数n恒有两个“反点”，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）设一次函数 的“反点”的坐标为 ，则 ，求解即可；
（2）设一次函数 的“反点”的坐标为 ，则 ，求解 ，得到“反点”的坐标为
，代入反比例函数 ，即可求解；
（3）易求反比例函数 的“反点”P的坐标为 或 ，设点P到直线 上任意
一点Q的距离最短，点Q的坐标为 ，根据两点间距离公式求得 的长，再根据二次函数的性质
即可得到最小值；
（4）由关于x的二次函数 对于任意的常数n恒有两个“反点”，得 有两
个不等的实数根，得到 恒成立，进而关于n的方程
无解，即可求得m的取值范围．
【详解】（1）设一次函数 的“反点”的坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴该“反点”的坐标为(−1,1)．
故答案为：(−1,1)；
（2）设一次函数 的“反点”的坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴该“反点”的坐标为 ．
∵反比例函数 与一次函数 有公共的“反点”，∴ ，
解得 ；
（3）由（2）得 ，则反比例函数为 ，
设反比例函数 的“反点”坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴点P的坐标为 或 ，
设点P到直线 上任意一点Q的距离最短，点Q的坐标为 ，
①若点 ，
则
当 时， 有最小值，为 ，
②若点 ，
则
当 时， 有最小值，为 ，
综上所述，点P到直线 上任意一点的最小距离为 ；
故答案为： ；
（4）令 得 ，
整理，得 ，
由题意，得 有两个不等的实数根，
∴ ，∵对于任意的n，不等式 恒成立，
∴关于n的方程 无解，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查新定义，函数的图象，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，根的判别式．解题
的关键是理解新定义，综合运用函数的相关知识，熟练掌握函数与方程不等式的联系．
62．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中， ，经过 的直
线与反比例函数 在第一象限内的图象交于点D，经过 的直线与反比例函数 在第一象限内的
图象交于点E，已知点D的坐标为 ．
(1)求直线 的解析式及E点的坐标；
(2)若y轴上有一动点F，直线 上有一动点G．当 最小时，求 的周长的最小值；
(3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线 上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边
形时，求P点的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) 或 或 ．
【分析】（1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线 的解析式，再用待定系数法求出反比
例函数解析式，联立求出点E坐标；
（2）先判断出 ，进而判断出EH垂直于x轴时， 最小，进而求出点G坐标，再
判断出点F在 上时， 的周长最小，即可求出答案；
（3）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标．【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ①，
∵点 在反比例函数 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ②，
联立①②解得， 或 ，
∵点E在第一象限内，
∴ ；
（2）如图1，
由（1）知， ， ，
∴直线 的解析式为 ，
过点G作 轴于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴点G在 上，且 轴，
即 时， 最小，
作点 关于y轴的对称点G'，则 ，
∴ ，
连接 交y轴于 ，
此时， 的周长最小 ，
即 周长的最小值为 ；
（3）由（2）知，直线 的解析式为 ，
设 ， ，
∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形， ， ，
Ⅰ、当 与 为对角线时， ，
∴ ，
∴ ，
Ⅱ、当 与 为对角线时， ，
∴ ，
∴ ，
Ⅲ、当 与 为对角线时， ，
∴ ，∴ ．
综上： 或 或
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积
的求法，平行四边形的性质，对称性，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
63．（23-24九年级上·山东德州·期末）综合与实践
如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块 种植农作物，地块一边靠墙（墙足够长），
另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 为 ， 为 ．由矩形地块面积为 ，得到 ，满足条件的 可看成是反比例函数
的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ，得到 ，满足条件的 可看成一次函
数 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 就可以看成两个函数图象交点
的坐标
如图，反比例函数 的图象与直线 的交点坐标为 和______，
因此，木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或 ______ ，
______
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】
（2）若 ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法说明理由．
【问题解决】
（3）求当木栏总长a为多少时？面积为 的矩形地块 满足 ．
【答案】（1） ；4；2；（2）不能，见解析；（3）8
【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象的交点问
题．
[问题探究]（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为 ；
[类比探究]（2）观察图象得到 与函数 图象没有交点，所以不能围出；
[问题解决]（3）平移直线 通过 ，将点 代入 ，解得 ；
【详解】解：[问题探究]
（1）将反比例函数 与直线 联立得
，
，
，
， ，
另一个交点坐标为 ，
为 ， 为 ，
， ．
故答案为： ；4；2；
[类比探究]
（2）不能围出；
的图象，如答案图中 所示：
与函数 图象没有交点，不能围出面积为 的矩形．
[问题解决]
（3）当木栏总长为 时，小颖建立了一次函数 ．发现直线 可以看成是直线
通过平移得到的，在平移过程中，当过点 时，直线 与反比例函数 的图
象有唯一交点．在图2中画出直线 过点 时的图象，并求出 的值为8，此时 ；
64．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，点P为一次函数 与反比例函数 的图象
的交点，点P的纵坐标为4， 轴，垂足为B，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于
点C．
(1)求m的值．
(2)点M是反比例函数 的图象上的一点，且在点P的右侧，连接 ．
①连接 ．若 ，求点M的坐标．
②过点M作 于点D，若 ，求M的坐标．
【答案】(1)24(2)① ；②
【分析】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线
是解题的关键．
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可；（2）①过点
M作 轴于点N，先求出点 ，可得到 ，从而得到 ，设点M的
坐标为 ，则 ，再由 ，求出a的值，即可求解；②过
点P作 交 延长线于点G，作 于点H，证明 ，可得
，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案．
【详解】（1）解：对于 ，
当 时， ，
解得： ，
∴点 ，
把点 代入 得：
，解得： ；
（2）解：①如图，过点M作 轴于点N，
对于 ，
当 时， ，当 时， ，
∴点 ，
∴ ，
∵ 轴，点 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
由（1）得：反比例函数解析式为 ，
设点M的坐标为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴点M的坐标为 ；
②如图，过点P作 交 延长线于点G，作 于点H，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵点M是反比例函数 的图象上的一点，
∴ ，
解得： ，
∵点M在点P的右侧，
∴点M的坐标为 ．
65．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点
为对角线 的中点，反比例函数 在第一象限内的图象经过点 ，与 相交于点 ，且点
．
(1)求反比例函数 的关系式；
(2)求 的面积；
(3)若反比例函数的图象与矩形的边 交于点 ，将矩形折叠，使点 与点 重合，折痕分别与 、 轴
正半轴交于点 、 ，求直线 的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用中点坐标公式求出点D的坐标为(2,1)，继而可得反比例函数 的关系式；
（2）利用矩形性质和点B的横坐标，得到点 ， ， ，根据三角形面积公式计算即可；
（3）设 利用勾股定理求出 ，得到 ，在利用 得到 ，求出m值得到 ，利用待定系数法求出直线 的函数关系式即可．
【详解】（1）解：∵矩形 的顶点 ，点D是对角线 的中点，
∴ ，
把点 代入反比例函数 得： ，
∴反比例函数解析式为： ；
（2）连接 ，点E在 上，
∴当 时，求得 ，
∴ ， ， ，
∴ ；
（3）连接 、 ，设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，代入 中，
得： ，即 ，
∵根据折叠性质，
∴ ，
在 中， ，
即 ，解得： ，
∴ ，
过点H作 ，垂足为点M，由折叠可知 ，
则 ，又 ，
∴ ，又 ，∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
设直线 的函数关系式为 ，
代入 和 得：
，解得 ，
∴直线 的函数关系式为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判
定和性质，折叠的性质，矩形的性质．
66．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数 与一次函数
的图象都经过点 和点 ，以AB为边作正方形 （点A、B、C、D逆时针排列）．
(1)求m的值和一次函数 的解析式．
(2)求点C的坐标．
(3)将正方形 平移得到正方形 ，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在
反比例函数 的图象上（点M与点A不重合），当正方形 与正方形 的重叠部分为正方形时，
求重叠正方形的边长．【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点 在
上是解题的关键.
（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明 即可求解；
（3）当正方形 与正方形 的重叠部分为正方形时，则点 在 上，进而求解.
【详解】（1）将点 的坐标代入反比例函数表达式得： ，
解得：
将点 、B的坐标代入函数表达式得：
解得：
则一次函数的表达式为： ；
（2）过点 作 轴的平行线交过点 和 轴的平行线于点 ，交故点 和 轴的平行线于点 ，
，
，
，
，
∴
∴点 ；
（3）当正方形 与正方形 的重叠部分为正方形时, 则点 在 上,由点 的坐标得，直线 的表达式为：
由（1）知，反比例函数表达式为： ，
联立上述两个函数表达式得： ，
4
解得：x=1(舍去)或 ，
3
即点 ，
由点 的坐标得，
则重叠正方形的边长为 ．
67．（23-24九年级上·广东清远·期末）综合运用：如图，直线 与反比例函数 的图象相交于
， 两点，连接 ， ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)求 的面积；
(3)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数 图象上，若以O，B，
M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)直线 的表达式为
(2)(3)点M的坐标为 或
【分析】（1）将 ， 代入 ，求得 ， 的值，再由 ， 坐标利用待定系数法即可求
解；
（2）先求出 、 点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，证明
，得到 ， ，再分两种情况，即可得出答案．
【详解】（1）∵ ， 两点在反比例函数 的图象上
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的表达式为： ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）设直线 交y轴于点C，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）点M的坐标为 或
解析如下：如图，由题意得 ， ，
过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，则 ，
∴ ， ，
当点 在点A的左侧时，
设 ，则 ，
∵ 在 上，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
经检验 是原方程的根且符合题意， ，不合题意，舍去；
当 时， ，
∴ ；
当点 在点A的右侧时，
设 ，则 ，
∵ 在 上，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
经检验 是原方程的根且符合题意， ，不合题意，舍去；
当 时， ，
∴ ；
综上所述：点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，
反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
68．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知一次函数 ，反比例函数 ．
(1)若 ，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
(2)若 ，两函数图象所有交点的横坐标都大于 ，求实数m的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题．
（1）由题意可得 ，再由 都是正整数，得 或 解方程即可；
（2）先由题意得 ，进而得 ，再由函数图象所有交点的横坐标都大于 ，令
，再求最值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴一次函数 ，反比例函数 ．
，
，
都是正整数，
∴ 或 ，
或 （舍去），
验证得当 时 符合题设，
；
（2）解：∵ ，
∴一次函数 ，
，
，
，令 ，则 ，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于 ，
∴ ，
，
所以当且仅当 ，即 时等号成立，
的最大值为 ．
69．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图1，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于A（2，a），B两点．
(1)求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
(2)M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以 为边的平行四边形，求
点M的坐标；
(3)如图2，反比例函数 的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为 ，点Q的横坐标与点P的横
坐标互为相反数，连接 ， ， ， ．若 的面积是 的面积的3倍，求m的值．
【答案】(1) ，A（2，1），
(2) 或
(3)
【分析】（1）将A（2，a），代入一次函数解析式，求出 值，再求出反比例函数的解析式，联立两个解
析式，求出 点坐标；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可；
（3）分别用含 的式子表示出 ， 的面积，再利用 的面积是 的面积的3倍，列式
计算即可．
【详解】（1）解：反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于A（2，a），B两点，
将A（2，a），代入 ，得： ，
∴A（2，1），
∴ ，
∴ ，
联立，得： ，整理，得： ，
解得： ，
当 时， ，∴ ；
（2）解：设 ， ，
∵A（2，1）， ，
∴点 是由点 先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的；
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是以 为边的平行四边形，
①将点 先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到 ，
则： ，即： ， ，
∴ ；
②将点 先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到 ，
则： ， ，即： ，
∴ ；
综上：当 点坐标为 或 时，以A，B，M，N为顶点的四边形是以 为边的平行四边形；
（3）如图，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，由题意，可知： ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，则：
解得：
则直线 的解析式为
当 时， ，则 ；
∵
∴ ，
∴
；
设直线 的解析式为
将 ， 代入 得：
解得：
则直线 的解析式为
当 时， 则： ，
∵ ，
∴ ，；
∵ ，
∴ ，
解得： ， ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解
析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
70．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数 与一次函数 交于 ，B
两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当 面积最小时，在直线 上存在两点 ，
且 ，求四边形 周长的最小值？
(3)如图3，在（2）问条件下，连接 ，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接 交x轴于点H，在反比
例函数上是否存在一点P，使 ？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1) ，
(2)(3) 或 或
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）当 面积最小时，经过点 平行于直线 的直线 与 有且只有一个公共点，
利用一元二次方程根与系数关系可得直线 的解析式为 ，进而可得 ，作点 关于直线
的对称点 ， 过点 作 轴交直线 于 ，连接 ，将点 沿直线
向左上平移 个单位得到点 ，连接 交直线 于点 , 将点 沿直线 向
右下平移 个单位得到点 ，则此时四边形 的周长最小，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）当点P在第四象限时，如图 ，过点 作 于点 ，延长 至 , 使 ，过点 作
轴于 ，可得 ，从而求得点 ，得出直线 的解析式为
，联立方程求得点L的横坐标，可得 ；当点 在第二象限时，如图 ，过点
作 于 ，延长 至 ，使 ，过点 作 轴于 ，同理可得
【详解】（1）把 代入 得 ，
，
把 代入 得 ，
解得： ，
；
（2）由 ，得 ，
∴ ，
当 面积最小时，经过点 平行于直线 的直线 与 有且只有一个公共点，
设过点 平行于直线 的直线解析式为 ，
则 ，即 ，
，
∴ 或 (舍去)，
∵直线 的解析式为 ，由 ，
解得: ，
∴ ，
作点 关于直线 的对称点 ，过点 作 轴交直线 于 , 连接 ，
则 ，由对称性可得 ，将点 沿直线 向左上平移 个单位得到点 ，连接
交直线 于点 ，将点 沿直线 向右下平移 个单位得到点 ，则此时四边形
的周长最小，如图 ，
，则 为平行四边形，则 ，四边形 的周长
为最小，
∵将点E沿直线 向左上平移 个单位，相当于向左平移 个单位，向上平移 个单位, 即
，
，
，
∴四边形 的周长最小值 ；
（3）在反比例函数上是否存在一点 ，使 ，且 或 理由如下：
，
∴直线 的解析式为 直线 的解析式为 ，
，
，
当点P在第四象限时，当 时，始终有 ；当点 在第二象限时，如图 ，过点 作 于 ，延长 至 ，使 , 过点 作 轴于
，
则 ，
，
，即
，
，
同理可得： ，
，
，
∴直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得： 或 (舍去)，
或 ；
综上所述，在反比例函数上存在一点 ，使 则 或 或【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，轴对称一
最小值问题，相似三角形的判定和性质等，正确添加辅助线是解题关键．
71．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）定义：对于两个关于 的函数，如果存在 取某一值时，两个函数
的函数值相等，那么称两个函数互为“明盟函数”，其中 的值叫做这两个函数的“明盟点”，相等的函
数值叫做“明盟值”．例如：对于函数 与 ，当 时， ．因此， 、 互为
“明盟函数”， 是这两个函数的“明盟点”，“明盟值”为2．
(1)下列函数中是 的“明盟函数”的有 （填序号）；
① ；② ；③ ．
(2)已知函数 与函数 ，若 与 只存在一个“明盟点”，求 的值或取值
范围；
(3)若无论 取何值， （ 为常数），与函数 （ 为常数，
）始终是“明盟函数”，且只有一个“明盟点”，求 的值以及“明盟值”的范围．
【答案】(1)①③
(2) 或 或
(3) ，“明盟值”的范围为
【分析】本题考查了新定义、一次函数、二次函数的以及函数与方程等知识．解题的关键是读懂新定义．
（1）利用函数与方程的知识解答即可；
（2）画出图像解答即可；
（3）利用“明盟函数”“明盟点”“明盟值”的定义以及一次函数和二次函数的交点来做即可．
【详解】（1）解：利用“明盟函数”的定义联立方程，可得
，解得： ，符合题意；
，即 无解，不符合题意；
，解得 ，符合题意；
①③符合题意
故答案为：①③（2）
由图可得： 或 或
（3）由题可知，联立函数解析式可得
化简得：
关于 的方程有两个相等的实数根，即 ， ，
且与n的取值无关，即 ， ，
将 代入方程 得， ，
将 代入函数 得， ，
函数 对称轴为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以， ，即“明盟值”的范围为 ．
72．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1，已知双曲线 ，直线 ：
，过定点 ，且与双曲线交于 、 两点，设A(x ,y )，B(x ,y ) ．
1 1 2 2
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的值；(3)如图2，若 ，点 在双曲线上，点 在直线 ： 上，且 轴，求 的
最小值，并求出此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 时， 最小值是
【分析】（1）根据题意求出直线 的解析式，联立方程组，求出双曲线与直线的交点横坐标，再求出直线
与 轴的交点 的坐标，结合三角形的面积公式即可求解；
（2）先联系方程组，结合双曲线与直线有两个交点，以及一元二次方程根与系数的关系可得
， ，根据两点间的距离公式可求出 ，结
合题意列出方程 ，解方程即可求出 的值；
（3）先结合题意求出点 的坐标，连接 ，结合题意设设 ，则 ，分别求出
和 的值，得出 ，即可得出点 在 上时， 最小值是 ，待定系数法求出 所在
直线的解析式，联立方程求出点 的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，直线 的解析式为： ，
联立得， ，
化简得： ，
解得： ， ，
设直线 与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
即 ，故 ．
（2）解：根据题意得： ，
整理得： ，
∵ ，
根据题意可得 、 是方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
结合 ，可得： ，
将 ， 代入得出 ，
化简可得 ，
即 ，
整理得， ，
即 ，
解得： 或 ．
（3）解：∵直线 ： ，过定点 ，
∴ ，
连接 ，如图：∵点 在双曲线上，点 在直线 ： 上，且 轴，
故设 ，则 ，
故 ，
，
即 ，
∴ ，
当点 在 上时，等号成立，
设 所在直线的解析式为 ，
将 ， 代入得出 ，
解得： ，
故 所在直线的解析式为 ，
联立联立得， ，
化简得： ，
解得： ， （舍去），
当 时， ，
即点 的坐标为 ，
当 时， 最小值是 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两点间的距离公式，三角形的面积、一元二次方
程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数的解析式等．解题
的关键是学会联立方程组求两个函数的交点坐标，根据两点之间线段最短解决最短线段和最小的问题．题型六：反比例函数与几何综合
73．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，矩形 的顶点A、B分别在反比例函数 与
的图像上，点C、D在x轴上， 分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设 、 ，根据题意：利用函数关系式表示出线段 ，然后利用
三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点A的坐标为 ， ．则 ．
∴点B的纵坐标为 ．
∴点B的横坐标为 ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
．∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形
的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
74．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中， 在x轴上， 在y轴上，点A的
坐标为(0,4)，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数
的图象上，则k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】由 绕点A逆时针旋转 得到 可得 为等边三角形，再通过点A的坐标为(0,4)
可求得 ，最后过点D作 轴构造直角三角形求出点D坐标即可求解．
【详解】解：将 绕点A逆时针旋转 得到 ，
，
为等边三角形，
点A的坐标为(0,4)，
，
设 则 ，
，
解得： ，
，
过点D作 轴如图：， ，
点D坐标为 ，
点D在反比例函数 上，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，等边三角形
的判定及性质，解答本题的关键是铅锤法构造直角三角形求点的坐标，利用数形结合的思想解答．
75．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，点A在反比例函数 （ ）的图象上，点B在反比例
函数 的图象上，且 ．线段 交反比例函数 （ ）的图象于另一点C．连
按 ，若点C为 的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作 于F；设
，证明 ，则可得 ，即可得 ；设 ，可分别求
得 的长，由勾股定理求出 ，即可求得结果．
【详解】解：如图，分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作 于F；则 ，
∴ ；
设 ，
则 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
即 ，
∴ ，
即 ；
设 ，则 ，
由勾股定理得： ；
∵C为 中点，
∴ ；
∵ ，
∴ ，由勾股定理得 ，
在 中， ．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，
求角的余弦值等知识，构造相似三角形是关键．
76．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 、 在 轴上，且
，将 绕点 逆时针旋转 后得到 ， 是 上一点，且 ，连接 、
，若 ，反比例函数 的图象恰好经过点 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 ,交 的延长线与点 ，易证 ，则 ，
；设 ，则 ， ， ，因为 ，
所以 ，求得 ， ，过点 作 于点 ，利
用相似三角形的性质，
【详解】解：如图，过点 作 ,交 的延长线与点 ，
则 ，
，
，
由旋转可知， ， ， ， ，
轴， ，
， ，
设 ，
，， ，
，
，
，
即 ，
解得: ， 舍去 ，
， ，
过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
．
故选：D．
【点睛】本题属于反比例函数与几何综合，主要考查反比例函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质
与判定，相似三角形的判定和性质等内容；正确作出辅助线求出点 的坐标是解答本题的关键．
77．（24-25九年级上·全国·期末）如图，直线 与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线
上一点，且 是以 为底的等腰直角三角形， 于D，M、N分别是 上的一动
点，且 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ 平分 ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】首先求得 、 的坐标，过点D作 轴，过点A作 于点P，过点C作 于
点Q，证明 ，即可求得 的坐标，从而利用待定系数法求得 的值； 于点 ，作
于点 ，易证 ，则②可以得证，然后利用待定系数即可证得③是正确的；利用
， 的特殊位置说明④的正确性．
【详解】解：在 中，令 ，
解得： ，则 的坐标是(0,1)；
令 ，解得： ，则 的坐标是 ，
是以 为底的等腰直角三角形， ,
点是 中点， ，
则 的坐标是： ，
过点D作 轴，过点A作 于点P，过点C作 于点Q，
，
，
，的横坐标是 ，则纵坐标是 ，
则 的坐标是： ．
把 代入 得： ．
故①正确；
作 于点 ，作 于点 ，
则 ，且 ，
，
，
在 和 中， ，
．
， ，
又 等腰直角 中， 是中线，
，
，故②正确；
在直角 中， ，
设 ， ，
则 ，
，
则 ③正确；
当 在 点时， 正好在 点，不会出现 平分 的情况，故④一定是错误的；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，正确求得 的坐标是关键．
78．（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这
个函数图象的“等值点”．例如，点 是函数 图象的“等值点”．设函数 ，
图象的等值点分别是A，B，过点B作 轴，垂足为点C，当 的面积为5时，b的值为
．
【答案】 或
【分析】设 ， ，代入 得，求得， 或 （舍去），则 ，设 ，代入 ，求得， ，则 ， ，整理得， ，分
时， 时，两种情况，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设 ， ，
将 代入 得， ，
解得， 或 （舍去），
∴ ，
设 ，
将 代入 ，得 ，
解得， ，
∵ 轴，垂足为点C，
∴ ，
∴ ，整理得， ，
当 时， ，
解得， 或 ；
当 时，此时无解；
综上所述，b的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与面积综合，一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程，绝对值方程．
熟练掌握反比例函数与面积综合，一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程，绝对值方程是解题的关
键．
79．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数 上取一点 ，连
接 ，作等腰 ．
（1） 的坐标为 ．（2）若过点 作 交反比例函数图象于点 ，过点 作 交x轴于点 ，…，按此依
次作图，则 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题属于规律探究题型，主要考查反比例函数和等腰直角三角形，数形结合是解题的关键．
（1）过点 作 轴于点 ，根据等腰直角三角形的性质可设 的坐标为 ，代入反比例函数
，即可求解；
（2）分别过点 、 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 、 ，根据等腰直角三角形的性质和反比例
函数的性质求出 、 的坐标，找到点的坐标规律，即可求解．
【详解】（1）如图，过点 作 轴于点 ，
是等腰直角三角形，且 ，
，
设 的坐标为 ，代入反比例函数 ，得：
，
解得： ， （不符合题意，舍去），
的坐标为 ；
（2）如图，分别过点 、 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 、 ，
是等腰直角三角形，且 ，
， ， ，由（1）知， ， ，
，
，
设 ，则 ，
，
点 在反比例函数 上，
，
解得： ， （舍去），
，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
点 ，
点 在反比例函数 上，
，
解得： ， （舍去），
点 ，
即点 ，点 ，
同理可得：点 ，以此类推，可得 的坐标为 ，
故答案为： ．
80．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中．等边 的顶点A在第一象限，点
．双曲线 把 分成两部分，若 ．
（1）双曲线与边 ， 分别交于 ， 两点， 的值为 ．
（2）连接 ，则 的面积为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，反比例函数系数 的几何
意义，三角形的面积．
（1）依据题意，作 轴于 ， 轴于 ，设 ，从而 ，再表示出
， ，从而可得 ，计算可以得解；
（2）依据题意，连接 ，作 轴于 ， 于 ，从而 ，进而 ，再结合
题意得 ，故可得 ，又由 ，从而 ，最后可以计算得解．
【详解】解：（1）如图，作 轴于 ， 轴于 ，
设 ，
．
在 中， ，， ．
，
在 中， ，
， ．
又 ，
．
，
又 、 在 上，
．
， ．
故答案为： ；
（2）如图，连接 ，作 轴于 ， 于 ．
∴ ，
∴ ，
，
由题意， ，
，
又由（1）得 ， ，
， ．．
连接 ．
，
又 ，
．
又 ，即 ，
．
．
．
．
故答案为： ．
81．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在反比例函数 图象的两支上分别取点 ， ，
过点 ， 分别作 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ， ．若四边形 的面积为15，且
，则 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，如图，延长 和 ，相交于点 ，设 ，
，则 ， ， ，证明 得 ，设 的面积为 ，
则 的面积为 ，求出 的面积为1，进一步可得出 的值．【详解】解：如图，延长 和 ，相交于点 ，设 ， ，则 ， ，
，
，
； ，
，
，即 ，
整理得， ；
设 的面积为 ，则 的面积为 ，
，即 ，
解得， ，
经检验， 是原方程的解；
．
故答案为：6．
82．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，点 是反比例函数 上一点，过点 作 轴、
轴的垂线，分别交反比例函数 的图像于点 、 ，若 ， ，则点 的
坐标为 ．【答案】
【分析】延长 交 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，连接 ，设点 ，可表示出 和 两点坐
标，计算得出 ，从而得出 ，进而推出 ；根据 ，可解得
，再证得 ，从而得出 ， 的关系式，结合 ，从而求得 ， 的值，
进而得出答案．
【详解】解：如下图，延长 交 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，连接 ，
设点 ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判
定与性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
83．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，曲线 是二次函数 图像的一部分（其中A
是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线 是反比例函数 （ ）图像的一部分，A，C
两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“ ”的过程，形成一组波浪线．若点 是波浪线
上的点，则 ；若点 和 是波浪线上的点，则 的最大值为 ．
【答案】 11
【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由抛物线求出点A、点B；再将点P代入抛物线解析式可求得a的值；由点B求出双曲线k，再求出C，得
到12个单位一循环，求出m、n的最大值即可求解．
【详解】解：∵点A在抛物线 上，
∴令 ，则 ，
∴ ，
又∵点B是抛物线 的顶点，
∴ ，
∴ ,
则点 再抛物线 上，即 ；
∵点B在双曲线 上，
∴ ，
∴双曲线解析式为 ，
∴点 ，
∵ ，
所以点P的纵坐标和 时的纵坐标相等，
当 时， ,
所以 ，
∵波浪线的最高点为二次函数顶点，
所以n的最大值为12，
所以 最大值为 ．
故答案为11， ．
84．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函
数 （ ）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作 轴于点E，过点D
作 轴于点F， 与 交于点G（4，3）．(1)当点D恰好是 中点时，求此时点C的横坐标；
(2)如图2，连接 ，求证： ；
(3)如图3，将 沿 折叠，点G恰好落在边 上的点H处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】根据点 坐标求出点 坐标，代入表达式即可；（2）根据点坐标表示线段长度，证明
即可；（3）过点 作 轴的垂线，构造一线三直角模型，根据相似列比例式，解出比例
式即可．
【详解】（1）解： 点D是FG中点
点D（4， ），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：
即反比例函数的表达式为：
当 时，解得：
即此时点C的横坐标是2
（2）解：设点D（4， ），C（ ， ），
则
则
同理可得：
∴
（3）解：过点C作 于点N，设 ，
则 ，
即点C、D的坐标分别为（ ，3）、（4， ）
则 ①
∵ ∠CHD＝90°
∴ ，
∴
∴
∴ ②
联立①②并解得：
则点D（4， ）
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：
故反比例函数的表达式为：
【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合，相关知识点有：相似三角形的判定与性质，待定系数法求
表达式等，找到相似三角形是解题关键．
85．（23-24九年级上·广东佛山·期末）阅读材料：有一边是另一边的 倍的三角形叫做卓越三角形，这两
边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．
(1)在 中， ，若 为卓越角， 为卓越边，则 的度数为________；(2)如图①，卓越 中， ， 是卓越角， 为卓越边，若 ，求 的长；
(3)如图②，卓越 中， 为卓越边， 为卓越角，且 ，点 、 均在函数 的图
象上，点 在点 的上方，点 的纵坐标为 ．当 是直角三角形时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接点C和 中点D，根据题意得出 ，设 ，则 ，则
，通过证明 为等边三角形，得出 ，即可求解；
（2）过点B作 于点H，易得 ，根据题意得出 ，求出
，最后根据 即可解答；
（3）根据题意得出 ，然后进行分类讨论：①当 时，过点B作 轴于点N，过
点C作 于点M，通过证明 ，设 ，则 ，得出 ，
，即可解答；②当 时，
过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E，通过证明 ，设 ，则 ，
则 ，设 ，则 ，得出 ， ，即可解答．
【详解】（1）解：连接点C和 中点D，
∵ 为卓越角， 为卓越边，
∴ ，
设 ，则 ，
根据勾股定理可得： ，
∵ ，点D为 中点，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解：过点B作 于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ 是卓越角， 为卓越边，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ；
（3）解：∵卓越 中， 为卓越边， 为卓越角，
∴ ，
①当 时，
过点B作 轴于点N，过点C作 于点M，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，∵ ，点 的纵坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
把 ， 代入 得：
，
解得： （舍去），
∴ ；
②当 时，
过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，点 的纵坐标为 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
把 ， 代入 得：
，
解得： （舍去），
综上： ．
【点睛】本题主要考查了新定义，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练
掌握相关性质定理，正确理解题目所给“卓越三角形”的定义是解题的关键．
86．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数 分别与 轴和反比例函数
交于点 ， ．
(1)求反比例和一次函数表达式；
(2)反比例图象上是否存在点 ，使得 的面积与 的面积相等，若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由；(3)把一次函数 的直线绕 点旋转一定角度交反比例函数 的图象于另一点 ，交 轴
于点 ，当 时，求直线 的解析式．
【答案】(1)
(2)存在点 ，坐标为 或
(3) 的解析式为：
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用三角形面积的性质及平移规律得出平移后的直线解析式，再联立方程组即可求出点 的坐标；
（3）过点 ， 分别向 轴作垂线，并利用平行线分线段成比例定理求出 的长，从而求出点 的坐
标，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）将点 代入一次函数 得：
，则 ，
一次函数的表达式为： ，
将点 代入 得： ，则 ，
，
将 代入反比例函数 得： ，
反比例函数的表达式为： ，
（2）存在点 ，如图1所示：
过 作 交双曲线于点 ．
则 （同底等高的两个角形的面积相等），
的解析式 ，的解析式为 ，
令 ，
解得： ， （舍去），
， ，
直线 交 轴于点 ，
，
把 向下平移2个单位，则 的解析式为： ，
令 ，解得： ， （舍去）
， ，
存在点 ，坐标为 ， 或 ， ，
（3）如图2所示：
过 ． 分别向 轴作垂线，垂足分别为 ． ，
，
，
，
，
，
，
，
，
点横坐标为 ，，
， ，
设 的解析式为： ，
把 ， ， 代入得：
，解得： ，
的解析式为： ．
【点睛】本题为反比例函数综合题，主根考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，平移
规律，三角形的面积性质，平行线分线段成比例定理等，综合性强，难度适中．
87．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，已知点A(a,0)， ，且a、b满足
，平行四边形 的边 与y轴交于点E，且E为 的中点，双曲线 上
经过C、D两点.
(1)求k的值；
(2)点P在双曲线 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出
满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段 为对角线作正方形 （如图3），点T是边 上一动点，M是 的中点， ，
交 于N，当T在 上运动时， 的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求
出其值.
【答案】(1)
(2) 或 或(3)不变，
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得出A、B两点的坐标，设 ，由 ，可
知 ，再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式；
（2）由点P在双曲线 上，点Q在y轴上，设 ， ，再分以 为边和以 为对角线
两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．
（3）连接 ，易证 ，故 ， ， ，
由此即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，且 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵E为 中点，且横坐标为 ，根据中点坐标的计算方法，
∴ ，
设 ，
由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，
则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵D点在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）知： ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵点P在双曲线 上，点Q在y轴上，
∴设 ， ，①当 为边时：
如图1所示：若 为平行四边形，
∵ ， ，则 ，
解得 ，
此时 ， ；
如图2所示，若 为平行四边形，
∵ ， ，则 ，
解得 ，
此时 ， ；
②如图3所示，当 为对角线时： ，且 ；
∵ ， ，∴ ，
解得 ，
∴ ， ；
故点Q的坐标为： 或 或(0,4)；
（3）解：如图4，连接 ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
四边形 中， ，而 ，
∴ ，
∵四边形 内角和为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四
边形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，
当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题．88．（23-24九年级上·广东茂名·期末）已知点 在反比例函数 的图象上，以 为边长作正方
形 ，使正方形顶点 在 轴上方， 与 轴的夹角为 ．
(1)如图1，当点 在 轴上时，求点 坐标；
(2)①如图2，当 时， 与 轴相交于点 ，若 ，求点 的坐标；
②如图3，当 时， 与 轴相交于点 ，若 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）如图：过点 作 轴于点 ．证明 为等腰直角三角形，得到 ，则
，由反比例函数比例系数的几何意义得到 ，则 ，求出
，则点 坐标为 ；
（2）①如图，过点 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ．先解直角三角形得到 ，即
，证明 ，得到 ，同理可得 ，设 ，则
，则 ，求出 ，证明 ；解直角三角形求
出 ．则 ．即可得到点 坐标为 ．②如图，过点 作
轴于点 ，先解 中，得到 ，设 ，则 ，则 ，解得
（负值舍去）得到 ， ．由勾股定理得 ．证明 ，得到 ，即 ，求出 ．得到 ．过点
B作 轴于G，证明 ，求出 ．得到 则点 的坐标为
．
【详解】（1）解：如图：过点 作 轴于点 ．
四边形 为正方形；
，
为等腰直角三角形，
∴ ，
，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
，
，
点 坐标为 ；
（2）解：①如图，过点 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ．，
，即 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
同理可得 ，
设 ，则 ，
∵ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ；
．
．
点 坐标为 ．
（2）如图，过点 作 轴于点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
中， ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 （负值舍去）
∴ ， ．
中，由勾股定理得 ．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，即
∴ ．
．
过点B作 轴于G，
∵ ，
∴ ，∴ ，即
∴ ．
点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形
的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，根据反比例函数比例系数的几何意义利用面积法求出对应
线段长是解题的关键．
89．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）如图，射线 在第一象限内，射线 在第二象限内， ，
射线 与函数 交于点A，射线 与函数 交于点B，连接 ，根据下列条件解
答问题：
(1)如图，过点A作 轴于点D，过点B作 轴于点C，求证： ；
(2)如果点A的坐标是 ，求点B的坐标；
(3)当 在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中， 的度数是否保持不变？如果不变，求
的值？如果变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)不变，
【分析】（1）由 ，可得 ，进而可证 ；
（2）设 ， ，则 ， ，由题意知， ，由 ，可得 ，即 ，整理得， ，求满足要求的 值，然后可求点B的坐标；
（3）设 ， ， ， ，则 ， ， ， ，由
，可得 ，即 ，可求满足要求的 ，则 ，
，可知 的度数保持不变，由勾股定理得， ，根据
，计算求解即可．
【详解】（1）证明：由题意知， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：设 ， ，则 ， ，
∵点A的坐标是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，整理得 ，
解得， 或 （舍去），
∴ ；
（3）解：设 ， ， ， ，则 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得， ，
解得， 或 （舍去），
∴ ，即 ， ，∴ 的度数保持不变，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ 的度数保持不变， 的值为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合，勾股定理，正切，正弦等知识．
熟练掌握相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合，勾股定理，正切，正弦是解题的关键．
90．（23-24九年级上·山东济宁·期末）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，
直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【探究发现】
（1）如图1， ，垂足分别为C、D，点E 是 的中点，连接 ，已知 ，
．
①分别求出线段 、 的长（用含 a、b的代数式表示）；
②比较大小： ______ （填“<”、“>”），用含 a、b的代数式表示该大小关系为_______．
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系 中，点 M、N在反比例函数 的图象上，横坐标分别为
m、n．设 记 ．
①当 ， 时， _______；当 ， 时， _______；
②通过归纳猜想，可得 l的最小值是_______．
【答案】（1）① , ；②＞， ；（2）①1， ；②1．
【分析】（1）①根据垂直定义得到 ，根据余角性质得到 ，得到
，得到 ，根据 , 得到 ；根据直角三角形斜边上中线性
质得到 ；②根据直角三角形边的性质得到 ；（2）①根据 得到 ， ，根据 ， ，得到 ；根
据 ， ，得到 ；②归纳①的结论，得到 ，得到l有最小值1．
本题主要考查了相似三角形，反比例函数综合．熟练掌握反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，
直角三角形斜边中线的性质及边的关系，是解决问题的关键．
【详解】（1）①∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ , , ,
∴ ，
∵点E 是 的中点，
∴ ,
∴ ；
②∵ ，
∴ ；
故答案为：>， ；
（2）①∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
故答案为：1， ；②由①知，当 时， ,
当 ， 时， ，
∴ ，
∴l有最小值1．
故答案为：1．
91．（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．
如图，已知双曲线 经过点 ，在第一象限内存在一点 ，满足 ．
(1)求 的值；
(2)如图 ，过点 分别作平行于 轴， 轴的直线 于点 、 ，记线段 、 、双曲线所围
成的区域为 （含边界），
当 时，区域 的整点个数为 ；
直线 过一个定点，若点 为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为 ，直
线下方（不包含直线）的区域记为 ，当 与 的整点个数之差不超过 时，请求出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)① ，② ．
【分析】（ ）根据点 在 的图象上，可求出 的值；
（ ） 标出区域 ，再统计区域内的整数点即可；
过定点即表示与 的取值无关，则有 的系数 等于 ，便可解决问题，利用图象，求出区域内的
所有整数点，再分类讨论即可；
本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．
【详解】（1）∵双曲线 经过点 ，
∴ ，即 的值为 ；
（2） 当 时，由图 可知，
上的整点有 个，
上的整点有 个，
双曲线上 段的整点有 个，
区域 内部的整点有 个，
又点 ， ， 都被算了 次，
所以区域 的整点个数为： ，
故答案为： ；
由题知， ，
则不论 为何值， 时，即直线过定点 ，
∴ ，
如图所示，当 时，区域 内的整点共有 个，
又被分成的区域 和 的整点个数之差不超过 ，
则当直线经过点 时， 的整点个数是 ， 的整点个数是 ，满足要求，
此时 ，得 ，
当直线过点 时， 的整点个数是 ， 的整点个数是 ，不满足要求，故当点 在直线上方时，
即可，
此时 ，得 ，
故 的取值范围是： ．
92．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点 分别
在x轴，y轴的正半轴上，对角线 ， 相交于点D，将正方形 绕点O逆时针旋转α（
）得正方形 ，点 的对应点分别是 ，函数的图象记为图象G．
(1)当 ， 时，点 恰好在图象G上，求k的值；
(2)当点 同时在图象G上时，点 横坐标为4，求k的值；
(3)点P为x轴上一动点，当 时，图象G过点D，且 的值最小时， ，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由旋转得： ， ，过点过点 作 于K，可得 ，
再运用待定系数法即可求得k的值；
（2）过点 作 于K，过点 作 轴于G，交 于E，作 轴于F，过点 作
轴于H，设 ， ， ，先证明 ，可得：
， ，表示 ，再求得 ，根据点 ， 同时在图象G
上，可得 ，由 ，可得 ，，即可求得答案；
（3）设设正方形 的边长为b，则 ， ， ， ），作点C关于x轴的对
称点 ，连接 交x轴于点P，此时 的值最小，过点 作 轴
于K，过点B′作 轴于F，作 轴交 于E，则四边形 是矩形， ，
， ， ，可得 ，可求得 ，即可求得答案．
【详解】（1）∵当 ， 时，正方形 绕点O逆时针旋转α（ ）得正方形
，∴ ， ，
过点 作 于K，如图，
∴ ， ，
∴ ，
将 代入 ，得
，
∴ ；
（2）如图，过点 作 于K，过点 作 轴于G，交 于E，作 轴于F，过点
作 轴于H，
设 ，则 ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由旋转得 ， ， ，D′是正方形 的中心，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵点B′横坐标为4，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 同时在图象G上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
当 时， 不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；∴k的值为 ；
（3）设正方形 的边长为b，则 ， ， ， ，
当 时， ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，此时， 的值最小，
如图，过点A′作 轴于K，过点B′作 轴于F，作 轴交 于E，
则四边形 是矩形， ， ， ，
由（2）知： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∵正方形 的对角线 相交于点D，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
∴ ．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相
似角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解
决问题．
93．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 图
象上任意一点，点 是 轴正半轴上的任意一点．
(1)若点 是 上任意一点， ，试说明 ；
(2)在（1）的条件下，已知点 的横坐标为 ，点 的坐标 ，求点 的坐标；
(3)若点 的纵坐标为 ，点 的坐标 ， 上是否存在一点 使得 与 相似？若存在，求
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)点 的坐标为 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定判断即可得证；（2）把 代入 得 ， 进而得 ， ，于是可得
，再由相似三角形的性质得 ，解得 ，过 作 于 轴，分别求出
和 的长即可得解；
（3）分别过点 、 作 轴、 轴于点 、 ，把 代入 得 ，解
得 ，利用勾股定理及三角形函数得 ， ，进而由 ，
分 和 两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ；
（2）解：点 的横坐标为 ，点 的坐标 ，
∴ ， ，
把 代入 得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由（ ）得 ，
∴ 即 ，
解得 ，
过 作 于 轴，
∵ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ；（3）解：分别过点 、 作 轴、 轴于点 、 ，
把 代入 得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由 得要使 与 相似，有 或 ，
当 时， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ；当 时， ，此时点 、 重合，
∴ ，
综上点 的坐标为 或 时， 与 相似．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形以及勾股定理，熟练
掌握相似三角形的判定及性质以及解直角三角形是解题的关键．
94．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，矩形 的顶点 分别在 轴和 轴上，点 的坐标
为 ， 是边 上的一个动点（不与 重合），反比例函数 的图象经过点 且与边
交于点 ，连接 ．
(1)如图1，若点 是 的中点，求 点的坐标；
(2)如图2，若直线 与 轴， 轴分别交于点 ，连接 ，求证： ；
(3)如图3，将 沿 折叠，点 关于 的对称点为点 ，当点 不落在矩形 外部时，求 的
取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由 是 的中点，求出 ，进而求解；
（2）证明 ，即可求解；
（3）当点 在 轴上时， 的值最小；若点 与点 重合，则 的值最大；若点 与点 重合，则
，即可求解．
【详解】（1）解：如图1， 四边形 是拒形，
轴， 轴，
， 是 的中点，
，
双曲线 经过点 ，，
，
当 时， ，
点 的坐标为 ．
（2）证明： 点 、点 都在双曲线 上，
， 、 ，
则 ， ，
则 ，同理可得： ，
， ，
，
；
（3）解：如图3，连接 、 交于点 ， 交 于点 ，
， ，
随 的增大而增大，
当点 在 轴上时， 的值最小；若点 与点 重合，则 的值最大，
垂直平分 ， ，
，
，且
，
解得： ，则点 ， ，
则 ．
若点 与点 重合，则 ，
的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、最值的确定等，确定 的临界点是（3）中
解题的关键．
95．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形 的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、
D位于第一象限，且 ，对角线 交于点G，若曲线 经过点C、G．
(1)设 ，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）；
(2)求点C的坐标；
(3)求矩形 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，根据矩形的性质可得 ，
进而得到 、 即可解答；
（2）由题意可得 解得 ，作 轴于H，即 ；再证明 ，利用相
似三角形的性质列比例式可得 ，进而得到 即可解答；
（3）由勾股定理可得 、 ，然后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵曲线 经过点C、G，
∴ ，
解得： ，
如图：作 轴于H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ ，∴
∵ ， ，
∴
∴矩形 的面积 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形、勾股定理、反比例函数与
几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
96．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数 的图象经过 的两个顶
点，则函数 是 的“勾股函数”，函数 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为
且 当自变量x满足 时，此时函数 的最大值记为 ，最小值记为
，则 是 的“ ”值．
已知： 在平面直角坐标系中， ， ， 轴．
(1)如图， 若点 坐标为 ， ．
①一次函数 是 的“勾股函数”吗? 若是，说明理由并求出 的“ ”值，
若不是，请说明理由；
②是否存在反比例函数 是 的“勾股函数”，若存在，求出 值，不存在，说明理
由．
(2)若点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ， 二次函数 是 的“勾股函数”．
①若二次函数 经过 两点，且与 的边有第三个交点，则 的取值范围是 ；
②若二次函数 经过 两点， 且 的“ ”值 求 的值．
【答案】(1)①是，理由见解析；2②
(2)① ② ．
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，新定义“勾股函数”和
的“ ”值，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．（1）①根据“勾股函数”， “ ”值的定义即可求得答案；
②运用待定系数法即可求得答案；
（2）①运用待定系数法可得 ，得出抛物线的对称轴为：直线 ，
再结合题目条件列出不等式组即可求得答案；
②分两种情况：点B在点A上方，即 ，点B在点A下方，即 ，分别讨论即可．
【详解】（1）解：①一次函数 是 的“勾股函数”，
由 轴，点C坐标为 ， ，可得：
点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∵ 和 这两点都在直线 上，
∴一次函数 是 的“勾股函数”，
∵ ，
∴一次函数 的函数值y随x的增大而减小，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ 的“ ”值为2；
②存在，理由如下：
∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴ ，
∴点A和点B在同一个反比例函数 图象上，
∴反比例函数 是 的“勾股函数”，且 ；
（2）解：①∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， 轴，
∴ ，
∵二次函数 经过A，B两点，
∴将 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，∴抛物线的对称轴为：直线 ，
∵二次函数 与 的边有第三个交点，
∴点B在 上方，对称轴在点A、C之间，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
②由 ，可得其顶点坐标为： ，
第一种情况，点B在点A上方，即 ，
（i）当点B和点A在对称轴左侧，即 ，解得 ，
此时 随x的增大而减小，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
（ii）当对称轴在点A和点C之间，即 ，
此时 最大，顶点y值最小，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍去）， （舍去），
∵ ，
∴ 都舍掉；
第二种情况，点B在点A下方，即 ，
（i）当点B和点A在对称轴右侧，即 ，解得 ，
此时 随x的增大而增大，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍去）， ，
∴ ；
（ii）当对称轴在点A和点C之间，即 ，
此时 最大，顶点y值最小，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍去）， ， ；
综上所述， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，新定义“勾股函数”和
的“ ”值，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
97．（24-25九年级上·全国·期末）如图 ，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交
于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)在 轴上有一点 ，直线AD与反比例函数图象交于点 ，连接CB．求 的面积；
(3)如图 ，以线段AB为对角线作正方形 ，点 是线段 上的一动点，点 是线段AB上的一动点，
连接 、 ，使 ，当点 运动到 的三等分点时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)(3) 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 的面积 ，即可求解；
（3）证明 ，则点 是 的中点，由中点坐标公式得点 的坐标，进而求解．
【详解】（1）当 ，则 ，即点 ，
∴ ，解得
则一次函数的表达式为： ；
（2）如图 ，设直线 交 轴于点 ，
由点 、 的坐标得，直线AD的表达式为： ，
∴点 ，
∴ ，
联立直线AD和抛物线的表达式得： ，
解得： （舍去）或 ，
即点 ，
则 ；
（3）由点 、 的坐标得， ，
则 ，
∵ ，∴ ，
即点 ，
在正方形 中，AB的中点即为 的中点，
由中点坐标公式得：点 ，
过点 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，
则 ，
∴ ∽ ，
当 时，
，
又∵ ，
∴ ，即点 的纵坐标为 ，
同理可得， ，
即点 ，
当 时，
同理可得，点 ，
即点 的坐标为： 或 ；
过点 作 ，则 ， ，
∵ ，则 ，
∴点 是 的中点，
由中点坐标公式得：点 或 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
∵ ，
则 的表达式为： 或y ，
分别将上述两式和AB的表达式联立得： 或 ，
解得： 或 ，
∴点 或 ．【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及正方形的性质、一次函数的性质、三角形相似，确定直
线间的关系是解题的关键．
98．（24-25九年级上·全国·期末）已知点 在反比例函数 的图象上，点
在 轴上，连接 ，如图1，将 绕着 点顺时针旋转 至点 ，点 正好落在 轴上．
(1)求k的值和点 的坐标；
(2)若点 在反比例函数图象上，连接 并延长至点 ，使得 ，连接 ， ，
①如图2，连接 并延长交 轴于点 ，当 轴时，试说明 平分 ；
②如图3，连接 交 于点 ，将 沿着 翻折，记点 的对应点为 ，若点 恰好落在
线段 上，求 与 面积之比．
【答案】(1) ，
(2)①见解析；②2
【分析】（1）过点 作 轴于点 ，由旋转性质得： ， ，可证得
，得出 ， ，进而可得 ，求得 ，由 ，
可得 ；
（2）①过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 ，由
轴，可得 ， ，由 ，可得 ，由 ，可得 ，
再证得 是等腰直角三角形，即 ，可得 平分 ；
②由旋转性质可得 ， ，证得四边形 是正方形，得出 ， ，
运用待定系数法可得直线 的解析式为 ，联立方程组可得 ，进而得出
，进而可得 ．
【详解】（1）解：如图1，过点 作 轴于点 ，
则 ，将 绕着 点顺时针旋转 至点 ，
， ，
，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
；
（2）①证明：如图2，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
则 ，
， 轴，
， ，
，
连接 并延长至点 ，使得 ，
，
，四边形 是矩形，
， ，
同理可得 ，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
平分 ；
②解： 将 沿着 翻折，点 的对应点为 恰好落在线段 上，
， ，
，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，设直线 的解析式为 ，将 代入，得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得： （舍去）， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角
三角形的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，三角形面积，全等三角形的判定和性质，翻折变换的
性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
99．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点 和 是一次函数 的图象与反比例函
数 的图象的两个交点，直线 交y轴于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)从下面A，B两题中任选一题作答．A．设y轴上有一点 ，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边
形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标；
B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，
请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1) ；
(2)8
(3)A． ， ，
B． , , ,
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出 ，利用反比例函数求点B的坐标为 ，
将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可；
（2）过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点F，先求出点C的坐标，再利用
即可求出 的面积；
（3）A：先确定点A、B、P的坐标，设点D的坐标为 ， 当 是边时，利用平移可得 ，
或 ， ，求出s、t， 当 是对角线时，由中点公式得： ，
求即可；
B：由直线 求点 ，由点A、C的坐标求 ，设点Q的坐标为(0,m)，点M的坐标为 ，
当 为边时，则 或 ，即 或 ，求出s、m， 当 是对角
线时，则 且 的中点即为 的中点，则 ，解方程组即可．
【详解】（1）解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
得 ，
反比例函数的表达式为 ；
点 在反比例函数 的图象上，，
解得： ，
点B的坐标为 ，
将点 和 的坐标分别代入 ，
得 ，
解得 ，
一次函数的表达式为 ．
（2）解：在 中，当 时 ，
点C的坐标为 ，
过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点F，如图所示：
的面积为8．
（3）解：能，理由：
A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为 、 、 ，
设点D的坐标为 ,
当 是边时，
则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P），
则 ， 或 ， ，
解得 或 ；
当 是对角线时，
由中点公式得： ， ,
解得 ；
故点D的坐标为 或 或 ．
B：由直线 的表达式知，点 ，由点A、C的坐标知 ，
设点Q的坐标为(0,m)，点M的坐标为 ，
当 为边时，
则 或 ，
即 或 ，
解得 或8（舍去）或4，
即 或4；
当 是对角线时，则 且 的中点即为 的中点，
则 ，
解得 ，
综上，点Q的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，
平行四边形性质，菱形性质，本题综合性强，难度较大，灵活掌握知识是解题关键．
100．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ，
且 ，过点 作 轴于点 ，连接 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及 点的坐标；
(2)将 沿 轴向左平移，对应得 ，当反比例函数图象经过 的中点 时；求 的面
积
(3)在第二象限内 点上方的双曲线上求一点 ，使得 ．【答案】(1) ， ，点
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的综合知识．
（1）利用待定系数法求解析式，将已知点代入即可；
（2）由平移的性质可得 的中点 的纵坐标，由 ，可求点 坐标，由三角形的面积公式可
求解；
（3）由勾股定理可求点E坐标，利用待定系数法可求直线 的解析式，联立方程组可求解．
【详解】（1） 一次函数 与反比例函数 的图象相交于
，
，
一次函数解析式为 ，反比例函数的解析式为
由 得
，
（2）如图，连接 ，
轴
的中点坐标为
将 沿 轴向左平移，对应得
的中点 的纵坐标为平移的长度为
;
（3）如图，过点 作 轴于 ，作 ，交双曲线于点 ，
,
,
,即点P为所求
四边形 是矩形
,
设直线CE的解析式为直线 的解析式为
由 得
点 在第二象限
．
