文档内容
[A 基础达标]
1．(2019·四川省宜宾市教学质量监测)在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，
46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减8后所得的数据，则A、B两样
本的下列数字特征对应相同的是( )
A．平均数 B．标准差
C．众数 D．中位数
解析：选B.A样本数据为42，43，46，52，42，50，其平均数为＝，众数为42，中位
数为＝，由题可得，B样本数据为34，35，38，44，34，42，其平均数为＝，众数为34，
中位数为＝，所以A、B两样本的下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同．故选B.
2．如图是一次考试成绩的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为( )
A．46 B．36
C．56 D．60
解析：选A.根据题中统计图，可估计有4人成绩在[0，20)之间，其考试分数之和为
4×10＝40；有8人成绩在[20，40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在
[40，60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60，80)之间，其考试分数
之和为6×70＝420；有2人成绩在[80，100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可
知，考生总人数为 4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为 40＋240＋500＋420＋180＝1
380，平均数为＝46.
3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(
)
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选C.由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所
以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、
乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5
－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
4．(2019·河南省信阳高级中学期末考试)某班有50名学生，在一次考试中统计出平均
分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却
误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是(
)
A．70和50 B．70和67
C．75和50 D．75和67
解析：选B.设更正前甲、乙、……的成绩依次为a，a，…，a ，
1 2 50
则a＋a＋…＋a ＝50×70，即60＋90＋a＋…＋a ＝50×70，
1 2 50 3 50
(a－70)2＋(a－70)2＋…＋(a －70)2＝50×75，
1 2 50
即102＋202＋(a－70)2＋…＋(a －70)2＝50×75，
3 50
更正后平均分为x＝×(80＋70＋a＋…＋a )＝70；
3 50
方差为s2＝×[(80－70)2＋(70－70)2＋(a－70)2＋…＋(a －70)2]
3 50
＝×[100＋(a－70)2＋…＋(a －70)2]＝×[100＋50×75－102－202]＝67.
3 50
故选B.
5．(2019·江西省上饶市期末统考)甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各
投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示(实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图)，则以
下说法错误的是( )
A．甲投篮命中次数的众数比乙的小
B．甲投篮命中次数的平均数比乙的小
C．甲投篮命中次数的中位数比乙的大
D．甲投篮命中的成绩比乙的稳定
解析：选B.由折线图可知，甲投篮5轮，命中的次数分别为5，8，6，8，8，
乙投篮5轮，命中的次数分别为3，7，9，5，9，
则甲投篮命中次数的众数为8，乙投篮命中次数的众数为9，所以A正确；甲投篮命中次数的平均数为7，乙投篮命中次数的平均数为6.6，所以B不正确；
甲投篮命中次数的中位数为8，乙投篮命中次数的中位数为7，所以C正确；
甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左右，方差较小，乙投篮命中次数的数据比较
分散，方差较大，所以甲的成绩更稳定一些，所以D正确．
故选B.
6．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表
所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7
方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目的比赛，最佳人选是________．(填
“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)
解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩
发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．
答案：丙
7．(2019·陕西省西安市长安区第一中学期末考试)一组数据的平均数是28，方差是4，
若将这组数据中的每一个数据都加上 20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是
________，方差是________．
解析：设该组数据为x，x，…，x；则新数据为x＋20，x＋20，…，x＋20；
1 2 n 1 2 n
因为x＝＝28，
所以x＝＝20＋28＝48.
因为s2＝[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]，
1 2 n
所以s′2＝[(x＋20－(x＋20))2＋(x＋20－(x＋20))2＋…＋(x＋20－(x＋20))2]＝s2＝4.
1 2 n
答案：48 4
8．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)样本中共有五个个体，其值分别
为a，0，1，2，3，若该样本平均数为1，则样本方差为________．
解析：因为样本的平均数为1，所以×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.
所以样本的方差为
×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案：2
9．甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2)：
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议．
解：由题意得x ＝x ＝10.
甲 乙s＝×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
s＝×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，
甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10，且s＜s，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，
推荐引进甲种冬小麦大量种植．
10．(2019·高考全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试
验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组
小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用
某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P(C)的估
计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表)．
解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故
a＝0.35.
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
[B 能力提升]
11．(2019·湖南省张家界市期末联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为
x，y，10，11，9(x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.由这组数据的平均数为10，方差为2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝
8，因为不要直接求出x、y，只要求出|x－y|，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2
＝8得t2＝4；所以|x－y|＝2|t|＝4.故选A.
12．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，
标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被
误统计为15万，乙景点实际为18万， 被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差
为s，则s与s 的大小关系为( )
1 1A．s＝s B．s＜s
1 1
C．s＞s D．不能确定
1
解析：选C.由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游
人数的平均数是相同的，设为x，
则s＝
，
s＝
1
.
若比较s与s 的大小，只需比较(15－x)2＋(23－x)2与(20－x)2＋(18－x)2的大小即可．而
1
(15－x)2＋(23－x)2＝754－76x＋2x2，(20－x)2＋(18－x)2＝724－76x＋2x2，所以(15－x)2＋
(23－x)2＞(20－x)2＋(18－x)2.从而s＞s.
1
13．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是
________．
解析：由＝3，得a＝5；
由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，得标准差s＝.
答案：5
14．从某企业生产的某种产品中抽取 100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测
量结果得如下频数分布表：
质量指标
[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
值分组
频数 6 26 38 22 8
(1)根据上表作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于
95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解：(1)产品质量指标的频率分布直方图如图．
(2)质量指标值的样本平均数为 80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38
＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于
95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
[C 拓展探究]
15．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一
户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯
电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：
第一档 第二档 第三档
每户每月用电量
[0，200] (200，400] (400，＋∞)
(单位：度)
电价(单位：元/度) 0.61 0.66 0.91
例如：某用户 11 月用电 410 度，采用合表电价收费标准，应交电费 410×0.65＝
266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－
400)×0.91＝263.1(元)．
为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的
11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月
用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.
组别 月用电量 频数统计 频数 频率
① [0，100]
② (100，200]
③ (200，300]
④ (300，400]
⑤ (400，500]
⑥ (500，600]
合计
(1)完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；(2)根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值
作代表)；
(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交y 元，按照阶梯电
1
价收费标准应交y 元，请用x表示y 和y ，并求当y≤y 时，x的最大值，同时根据频率分
2 1 2 2 1
布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？
解：(1)频率分布表如下：
组别 月用电量 频数统计 频数 频率
① [0，100] 4 0.04
② (100，200] 12 0.12
③ (200，300] 24 0.24
④ (300，400] 30 0.30
⑤ (400，500] 26 0.26
⑥ (500，600] 4 0.04
合计 100 1
频率分布直方图如图：
(2)该100户用户11月的平均用电量
x＝50×0.04＋150×0.12＋250×0.24＋350×0.3＋450×0.26＋550×0.04＝324(度)，
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．
(3)y＝0.65x，
1
y＝.
2
由y≤y 得或
2 1或，
解得x≤≈423.1.
因为x∈N，故x的最大值为423.
根据频率分布直方图，x≤423时的频率为0.04＋0.12＋0.24＋0.3＋23×0.002 6＝0.759
8>0.75，
故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．
