文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．满足等式 的集合X共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知单位向量 ， 满足 ，若向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．现将 六个字母排成一排，要求 相邻，且 不相邻，则不同的排列方式有（ ）种．
A．192 B．240 C．120 D．28
5．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，
如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的
“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，
再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（ ）
（参考公式： ）
A．1450 B．1490 C．1540 D．1580
6．设 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面
为正方形， 平面 ，四边形 ， 为两个全等的等腰梯形， ，且
，则此刍甍的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 （ 且 ），若对任意 ， ，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后
是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，
其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德
国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数 ”.恩格尔系数是国际
上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔
系数达60%以上为贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图
是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知（ ）A．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平
B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%
C．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%
D．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数
10．已知直线 ： ， ： ，圆C： ，若圆C与直线 ， 都相
切，则下列选项一定正确的是（ ）
A． 与 关于直线 对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线 或直线 上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
11．已知函数 ，则下列选项正确的有（ ）
A．函数 极小值为1
B．函数 在 上单调递增
C．当 时，函数 的最大值为
D．当 时，方程 恰有3个不等实根
12．近年来，纳米晶的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用.纳米晶体结构众多，下图是一种纳米晶
的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为n的几何体，则下列说法正确的有（ ）
A．该结构的纳米晶个体的表面积为
B．该结构的纳米晶个体的体积为
C．该结构的纳米晶个体外接球的表面积为
D．二面角A−AA−B 的余弦值为
1 2 3 3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在 的展开式中， 的系数为 ．
14．定义开区间 的长度为 ．经过估算，函数 的零点属于开区间 （只
要求写出一个符合条件，且长度不超过 的开区间）．
15．如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄
在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A 处.设连杆AB长200 ，曲柄CB长70 ，
0 0
则曲柄自CB 按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离AA）约为
0 0
.（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8）16．已知直线 与双曲线 交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中
点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若 的内心到y轴的距离不小于 ，则双曲线C的离心率
取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．如图，在 中，D是 边上的一点， ， ．
(1)证明： ；
(2)若D为靠近B的三等分点， ， ， ， 为钝角，求 ．
18．已知公差不为0的等差数列 中， ， 是 和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式：
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 ，使它们和原数列的项构成一个
新的数列 ，记 的前 项和为 ，求 的值.
19．如图所示，三棱锥 ，BC为圆O的直径，A是弧 上异于B、C的点.点D在直线AC上，
平面PAB，E为PC的中点.(1)求证： 平面PAB；
(2)若 ，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
20．学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5
名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽
取2名学生，让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积 分.现抽中
甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为 ，乙赢概率为 ，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
21．已知椭圆 ，直线l： 与椭圆 交于 两点，且点 位于第一象限.
(1)若点 是椭圆 的右顶点，当 时，证明：直线 和 的斜率之积为定值；
(2)当直线 过椭圆 的右焦点 时， 轴上是否存在定点 ，使点 到直线 的距离与点 到直线
的距离相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
22．已知函数 ，其中 且 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若存在实数 ，使得 ，则称 为函数 的“不动点”求函数 的“不动点”的个数；
(3)若关于x的方程 有两个相异的实数根，求a的取值范围．
