文档内容
[A 基础达标]
1．下列说法中正确的是( )
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；
③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；
④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．
A．①②③ B．①③④
C．②③ D．②③④
解析：选A.由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点
作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．
2．在正方体ABCDABC D 中，点P是线段BC 上任意一点，则下列结论中正确的是(
1 1 1 1 1
)
A．AD⊥DP B．AP⊥BC
1 1
C．AC ⊥DP D．AP⊥BC
1 1 1
解析：选B.在正方体ABCDABC D 中，
1 1 1 1
因为BC⊥BC ，BC⊥AB，
1 1 1
BC ∩AB＝B，
1
所以BC⊥平面ABCD，
1 1 1
因为点P是线段BC 上任意一点，
1
所以AP⊥BC.故选B.
1
3．下列命题正确的是( )
①⇒b⊥α； ② a∥b；
③⇒b∥α； ④⇒b⊥α.
⇒
A．①② B．①②③
C．②③④ D．①④
解析：选A.对于命题①，a⊥α，则a垂直于平面α内的任意两条相交直线，又因为
a∥b，所以b也垂直于平面α内的任意两条相交直线，所以b⊥α，①正确；由线面垂直的
性质定理可知a∥b，所以②正确；因为a⊥α，当a⊥b时，则b可能在平面α内，也可能
与平面α平行，所以③错误；当a∥α，a⊥b时，b与平面α的三种位置都有可能出现，所
以④错误．
4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，
垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GED．PQ⊥FH
解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ
平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选
⊂ ⊂
B.
5．已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射
影一定是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
解析：选B.如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.
所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，
所以△PAO≌△PBO≌△PCO，
所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．
6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上
的中线CM与α所成的角为________．
解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，
连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．
设AC＝BC＝1，则AB＝，
所以CM＝，CO＝，所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°.
答案：45°
7．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．
解析：因为PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝
O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以
⊂
图中共有4条直线与AC垂直．
答案：4
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离
是________．
解析：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又PD∩PA＝P，
所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4.
答案：4
9．如图，在直三棱柱ABCABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA.
1 1 1 1
(1)求证：AB⊥平面ABC ；
1 1 1
(2)若D为BC 的中点，求AD与平面ABC 所成角的正弦值．
1 1 1 1 1
解：(1)证明：由题意知四边形AABB是正方形，所以AB⊥BA.
1 1 1 1
由AA⊥平面ABC 得AA⊥AC .
1 1 1 1 1 1 1
又因为AC ⊥AB，AA∩AB＝A，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以AC ⊥平面AABB，
1 1 1 1
又因为AB 平面AABB，
1 1 1
所以AC ⊥AB，
1 1 ⊂ 1
又因为BA∩AC ＝A，所以AB⊥平面ABC .
1 1 1 1 1 1 1
(2)连接AD.设AB＝AC＝AA＝1，
1 1
因为AA⊥平面ABC ，所以∠ADA是AD与平面ABC 所成 的
1 1 1 1 1 1 1 1
角．
在等腰直角三角形ABC 中，D为斜边的中点，所以AD＝
1 1 1 1
BC ＝.
1 1
在Rt△ADA中，AD＝＝.
1
所以sin∠ADA＝＝，
1
即AD与平面ABC 所成角的正弦值为.
1 1 1
10.如图，已知四棱锥SABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于
点E，EF⊥SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
证明：(1)因为SA⊥平面AC，BC 平面AC，
所以SA⊥BC.因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.
⊂
又因为SA∩ AB＝A，
所以BC⊥平面SAB.
所以BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，
所以AE⊥平面SBC.
又因为SC 平面SBC，
⊂所以AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩ AE＝E，
所以SC⊥平面AEF.
因为AF 平面AEF，所以AF⊥SC.
(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC.
⊂
又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD.
又AG 平面SAD，所以DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF，
⊂
所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC.
⊂
因为SD 平面SDC，所以AG⊥SD.
[B 能力提升]
⊂
11．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ ，∠PBC＝θ ，∠ABC
1 2
＝θ.则下列关系一定成立的是( )
3
A．cos θcos θ＝cos θ B．cos θcos θ＝cos θ
1 2 3 1 3 2
C．sin θsin θ＝sin θ D．sin θsin θ＝sin θ
1 2 3 1 3 2
解析：选B.
BC⊥平面PAC BC⊥PC，
所以cos θ＝，cos θ＝，cos θ＝.
⇒ 1 ⇒ 2 3
则有cos θcos θ＝cos θ.
1 3 2
12.如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为
斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS.
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥平面ABC，
所以BD 平面ABC，
所以SD⊥BD.
⊂
因为AC∩SD＝D.所以BD⊥平面SAC.
[C 拓展探究]
13．如图(1)，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且
DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图(2)所示)，连接AP，PF，其中
PF＝2.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存
在，请说明理由．
(3)求点A到平面PBE的距离．
解：(1)证明：连接EF，由题意知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，
所以PF⊥BF.
易得EF＝＝，
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF.
又BF∩EF＝F，BF 平面ABED，EF 平面ABED，所以PF⊥平面ABED.
(2)存在，当Q为PA的三等分点(靠近P)时，FQ∥平面PBE.
⊂ ⊂
理由如下：
因为AQ＝AP，AF＝AB，所以FQ∥BP，
又FQ⊄平面PBE，PB 平面PBE，所以FQ∥平面PBE.
(3)由(1)知PF⊥平面ABED，连接AE，则PF为三棱锥PABE的高．
⊂
设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得V ＝V ，
APBE PABE
即×S ×h＝×S ×PF.
△PBE △ABE
又S ＝×6×9＝27，S ＝×12×6＝36，
△PBE △ABE
所以h＝＝＝，
即点A到平面PBE的距离为.
