文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得 或 ，所以 ，故选A
2．欧拉公式 （e为自然对数的底数， 为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发
现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则
（ ）
A． -1 B．1 C．- D．
【答案】A
【解析】由题意得： ，故选A
3．若 为奇函数，则 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
【答案】A
【解析】由题得： ，故 .故选A.
4．已知向量 满足 ，且 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为向量 ，且 ，那么 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，
故选：C.
5.已知动点 在直线 上，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题可知圆的圆心为 ，半径为 ，
设 ，则 ，有 ，
得 ，
当 时， .
故选：C.
6．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客
慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州
瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事
件B为“两位游客选择的景点不同”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据古典概型概率公式求出 ，然后利用条件概率公式即得.
【详解】由题可得 ， ,所以 .故选D.
7．玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器， 年出土于
浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高 ，孔径 、外径 .琮体四面各琢刻一完整的兽面神
人图像.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂
直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为（单位： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为 ，高为 的正四棱柱中挖去一个
底面直径为 ，高为 的圆柱，此时求得体积记为 ，
cm3，
记该神人纹玉琮王的实际体积为 ，则 ，
且由题意可知， cm3，
故 ，故选D.
8．如图，已知抛物线 （ ）的焦点为 ，点 （ ）是抛物线 上一点.以
为圆心的圆与线段 相交于点 ，与过焦点 且垂直于对称轴的直线交于点 ， ， ，直线
与抛物线 的另一交点为 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，直线 方程为： ， 到直线 距离为 ，
以 为圆心的圆与线段 相交于点 ，与过焦点 且垂直于对称轴的直线交于点 ， ， ，
，
，
，
解得 ，
，又 ，故 ，
抛物线方程为 ， ， ， ，
直线 方程为 ，
与抛物线方程联立得 ，
消去 整理得， ，解得 或 ，， ，
,故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．图是《2018年全国教育事业发展统计公报》中 年我国高中阶段在校生数条形图和毛入学率
的折线图，根据下图可知在 年（ ）
A． 年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高
B．从 年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高
C． 年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰
D． 年高中阶段在校生数比 年下降了约 ，而毛入学率提高了 个百分点
【答案】AD
【解析】观察条形图和折线图可知，
年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高，
故A正确；
2016年和2018年的高中阶段在校生数都低于前一年，
故B错误；
年我国高中阶段在校生数达到了最高峰，但是毛入学率均低于后续几年，
故C错误；
年高中阶段在校生数为3935万人，2017年高中阶段在校生数为3971万人， 年高中阶段在校生
数比2017年下降了约 ，年高中阶段毛入学率为 万人，2017年高中阶段在校生数为 万人，毛入学率提高了 个
百分点，故D正确.
10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的
能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
【答案】ACD
【解析】对于A：当 时，由题意得 ，
解得 ，即地震里氏震级约为七级，故A正确；
对于B：八级地震即 时， ，解得 ，
所以 ，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 倍，故B错误；
对于C：六级地震即 时， ，解得 ，
所以 ，
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；
对于D：由题意得 （n=1，2，···，9，10），
所以 ，所以
所以 ，即数列{an}是等比数列，故D正确；
故选：ACD
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：① ；② ；③PO平分 ；④点P关于原点对称的点为Q，且
，能使双曲线Ｃ的离心率为 的条件组合可以是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】AD
【解析】③PO平分 且PO为中线，可得 ，点P在双曲线的右支上，所以不成立；
若选①②： ， ， 可得 ， ，
所以 ，即离心率为 ，成立；
若选②④： ，点P关于原点对称的点为Q，且 ，可得四边形 为矩形，即
， 可得 ， ，
所以 ，即离心率为 ，成立；
故选：AD
12．如图， 是底面直径为 高为 的圆柱 的轴截面，四边形 绕 逆时针旋转
到 ，则（ ）
A．圆柱 的侧面积为
B．当 时，
C．当 时，异面直线 与 所成的角为D． 面积的最大值为
【答案】BC
【解析】对于A，圆柱 的侧面积为 ，A错误；
对于B，因为 ，所以 ，又 ，
所以 平面 ，所以 ，B正确；
对于C，因为 ，所以 就是异面直线 与
所成的角，因为 ，所以 为正三角形，
所以 ，因为 ，所以 ，C正确；
对于D，作 ，垂足为 ，连接 ，所以 平面 ，所以 .
在 中， ，
，所以 ，D错误.
故选：BC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位
同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为 .
【答案】6
【解析】由题意4人中选2人出来，他们的两编号一致，剩下2人编号不一致，只有一种坐法，方法数为．
14.已知 ，则 .
【答案】
【解析】由 ，得
，
，
所以 ，
所以 ，
15．已知 a>0，若 ，且 ，则a= .
【答案】2
【解析】因为 ，
又 ，展开式通项为 ，
对应 的系数，故得到 ，解得 ，
其系数为 或 .
又a>0，故实数a的值为2.
16.已知函数 是偶函数，将 的图象沿 轴向左平移 个
单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .已
知 的图象相邻对称中心之间的距离为 ，则 ，若 的图象在其某对称轴处对应的函数值为 ，则 在 上的最大值为 .
【答案】
【解析】 函数 是偶函数，
， ，
又 ，
，
，
将 的图象沿 轴向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不
变），所得图象对应的函数为 ，
，
的图象相邻对称中心之间的距离为 ，
，解得 ，
的图象在其某对称轴处对应的函数值为 ，
，
，
当 时， ， ，
故 ，
在 上的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（本题满分10分）在① ；② ；③ 是 与 的等比中项，三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 为等比数列，其前 项和 为
常数， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 其中 表示不超过 的最大整数，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】若选 ： 由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则
解得 所以
由 ，则 ，
，
所以 .
若选 ： 由已知 ， ，
通项
故 .不妨设 的公差为 ，则 ，
解得 所以 .
由 ，则 ，
，
所以 .
若选 ： 由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则 ，
因为 解得 所以 .
由
则
，
所以 .
18．（本题满分12分）如图，平面四边形 ，点 ， ， 均在半径为 的圆上，且 ．（1）求 的长度；
（2）若 ，求 的面积．
【解析】（1）由题意可知， 的外接圆半径为 ，
由正弦定理 ，解得 ；
（2）在 中，设 ， 为锐角，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
即 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
19．（本题满分12分）2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全
球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学
习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记 表示了解， 表示不了
解，统计结果如下表所示：（表一）
了解情况
人数 140 60
（表二）
男 女 合计
80
4
0
合计
（1）请根据所提供的数据，完成上面的 列联表（表二），并判断是否有99％的把握认为对“云课
堂”倡议的了解情况与性别有关系;
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有
3人了解云课堂倡议”的概率为 ，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为 ．试求出 与 ，
并比较 与 的大小．
附：临界值参考表的参考公式
，其中 ）
【解析】（1）
男 女 合计
80 60 140
20 40 60
合
100 100 200
计
．对照临界值表知，有99％的把握认为对“云课堂”倡议了解情况与性别有关系．
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据 列联表得出，
男性了解“云课堂”倡议的概率为 ，
女性了解“云课堂”倡议的概率为： ，
故 ， ，
显然 ．
20．（本题满分12分）如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ，
，点 在线段 上，且 ， 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求平面 和平面 所成锐二面角的余弦值.
【解析】（1）如图，连接 交 于点 ，连接 ，
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，
由 ，知 ，又 ，即 ，
在 中， ，由余弦定理： ，得 ，即，故 ，则 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）由（1）知 ， ， ，如图建立空间直角坐标系 ，
由题意，有 ，
∴ ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ， ，则
，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ， ，
则 ，
设平面 和平面 所成二面角的大小为 ，则 ，∴由平面 和平面 所成锐二面角，故其余弦值为 .
21．（本题满分12分）已知 分别是椭圆 的左､右焦点， 为椭圆的上顶点，
是面积为 的直角三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设圆 上任意一点 处的切线 交椭圆 于点 ，问： 是否为定值？若是，
求出此定值；若不是，说明理由.
【解析】（1）由 为直角三角形，故 ，
又 ，
可得
解得
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）当切线 的斜率不存在时，其方程为
将 代入 ，得 ，不妨设 ， ，又
所以
同理当 时，也有 .
当切线 的斜率存在时，设方程为 ，
因为 与圆 相切，所以
即 ，
将 代入 ，
得 ，
所以
又
，
又
，
将 代入上式，得 ，
综上， .
22．（本题满分12分）已知函数 ， .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若当 时， 恒成立，求 的取值范围.【解析】（1）解： 的定义域为 ，当 时， ，
，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增.
所以， ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 的单调递增区间为 ，无递减区间.
（2）解：当 时， 恒成立等价于 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
设 ，
则 图象为开口向上，对称轴为 的抛物线的一部分，
当 时， ， 在 单调递增，且 ，
所以， ，即 ，则函数 在 上单调递增，
又因为 ，所以 在 恒成立，满足题意；
当 时， ， ，
所以方程 有两相异实根，设为 、 ，且 ，则 ，当 时， ， ， 在 上单调递减，
又因为 ，故当 时， ，
所以， 在 上不恒成立，不满足题意.
综上， 的取值范围为 .
