文档内容
10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
10．1.2 事件的关系和运算
考点 学习目标 核心素养
随机试验 理解随机试验的概念及特点 数学抽象
理解样本点和样本空间，会求所给试验的
样本空间 数学抽象
样本点和样本空间
理解随机事件、必然事件、不可能事件的
随机事件 概念， 数学抽象
并会判断某一事件的性质
数学抽象、
事件的关系和运算 理解事件5种关系并会判断
逻辑推理
问题导学
预习教材P226－P232的内容，思考以下问题：
1．随机试验的概念是什么？它有哪些特点？
2．样本点和样本空间的概念是什么？
3．事件的分类有哪些？
4．事件的关系有哪些？
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称
为试验E的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω，ω，…，ω，则称样本空间Ω＝{ω，ω，…，ω}为有限样本空间．
1 2 n 1 2 n
3．事件的分类
(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个
样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．
③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本
点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω 为必然事件．
(3)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不
可能事件．
■名师点拨
必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况．
4．事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
⊆
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω
■名师点拨
(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A 且A B，则称事件A与事
件B相等，记作A＝B.
⊇ ⊇
(2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，
A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且
仅当A，B，C同时发生．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)必然事件一定发生．( )
(2)不可能事件一定不发生．( )
(3)互斥事件一定对立．( )
(4)对立事件一定互斥．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
下列事件：
①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③下周六是晴天．其中是随机事件的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②
解析：选B.①为必然事件；②③为随机事件．
“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )
A．不可能事件 B．必然事件
C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件
解析：选D.掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5
件，现给出以下四个事件：
事件A：“恰有一件次品”；
事件B：“至少有两件次品”；
事件C：“至少有一件次品”；
事件D：“至多有一件次品”．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∪B＝B；④A∪D＝C.
其中正确的序号是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②③
解析：选A.A∪B表示的事件为至少有一件次品，即事件C，所以①正确，③不正确；
D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；
A∪D表示的事件为至多有一件次品，即事件D，所以④不正确．
事件类型的判断
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
【解】 由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件
一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是 1，两次朝上面的数字之和最小
是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
判断事件类型的思路
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，
不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．下面的事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②a，b∈R，则ab＝
ba；③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为( )
A．② B．①
C．①② D．③
解析：选B.②是必然事件，③是随机事件．
2．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上
的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“2025年的国庆
节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”
是随机事件．其中正确命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选B.“2025年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确．
故选B.
样本点与样本空间
同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为
y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
【解】 (1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)样本点的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；“x<3且y>1”
包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x＝y”包含以下4个样
本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，
按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”．
解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，
锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
事件的运算
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1
个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1
个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【解】 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故
D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红
球，故C∩A＝A.
[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个
白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种
情况，故A C，B C，E C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2
个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白
⊆ ⊆ ⊆
球}＝D.
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用
这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结
果，把这些结果在图中列出，进行运算．
掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}，E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)D，AC.
解：(1)A∩B＝∅，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，
B＋C＝{出现1，2，4或6点}．
(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
AC＝{出现1点}．
互斥事件与对立事件的判定
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每
对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
【解】 判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件
是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；
当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是
互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它
们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时
发生，所以它们不是互斥事件．
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互
斥，否则就是互斥的．
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说
明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发
生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方
块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件
不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点
数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然
也不可能是对立事件．
1．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0；
②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝log x是增函数；
a
③某人射击一次，命中靶心；
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为( )
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
解析：选D.①是必然事件；②中a>1时，y＝log x单调递增，00，且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
⑤若a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．
解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．
答案：③⑤ ④ ①②
7．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，
y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．
解析：将这个试验的所有结果一一列举出来为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，
(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，
3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，
(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种．
答案：36
8．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个
数为________．
解析：从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，
(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种情
况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数．
答案：4
9．做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)用集合表示“第1次取出的数字是2”这一事件．
解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．
(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.
(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2，0)，(2，1)}．
10．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至
少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报
也不订”．判断下列事件是否是互斥事件；如果是，判断它们是否是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可
能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故
事件B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致
事件B一定不发生，故B与E也是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是
说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．
事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于
这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由上述分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C
与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
[B 能力提升]
11．打靶3次，事件A表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A∪A∪A 表
i 1 2 3
示( )
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．以上均不正确
解析：选B.A∪A∪A 所表示的含义是A ，A ，A 这三个事件中至少有一个发生，即
1 2 3 1 2 3
可能击中1发、2发或3发，故选B.
12．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件
“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至
少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥D．E与G对立
解析：选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；
事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；
当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件．故A，C错．
事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B错误，D正确．
13．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取不
相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
解析：选C.“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因
A中有9个非零数，故选C.
14．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底
面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y，用(x，y)表示一个
样本点．
(1)请写出所有的样本点；
(2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个样本点？
解：(1)先后抛掷两次正四面体的样本点：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，
(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，
4)，共16个样本点．
(2)用A表示满足条件“为整数”的事件，则A包含的样本点有：(1，1)，(2，1)，(2，
2)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共8个样本点．
[C 拓展探索]
15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S ，S ，…，S 站．若甲在
1 2 10
S 站买票，乙在S 站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到
3 6
达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的样本空间Ω；
(2)用集合表示事件A、事件B；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解：(1)Ω＝{S，S，S，S，S，S，S，S，S，S }；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(2)A＝{S，S，S，S，S，S，S }；B＝{S，S，S，S }；
4 5 6 7 8 9 10 7 8 9 10
(3)铁路局需要准备从S 站发车的车票共计9种，从S 站发车的车票共计8种，…，从
1 2
S 站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
9
