文档内容
第2课时 正弦定理
考点 学习目标 核心素养
通过对任意三角形边长和角度关
正弦定理 系的探索，掌握正弦 逻辑推理
定理的内容及其证明方法
问题导学
预习教材P45－P48的内容，思考以下问题：
1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？
2．正弦定理的内容是什么？
1．正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论 ＝＝
文字
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
叙述
■名师点拨
对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，
它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(4)＝2R.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于直角三角形．( )
(2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．( )
(3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．( )
(4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )
A. B.
C. D.1
解析：选B.因为a＝3，b＝5，sin A＝，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，
则c＝( )
A. B.1
C. D.2
解析：选D.由三角形内角和定理得，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(105°＋45°)＝30°.
由正弦定理得，
c＝＝＝2.
在△ABC中，若＝，则B的度数为________．
解析：根据正弦定理知，＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以
B＝45°.
答案：45°
已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解】 因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝10×＝10.
因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝
5＋5.
已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和
定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定
理求另外两边．
1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝( )
A．4 B．4
C．4 D．
解析：选C.A＝180°－B－C＝45°，由正弦定理＝，得b＝＝＝4.2．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．
解：因为sin B＝，
所以B＝30°或150°，当B＝30°时，由A＝60°得C＝90°；当B＝150°时，不合题意，
舍去．
所以由正弦定理＝＝，得b＝·a＝×3＝，c＝·a＝×3＝2.
已知两边及其中一边的对角解三角形
已知△ABC中的下列条件，解三角形：
(1)a＝10，b＝20，A＝60°；
(2)a＝2，c＝，C＝.
【解】 (1)因为＝，
所以sin B＝＝＝>1，
所以三角形无解．
(2)因为＝，所以sin A＝＝.
因为c＞a，所以C＞A.所以A＝.
所以B＝，b＝ ＝＝＋1.
[变条件]若本例(2)中C＝改为A＝，其他条件不变，求C，B, b.
解：因为＝，所以sin C＝＝.
所以C＝或.
当C＝时，B＝，b＝＝＋1.
当C＝时，B＝，b＝＝－1.
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判
断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦
值可求两个角，要分类讨论．
(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶
点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
absin A 两解a＝bsin A 一解
a2 B．x<2
C．2
