文档内容
6．2.2 向量的减法运算
考点 学习目标 核心素养
相反向量 理解相反向量的概念 数学抽象
向量的减法 掌握向量减法的运算法则及其几何意义 数学抽象、直观想象
问题导学
预习教材P11－P12的内容，思考以下问题：
1．a的相反向量是什么？
2．向量减法的几何意义是什么？
1．相反向量
(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作 － a，并且规定，
零向量的相反向量仍是零向量．
(2)结论
①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
②如果a与b互为相反向量，那么a＝ － b，b＝ － a，a＋b＝0．
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平
行向量．
2．向量的减法
(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝ a ＋ ( － b ) ．求两个向量差的
运算叫做向量的减法．
(2)作法：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量BA＝a－b，如图所示．
(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
■名师点拨
(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即
可．
(3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个相等向量之差等于0.( )
(2)两个相反向量之差等于0.( )
(3)两个向量的差仍是一个向量．( )
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.AB－DC＝0 B.AD－BA＝AC
C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
答案：C
设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是( )
A．a与b的长度相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
答案：C
在平行四边形ABCD中，向量AB的相反向量为________．
答案：BA，CD
向量的减法运算
化简下列各式：
(1)(AB＋MB)＋(－OB－MO)；
(2)AB－AD－DC.
【解】 (1)法一：原式＝AB＋MB＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＝AO＋OB＝
AB.
法二：原式＝AB＋MB＋BO＋OM
＝AB＋(MB＋BO)＋OM＝AB＋MO＋OM＝AB＋0
＝AB.
(2)法一：原式＝DB－DC＝CB.
法二：原式＝AB－(AD＋DC)＝AB－AC＝CB.
向量减法运算的常用方法1．下列四个式子中可以化简为AB的是( )
①AC＋CD－BD；②AC－CB；③OA＋OB；④OB－OA.
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
解析：选A.因为AC＋CD－BD＝AD－BD＝AD＋DB＝AB，所以①正确，排除C，D；
因为OB－OA＝AB，所以④正确，排除B.故选A.
2．化简下列向量表达式：
(1)OM－ON＋MP－NA；
(2)(AD－BM)＋(BC－MC)．
解：(1)OM－ON＋MP－NA＝NM＋MP－NA＝NP－NA＝AP.
(2)(AD－BM)＋(BC－MC)＝AD＋MB＋BC＋CM＝AD＋(MB＋BC＋CM)＝AD＋0＝AD.
向量的减法及其几何意义
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【解】 法一：如图①，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，
OC＝c，连接BC，
则CB＝b－c.
过点A作AD綊BC，连接OD，
则AD＝b－c，
所以OD＝OA＋AD＝a＋b－c.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，
连接OB，则OB＝a＋b，再作OC＝c，连接CB，
则CB＝a＋b－c.
法三：如图③，在平面内任取一点O，
作OA＝a，AB＝b，连接OB，
则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC，
则OC＝a＋b－c.
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个
向量的终点，指向被减向量的终点的向量．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：在平面内任取一点O，作向量OA＝a，OB＝b，则向量BA＝a－b，再作向量BC＝
c，则向量CA＝a－b－c.
用已知向量表示其他向量
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且AB＝
a，AC＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.
【解】 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，
故BD＝BC＋CD＝b－a＋c.
用已知向量表示其他向量的三个关注点
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的
关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解
决问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
例如，在四边形ABCD中，AB＋BC＋CD＋DA＝0.
1．如图，O 为平行四边形 ABCD 内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则OD＝
________．
解析：因为BA＝CD，BA＝OA－OB，CD＝OD－OC，所以OD－OC＝OA－OB，OD
＝OA－OB＋OC，所以OD＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
2．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若AB＝a，BC＝b，OD＝
c.试证明：a－b＋c＝OB.证明：如图，a＋c＝AB＋OD＝DC＋OD＝OC，
OB＋b＝OB＋BC＝OC，
所以a＋c＝OB＋b，
即a－b＋c＝OB.
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则AD－AC等于( )
A.CB B.BC
C.CD D.DC
解析：选C.在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD
－AC＝CD.
2．化简：AB－AC＋BD－CD＋AD＝________．
解析：原式＝CB＋BD＋DC＋AD＝CD＋DC＋AD＝0＋AD＝AD.
答案：AD
3．已知＝10，|AC|＝7，则|CB|的取值范围为______．
解析：因为CB＝AB－AC，
所以|CB|＝|AB－AC|.
又≤|AB－AC|≤|AB|＋|AC|，
3≤|AB－AC|≤17，
所以3≤|CB|≤17.
答案：[3，17]
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB－OA＋OC－OA|，试判断
△ABC的形状．
解：因为OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC.
又|OB－OC|＝|OB－OA＋OC－OA|，
所以|AB＋AC|＝|AB－AC|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度
相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
[A 基础达标]
1．在三角形ABC中，BA＝a，CA＝b，则CB＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：选B.CB＝CA＋AB＝CA＋(－BA)＝b－a.
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.EF＝OF＋OE B.EF＝OF－OE
C.EF＝－OF＋OE D.EF＝－OF－OE解析：选B.EF＝EO＋OF＝OF－OE＝EO－FO＝－OE－FO.故选B.
3．如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析：选A.DC＝DA＋AB＋BC＝a－b＋c.
4．给出下列各式：
①AB＋CA＋BC；
②AB－CD＋BD－AC；
③AD－OD－AO；
④NQ－MP＋QP＋MN.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.①AB＋CA＋BC＝AC＋CA＝0；
②AB－CD＋BD－AC＝AB＋BD－(AC＋CD)＝AD－AD＝0；
③AD－OD－AO＝AD＋DO＋OA＝AO＋OA＝0；
④NQ－MP＋QP＋MN＝NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0.
5．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①AB＝BC；②|AB|＝|BC|；③|AB－CD|＝|AD＋BC|；④|AD＋CD|＝|CD－CB|.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由菱形的图形，可知向量AB与BC的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以②正确，①错误；因为|AB－CD|＝|AB＋DC|＝2|AB|，|AD＋BC|＝2|BC|，且|AB|＝|
BC|，所以|AB－CD|＝|AD＋BC|，即③正确；因为|AD＋CD|＝|BC＋CD|＝|BD|，|CD－CB|
＝|CD＋BC|＝|BD|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝________．
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝
1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
答案：0 2
7．已知 ▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，
BC＝________．(用a，b表示)解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA
－OB＝－a－b.
答案：b－a －a－b
8．给出下列命题：
①若OD＋OE＝OM，则OM－OE＝OD；
②若OD＋OE＝OM，则OM＋DO＝OE；
③若OD＋OE＝OM，则OD－EO＝OM；
④若OD＋OE＝OM，则DO＋EO＝MO.
其中正确命题的序号为________．
解析：①因为OD＋OE＝OM，
所以OD＝OM－OE，正确；
②因为OM－OD＝OE，所以OM＋DO＝OE，正确；
③因为OE＝－EO，所以OD－EO＝OM，正确；
④因为－OM＝－OD－OE，所以MO＝DO＋EO，正确．
答案：①②③④
9.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OF＝f，试用a，
b，c，d，f表示以下向量：
(1)AC；(2)AD；
(3)AD－AB；(4)AB＋CF；
(5)BF－BD.
解：(1)AC＝OC－OA＝c－a.
(2)AD＝AO＋OD＝OD－OA＝d－a.
(3)AD－AB＝BD＝OD－OB＝d－b.
(4)AB＋CF＝OB－OA＋OF－OC＝b－a＋f－c.
(5)BF－BD＝OF－OB－(OD－OB)＝OF－OD＝f－d.
10．如图所示， ▱ABCD中，AB＝a，AD＝b.
(1)用a，b表示AC，DB；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
解：(1)AC＝AD＋AB＝b＋a，DB＝AB－AD＝a－b.
(2)由(1)知a＋b＝AC，a－b＝DB.
因为a＋b与a－b所在直线垂直，
所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.
所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
[B 能力提升]
11．给出下面四个结论：
①若线段AC＝AB＋BC，则向量AC＝AB＋BC；
②若向量AC＝AB＋BC，则线段AC＝AB＋BC；
③若向量AB与BC共线，则线段AC＝AB＋BC；
④若向量AB与BC反向共线，则|AB－BC|＝AB＋BC.
其中正确的结论有________．
解析：①由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则AC＝AB＋BC，正确．
②三角形内AC＝AB＋BC，但AC≠AB＋BC，错误．
③AB，BC反向共线时，|AC|＝|AB＋BC|≠|AB|＋|BC|，也即AC≠AB＋BC，错误．
④AB，BC反向共线时，|AB－BC|＝|AB＋(－BC)|＝AB＋BC，正确．
答案：①④
12．已知|OA|＝a，|OB|＝b(a>b)，|AB|的取值范围是[5，15]，则a，b的值分别为
______．
解析：因为a－b＝||OA|－|OB||≤|OA－OB|＝|AB|≤|OA|＋|OB|＝a＋b，
所以解得
答案：10 5
13．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，则|AB－BC|＝________．
解析：如图，在△ABD中，
AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，
AB－BC＝AB＋CB
＝AB＋BD＝AD.
易求得AD＝，即|AD|＝.
所以|AB－BC|＝.
答案：
14．如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，
c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝BA，c－d＝DC，并画出b－c和a＋d.
解：因为 a＋b＝BA，c－d＝DC，所以 a＝OA，b＝BO，c＝
OC，d＝OD.如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得，b－c＝EO，a＋d＝OF.
[C 拓展探究]
15．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，CM＝a，CA
＝b.
求证：(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CA＝CB.又M是斜边AB的中点，
所以CM＝AM＝BM.
(1)因为CM－CA＝AM，
又|AM|＝|CM|，所以|a－b|＝|a|.
(2)因为M是斜边AB的中点，
所以AM＝MB，
所以a＋(a－b)＝CM＋(CM－CA)＝CM＋AM＝CM＋MB＝CB，
因为|CA|＝|CB|，
所以|a＋(a－b)|＝|b|.
